На некоторое время забудем об интегрируемых системах. Данный метод применяется к уравнениям Лакса, т. е. к дифференциальным уравнениям вида
\[
\frac{d}{d t} A=[A, B],
\]

где $A$ и $B$ – вещественные или комплексные матрицы, которые зависят от времени. Скобка является обычной скобкой Ли матриц, так что это уравнение на инфинитезимальном уровне выражает тот факт, что матрица $A$ принадлежит одному и тому же классу сопряженности для всех $t$, другими словами, что решения имеют вид
\[
A(t)=U(t) A(0) U(t)^{-1}
\]

для некоторой (неизвестной!) обратимой матрицы $U(t)$.
Замечание. Заметим, что, вообще говоря, неизвестные функции, каковыми являются элементы матрицы $A$, также возникают в матрице $B$. Другими словами, $B$ является функцией $A$ : несмотря на запись, это дифференциальное уравнение нелинейно.

Метод, который мы излагаем, в действительности применяется к уравнениям Лакса, в которых элементы матриц $A$ и $B$ принадлежат кольцу вещественных или комплексных полиномов Лорана по некоторой переменной $\lambda$, называемой спектральным параметром. Мы предпочитаем включать зависимость от параметра $\lambda$ в обозначения, так что вместо $A$ и $B$ будем писать $A_{\lambda}$ и $B_{\lambda}$, а уравнение примет вид
\[
\frac{d}{d t} A_{\lambda}=\left[A_{\lambda}, B_{\lambda}\right]
\]

где, как и раньше, $\left[A_{\lambda}, B_{\lambda}\right]=A_{\lambda} B_{\lambda}-B_{\lambda} A_{\lambda}$.
Например, дифференциальное уравнение
\[
\frac{d}{d t}\left(\begin{array}{ccc}
b_{1} & 1 & x_{3} \lambda \\
x_{1} & b_{2} & 1 \\
\lambda^{-1} & x_{2} & b_{3}
\end{array}\right)=\left[\left(\begin{array}{ccc}
b_{1} & 1 & x_{3} \lambda \\
x_{1} & b_{2} & 1 \\
\lambda^{-1} & x_{2} & b_{3}
\end{array}\right),\left(\begin{array}{ccc}
0 & 0 & x_{3} \lambda \\
x_{1} & 0 & 0 \\
0 & x_{2} & 0
\end{array}\right)\right]
\]

является системой двадцати семи уравнений (количество коэффициентов при $\lambda^{-1}, 1, \lambda$ в каждом элементе) относительно шести неизвестных функций. Это уравнение эквивалентно следующей системе:
\[
\left\{\begin{array} { l }
{ \dot { x _ { 1 } } = x _ { 1 } ( b _ { 2 } – b _ { 1 } ) , } \\
{ \dot { x _ { 2 } } = x _ { 2 } ( b _ { 3 } – b _ { 2 } ) , } \\
{ \dot { x _ { 3 } } = x _ { 3 } ( b _ { 1 } – b _ { 3 } ) , }
\end{array} \quad \left\{\begin{array}{l}
\dot{b_{1}}=x_{1}-x_{3}, \\
\dot{b_{2}}=x_{2}-x_{1}, \\
\dot{b_{3}}=x_{3}-x_{2} .
\end{array}\right.\right.
\]

3.1. Алгебро-геометрический подход

У неискушенного читателя может возникнуть вопрос, зачем все так усложнять (например, вводя спектральный параметр) и как привести дифференциальное уравнение к такому виду. Здесь мы не будем обсуждать последний вопрос, однако попытаемся объяснить, что нам дает представление Лакса и спектральный параметр.

Большое количество первых интегралов. Любое уравнение Лакса a priori имеет много первых интегралов: поскольку матрица $A$ остается в том же классе сопряженности, то ее собственные значения являются «постоянными движения». Другими словами, коэффициенты характеристического полинома матрицы $A$ являются первыми интегралами.

