Рассмотрим уравнение Манакова (1) на алгебре $\mathfrak{s} o(4)$. Через $b_{i}$ $(0 \leqslant i \leqslant 3)$ будем обозначать элементы диагональной матрицы $J$ (см. § 1); мы будем предполагать, что они различны и удовлетворяют неравенству $b_{0}^{2}<b_{1}^{2}<b_{2}^{2}<b_{3}^{2}$.
3.1. Симплектические орбиты и первые интегралы Запишем кососимметричную матрицу $M$ в виде
\[
M=(x, y)=\left(\begin{array}{cccc}
0 & -x_{3} & x_{2} & y_{1} \\
x_{3} & 0 & -x_{1} & y_{2} \\
-x_{2} & x_{1} & 0 & y_{3} \\
-y_{1} & -y_{2} & -y_{3} & 0
\end{array}\right)
\]

и вычислим характеристический полином $\operatorname{det}\left(M+\lambda J^{2}-\lambda \mu \mathrm{Id}\right)$ (как и выше, собственное значение равно $\lambda \mu$ ), т. е.
\[
\lambda^{4} \prod_{i=0}^{3}\left(b_{i}^{2}-\mu\right)+\lambda^{2}\left(\mu^{2} f_{1}(x, y)-\mu H(x, y)+K(x, y)\right)+f_{2}(x, y)^{2},
\]

где
\[
\begin{array}{l}
f_{1}(x, y)=\sum x_{i}^{2}+\sum y_{i}^{2}-\text { норма } M, \\
f_{2}(x, y)=\sum x_{i} y_{i}-\text { пфаффиан } M, \\
H(x, y)=\sum_{i=1}^{3}\left(b_{i}^{2}+b_{0}^{2}\right) x_{i}^{2}+\frac{1}{2} \sum_{\{i, j, k\}=\{1,2,3\}}\left(b_{i}^{2}+b_{j}^{2}\right) y_{k}^{2}, \\
K(x, y)=\sum_{i=1}^{3}\left(b_{i}^{2} b_{0}^{2}\right) x_{i}^{2}+\frac{1}{2} \sum_{\{i, j, k\}=\{1,2,3\}}\left(b_{i}^{2} b_{j}^{2}\right) y_{k}^{2} .
\end{array}
\]

Напомним, что пфаффиан кососимметричной матрицы – это значение универсального полинома на элементах матрицы, причем квадрат этого полинома совпадает с определителем (см., например, «Алгебру» Бурбаки $[20]$ ). Например, $f_{2}=0$ тогда и только тогда, когда ранг матрицы $M$ меньше или равен 2 .

Очевидно, что $f_{1}$ и $f_{2}$ инвариантны относительно сопряжения ортогональными матрицами и, следовательно, являются орбитальными инвариантами присоединенного и коприсоединенного действий группы $S O(4)$. Классическим результатом (который мы оставляем читателю в качестве упражнения) является утверждение, что они действительно являются орбитальными инвариантами и, следовательно, являются функциями Казимира относительно канонической пуассоновой структуры (см. Приложение 1).

Замечание. Именно пфаффиан $f_{2}$ является орбитальным инвариантом, несмотря на то, что в характеристическом полиноме появляется его квадрат, определитель. Ситуация во многом аналогична той, которую мы наблюдали в III.2.3. Зафиксируем орбиту $\mathbf{O}_{f}$, на которой рассмотрим совместную поверхность уровня интегралов $H$ и $K$ : таким образом, $\mathcal{T}_{h}$ является совместной поверхностью уровня функций $f_{1}, f_{2}, H$ и $K$, даже если кривая $C$ определяет только $f_{2}^{2}$.
Положим $u_{i}=x_{i}+y_{i}$ и $v_{i}=x_{i}-y_{i}$. Тогда имеем
\[
\sum u_{i}^{2}=f_{1}+2 f_{2} \quad \text { и } \quad \sum v_{i}^{2}=f_{1}-2 f_{2} .
\]

Следовательно, если $f_{1}>\left|2 f_{2}\right|$, то орбита $\mathbf{O}_{f}$, пронумерованная функциями $f_{1}$ и $f_{2}$, диффеоморфна $S^{2} \times S^{2}$. Таким образом, мы определили орбиты общего положения. Если $f_{1}=\left|2 f_{2}\right|$, то орбита является двумерной сферой.

