В этом приложении мы вкратце напомним основные определения и конструкции, связанные со структурой Кириллова-Костанта на коалгебре Ли. Более подробное изложение этой теории и дополнительную информацию читатель может найти в классической литературе по группам Ли, в замечательной книге Кириллова [48], а также, например, в книгах по симплектической геометрии, которые мы уже цитировали, а именно, в книгах Либерманна и Марле [59] и Оден [10]. Мы будем использовать понятия (главным образом, определение пуассонова многообразия), описанные во введении.
1.1. Алгебра Ли и ее коалгебра

Напомним, что (вещественное или комплексное) конечномерное векторное пространство $\mathfrak{g}$ называется алгеброй Ли, если оно снабжено билинейной кососимметричной скобкой
\[
[,]: \mathfrak{g} \times \mathfrak{g} \longrightarrow \mathfrak{g},
\]

которая удовлетворяет тождеству Якоби:
\[
[X,[Y, Z]]+[Y,[Z, X]]+[Z,[X, Y]]=0 \quad \forall X, Y, Z \in \mathfrak{g} .
\]

Рассмотрим теперь двойственное векторное пространство $\mathfrak{g}^{*}$. Это пространство можно рассматривать как просто векторное пространство (заметим, что скобка Ли на $\mathfrak{g}$ не задает никакой структуры алгебры Ли на $\left.\mathfrak{g}^{*}\right)$. Однако дополнительная структура на $\mathfrak{g}$ задает пуассонову структуру (обнаруженную и исследованную, главным образом, Кирилловым [48], Костантом [53] и Сурьо [81]). Если $f \in \mathcal{C}^{\infty}\left(\mathfrak{g}^{\star}\right)$ и $\xi \in \mathfrak{g}^{\star}$ (мы будем использовать заглавные латинские буквы для элементов алгебры $\mathfrak{g}$ и греческие буквы для элементов коалгебры $\left.\mathfrak{g}^{*}\right)$, то $d f(\xi)$ –
линейная форма на $T_{\xi} \mathfrak{g}^{\star}=\mathfrak{g}^{\star}$, и мы можем рассматривать ее как элемент алгебры $\mathfrak{g}$, используя бидуальность. Для $f, g \in \mathcal{C}^{\infty}\left(\mathfrak{g}^{\star}\right)$ положим
\[
\{f, g\}(\xi)=\langle\xi,[d f(\xi), d g(\xi)]\rangle,
\]

где 〈, > обозначает спаривание. Таким образом, определена скобка Пуассона $\{$,$\} . Она, очевидно, является кососимметричной, удовлетво-$ ряет тождеству Якоби, поскольку это верно для [, ] (как нетрудно проверить), и является дифференцированием по каждому аргументу (т. е. удовлетворяет правилу Лейбница), так как определена через дифференциалы функций.
Пример 1. Рассмотрим векторное произведение в векторном пространстве $\mathbf{R}^{3}$. Оно определяет структуру алгебры Ли (легко установить справедливость тождества Якоби). Теперь отождествим $\mathbf{R}^{3}$ с сопряженным пространством (используя каноническую евклидову структуру), так что это пространство превращается в пуассоново многообразие. Рассмотрим, например, координатные функции $x, y, z$. Для вектоpa $v={ }^{t}(a, b, c)$ имеем:
\[
\{x, y\}(v)=\left\langle v,\left[\left(\begin{array}{l}
a \\
0 \\
0
\end{array}\right),\left(\begin{array}{l}
0 \\
b \\
0
\end{array}\right)\right]\right\rangle=a b c .
\]

Аналогичные тождества дают
\[
\{x, y\}(v)=\{y, z\}(v)=\{z, x\}(v)=a b c .
\]

Замечание. Заметим, что если бы нам удалось построить скобку Ли на $\mathfrak{g}^{*}$, то тем самым мы бы определили пуассонову структуру на $\mathfrak{g}$. Обратно, некоторые пуассоновы структуры на g задают структуры алгебры Ли на $\mathfrak{g}^{*}$. Этот факт заимствован из теории пуассоновых групп Ли, которая является важной и полезной для интегрируемых систем, однако здесь мы ею заниматься не будем (см., например, обзоры Реймана и Семенова-Тян-Шанского [77] и Семенова-Тян-Шанского [80]).
1.2. $\mathrm{Ad}, \mathrm{ad}, \mathrm{Ad}^{\star}, \mathrm{ad}^{\star}$ и тому подобное

Пространство $\mathfrak{g}^{\star}$ не обязано быть симплектическим многообразием: вспомним о его (нечетной) размерности в предыдущем примере.

