1.1. Периодическая цепочка Тода

Периодическая цепочка Тода представляет собой дифференциальную систему, которая описывается уравнением Лакса
\[
\dot{A_{\lambda}}=\left[A_{\lambda}, B_{\lambda}\right],
\]

где
\[
A_{\lambda}=\left(\begin{array}{cccccc}
b_{1} & a_{1} & 0 & & & a_{n+1} \lambda^{-1} \\
a_{1} & b_{2} & a_{2} & & & \\
0 & a_{2} & \ddots & \ddots & & \\
& & \ddots & \ddots & \ddots & 0 \\
& & & \ddots & \ddots & a_{n} \\
a_{n+1} \lambda & & & 0 & a_{n} & b_{n+1}
\end{array}\right),
\]

\[
B_{\lambda}=\left(\begin{array}{cccccc}
0 & a_{1} & 0 & & & -a_{n+1} \lambda^{-1} \\
-a_{1} & 0 & a_{2} & & & \\
0 & -a_{2} & \ddots & \ddots & & \\
& & \ddots & \ddots & \ddots & 0 \\
& & & \ddots & \ddots & a_{n} \\
a_{n+1} \lambda & & & 0 & -a_{n} & 0
\end{array}\right) \text {, }
\]
т. e.
\[
\left\{\begin{array}{ll}
\dot{a_{k}}=a_{k}\left(b_{k}-b_{k+1}\right) & \left(b_{n+2}=b_{1}\right), \\
\dot{b_{k}}=2\left(a_{k-1}^{2}-a_{k}^{2}\right) & \left(a_{0}=a_{n+1}\right) .
\end{array}\right.
\]

Заметим, что $\sum \dot{a_{k}} / a_{k}=0$ и $\sum \dot{b_{k}}=0$, так что $\prod a_{k}$ и $\sum b_{k}$, очевидно, являются первыми интегралами.
Замечание. Эти уравнения описывают систему $n+1$ частиц, связанных между собой так называемыми «экспоненциальными пружинами», с периодическим предположением: частицы движутся по окружности (см. детали и знаменитую замену координат Флашка в [28]).

Хорошо известно ${ }^{1}$, что уравнение Лакса (1) описывает вполне интегрируемую систему. Здесь мы приводим краткий набросок доказательства (отсылая читателя за деталями к работе Адлера и ван Мербеке [2]). Заметим, что в дифференциальной системе (2) все $n+1$ частицы равноправны, однако в матрице Лакса ( $n+1$ )-я частица играет особую роль. Умножение на $\lambda$ очень похоже на сдвиг по индексам, так что можно рассматривать $A_{\lambda}$ и $B_{\lambda}$ как бесконечные периодические трех-

${ }^{1}$ Имеется большое количество работ по цепочке Тода, среди которых есть несколько интересных с точки зрения нашей тематики.

диагональные матрицы Якоби
\[
A=\left(\begin{array}{cccccccc}
\ddots & \ddots & \ddots & & & & & \\
a_{n+1} & b_{1} & a_{1} & 0 & & & & \\
\ddots & a_{1} & b_{2} & a_{2} & & & & \\
& 0 & a_{2} & \ddots & \ddots & & & \\
& & & \ddots & \ddots & \ddots & 0 & \\
& & & & \ddots & \ddots & a_{n} & \ddots \\
& & & & 0 & a_{n} & b_{n+1} & a_{n+1} \\
& & & & & \ddots & \ddots & \ddots
\end{array}\right)
\]

и
\[
B=\left(\begin{array}{cccccccc}
\ddots & \ddots & \ddots & & & & & \\
-a_{n+1} & 0 & a_{1} & 0 & & & & \\
\ddots & -a_{1} & 0 & a_{2} & & & & \\
& 0 & -a_{2} & \ddots & \ddots & & & \\
& & & \ddots & \ddots & \ddots & 0 & \\
& & & & \ddots & \ddots & a_{n} & \ddots \\
& & & & 0 & -a_{n} & 0 & a_{n+1} \\
& & & & & \ddots & \ddots & \ddots
\end{array}\right) .
\]

Во-первых, соответствующий бесконечномерный аналог алгебры $\mathfrak{s} l_{n+1}$, с которой мы имеем дело, – это алгебра Ли, изоморфная $\mathfrak{s} l_{n+1}\left[\lambda, \lambda^{-1}\right]$, так что наша дифференциальная система имеет вид
\[
\dot{A}=[A, B] .
\]