Рассмотрим только орбиты $\mathbf{O}_{f}$ общего положения (где $f=\left(f_{1}, f_{2}\right)$ и $f_{1}>\left|2 f_{2}\right|$ ), в частности, будем считать, что $f_{1}
eq 0$. Тогда две функции $H$ и $K$ являются первыми интегралами.
Предложение 3.1.1. Функции $Н$ и К находятся в инволюции.
Доказательство.
Для любой матрицы $A$ размера $n \times n$ обозначим через $(-1)^{k} \sigma_{k}$ коэффициенты $y^{n-k}$ в $\operatorname{det}(y \mathrm{Id}-A$ ). Таким образом, определены инвариантные функции $\sigma_{k}$ на алгебре Ли $\mathfrak{g} l(n, \mathbf{C})$ всех матриц. Поскольку $H=\operatorname{Res}\left(\sigma_{4}\left(M+\lambda^{2} J\right) \lambda^{-3} d \lambda\right) \quad$ и $\quad K=\operatorname{Res}\left(\sigma_{3}\left(M+\lambda^{2} J\right) \lambda^{-2} d \lambda\right)$

(проверяется непосредственно), то наши первые интегралы связаны с этим построением. Следовательно, они коммутируют согласно теоремам об инволюции, приведенным в Приложении 2.

Таким образом, система интегрируема. Выполняя, в случае необходимости, сдвиг $\mu \mapsto \mu-b_{0}^{2}$, мы можем предположить, что $b_{0}^{2}=0$. Тогда первые интегралы имеют достаточно простой вид:
\[
\begin{array}{l}
H(x, y)=\sum_{i=1}^{3} x_{i}^{2}+\frac{1}{2} \sum_{\{i, j, k\}=\{1,2,3\}}\left(b_{i}^{2}+b_{j}^{2}\right) y_{k}^{2}, \\
K(x, y)=\frac{1}{2} \sum_{\{i, j, k\}=\{1,2,3\}} b_{i}^{2} b_{j}^{2} y_{k}^{2} .
\end{array}
\]

Замечание. Четыре интеграла $f_{1}, f_{2}, H, K$ являются квадратичными функциями от элементов матрицы $M$, поэтому совместная поверхность уровня представляет собой пересечение квадрик. Эти алгебраические многообразия несут богатую структуру, аналогично примеру кривой $V$ меньшей размерности, приведенному в I. 3.2 и в $§ 2$. По этому аспекту имеется достаточно много работ, например, Адлера и ван Мербеке [3]. «Экзотическая» гамильтонова система на $\mathfrak{s o}(4)^{\star}$ с квадратичным гамильтонианом и дополнительным первым интегралом степени 4 была простроена Рейманом и Семеновым-Тян-Шанским (см. [76]) как побочный результат их работы с Бобенко [18] (см. III.3).
3.2. Спектральные кривые
Спектральная кривая $C$ в этом случае задается уравнением
\[
C: \quad \lambda^{4} \prod_{i=0}^{3}\left(b_{i}^{2}-\mu\right)+\lambda^{2}\left(\mu^{2} f_{1}-\mu H+K\right)+f_{2}^{2}=0 .
\]

Двулистное накрытие $p: C \rightarrow E$ над кривой $E$ :
\[
E: \quad z^{2} \prod_{i=0}^{3}\left(b_{i}^{2}-\mu\right)+z\left(\mu^{2} f_{1}-\mu H+K\right)+f_{2}^{2}=0
\]

Рис. 15. Вещественная часть $\mathcal{E}$
$\left(z=\lambda^{2}\right.$ ) получается факторизацией по инволюции $\lambda \mapsto-\lambda$.
Предположим, что $f_{2}
eq 0$. Род кривой $E$ равен 1 , поскольку $E$ является двулистным накрытием над $\mathbf{P}^{1}$, разветвленным в четырех корнях полинома
\[
\Delta(\mu)=\left(\mu^{2} f_{1}-\mu H+K\right)^{2}-4 f_{2}^{2} \prod_{i=0}^{4}\left(b_{i}^{2}-\mu\right) .
\]

Для простоты введем обозначения:
\[
\left.f_{1}^{2}-4 f_{2}^{2}=f_{1}^{2}\left(1-\alpha^{2}\right), \quad \text { где } \quad \alpha=\frac{\left|2 f_{2}\right|}{f_{1}} \in\right] 0,1[,
\]

а также $h=H / f_{1}, k=K / f_{1}$. Кроме того, обозначим
\[
w^{2}=\prod_{i=0}^{4}\left(b_{i}^{2}-\mu\right)
\]

