Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
1.1. Периодическая цепочка Тода Периодическая цепочка Тода представляет собой дифференциальную систему, которая описывается уравнением Лакса где \[ Заметим, что $\sum \dot{a_{k}} / a_{k}=0$ и $\sum \dot{b_{k}}=0$, так что $\prod a_{k}$ и $\sum b_{k}$, очевидно, являются первыми интегралами. Хорошо известно ${ }^{1}$, что уравнение Лакса (1) описывает вполне интегрируемую систему. Здесь мы приводим краткий набросок доказательства (отсылая читателя за деталями к работе Адлера и ван Мербеке [2]). Заметим, что в дифференциальной системе (2) все $n+1$ частицы равноправны, однако в матрице Лакса ( $n+1$ )-я частица играет особую роль. Умножение на $\lambda$ очень похоже на сдвиг по индексам, так что можно рассматривать $A_{\lambda}$ и $B_{\lambda}$ как бесконечные периодические трех- ${ }^{1}$ Имеется большое количество работ по цепочке Тода, среди которых есть несколько интересных с точки зрения нашей тематики. диагональные матрицы Якоби и Во-первых, соответствующий бесконечномерный аналог алгебры $\mathfrak{s} l_{n+1}$, с которой мы имеем дело, — это алгебра Ли, изоморфная $\mathfrak{s} l_{n+1}\left[\lambda, \lambda^{-1}\right]$, так что наша дифференциальная система имеет вид Заметим теперь, что $A$ является симметричной матрицей, в то время как матрица $B$ кососимметрична: ситуация в точности совпадает с описанной в Приложении 2 (П.2.3), за исключением того, что размерность бесконечна. Во-вторых, АКС-теорему можно было бы использовать для доказательства того факта, что система является интегрируемой, но мы не будем на этом останавливаться. Все что нам нужно сделать — это проверить справедливость всех утверждений для бесконечной размерности. Если согласиться с этим, то мы получим гамильтонову систему с функцией на множестве всех трехдиагональных симметричных (бесконечномерных периодических с нулевым следом) матриц. Это множество представляет собой объединение коприсоединенных орбит и, таким образом, является пуассоновым многообразием. Все коэффициенты полиномов $\operatorname{tr} A_{\lambda}^{k}$ суть коммутирующие первые интегралы. Симплектические орбиты. С точки зрения теории групп очевидно, что след $\sum b_{i}$ является орбитальным инвариантом. То же самое верно для произведения $\prod a_{i}$. Если мы знаем, что все утверждения справедливы в бесконечномерном случае, то доказательство предыдущего утверждения не составляет труда. В обозначениях из Приложения 2 , для инвариантной симметричной билинейной формы Множество Г трехдиагональных матриц состоит из элементов вида на которых скобка выражается достаточно простой формулой: Более точно, для матрицы $A_{\lambda}$, указанной выше, $x_{0}$ представляет собой «постоянный член», а $x_{1}$ являетсн матрицей, у которой только один элемент $a_{n+1}$ в нижнем левом углу может быть отличен от нуля. Таким образом, окончательно получаем где введены периодические обозначения для индексов. Гамильтоново векторное поле, ассоциированное с функцией $g$, может быть представлено в виде Из этой формулы мы немедленно получаем, что для $f=\prod a_{i}$ имеет место равенство $X_{f} \equiv 0$, следовательно, $f$ является орбитальным инвариантом. Используя эту формулу, можно также найти ранг пуассоновой структуры и проверить, что является симплектическим листом. Ограничим нашу систему на это многообразие. На симплектическом листе $V$ уравнение спектральной кривой имеет вид где $P$ — полином степени $n+1$ вида Спектральную кривую можно пополнить (и нормализовать), добавив две точки $A$ и $B$, такие что пополненная кривая оказывается гладкой в окрестности $A$ и $B$, а также выполнено: Грубо говоря, в координатах $(\lambda, \mu)$ имеем: $A=(0, \infty)$ и $B=(\infty, \infty)$. Предложение 1.2.1. Отображение собственных векторов