Заметим теперь, что $A$ является симметричной матрицей, в то время как матрица $B$ кососимметрична: ситуация в точности совпадает с описанной в Приложении 2 (П.2.3), за исключением того, что размерность бесконечна. Во-вторых, АКС-теорему можно было бы использовать для доказательства того факта, что система является интегрируемой, но мы не будем на этом останавливаться. Все что нам нужно сделать – это проверить справедливость всех утверждений для бесконечной размерности. Если согласиться с этим, то мы получим гамильтонову систему с функцией
\[
H=\frac{1}{2} \operatorname{tr} A_{\lambda}^{2}=\frac{1}{2} \sum_{k=1}^{n+1} b_{k}^{2}+\sum_{k=1}^{n+1} a_{k}^{2}
\]

на множестве всех трехдиагональных симметричных (бесконечномерных периодических с нулевым следом) матриц. Это множество представляет собой объединение коприсоединенных орбит и, таким образом, является пуассоновым многообразием. Все коэффициенты полиномов $\operatorname{tr} A_{\lambda}^{k}$ суть коммутирующие первые интегралы.

Симплектические орбиты. С точки зрения теории групп очевидно, что след $\sum b_{i}$ является орбитальным инвариантом. То же самое верно для произведения $\prod a_{i}$.

Если мы знаем, что все утверждения справедливы в бесконечномерном случае, то доказательство предыдущего утверждения не составляет труда. В обозначениях из Приложения 2 , для инвариантной симметричной билинейной формы
\[
\left\langle\sum x_{i} \lambda^{i}, \sum y_{j} \lambda^{j}\right\rangle=\sum_{i+j=0} x_{i} \cdot y_{j}
\]
(используя форму Киллинга), при $x=\sum x_{i} \lambda^{i}$ имеем
\[
\left(
abla_{x} f\right)_{+}=\sum\left(
abla_{x_{i}} f\right) \lambda^{-i}
\]
(напомним, что + обозначает проекцию на алгебру Ли а нижнетреугольных матриц), поэтому скобка Пуассона в $\mathfrak{b}^{\perp}=\mathfrak{a}^{\star}$ имеет вид
\[
\begin{aligned}
\{f, g\}(x) & =\left\langle x,\left[\left(
abla_{x} f\right)_{+},\left(
abla_{x} g\right)_{+}\right]\right\rangle= \\
& =\sum_{\substack{i-(j+k)=0 \\
j, k \geqslant 0}}\left\langle x_{i},\left[
abla_{x_{j}} f,
abla_{x_{k}} g\right]\right\rangle .
\end{aligned}
\]

Множество Г трехдиагональных матриц состоит из элементов вида
\[
{ }^{t} x_{1} \lambda^{-1}+x_{0}+x_{1} \lambda,
\]

на которых скобка выражается достаточно простой формулой:
\[
\{f, g\}(x)=\left\langle x_{0},\left[
abla_{x_{0}} f,
abla_{x_{0}} g\right]\right\rangle+\left\langle x_{1},\left[
abla_{x_{1}} f,
abla_{x_{0}} g\right]+\left[
abla_{x_{0}} f,
abla_{x_{1}} g\right]\right\rangle .
\]

Более точно, для матрицы $A_{\lambda}$, указанной выше, $x_{0}$ представляет собой «постоянный член», а $x_{1}$ являетсн матрицей, у которой только один элемент $a_{n+1}$ в нижнем левом углу может быть отличен от нуля. Таким образом, окончательно получаем
\[
\{f, g\}(a, b)=\sum_{i=1}^{n+1} a_{i} \frac{\partial g}{\partial a_{i}}\left(\frac{\partial f}{\partial b_{i}}-\frac{\partial f}{\partial b_{i+1}}\right)+\sum_{i=1}^{n+1} \frac{\partial g}{\partial b_{i}}\left(a_{i-1} \frac{\partial f}{\partial a_{i}}-a_{i} \frac{\partial f}{\partial a_{i-1}}\right),
\]

где введены периодические обозначения для индексов. Гамильтоново векторное поле, ассоциированное с функцией $g$, может быть представлено в виде
\[
X_{g}=\sum_{i}\left(a_{i} \frac{\partial g}{\partial a_{i}}-a_{i-1} \frac{\partial g}{\partial a_{i-1}}\right) \frac{\partial}{\partial b_{i}}+\sum_{i}\left(a_{i-1} \frac{\partial g}{\partial b_{i}}-a_{i+1} \frac{\partial g}{\partial b_{i+1}}\right) \frac{\partial}{\partial a_{i}} .
\]