так что $(\mu, w)$ – точка на кривой $\mathcal{E}$ рода 1 (рис. 15). Заметим, что мы имеем дело с двумя различными эллиптическими кривыми, которые играют здесь разные роли.
Имеем $\Delta(\mu)=f_{1}^{2} \delta(\mu)$, где
\[
\delta(\mu)=\left(\mu^{2}-\mu h+k\right)^{2}-\alpha^{2} w(\mu)^{2} .
\]

Накрытие $C \rightarrow E$ разветвляется в четырех точках $P_{i}:(z, \mu)=\left(\infty, b_{i}^{2}\right)$ кривой $E$. Так как по предположению эти точки различны, то кривая $C$ имеет род 3 и является гладкой тогда и только тогда, когда кривая $E$ гладкая, т. е. когда четыре корня полинома $\delta$ различны. Величина $\mu$ является двукратным корнем полинома $\delta$ тогда и только тогда, когда $\delta(\mu)=\delta^{\prime}(\mu)=0$, т. е. тогда и только тогда, когда
\[
\left\{\begin{array}{l}
h=2 \mu+\alpha w^{\prime}(\mu) \\
k=\mu^{2}-\alpha\left(w(\mu)-\mu w^{\prime}(\mu)\right) \\
\Gamma \text { де } w^{2}=\prod\left(b_{i}^{2}-\mu\right)
\end{array}\right.
\]

Эти уравнения задают параметризацию дискриминанта семейства кривых $E$, если считать $h$ и $k$ переменными.

Замечание. Даже если мы интересуемся только кривыми $E$ для вещественных значений $h$ и $k$ и даже если мы интересуемся только их вещественными точками, то мы обязаны учитывать некоторые невещественные значения параметра $\mu$, которые соответствуют двум сопряженным двукратным корням полинома $\delta$.
(Аффинная!) кривая $\mathcal{E}$ имеет три вещественные ветви (рис. 15), однако $w^{\prime}$ обращается в бесконечность, когда $w$ обращается в нуль $\left(\mu=b_{i}^{2}\right)$, поэтому нужно рассматривать эти три ветви как шесть полуветвей, которые дают шесть ветвей в (вещественном) дискриминанте. На рис. 16 показаны вещественные точки дискриминанта (см. также более детальный рис. 17) ${ }^{3}$.

Если $f_{2}=0$, то $C$ редуцируется к объединению двойной линии ( $\lambda^{2}=0$ ) и гиперэллиптической кривой
\[
X: \quad \lambda^{2}=f_{1} \frac{\mu^{2}-h \mu+k}{\prod\left(b_{i}^{2}-\mu\right)} .
\]

Эта кривая является двулистным накрытием над $\mathbf{P}^{1}$, разветвленным в точках $b_{i}^{2}$ и в дву корнях $\mu_{1}$ и $\mu_{2}$ числителя, поэтому $X$ имеет род 2 .

Дискриминант семейства кривых $X$, параметризуемых значениями $h$ и $k$, представляет собой объединение параболь $k=h^{2} / 4$ (числитель в уравнении кривой $X$ имеет двукратный корень) и четырех прямых $k=h b_{i}^{2}-b_{i}^{4}$ (числитель и знаменатель имеют общий корень), касательных к параболе.
${ }^{3}$ Напомним, что по предположению $b_{0}=0$.

Рис. 16. Вещественная часть дискриминанта

Замечание.
1) Эти четыре прямые уже встречались в качестве асимптот дискриминанта в общем случае $\left(f_{2}
eq 0\right.$ ).
2) В случае $f_{2}=0$ орбита $\mathbf{O}_{f}$ состоит из кососимметричных матриц ранга 2. Рассматриваемая система в этом случае является «системой Мозера» (см. [63]), как и, например, система, описывающая геодезические на эллипсоиде (см. работы Кноррера [52] и автора [13], [11]).
3.3. Регулярные уровни и образ отображения момента
Воспользуемся методом, изложенным в Приложении 3 (П.3.4) и примененным в II.2.3.4 и III.2.3.4, для доказательства следующего предложения.

Предложение 3.3.1. Если точка $(h, k)$ такова, что кривая $E$ рода 1 (соответственно, гиперэлиптическая кривая $X$ при $f_{2}=0$ ) гладкая, то эта точка является регуяяным значением отображения момента.

