Вполне интегрируемая система представляет собой гамильтонову систему, которая допускает максимально возможное число первых интегралов. Обычно принято вводить понятие интегрируемой гамильтоновой системы на симплектическом многообразии, однако оказывается, что почти все естественные примеры возникают на пуассоновых многообразиях (подробное изложение этого вопроса можно найти в работе Ванеке [83]). Мы напомним здесь лишь некоторые основные определения и результаты и ограничимся ссылками и указаниями на некоторые понятия и доказательства.

1.1. Пуассоновы структуры и гамильтоновы системы

Пуассоново многообразие есть гладкое многообразие $W$, на котором задано кольцо функций ${\mathcal{C}}^{\mathrm{\infty }}(W)$, снабженное структурой алгебры Ли со свойствами дифференцирования по каждому аргументу. Это означает, что скобка $\{$,$\}должнабытькососимметричнойиудовлетво-$ рять тождеству Якоби
$$\{f,\{g,h\}\}+\{g,\{f,h\}\}+\{h,\{f,g\}\}=0,$$

а также правилу Лейбница
$$\{f,gh\}=\{f,g\}h+g\{f,h\}.$$

Скобка $\{$,$\}называетсяскобкойПуассона.ПосколькулюбаяфункцияH$ на $W$ определяет дифференцирование $\{H,\cdot \}$, то она задает векторное поле $X_H$, называемое гамильтоновым векторным полем, по правилу
$$X_H\cdot f=\{H,f\}=df\left(X_H\right).$$

Например, в случае вращаюшихся волчков многообразие $W$ представляет собой векторное пространство ${\mathbf{R}}^3\times {\mathbf{R}}^3$, которое мы будем рассматривать как «коалгебру Ли группы движений трехмерного евклидова пространства». На этом пространстве возникает естественная пуассонова структура (см. Приложение 1). Отметим, что в качестве пуассоновых многообразий часто выступают коалгебры Ли.

Функция $H$ (гамильтониан) задает векторное поле $X_H$ (гамильтоново векторное поле), которое, в свою очередь, определяет дифференциальное уравнение, гамильтонову систему, ассоциированную с $H$.

В силу кососимметричности, $\{H,H\}=0$, поэтому $dH\left(X_H\right)=0$ и $H$ постоянна вдоль траекторий $X_H$. Иными словами, решения гамильтоновой системы лежат на поверхностях уровня $H$. В «гамильтоновой» механике $H$ обычно является полной энергией системы и не изменяется в процессе движения.

Любая функция $f$, которая обладает этим свойством (сохраняет постоянное значение вдоль траекторий), т.е. $df\left(X_H\right)=0$ (или $\{H,f\}=0$ ), называется первым интегралом. Заметим, что гамильтонова система всегда имеет по крайней мере один первый интеграл!

Если $f\in {\mathcal{C}}^{\mathrm{\infty }}(W)$ такова, что $\{f,g\}=0$ для любой функции $g$ на $W$, то она является первым интегралом для любой гамильтоновой системы на $W$. Такие функции называются функциями Казимира, или «тривиальными» первыми интегралами в физической терминологии.

1.2. Вполне интегрируемые системы на симплектических многообразиях

Важный подкласс пуассоновых многообразий образуют симплектические многообразия. Симплектическое многообразие — это многообразие $V$, снабженное невырожденной 2-формой $\omega$. Поскольку форма $\omega$ невырождена, то она позволяет сопоставить любой функции $H$ векторное поле $X_H$ по правилу
$$\omega (X_H,\cdot )=dH(\cdot ).$$

Таким образом, можно определить скобку на ${\mathcal{C}}^{\mathrm{\infty }}(V)$ :
$$\{f,g\}=\omega (X_g,X_f)=dg\left(X_f\right),$$

которая, очевидно, является кососимметричной и удовлетворяет правилу Лейбница. В качестве простого и полезного упражнения читателю предлагается проверить, что эта скобка удовлетворяет тождеству Якоби тогда и только тогда, когда форма $\omega$ замкнута. По этой причине симплектическим многообразием называют многообразие, снабженное невырожденной замкнутой 2-формой.

В силу невырожденности, размерность многобразия должна быть четной. Это доказывает, что пуассоновых многобразий намного больше, чем симплектических (например, существует каноническая нетривиальная пуассонова структура на ${\mathbf{R}}^3$; см. примеры в Приложении 1 ). В то же время симплектические многообразия являются пуассоновыми, а функции на них задают гамильтоновы системы ${}^3$.

Определение. Гамильтонова система на $2n$-мерном симплектическом многообразии называется вполне интегрируемой (или просто интегрируемой), если она обладает $n$ функционально независимыми первыми интегралами $H_1,\dots ,H_n$, которые попарно коммутируют (т. e. $\{H_i,H_j\}=0$ ).