Из этой формулы мы немедленно получаем, что для $f=\prod a_{i}$ имеет место равенство $X_{f} \equiv 0$, следовательно, $f$ является орбитальным инвариантом. Используя эту формулу, можно также найти ранг пуассоновой структуры и проверить, что
\[
V=\left\{(a, b) \in \mathbf{R}^{n+1} \times \mathbf{R}^{n+1} \mid \sum b_{i}=0 \text { и } \prod a_{i}=1\right\}
\]

является симплектическим листом. Ограничим нашу систему на это многообразие.
1.2. Спектральная кривая и регулярные уровни

На симплектическом листе $V$ уравнение спектральной кривой имеет вид
\[
\lambda+\lambda^{-1}+P(\mu)=0,
\]

где $P$ – полином степени $n+1$ вида
\[
P(\mu)=(-1)^{n+1} \mu^{n+1}+H_{1}(b, a) \mu^{n-1}+\cdots+H_{n}(b, a) .
\]

Спектральную кривую можно пополнить (и нормализовать), добавив две точки $A$ и $B$, такие что пополненная кривая оказывается гладкой в окрестности $A$ и $B$, а также выполнено:
\[
(\lambda)=(n+1)(A-B), \quad(\mu)+A+B \geqslant 0 .
\]

Грубо говоря, в координатах $(\lambda, \mu)$ имеем: $A=(0, \infty)$ и $B=(\infty, \infty)$.
В результате пополненная кривая $X$ представляет собой гиперэллиптическую кривую рода $n$. Гиперэллиптическая инволюция $\tau$ имеет вид $(\lambda, \mu) \mapsto\left(\lambda^{-1}, \mu\right)$, а $\mu$ является отображением степени 2 , разветвленным в $2 n+2$ корнях полинома $P(\mu)^{2}-4$.
Замечание. Для данной ситуации характерно, что на кривой $X$ задан дивизор $A-B=A-\tau(A)$, представляющий собой элемент порядка $n+1$ в группе $\operatorname{Pic}^{0}(X)$. В частности, этот элемент определяет действие группы $\mathbf{Z} /(n+1)$ на каждом $\operatorname{Pic}^{d}(X)$.

Предложение 1.2.1. Отображение собственных векторов
\[
\varphi: \mathcal{T}_{h} \longrightarrow \operatorname{Pic}^{d}(X)
\]

эквивариантно относительно действия группы $\mathbf{Z} /(n+1)$, m. е.
\[
\varphi \sigma(b, x)=\varphi(b, x)+A-B .
\]

Доказательство.
Очевидно, что
\[
A_{\lambda}\left(\begin{array}{c}
u_{1} \\
\vdots \\
u_{n} \\
u_{n+1}
\end{array}\right)=\mu\left(\begin{array}{c}
u_{1} \\
\vdots \\
u_{n} \\
u_{n+1}
\end{array}\right) \Longleftrightarrow \sigma A_{\lambda}\left(\begin{array}{c}
\lambda^{-1} u_{n+1} \\
u_{1} \\
\vdots \\
u_{n}
\end{array}\right)=\mu\left(\begin{array}{c}
\lambda^{-1} u_{n+1} \\
u_{1} \\
\vdots \\
u_{n}
\end{array}\right) .
\]

Поэтому $\varphi\left(A_{\lambda}\right)$ является дивизором нулей и полюсов сечения $u={ }^{t}\left(u_{1}, \ldots, u_{n+1}\right)$ расслоения собственных векторов тогда и только тогда, когда $\varphi\left(\sigma\left(A_{\lambda}\right)\right)$ есть дивизор нулей и полюсов сечения ${ }^{t}\left(\lambda^{-1} u_{n+1}, u_{1}, \ldots, u_{n}\right)$. Теперь легко проверить, что последнее получается из первого добавлением $A-B$.

Заметим, что, как обычно, отображение $\varphi$ корректно определено, если кривая $X$ гладкая. Кроме того, имеем

Предложение 1.2.2. Предположим, что значение $h$ таково, что соответствующая спектральная кривая $X$ гладкая. Тогда $\mathcal{T}_{h}$ – регулярный уровень.