Доказательство.
Воспользуемся доказательством предложения 3.1.1 и видом отображения, касательного к отображению собственных векторов, который получен в Приложении 3. Поскольку собственное значение, соответствующее точке $(\lambda, \mu)$ кривой $X$, равно $\lambda \mu$, то подпространство пространства $H^{1}\left(\mathcal{O}_{C}\right)$, порожденное образами гамильтоновых векторных полей функций $H$ и $K$, порождается также коциклами ${ }^{4} \lambda \mu^{3}$ и $\lambda \mu^{2}$.

Отметим, что эти два коцикла антиинвариантны относительно инволюции $(\lambda, \mu) \mapsto(-\lambda, \mu)$. Мы воспользуемся этим замечанием в 3.4.

Проверим теперь, что их классы независимы. Для этого найдем их вычеты по отношению к некоторым голоморфным формам на $C$. На кривой $C$ равенство $\lambda=\infty$ имеет место в точности в четырех точках $P_{0}, P_{1}, P_{2}, P_{3}$. Другими словами,
\[
C-\mathcal{U}_{+}=\left\{P_{0}, P_{1}, P_{2}, P_{3}\right\} .
\]

Поэтому для любой голоморфной 1-формы $\alpha$ на $C$ соответствие $[f] \mapsto \sum \operatorname{Res}_{P_{i}}(f \alpha)$ определяет линейную форму на $H^{1}\left(\mathcal{O}_{C}\right)$.
Положим $t=1 / z$. Тогда уравнение кривой $E$ принимает вид
\[
t^{2}+2 t a(\mu)+b(\mu)=0,
\]

и становится очевидно, что
\[
\omega=\frac{d \mu}{t+a(\mu)}
\]
(соответственно, $\eta=p^{\star} \omega$ ) является голоморфной 1-формой на $E$ (соответственно, на $C$ ). Простой подсчет дивизоров показывает, что $\eta, \lambda \eta$ и $\lambda\left(b_{0}^{2}-\mu\right) \eta$ голоморфны и независимы на $C$.

Положим $u=1 / \lambda$ и вспомним, что по предположению $b_{0}=0$. Поэтому нам остается лишь проверить, что два вектора
\[
\left(\sum_{i=0}^{3} \operatorname{Res}_{P_{i}} \frac{\mu^{2} \eta}{u^{2}}, \sum_{i=0}^{3} \operatorname{Res}_{P_{i}} \frac{\mu^{3} \eta}{u^{2}}\right)
\]

и
\[
\left(\sum_{i=0}^{3} \operatorname{Res}_{P_{i}} \frac{\mu^{3} \eta}{u^{2}}, \sum_{i=0}^{3} \operatorname{Res}_{P_{i}} \frac{\mu^{4} \eta}{u^{2}}\right)
\]
${ }^{4}$ Как обычно в этом тексте мы имеем в виду коциклы накрытин $C=\mathcal{U}_{+} \cup \mathcal{U}_{-}$, см. Приложение 3 .

Рис. 17.

независимы как векторы в $\mathbf{C}^{2}$. Имеем
\[
\operatorname{Res}_{P_{i}} \frac{\mu^{j} \eta}{u^{2}}=\frac{4 b_{i}^{2}}{j}
\]
(непосредственное вычисление), так что наши два вектора равны
\[
4 \sum_{i=0}^{3} b_{i}^{2}\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{3}\right) \quad \text { и } \quad 4 \sum_{i=0}^{3} b_{i}^{2}\left(\frac{1}{3}, \frac{1}{4}\right),
\]

что и завершает доказательство предложения.
Таким образом, критические значения ( $h, k$ ) принадлежат описанному выше дискриминанту. Так как орбита $\mathbf{O}_{f}$ компактна, то образ отображения $\left(h, k\right.$ ) является компактным подмножеством в $\mathbf{R}^{2}$ и, следовательно, содержится в незаштрихованной части рис. 16 , возможные варианты которого в зависимости от значений параметра $\alpha$ показаны на рис. 17. Для построения рис. 16,17 и 18 мы использовали программу «Maple». Незаштрихованная часть рис. 17 также содержится в кратком обзоре Ошемкова [68] и его работе в книге Фоменко [32].

Мы оставляем заинтересованному читателю проверку того, что образ отображения момента действительно совпадает с незаштрихованной частью рис. 17 и что все точки дискриминанта, которые принадлежат этой области, действительно являются критическими точками. Для этого мы предлагаем рассмогреть точки $x_{i}=y_{i}=0, x_{j}=y_{j}=0$ $(\{i, j\} \subset\{1,2,3\})$ в $\mathbf{O}_{f}$.