Замечание. Будем писать $X_i=X_{H_i}$.
— «Функциональная независимость» означает, что существует открытое всюду плотное подмножество $U$ многообразия $V$ такое, что в любой точке $x\in U$ дифференциалы $d{H}_i(x)$ (или, что тоже самое, векторы $X_i(x)$ ) независимы.
— Поскольку $H_i$ и $H_j$ коммутируют, то $\omega (X_i,X_j)=0$. Следовательно, в точке общего положения $x\in V$ векторные поля $X_i$ порождают $n$-мерное изотропное подпространство в касательном пространстве $T_{x}V$. Так как $\dim V=2n$, то $n$ является максимально возможной размерностью изотропных подпространств. Таким образом, $n$ также является максимально возможным числом (независимых) первых интегралов. В частности, гамильтониан системы принадлежит алгебре, порожденной функциями $H_i$.
— В качестве классического упражнения (см. любой учебник по симплектической геометрии, например, Либерманна и Марле [59]) читателю предлагается показать, что $[X_f,X_g]=\pm X_{\{f,g\}}$. В частности, векторные поля $X_i$ коммутируют.
${}^3\mathrm{Ha}$ симплектическом многообразии ${\mathbf{R}}^{2n}$ с координатами $(p_1,\dots ,p_n,q_1,\dots ,q_n)$ и симплектической формой $\sum d{p}_i\wedge d{q}_i$ гамильтонова система, ассоциированная с $H$, принимает вид известных «гамильтоновых уравнений». Тем самым терминология, которая здесь используется, оправдана.

— Любая функция из алгебры, порожденной $H_1,\dots ,H_n$, задает гамильтонову систему, которая имеет $H_1,\dots ,H_n$ в качестве первых интегралов и, следовательно, является вполне интегрируемой. С этой точки зрения не имеет смысла требовать, чтобы именно функция $H_1$ была гамильтонианом данной системы. Фактически изначально определена алгебра, порожденная функциями $H_i$, однако удобно использовать базис $H_1,\dots ,H_n$ в этой алгебре. Как только выбран базис, мы можем рассматривать его как отображение момента
$$H=(H_1,\dots :H_n):W⟶{\mathbf{R}}^n,$$

поскольку оно является отображением момента для локального ${\mathbf{R}}^n$-действия, заданного потоками функций $H_i$.

1.3. Несколько слов об интегрируемых системах на пуассоновых многообразиях

Пуассоново многообразие расслаивается на подмногообразия, на которых скобка Пуассона задает пуассонову структуру (следует отметить, что, вообще говоря, скобка Пуассона на произвольном подмногообразии ничего не определяет), ассоциированную с симплектической формой. Эти подмногообразия принято называть симплектическими листами. Мы не будем останавливаться на деталях формулировки и доказательства ${}^4$ этого результата.

В простейшем случае симплектическое слоение описывается функциями Казимира. Это типичная ситуация, в частности, в примерах, которые мы будем рассматривать. Более точно, в этом случае листы общего положения являются связными компонентами регулярных совместных поверхностей уровня функций Казимира. Если максимальная размерность ${}^5$ симплектических листов равна $2n$, а размерность пуассонова многообразия равна $2n+m$, то максимальное количество независимых коммутирующих первых интегралов равно $m+n$ ( $m$ «тривиальных», $n$ «нетривиальных»). Более того, так как функции Казимира
${}^4$ Заинтересованному читателю рекомендуем обратиться, например, к книге Либерманна и Марле [59].
${}^5$ Слоение, вообще говоря, может иметь особенности.

коммутируют со всеми остальными, то в этом случае нетривиальные интегралы задают коммутирующие потоки на симплектических листах. В дальнейшем мы будем иметь дело с расслоением коалгебр Ли на орбиты коприсоединенного действия (см. Приложение 1).

В любом случае мы можем ограничиться лишь симплектическими листами, так что приведенного выше «симплектического» определения нам будет вполне достаточно.

Замечание. Иногда для построения интегрируемых систем бывает полезно рассматривать общие пуассоновы структуры и даже несколько пуассоновых структур на одном многообразии (см., например, AКСтеорему в Приложении 2).

1.4. Список примеров

Конечномерные интегрируемые системы включают следующие ${}^6$ примеры: системы Калоджеро-Мозера, системы Калоджеро-Сазерленда, системы Калоджеро, случай Клебша движения твердого тела в идеальной жидкости, $n$-мерное твердое тело, случай Эйлера-Арнольда движения твердого тела, уравнения Эйлера, волчок Эйлера-Пуансо, экзотический $SO(4)$-волчок, движение свободной частицы по поверхности эллипсоида, свободное твердое тело, система Гарнье, система Гаудина, геодезичекий поток на торе, геодезические на эллипсоиде, геодезические на поверхности вращения, геодезические на квадриках, геодезические на $SO(3)$, функции Гольдмана, волчок Горячева-Чаплыгина, гармонический осциллятор, система Хенона-Хейлеса, потенциал Хольта, система Джеффри-Вейцмана, задача Кеплера, случай Кирхгоффа движения твердого тела в идеальной жидкости, потенциал Колосова, случай Ковалевской движения твердого тела, гироскоп Ковалевской, волчок Ковалевской, волчок Лагранжа, математический маятник, системы Мозера, движение частицы в центральном поле, движение частицы в потенциальном поле, движение частицы по сфере с квадратичным потенциалом, задача Неймана, неабелевы цепочки Тода, непериодическая цепочка Тода, не вполне симметричные гироскопы, маятник,

${}^6$ В частности, для составления списка были использованы обзор Реймана и Семенова-Тян-Шанского [77], книга Переломова [70], статья де Динтевилля [25] и лекции автора [14]. Этот список, конечно же, не является исчерпывающим.

периодическая цепочка Тода, система Руйсенара, сферический маятник, $SO(n)$-волчок, случай Стеклова движения твердого тела в идеальной жидкости, симметричный волчок, цепочка Тода, задача двух тел, двумерный ангармонический осциллятор, двумерный осциллятор.