1.1. Уравнения Эйлера

Рассмотрим систему (E) из I. 1 в отсутствии силы тяжести, а именно $\dot{M}=[M, \Omega]$, где $M$ и $\Omega$ – две кососимметричные матрицы размеpa $3 \times 3$, удовлетворяющие как векторы пространства $\mathbf{R}^{3}$ соотношению $M=\mathbf{J} \Omega$.

Может появиться соблазн заменить $\mathfrak{s o}(3)$ на $\mathfrak{s o}(n)$. Такая замена возможна, если равенство $M=\mathbf{J} \Omega$ переписать в терминах матриц размера $3 \times 3$, а затем обобщить его на случай матриц размера $n \times n$. Это легко сделать, введя диагональную матрицу $J$, такую что $M=\mathbf{J} \Omega$ эквивалентно $M=\Omega J+J \Omega$ : если $\mathbf{J}$ является диагональной матрицей с элементами $a_{i}\left(\lambda_{i}=1 / a_{i}\right)$, то $J$ – диагональная матрица с элементами $b_{i}$, где
\[
\left\{\begin{array}{l}
a_{1}=b_{3}+b_{2}, \\
a_{2}=b_{1}+b_{3}, \\
a_{3}=b_{2}+b_{1} .
\end{array}\right.
\]

Общая система на $\mathfrak{s} o(n)$
\[
\left\{\begin{array}{l}
\dot{M}=[M, \Omega], \\
M=\Omega J+J \Omega
\end{array}\right.
\]

называется системой уравнений Эйлера-Арнольда.
1.2. Уравнения Манакова

Заметим, что уравнение $\dot{M}=[M, \Omega]$ является уравнением Лакса. Однако, как мы видели в Главе I, решения в случае $n=3$ суть эллиптические функции, так что форма Лакса без спектрального параметра не может быть использована для решения уравнений.

Поскольку $[\Omega J+J \Omega, J]=\Omega J^{2}-J^{2} \Omega$, то получаем $\left[M+J^{2} \lambda, \Omega+J \lambda\right]=$ $=[M, \Omega]$. Следовательно, уравнения Эйлера-Арнольда эквивалентны уравнению Манакова [60]
\[
\frac{d}{d t}\left(M+J^{2} \lambda\right)=\left[M+J^{2} \lambda, \Omega+J \lambda\right],
\]
т. е. уравнению Лакса со спектральным параметром.

Хотя это уравнение Лакса было известно еще тринадцать лет назад, оно, как оказалось, принадлежит семейству, описанному ${ }^{1}$ в работе [18] (см. III.3), и, кажется, сыграло в теории определенную роль.