Кривая. Если в матрице $A$ присутствует спектральный параметр, то характеристический полином является полиномом от двух переменных:
\[
P(\lambda, \mu)=\operatorname{det}\left(A_{\lambda}-\mu \mathrm{Id}\right) .
\]

Полином от двух переменных как раз и задает алгебраическую кривую. Комплексная кривая $C$, которая определяется уравнением
\[
P(\lambda, \mu)=0,
\]

называется спектральной кривой: она описывает собственные значения, спектр матриц $A_{\lambda}$. Коэффициенты в уравнении кривой $C$ являются первыми интегралами. Поэтому в действительности мы имеем много спектральных кривых: свою для каждого набора значений первых интегралов (другими словами, уравнение $P(\lambda, \mu)=0$ описывает семейство кривых). Можно (даже следует) пронумеровать каждую кривую набором значений первых интегралов, которому она соответствует. Поскольку спектральная кривая соответствует совместной поверхности уровня первых интегралов, то можно также нумеровать поверхности уровня кривыми: будем иногда использовать обозначение $\mathcal{T}_{C}$ для поверхности уровня (в пространстве матриц), которая соответствует кривой $C$.

Центральная фигура. Зафиксируем кривую $C$ из этого семейства и предположим, что для некоторого значения спектрального параметра $\lambda$ матрица $A_{\lambda}$ имеет простой спектр. Для любого собственного значения $\mu$ матрицы $A_{\lambda}$ (т. е. для любого $\mu$, такого что $(\lambda, \mu) \in C$ ) мы имеем прямую в пространстве $\mathbf{C}^{N}$, на которой действует наша матрица: одномерное подпространство $A_{\lambda}$, отвечающее значению $\mu$. Пусть теперь $\lambda$ меняется. Собирая вместе все эти прямые, мы получаем комплексный пучок на кривой $C$, расслоение собственных векторов. Слой этого расслоения в точке $(\lambda, \mu)$ представляет собой собственное подпространство ${ }^{9}$ матрицы $A_{\lambda}$, которое отвечает $\mu$.
${ }^{9}$ Всегда существуют значения параметра $\lambda$, для которых спектр $A_{\lambda}$ не является простым. Однако пучок комплексных прямых определен корректно, по крайней мере в том случае, когда кривая $C$ гладкая (см. Приложение 3 ).

Если теперь $A_{\lambda}$ меняется в пределах совместной поверхности уровня $\mathcal{T}_{C}$, то мы можем рассмотреть все эти расслоения вместе с отображением
\[
\varphi=\varphi_{C}: \mathcal{T}_{C} \longrightarrow \operatorname{Pic}(C)
\]

со значениями в группе Пикара пучков (алгебраических) комплексных прямых над $C$ (см. Приложение 4). Это отображение, отображение собственных векторов, будет одновременно и главным инструментом, и центральной фигурой в тексте.

Замечание. Напомним, что любая компонента многообразия Пикара является комплексным тором, который имеет свою собственную (каноническую) аффинную структуру. При этом линеаризация потоков на многообразии $\operatorname{Pic}(C)$ дает переменные угол. Более точно, если $t \mapsto A_{\lambda}(t)$ является решением уравнения Лакса, то можно рассмотреть образы этих кривых $t \mapsto \varphi\left(A_{\lambda}(t)\right)$. Утверждение, что они являются прямыми с линейной параметризацией, уже не тавтологично, поскольку аффинная структура здесь определена без участия искомого векторного поля.

Следует подчеркнуть, что первые интегралы, кривая и отображение собственных векторов не зависят от матрицы $B_{\lambda}$. Это и неудивительно: в случае интегрируемой системы $\left(H_{1}, \ldots, H_{n}\right)$ разным функциям из алгебры, порожденной $\left(H_{1}, \ldots, H_{n}\right)$, соответствуют различные $B_{\lambda}$. Наши алгебраические данные описывают поверхности уровня в целом, а не частные потоки на них.

3.2. Случай интегрируемой системы

Все вышеизложенное можно с успехом применить к любому уравнению Лакса, однако нас больше всего интересуют интегрируемые системы. Несмотря на то, что уравнения Лакса всегда имеют много первых интегралов, эти интегралы не обязаны коммутировать (мы даже не имеем пуассоновой структуры, чтобы придать этому смысл) и, конечно, количество первых интегралов может быть все-таки недостаточным. На самом деле имеется аппарат для построения уравнений Лакса, которые являются интегрируемыми системами: это так называемая теорема Адлера-Костанта-Симса (см. Приложение 2). Здесь мы
будем предполагать, что рассматриваемое уравнение Лакса является интегрируемой системой. Для простоты мы также будем считать, что потоки полны. В этом случае поверхность уровня $\mathcal{T}_{C}$ есть однородное ${ }^{10}$ пространство по отношению к действию некоторого $\mathbf{R}^{n}$; эта поверхность, кроме того, описывается полиномиальными уравнениями. Комплексифицированная поверхность уровня $\mathcal{T}_{C}^{\mathrm{C}}$ (комплексное решение тех же полиномиальных уравнений) нвляется открытым подмножеством комплексного тора.