Однако, как и любое пуассоново многообразие, оно расслаивается на симплектические многообразия. Они являются коприсоединенными орбитами, орбитами «коприсоединенного действия» группы Ли $G$ на $\mathfrak{g}^{\star}$. Скажем несколько слов об этом понятии.

Пусть $G$ – группа Ли с единицей 1 . Обозначим через $\mathfrak{g}$ касательное пространство $T_{1} G$. Эта группа действует на себе при помощи сопряжения:
\[
\begin{aligned}
\forall g \in G, \quad G & \longrightarrow G \\
h & \longmapsto g h g^{-1} .
\end{aligned}
\]

Дифференцирование этого действия в единице 1 задает присоединенное действие:
\[
\forall g \in G, \quad \begin{aligned}
\operatorname{Ad}_{g}: & \mathfrak{g} \longrightarrow \mathfrak{g} \\
X & \longmapsto \operatorname{Ad}_{g}(X),
\end{aligned}
\]

которое можно рассматривать как отображение
\[
\begin{array}{l}
G \operatorname{End}(\mathfrak{g}) \\
g \longmapsto \operatorname{Ad}_{g} .
\end{array}
\]

Продифференцируем это отображение в единице 1:
\[
\begin{aligned}
\mathfrak{g} & \longrightarrow \operatorname{End}(\mathfrak{g}) \\
X & \longmapsto \operatorname{ad}_{X} .
\end{aligned}
\]

В качестве простого упражнения предлагается проверить, что
\[
\begin{aligned}
\mathfrak{g} \times \mathfrak{g} & \longrightarrow \mathfrak{g} \\
(X, Y) & \longmapsto \operatorname{ad}_{X}(Y)
\end{aligned}
\]

является скобкой Ли, так что g оказывается алгеброй Ли ${ }^{1}$ группы $G$. Мы всегда будем использовать обозначение $[X, Y]=\operatorname{ad}_{X}(Y)$.
${ }^{1}$ Каждая алгебра Ли задает (более или менее единственным образом при некоторых дополнительных предположениях) группу Ли. Когда мы будем говорить об алгебре Ли $\mathfrak{g}$, мы всегда будем подразумевать «алгебру Ли группы Ли $G$ » (независимо от того, задана ли группа $G$ явно или нет).

Отметим другую точку зрения на этот объект: $\operatorname{ad}_{X}$ является векторным полем на $\mathfrak{g}$ (его значение в точке $Y$ равно $[X, Y]$ ), фундаментальным векторным полем ${ }^{2}$ присоединенного действия, ассоциированного с $X$.

Пример 1 (продолжение). Рассмотрим группу вращений $G=S O(3)$ евклидова пространства $\mathbf{R}^{3}$. Дифференцируя равенство ${ }^{t} A A=\mathrm{Id}$ в Id, получаем, что касательное пространство является векторным пространством $\mathfrak{g}=\mathfrak{s} o(3)$ кососимметричных $3 \times 3$-матриц. Используя определения выше, находим, что группа $G$ действует на $\mathfrak{g}$ при помощи сопряжений (это и есть присоединенное действие) и что скобка Ли на $\mathfrak{g}$ совпадает с коммутатором $[X, Y]=X Y-Y X$ (это верно всегда для групп матриц). Заметим, что отображение
\[
\varphi:(x, y, z) \mapsto\left(\begin{array}{ccc}
0 & -z & y \\
z & 0 & -x \\
-y & x & 0
\end{array}\right)
\]

является изоморфизмом алгебр Ли (в этих рамках становится очевидным тождество Якоби для векторного произведения) и что сопряжение кососимметричных матриц при помощи вращений совпадает с каноническим действием при помощи вращений в $\mathbf{R}^{3}$.