Доказательство.
Чтобы доказать, что значение $h$ регулярно, достаточно предъявить $n$ векторных полей $X_{1}, \ldots, X_{n}$, касательных к $\mathcal{T}_{h}$ и независимых во всех точках $\mathcal{T}_{h}$. Другими словами, нужно предъявить $n$ кососимметричных матриц $B_{\lambda}^{(1)}, \ldots, B_{\lambda}^{(n)}$, таких что образы скобок $\left[A_{\lambda}, B_{\lambda}^{(k)}\right]$ при касательном отображении к $\varphi$ являются линейно независимыми. Проще всего взять в качестве $B_{\lambda}^{(k)}$ кососимметричные части матриц $\left(A_{\lambda}\right)^{k}$ (так что матрица $B_{\lambda}^{(1)}$ совпадает с нашей матрицей $B_{\lambda}$ ). Предположим теперь, что $v$ – собственный вектор матрицы $A_{\lambda}$ с собственным значением $\mu$. Тогда
\[
\mu^{k} v=\left(A_{\lambda}\right)^{k} v=B_{\lambda}^{(k)} v+\text { члены, содержащие только } \lambda^{-1} .
\]

Из теории, изложенной в Приложении 3 , следует, что образ векторного поля $\left[A_{\lambda}, B_{\lambda}^{(k)}\right]$ есть $\mu^{k}$, который можно рассматривать как элемент группы $H^{1}\left(X ; \mathcal{O}_{X}\right)$. Осталось проверить, что $\mu, \ldots, \mu^{n}$ образуют базис этого $n$-мерного векторного пространства; это легко сделать с помощью вычетов.

Лемма 1.2.3. Пусть $y=2 \lambda+P(\mu)$, так что уравнение для $X$ принимает вид $y^{2}=P(\mu)^{2}-4$. Тогда $\mu^{n}, \ldots, \mu$ образуют базис в $H^{1}\left(X ; \mathcal{O}_{X}\right)$, двойственный базису $d \mu / y, \ldots, \mu^{n-1} d \mu / y$ в $H^{0}\left(X ; \Omega_{X}^{1}\right)$.
1.3. Бельгийская замена координат

Напомним, что нас интересует пример с несобственным гамильтонианом. Самый простой способ построения такого примера – это попробовать заменить гамильтониан функцией типа
\[
H=\frac{1}{2} \sum_{k=1}^{n+1} b_{k}^{2}+\sum_{k=1}^{n+1} x_{k}
\]

другими словами, выполнить «замену переменных» $x_{k}=a_{k}^{2}$ и получить симплектическое многообразие
\[
W=\left\{(x, b) \in \mathbf{R}^{n+1} \times \mathbf{R}^{n+1} \mid \sum b_{i}=0 \text { и } \prod x_{i}=1\right\} .
\]

Тогда гамильтонова система примет вид
\[
\left\{\begin{array}{l}
\dot{x_{k}}=2 x_{k}\left(b_{k}-b_{k+1}\right), \\
\dot{b_{k}}=2\left(x_{k-1}-x_{k}\right) .
\end{array}\right.
\]

Это построение может привести к успеху, поскольку первые интегралы системы (2) зависят только от $a_{k}^{2}=x_{k}$. Действительно, если $D-$ диагональная матрица:
\[
D=\left(a_{1} \ldots a_{n+1}, a_{2} \ldots a_{n+1}, \ldots, a_{n} a_{n+1}, a_{n+1}\right),
\]

то матрица $D^{-1} A_{\lambda} D$ зависит только от квадратов $x_{k}$, следовательно, то же самое верно для коэффициентов характеристического полинома. Таким образом, система (3) вполне интегрируема. Более точно, коммутирующие интегралы задаются $\operatorname{tr}\left(A_{\lambda}^{\prime}\right)^{k}$, где
\[
A_{\lambda}^{\prime}=D^{-1} A_{\lambda} D=\left(\begin{array}{cccccc}
b_{1} & 1 & 0 & & & x_{n+1} \lambda^{-1} \\
x_{1} & b_{2} & 1 & & & \\
0 & x_{2} & \ddots & \ddots & & \\
& & \ddots & \ddots & \ddots & 0 \\
& & & \ddots & \ddots & 1 \\
\lambda & & & 0 & x_{n} & b_{n+1}
\end{array}\right) .
\]

Эти интегралы в точности совпадают с первыми интегралами, которые мы уже имеем и в которых $a_{k}^{2}$ заменено на $x_{k}$. Таким образом, заменим $H_{i}(b, a)$ на $H_{i}(b, x)$. В процессе этой операции спектральная кривая $X$ не меняется.