эквивариантно относительно действия группы $\mathbf{Z} /(n+1)$, m. е. Доказательство. Поэтому $\varphi\left(A_{\lambda}\right)$ является дивизором нулей и полюсов сечения $u={ }^{t}\left(u_{1}, \ldots, u_{n+1}\right)$ расслоения собственных векторов тогда и только тогда, когда $\varphi\left(\sigma\left(A_{\lambda}\right)\right)$ есть дивизор нулей и полюсов сечения ${ }^{t}\left(\lambda^{-1} u_{n+1}, u_{1}, \ldots, u_{n}\right)$. Теперь легко проверить, что последнее получается из первого добавлением $A-B$. Заметим, что, как обычно, отображение $\varphi$ корректно определено, если кривая $X$ гладкая. Кроме того, имеем Предложение 1.2.2. Предположим, что значение $h$ таково, что соответствующая спектральная кривая $X$ гладкая. Тогда $\mathcal{T}_{h}$ — регулярный уровень. Доказательство. Из теории, изложенной в Приложении 3 , следует, что образ векторного поля $\left[A_{\lambda}, B_{\lambda}^{(k)}\right]$ есть $\mu^{k}$, который можно рассматривать как элемент группы $H^{1}\left(X ; \mathcal{O}_{X}\right)$. Осталось проверить, что $\mu, \ldots, \mu^{n}$ образуют базис этого $n$-мерного векторного пространства; это легко сделать с помощью вычетов. Лемма 1.2.3. Пусть $y=2 \lambda+P(\mu)$, так что уравнение для $X$ принимает вид $y^{2}=P(\mu)^{2}-4$. Тогда $\mu^{n}, \ldots, \mu$ образуют базис в $H^{1}\left(X ; \mathcal{O}_{X}\right)$, двойственный базису $d \mu / y, \ldots, \mu^{n-1} d \mu / y$ в $H^{0}\left(X ; \Omega_{X}^{1}\right)$. Напомним, что нас интересует пример с несобственным гамильтонианом. Самый простой способ построения такого примера — это попробовать заменить гамильтониан функцией типа другими словами, выполнить «замену переменных» $x_{k}=a_{k}^{2}$ и получить симплектическое многообразие Тогда гамильтонова система примет вид Это построение может привести к успеху, поскольку первые интегралы системы (2) зависят только от $a_{k}^{2}=x_{k}$. Действительно, если $D-$ диагональная матрица: то матрица $D^{-1} A_{\lambda} D$ зависит только от квадратов $x_{k}$, следовательно, то же самое верно для коэффициентов характеристического полинома. Таким образом, система (3) вполне интегрируема. Более точно, коммутирующие интегралы задаются $\operatorname{tr}\left(A_{\lambda}^{\prime}\right)^{k}$, где Эти интегралы в точности совпадают с первыми интегралами, которые мы уже имеем и в которых $a_{k}^{2}$ заменено на $x_{k}$. Таким образом, заменим $H_{i}(b, a)$ на $H_{i}(b, x)$. В процессе этой операции спектральная кривая $X$ не меняется. Замечание. Система (3) также эквивалентна уравнению Лакса для $A_{\lambda}^{\prime}$. Запишем: так что где На $k$-м месте диагональной матрицы $D^{-1} d D / d t$ стоит элемент $\left(a_{1} \ldots a_{k-1}\right) d\left(a_{k} \ldots a_{n+1}\right) / d t$. Поскольку $\prod a_{i}=1$, имеем: следовательно, и Окончательно наша система эквивалентна уравнению Существуют, конечно, теоретико-групповые причины того, что система (3) имеет именно такую форму Лакса (см., например, расширенную статью Костанта [54]). Обозначим через $\mathcal{T}_{h}^{\prime}$ уровень $h$ в $W$, а через $\varphi^{\prime}$ — новое отображение собственных векторов. Заметим, что по крайней мере с комплексной точки зрения $\mathcal{T}_{h}$ является $(\mathbf{Z} / 2)^{n}$-листным накрытием над $\mathcal{T}_{h}^{\prime}$. Имеем коммутативную диаграмму Циклическая перестановка $\sigma$ также действует на $\mathcal{T}_{h}^{\prime}$, причем следующие диаграммы коммутативны: Явные вычисления, проделанные ван Мербеке и Мамфордом [62], позволяют предъявить эффективный дивизор $D$ степени $n$, такой что $D+n A$ является представителем $\varphi\left(A_{\lambda}^{\prime}\right)$. Дивизор $D$ является общим и удовлетворнет уравнению которое позволяет точно определить образ отображения $\varphi$.
|
1 |
Оглавление
|