Пример 2. Пусть $G=S O(2,1)$ – группа изометрий квадратичной формы $x^{2}+y^{2}-z^{2}$ в $\mathbf{R}^{3}$. Пусть $J$ – матрица этой формы, так что $A \in S O(2,1)$ тогда и только тогда, когда ${ }^{t} A J A=J$. Тогда алгебра Ли состоит из всех матриц $X$, таких что ${ }^{t} X J+J X=0$. Легко проверить, что отображение
\[
\varphi:(x, y, z) \mapsto\left(\begin{array}{ccc}
0 & -z & y \\
z & 0 & x \\
y & x & 0
\end{array}\right)
\]

устанавливает изоморфизм между $\mathfrak{s o}(2,1)$ и $\mathbf{R}^{3}$ и что присоединенное действие снова совпадает со стандартным действием группы $S O(2,1)$

${ }^{2}$ Если группа Ли $G$ действует на многообразии $W$, то любой вектор $X$ алгебры Ли g задает векторное поле $X$ на $W$, фундаментальное векторное поле этого действия: $X(x)=T_{1} f_{x}(X)$, где $f_{x}$ является орбитой отображения $g \mapsto g \cdot x$.

в $\mathbf{R}^{3}$. Следовательно, присоединенные орбиты представляют собой поверхности гиперболоидов $x^{2}+y^{2}-z^{2}=c$ (при $c
eq 0$ ), два открытых конуса $x^{2}+y^{2}-z^{2}=0(z>0$ и $z<0)$ и точку $(0,0,0)$ (см. рис. 22).
Рис. 22. (Ко)присоединенные орбиты групп $S O(3)$ и $S O(2,1)$
Изучим сопряженное векторное пространство $\mathfrak{g}^{\star}$. Для $g \in G$ определим
\[
\operatorname{Ad}_{g}^{\star}: \mathfrak{g}^{\star} \longrightarrow \mathfrak{g}^{\star}
\]

по правилу $\left\langle\operatorname{Ad}_{g}^{\star}(\xi), X\right\rangle=\left\langle\xi, \operatorname{Ad}_{g^{-1}} X\right\rangle$. Таким образом, мы получаем (левое) действие группы $G$, коприсоединенное действие. Как выше, получаем отображение
\[
\begin{aligned}
G \longrightarrow \text { End }^{\star} \\
g \longmapsto \mathrm{Ad}_{g}^{\star},
\end{aligned}
\]

которое можно продифференцировать в 1:
\[
\begin{aligned}
\mathfrak{g} & \longrightarrow \text { End } \mathfrak{g}^{\star} \\
X & \longmapsto \operatorname{ad}_{X}^{\star},
\end{aligned}
\]

так что
\[
\begin{aligned}
\left\langle\operatorname{ad}_{X}^{\star} \xi, Y\right\rangle & =\left\langle\xi, \operatorname{ad}_{-X} Y\right\rangle \\
& =-\langle\xi,[X, Y]\rangle .
\end{aligned}
\]

Как и выше, $\operatorname{ad}_{X}^{\star}$ является векторным полем на $\mathfrak{g}^{\star}$, фундаментальным векторным полем коприсоединенного действия, ассоциированного с $X$.

Пример 1 (продолжение). Коприсоединенное действие группы $S O(3)$ на $\mathfrak{s o}(3)^{\star} \cong \mathbf{R}^{3}$ (см. 1.5) также представляет собой действие при помощи вращений. Следовательно, коприсоединенные орбиты суть двумерные сферы с центром в точке 0 , а единственная сингулярная орбита есть сфера радиуса 0 . В точке $v$ симплектическая форма на соотвествующей двумерной сфере определяется по формуле $\widetilde{\omega}_{v}(X, Y)=v \cdot(X \times Y)$.

Все эти построения являются каноническими, а предыдущая формула очень похожа на определение скобки Пуассона на $\mathcal{C}^{\infty}\left(\mathfrak{g}^{\star}\right)$. Например, построенная выше скобка Пуассона, как и любая другая скобка Пуассона, позволяет с любой функцией $g$ связать (гамильтоново) векторное поле по правилу $X_{g}(\xi)=-\operatorname{ad}_{d_{g}(\xi)}^{\star}(\xi)$, так как
\[
\begin{aligned}
-X_{g}(\xi) \cdot f=\{f, g\}(\xi) & =\langle\xi,[d f(\xi), d g(\xi)]\rangle \\
& =\left\langle\operatorname{ad}_{d g(\xi)}^{\star}(\xi), d f(\xi)\right\rangle \\
& =d f(\xi)\left(\operatorname{ad}_{d g(\xi)}^{\star}(\xi)\right) .
\end{aligned}
\]
1.3. Коприсоединенные орбиты и симплектические структуры на них
Для любого $\xi \in \mathfrak{g}^{\star}$ определим кососимметричную билинейную форму $\omega_{\xi}$ на $\mathfrak{g}$ равенством
\[
\begin{aligned}
\omega_{\xi}(X, Y) & =\langle\xi,[X, Y]\rangle \\
& =-\left\langle\operatorname{ad}_{X}^{\star} \xi, Y\right\rangle .
\end{aligned}
\]

Ядро формы $\omega_{\xi}$ представляет собой пространство всех векторов $X$, таких что векторное поле $\mathrm{ad}_{X}^{\star}$ обращается в нуль в точке $\xi$.