Замечание. Система (3) также эквивалентна уравнению Лакса для $A_{\lambda}^{\prime}$. Запишем:
\[
\frac{d}{d t} A_{\lambda}^{\prime}=\left(\frac{d}{d t} D^{-1}\right) A_{\lambda} D+D^{-1}\left(\frac{d}{d t} A_{\lambda}\right) D+D^{-1} A_{\lambda}\left(\frac{d}{d t} D\right),
\]

так что
\[
\frac{d}{d t} A_{\lambda}^{\prime}=\left[A_{\lambda}^{\prime}, C_{\lambda}\right]
\]

где
\[
C_{\lambda}=D^{-1} B_{\lambda} D+D^{-1} \frac{d}{d t} D .
\]

На $k$-м месте диагональной матрицы $D^{-1} d D / d t$ стоит элемент $\left(a_{1} \ldots a_{k-1}\right) d\left(a_{k} \ldots a_{n+1}\right) / d t$. Поскольку $\prod a_{i}=1$, имеем:
\[
\frac{d}{d t} \log \left(a_{k} \ldots a_{n+1}\right)=\left(\frac{a_{k}}{a_{k}}+\cdots+\frac{\dot{a}_{n+1}}{a_{n+1}}\right)=b_{k}-b_{1},
\]

следовательно,
\[
C_{\lambda}=\left(\begin{array}{cccccc}
b_{1} & 1 & 0 & & & -x_{n+1} \lambda^{-1} \\
-x_{1} & b_{2} & 1 & & & \\
0 & -x_{2} & \ddots & \ddots & & \\
& & \ddots & \ddots & \ddots & 0 \\
& & & \ddots & \ddots & 1 \\
\lambda & & & 0 & -x_{n} & b_{n+1}
\end{array}\right)-b_{1} \text { Id }
\]

и
\[
C_{\lambda}+b_{1} \mathrm{Id}-A_{\lambda}^{\prime}=\left(\begin{array}{cccccc}
0 & 0 & 0 & & & -2 x_{n+1} \lambda^{-1} \\
-2 x_{1} & 0 & 0 & & & \\
0 & -2 x_{2} & \ddots & \ddots & & \\
& & \ddots & \ddots & \ddots & 0 \\
0 & & & \ddots & \ddots & 0 \\
0 & & & 0 & -2 x_{n} & 0
\end{array}\right)=B_{\lambda}^{\prime} .
\]

Окончательно наша система эквивалентна уравнению
\[
\frac{d}{d t} A_{\lambda}^{\prime}=\left[A_{\lambda}^{\prime}, B_{\lambda}^{\prime}\right]
\]

Существуют, конечно, теоретико-групповые причины того, что система (3) имеет именно такую форму Лакса (см., например, расширенную статью Костанта [54]).

Обозначим через $\mathcal{T}_{h}^{\prime}$ уровень $h$ в $W$, а через $\varphi^{\prime}$ – новое отображение собственных векторов. Заметим, что по крайней мере с комплексной точки зрения $\mathcal{T}_{h}$ является $(\mathbf{Z} / 2)^{n}$-листным накрытием над $\mathcal{T}_{h}^{\prime}$. Имеем коммутативную диаграмму

Циклическая перестановка $\sigma$ также действует на $\mathcal{T}_{h}^{\prime}$, причем следующие диаграммы коммутативны:

Явные вычисления, проделанные ван Мербеке и Мамфордом [62], позволяют предъявить эффективный дивизор $D$ степени $n$, такой что $D+n A$ является представителем $\varphi\left(A_{\lambda}^{\prime}\right)$. Дивизор $D$ является общим и удовлетворнет уравнению
\[
h^{0}(D+(n-k+1) A-(n-k+1) B)=1 \quad \forall k \in\{1, \ldots, n\},
\]

которое позволяет точно определить образ отображения $\varphi$.
Все эти результаты являются классическими (см. работы ван Мербеке и Мамфорда [62], Адлера и ван Мербеке [2, 6], а также автора [12]). Здесь мы ограничимся лишь случаем $n=2$ не вследствие простоты (фактически все случаи одинаковы), а поскольку именно для этого случая мы хотим получить топологическое описание поверхностей уровня $\mathcal{T}_{h}^{\prime}$.