Немного помечтаем. Быть может, отображение собственных векторов $\varphi_{C}$ поможет ответить на все вопросы, которые возникли в 2.2 . Если бы система дифференциальных уравнений была вещественной, то отображение $\varphi_{C}$ сохраняло бы все вещественные структуры и отображало бы $\mathcal{T}_{C}$ (вещественную часть $\mathcal{T}_{C}^{\mathbf{C}}$ ) в вещественную часть $\operatorname{Pic}(C)$, которая достаточно просто описывается.

Спустимся на землю. Отображение собственных векторов $\varphi_{C}$ почти никогда не является изоморфизмом.
1) Могут не совпадать размерности. Во-первых, многообразия $\mathcal{T}_{C}^{\mathrm{C}}$ и $\operatorname{Pic}(C)$ не обязаны иметь одинаковую размерность. В случае твердого тела $\operatorname{dim} \mathcal{T}_{C}=2$, а многообразие Пикара имеет размерность 1 для симметричного волчка Лагранжа и размерность 5 для волчка Ковалевской. Заметим, что если дана интегрируемая система, то $\operatorname{dim} \mathcal{T}_{C}$ известна с самого начала: она равна половине размерности симплектического (фазового) многообразия, что называется в физике числом степеней свободы. Напротив, $\operatorname{dim} \operatorname{Pic}(C)$ – это род спектральной кривой (см. Приложение 4). Эта размерность связана со степенью элементов матриц $A_{\lambda}$ по $\lambda$, а также с размером $N$ матриц: она зависит от лаксовой формы, которую мы используем. Однако может случиться, что размерности совпадают, как, например, в случае геодезических на эллипсоиде, в задаче Неймана ${ }^{11}$ и периодической цепочке Тода, а также для «трехмерного свободного твердого тела», системы с од-

${ }^{10}$ Неявно предполагается, что матрицы $A_{\lambda}$ и $B_{\lambda}$ – вещественны, хотя они и действуют на комплексном векторном пространстве $\mathbf{C}^{N}$.
${ }^{11}$ См. работы Мозера [63], Кноррера [52] и автора $[11,13]$.

ной степенью свободы, с рассмотрения которой мы начинаем эту книгу.
2) Проблема компактности. Отображение $\varphi_{C}$ не может быть комплексным изоморфизмом, просто потому, что $\mathcal{T}_{C}^{\mathbf{C}}$ задается полиномиальными уравнениями в линейном пространстве и является аффинным алгебраическим многообразием, в то время как компоненты $\operatorname{Pic}(C)$ суть (компактные) торы. Даже если размерности совпадают, то отображение $\varphi_{C}$ в лучшем случае отображает $\mathcal{T}_{C}^{\mathbf{C}}$ на открытое подмножество $\operatorname{Pic}(C)$.
3) Вещественная часть. Предположим, что один из первых интегралов собственный, так что вещественная поверхность уровня $\mathcal{T}_{C}$ компактна. В общем случае, вещественная часть $\operatorname{Pic}(C)$ пересекает указанные выше гиперповерхности, поэтому даже ограничение $\varphi_{C}$ на вещественную часть не может быть изоморфно своему образу.
Довольно часто встречается ситуация, когда $\operatorname{dim} \mathcal{T}_{C} \leqslant \operatorname{dim} \operatorname{Pic}(C)$, а $\varphi_{C}$ является конечнолистным накрытием открытого подмножества абелева подмногообразия $\operatorname{Pic}(C)$. В случае двух степеней свободы, как правило, мы имеем спектральную кривую рода 3 , снабженную инволюцией $\tau$ с четырьмя неподвижными точками. При этом из некоторых соображений известно, что $\varphi_{C}$ принимает значения в «антинеподвижных» точках инволюции $\tau$, которые образуют абелево многообразие $\operatorname{Prym}(\tau)$ (см. Приложение 5).