Рассмотрим теперь коприсоединенную орбиту точки $\xi$ и орбитальное отображение $f_{\xi}: G \rightarrow \mathfrak{g}^{\star}$. Касательное отображение $T_{1} f_{\xi}$ в 1 связывает с элементом $X$ значение $\operatorname{ad}_{X}^{\star}(\xi)$ фундаментального векторного поля коприсоединенного действия. Таким образом, $\omega_{\xi}$ задает невырожденную кососимметричную билинейную форму на факторпространстве $\mathfrak{g} / \operatorname{Ker} T_{1} f_{\xi}$. Это чисто линейно-алгебраический аспект формы $\omega_{\xi}$. Теперь воспользуемся геометрическим подходом: $T_{1} f_{\xi}$ индуцирует изоморфизм
\[
\mathfrak{g} / \operatorname{Ker} T_{1} f_{\xi} \longrightarrow T_{\xi}(G \cdot \xi)
\]

Следовательно, меняя $\xi$ вдоль орбиты, мы получаем невырожденную 2-форму $\widetilde{\omega}$ на орбите $\mathbf{O}$ заданную выражением
\[
\widetilde{\omega}_{\xi}\left(\operatorname{ad}_{X}^{\star}(\xi), \operatorname{ad}_{Y}^{\star}(\xi)\right)=\omega_{\xi}(X, Y) .
\]

Непосредственные вычисления, основанные на тождестве Якоби в алгебре $\mathfrak{g}$ и на инвариантности $\widetilde{\omega}$, показывают, что
\[
d \widetilde{\omega}\left(\operatorname{ad}_{X}^{\star}, \operatorname{ad}_{Y}^{\star}, \operatorname{ad}_{Z}^{\star}\right)=0 \quad \forall X, Y, Z \in \mathfrak{g} .
\]

Поэтому $d \tilde{\omega}$ обращается в нуль на фундаментальных векторных полях. Поскольку они порождают касательное пространство к орбите (по определению), то 2-форма $\widetilde{\omega}$ замкнута, так что она определяет симплектическую форму на орбите $\mathbf{O}$.

Нам осталось проверить, что мы получили симплектическое слоение канонической пуассоновой структуры на алгебре $\mathfrak{g}^{\star}$. Рассмотрим две функции $f, g \in \mathcal{C}^{\infty}\left(\mathfrak{g}^{\star}\right)$ и скобку Пуассона $\{f, g\}_{O}$ их ограничений на данную орбиту $\mathbf{O}$, определенную через описанную выше симплектическую форму на $\mathbf{O}$. Тогда
\[
\begin{aligned}
d f(\xi)\left(\operatorname{ad}_{Y}^{\star}(\xi)\right) & =\left\langle\operatorname{ad}_{Y}^{\star}(\xi), d f(\xi)\right\rangle \\
& =\langle\xi,[d f(\xi), Y]\rangle \\
& =\omega_{\xi}(d f(\xi), Y) \\
& =\widetilde{\omega}_{\xi}\left(\operatorname{ad}_{d f(\xi)}^{\star}(\xi), \operatorname{ad}_{Y}^{\star}(\xi)\right) .
\end{aligned}
\]

Следовательно, для симплектической формы $\widetilde{\omega}$ на орбите О, которая содержит $\xi$, гамильтоново векторное поле функции $f_{\mid \text {О }}$ задается равенством
\[
X_{f \mid \mathbf{O}}^{\mathbf{O}}(\xi)=\operatorname{ad}_{d f(\xi)}^{\star}(\xi) .
\]

Оно является гамильтоновым векторным полем функции $f$ для канонической пуассоновой структуры. Поэтому $\widetilde{\omega}$ задает скобку Пуассона на орбите $\mathbf{O}$, такую что
\[
\forall f, g \in \mathcal{C}^{\infty}\left(\mathfrak{g}^{\star}\right), \quad\left\{f_{\mid \mathbf{O}}, g_{\mid \mathbf{O}}\right\} \equiv\{f, g\}_{\mid \mathbf{O}},
\]

а симплектическое слоение совпадает со слоением на орбиты.