3.4. Топология: другой подход

Как заметил Хайне, отображение собственных векторов является четырехлистным накрытием над своим образом.
Предложение 3.4.1 (Хайне [39]). Если $f_{2}
eq 0$, а кривая $C$ гладкая, то отображение собственных векторов
\[
\varphi_{C}: \mathcal{T}_{h, k}^{\mathbf{C}} \longrightarrow \operatorname{Pic}^{6}(C)
\]

является накрытием над своим образом со слоем $\mathbf{Z} / 2 \times \mathbf{Z} / 2$. Этот образ изоморфен открытому подмножеству многообразия $\operatorname{Prym}(C \mid E)$.

Замечание. Степень может быть вычислена с помощью теоремы Римана-Роха, как в Приложении 3 и III.2.3.

После доказательства предложения 3.1.1 становится очевидно, что $\varphi_{C}$ является накрывающим отображением. Его образ – подмногообразие, параллельное $\operatorname{Prym}(C \mid E)$, поскольку мы заметили, что коциклы антиинвариантны. Матрицы $M=(x, y)$, такие что все соответствующие $M+J^{2} \lambda$ принадлежат одному и тому же классу сопряженности по модулю $G L(4 ; \mathbf{C}$ ) (и лежат на одной и той же орбите группы $S O(4)$ ), задаются в виде
\[
\left(\left(\begin{array}{c}
\varepsilon x_{1} \\
\eta x_{2} \\
\varepsilon \eta x_{3}
\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}
\varepsilon y_{1} \\
\eta y_{2} \\
\varepsilon \eta y_{3}
\end{array}\right)\right), \text { где } \varepsilon^{2}=\eta^{2}=1 .
\]

Основным результатом работы Хайне [39] является то, что $\mathcal{T}_{h, k}^{\mathbf{C}}$ можно добавить с помощью кривой до абелевой поверхности $A$, двойственной к $\operatorname{Prym}(C \mid E)$.
Замечание. Можно представлять себе продолжение $A \rightarrow \operatorname{Prym}(C \mid E)$ отображения собственных векторов как отображение из $A$ в сопряженное пространство, полученное при помощи поляризации. Оба абелева многообразия имеют поляризацию типа $(1,2)$, и поэтому ядро совпадает с группой $\mathbf{Z} / 2 \times \mathbf{Z} / 2$.
Хайне также показал, что $A$ само является многообразием Прима

Рис. 18.

накрытия над кривой рода 1 (а именно, кривой $\mathcal{E}$ !) при помощи следующей кривой рода 3 :
\[
D:\left\{\begin{aligned}
w^{2} & =\prod\left(b_{i}^{2}-\mu\right), \\
v^{2} & =-\alpha w-\mu^{2}+h \mu-k
\end{aligned}\right.
\]
(в обозначениях 3.2). Эта двойственность объясняется в Приложении 5.
Вся необходимая топологическая информация может быть получена из этого результата. В самом деле, вещественные структуры кривых $D$ и $\mathcal{E}$ достаточно просты, как показывают их уравнения.

На рис. 18 в зависимости от значений $h$ и $k$ показаны взаимные расположения параболы $\alpha w+\mu^{2}-h \mu+k=0$ и кривой $\mathcal{E}_{\mathbf{R}}$. Дискриминант (рис. 16) соответствует тем значениям $h$ и $k$, для которых эти кривые касаются между собой (еще одно упражнение для читателя). Оба значения $(\mu, w)$, которые дают две точки кривой $D$, принадлежат $\mathcal{E}_{\mathbf{R}}$ и лежат внутри параболы. Таким образом, $D_{\mathbf{R}}$ имеет одну компоненту (над частью одной из компонент кривой $\mathcal{E}_{\mathbf{R}}$ ) в области, обозначенной через $a$, две компоненты (над одной и той же компонентой $\mathcal{E}_{\mathbf{R}}$ ) в области $b$ и две компоненты над одной компонентой кривой $\mathcal{E}_{\mathbf{R}}$ в области $c$. Теперь структуру многообразия $\operatorname{Prym}(D \mid \mathcal{E})_{\mathbf{R}}$ можно получить так же, как и в случае волчка Ковалевской (Глава III и работа Оден и Силола [15]), а также описать торы Лиувилля и их бифуркации. Мы не сомневаемся, что получаются результаты, анонсированные Ошемковым [68].