3.3. Что, однако, можно сделать

Регулярные поверхности уровня и линеаризация. На вопросы 1 и 5 , которые были сформулированы в 2.2 , в этих рамках существуют естественные ответы. Можно исследовать в наибольшей общности (т. е. для уравнения Лакса без каких-либо дополнительных предположений об интегрируемости) вопрос о линеаризации потока отображением $\varphi_{C}$. Почти во всех случаях, которые мы будем рассматривать, матрица $B_{\lambda}$, возникающая в уравнении Лакса, имеет специальный вид, так что отображение собственных векторов автоматически линеаризует решения уравнения Лакса (см. работы Гриффитса [36] и Реймана [74], а также Приложение 3). Эти теоремы о линеаризации являются простыми следствиями введения касательного отображения к отображению $\varphi_{C}$. С помощью касательного отображения часто удается доказать утверждение типа «если $C$ гладкая, то соответствующая поверхность уровня регулярна». Заметим, что ничто не мешает спектральной кривой быть особой для всех значений первых интегралов (естественный пример будет приведен в III.3.2).

Торы Лиувилля и их перестройки. Предположим, что один из первых интегралов является собственным (это верно для полной энергии в случае волчков), поэтому поверхности уровня компактны, а потоки полны. Обсудим вопросы 3 и 4 из 2.2. Тот факт, что $\varphi_{C}$ накрывает свой образ, не позволяет использовать его непосредственно для нумерации торов Лиувилля. Тем не менее, часто его можно модифицировать, чтобы отождествить поверхности уровня с вещественными частями абелева многообразия. Однако в некоторых ситуациях мы должны искать другой подход. Как отмечалось, вещественную часть якобиана легко исследовать, если хорошо изучена вещественная структура самой кривой (см. Приложение 4). Несколько более сложным, но все же доступным является случай многообразия Прима.

Меняя значения первых интегралов, мы получаем семейство абелевых многообразий, которое можно использовать для изучения критических уровней и бифуркаций торов Лиувилля.

Некомпактность. Для уравнения Лакса общего вида поверхности $\mathcal{T}_{C}$ являются совместными поверхностями уровня семейства полиномов, заданных в линейном пространстве, поэтому, как отмечалось, комплексифицированные поверхности уровня не являются компактными. В общем случае, образ отображения собственных векторов в (комплексном, компактном) якобиане достаточно хорошо изучен: как правило, дополнение соответствует $\Theta$-дивизору данной кривой (см. Приложение 4). Утверждение, что (вещественные) поверхности уровня некомпактны, равносильно утверждению, что их образы пересекают «дивизор на бесконечности»: таким образом, в этом случае мы получаем метод описания топологии (см. Главу V).

3.4. Другой подход

Существует другой подход, который является двойственным к рассмотренному ранее. Можно непосредственно рассмотреть (комплексную) поверхность уровня как аффинное алгебраическое многообразие, добавляя дивизор на бесконечности и доказывая, что пополненное многообразие является абелевым, на котором гамильтоново векторное поле может быть доопределено до постоянного (т. е. линейного) векторного поля. В общих словах, метод определения дивизора на бесконечности заключается в построении всех рядов Лорана (по времени), которые являются формальными решениями системы после подстановки; тогда дивизор представляет собой геометрическое место полюсов. Этот метод основывается на алгебраических вычислениях, которые достаточно утомительны. Кроме того, при определении этих точек на бесконечности используется специальное векторное поле для описания совместной поверхности уровня некоторых функций, что достаточно громоздко. Положительной стороной этого метода является то, что он описывает поверхность уровня непосредственно на абелевом многообразии и позволяет избежать трудности, связанные с накрытиями (этому предмету посвящены, например, работы Хайне [39], Адлера и ван Мербеке $[5,6]$ и Ванеке [82]).

3.5. Когда спектральный параметр отсутствует

Все указанные построения существенно используют спектральный параметр $\lambda$ : он отвечает за существование спектральной кривой и, следовательно, за весь алгебро-геометрический аппарат. Имеются естественные интегрируемые системы, лаксова форма которых не имеет спектрального параметра. Можно назвать, по крайней мере, две возможные причины этого:
– либо а priori известно, что не существует кривых, например, по причине того, что решения экспоненциальны (и не являются абелевыми функциями); как показано в работе Флашка и Хайне [30], эта ситуация возникает в непериодических цепочках Тода (см. также лекции Флашка [29]),
– либо представление Лакса не может быть использовано для решения системы и/или изучения топологии. Этот случай имеет место, например, для уравнений Эйлера (см. Главу IV) и пары Лакса для волчка Ковалевской, построенной Переломовым [69].