1.4. Функции Казимира и инвариантные функции

Пусть $f$ – функция Казимира на $\mathfrak{g}^{\star}$. Проверим, что она постоянна на коприсоединенных орбитах (или инвариантна относительно коприсоединенного действия группы $G$ ). Пусть $X$ – любой элемент $\mathfrak{g}$ и пусть $g_{X}$ – соотвествующая линейная форма на $\mathfrak{g}^{\star}$. Тогда имеем:
\[
\begin{aligned}
0=\left\{f, g_{X}\right\}(\xi) & =\langle\xi,[d f(\xi), X]\rangle \\
& =\left\langle\operatorname{ad}_{X}^{\star}(\xi), d f(\xi)\right\rangle,
\end{aligned}
\]

так что $d f$ обращается в нуль на фундаментальных векторных полях и, следовательно, на касательном пространстве к любой коприсоединенной орбите.

Обратно, пусть $f-$ функция, инвариантная относительно $\mathrm{Ad}^{\star}$. Она постоянна на орбитах, поэтому $\left\{f, g_{X}\right\}=0$ для всех $X \in \mathfrak{g}$. В силу правила Лейбница можно заключить, что $f$ коммутирует со всеми полиномами на $\mathfrak{g}^{\star}$ и, следовательно, со всеми функциями.

Таким образом, $\mathrm{Ad}^{\star}$-инвариантные функции на $\mathfrak{g}^{\star}$ совпадают $\mathrm{c}$ функциями Казимира. В хороших случаях (например, когда группа $G$ компактна или алгебра $g$ полупроста) инвариантных функций достаточно для описания коприсоединенных орбит общего вида. Тогда симплектические листы представляют собой связные компоненты совместных поверхностей уровня функций Казимира. Напомним, что в этом случае мы смогли ввести понятие ингегрируемых систем на пуассоновом многообразии (см. 1.3 из введения). Коразмерность орбиты общего вида совпадает с «количеством инвариантных функций», рангом алгебры Ли.
Замечание. Однако есть случаи, когда функции Казимира не различают орбиты (см. контрпример ниже). Существуют также случаи, когда листы общего вида не совпадают с компонентами поверхностей уровня функций Казимира.

Пример 1 (продолжение). Инвариантные функции на $\mathbf{R}^{3}=\mathfrak{s o}(3)^{\star}-$ это функции от $x^{2}+y^{2}+z^{2}$ (можно непосредственно проверить, что $x^{2}+y^{2}+z^{2}$ коммутирует с координатными функциями и, следовательно, со всеми функциями). Заметим, что в этом случае коприсоединенные орбиты совпадают с поверхностями уровня функций Казимира (см. рис. 22).

1.5. Отождествление $\mathfrak{g}^{\star} \mathbf{c} \mathfrak{g}$

Несмотря на то, что не существует канонического отождествления $\mathfrak{g}^{\star} \mathbf{c} \mathfrak{g}$, всегда можно построить изоморфизм между ними, используя любую невырожденную симметричную билинейную форму. Здесь мы хотим большего, а именно: мы хотим отождествить не только векторные пространства $\mathfrak{g}^{\star}$ и $\mathfrak{g}$, но также присоединенные и коприсоединенные действия. Для этого нам нужна невырожденная симметричная билинейная форма, такая что
\[
\left\langle\operatorname{Ad}_{g} X, \operatorname{Ad}_{g} Y\right\rangle=\langle X, Y\rangle \quad \forall g \in G, \quad \forall X, Y \in \mathfrak{g} .
\]

Заметим, что это эквивалентно следующему:
\[
\left\langle X, \operatorname{Ad}_{g^{-1}} Y\right\rangle=\left\langle\operatorname{Ad}_{g} X, Y\right\rangle \quad \forall g \in G, \quad \forall X, Y \in \mathfrak{g},
\]

так что отображение
\[
\begin{array}{l}
\mathfrak{g} \longrightarrow \mathfrak{g}^{\star} \\
X \longmapsto\langle X, \cdot\rangle
\end{array}
\]

меняет местами действия $\mathrm{Ad}$ и $\mathrm{Ad}^{\star}$. На инфинитезимальном уровне это условие принимает вид:
\[
\langle X,[Y, Z]\rangle=\langle[Z, X], Y\rangle .
\]

Замечание. Если группа Ли $G$ компактна, то достаточно легко построить инвариантную невырожденную симметричную билинейную форму, исходя из любой положительно определенной формы и затем усреднян ее. Вообще говоря, даже если всегда существует инвариантная симметричная форма, например, форма Киллинга $\langle X, Y\rangle=\operatorname{tr}\left(\operatorname{ad}_{X} \circ \operatorname{ad}_{Y}\right)$, то не всегда можно найти невырожденную форму. Тем не менее, если $\mathfrak{g}$ полупроста, то сама форма Киллинга является невырожденной (это фактически одно из возможных определений полупростой алгебры Ли!).

Iример 1 (заключение). Каноническая евклидова структура на $\mathbf{R}^{3}$ инвариантна (!!); с точностью до скалярного множителя, это форма Киллинга на $\mathfrak{s o}(3)$.

Пример 2 (заключение). Квадратичная форма $x^{2}+y^{2}-z^{2}$ инвариантна относительно действия $S O(2,1)$, так что орбиты коприсоединенного действия совпадают с орбитами присоединенного действия. Заметим, что инвариантные функции порождаются $x^{2}+y^{2}-z^{2}$, поэтому коприсоединенные орбиты общего вида являются связными компонентами совместных поверхностей уровня функций Казимира.

Контрпимер. Рассмотрим группу треугольных матриц
\[
G=\left\{\left.\left(\begin{array}{ccc}
1 & x & z \\
0 & 1 & y \\
0 & 0 & 1
\end{array}\right) \right\rvert\, x, y, z \in \mathbf{R}\right\},
\]
т. е. группу Гейзенберга $G=\mathbf{R}^{3}$ с умножением
\[
(x, y, z) \cdot\left(x^{\prime}, y^{\prime}, z^{\prime}\right)=\left(x+x^{\prime}, y+y^{\prime}, z+z^{\prime}+x y^{\prime}\right) .
\]

Алгебра Ли $\mathfrak{g}$ состоит из верхнетреугольных матриц с нулями на диагонали и совпадает с $\mathbf{R}^{3}$ (с некоторой скобкой Ли). Присоединенное действие (сопряжение матриц) задается формулой
\[
\operatorname{Ad}_{(x, y, z)}(u, v, w)=(u, v,-y u+x v+w) .
\]

Следовательно, орбиты присоединенного действия суть точки оси $w$ и все прямые, параллельные этой оси, кроме самой оси. Заметим, что орбиты общего вида одномерны и, следовательно, не могут быть симплектическими. Таким образом, мы видим, что присоединенное и коприсоединенное действия не изоморфны и, в частности, что не существует инвариантной невырожденной симметричной билинейной формы на $\mathfrak{g}$. Рассмотрим коприсоединенное действие:
\[
\operatorname{Ad}_{(x, y, z)}^{\star}(\alpha, \beta, \gamma)=(\alpha+y \gamma, \beta-x \gamma, \gamma) .
\]

Тогда коприсоединенные орбиты суть все точки плоскости $(\alpha, \beta)$ и все плоскости, параллельные этой плоскости, кроме самой плоскости (к счастью, все здесь четномерно). Единственные функции в $\mathbf{R}^{3}$, которые могут быть постоянными на всех орбитах, – это функции от $\gamma$,

Рис. 23.

поэтому координата $\gamma$ порождает инварианты – и функции Казимира. Однако симплектические листы не являются поверхностями уровня $\gamma$ : эти уровни являются объединениями орбит, однако для различения нульмерных орбит этих инвариантов недостаточно (см. рис. 23).

Предположим теперь, что из некоторых соображений нам известна невырожденная симметричная билинейная форма на g. Тогда ее также можно использовать для определения градиента $
abla f$ любой функции $f$. Как мы уже знаем, $X_{f}(\xi)=\operatorname{ad}_{d f(\xi)}^{\star}(\xi)$; аналогичным образом мы получаем $\operatorname{ad}_{
abla_{x} H} x=\left[x,
abla_{x} H\right]$ и можем заключить, что гамильтонова система
\[
\dot{\xi}=X_{H}(\xi)
\]

также может быть записана в виде
\[
\dot{x}=\left[x,
abla_{x} H\right] .
\]