3.1. Свободное твердое тело

В случае, когда неподвижная точка совпадает с центром масс (случай Эйлера-Пуансо), дифференциальная система (E) принимает вид
$$\{\begin{array}{rl}\dot{M}& =[M,\mathrm{\Omega }],\\ \dot{\mathrm{\Gamma }}& =[\mathrm{\Gamma },\mathrm{\Omega }],\\ M& =\mathbf{J}(\mathrm{\Omega }),\end{array}$$

так как $L=0$. Конечно, основная задача состоит в том, чтобы решить первое уравнение (после этого можно решать второе). Мы, таким образом, должны рассмотреть систему
$$\{\begin{array}{l}\dot{M}=[M,\mathrm{\Omega }],\\ M=\mathbf{J}(\mathrm{\Omega }),\end{array}$$

которая описывает движение свободного твердого тела (на тело не действуют никакие силы, и даже сила тяжести) вокруг одной из его точек. Несомненно, удобно начинать именно с этого примера, поскольку эта задача имеет малую размерность: $M\in \mathfrak{s}o(3)$, где орбиты представляют собой сферы с центром в точке 0 ; любая гамильтонова система на такой поверхности является интегрируемой.

Указанный первый интеграл $K=\frac{1}{2}\Vert M{\Vert }^2$ для всей системы становится «тривиальным» интегралом, который описывает орбиты (сферы)
$${\mathbf{O}}_{p^2}=\{M\in {\mathbf{R}}^3\mid u^2+v^2+w^2=2p^2\}.$$

Эти орбиты суть симплектические многообразия, на которых мы будем изучать поверхности уровня гамильтониана (кинетической энергии)
$$H=\frac{1}{2}({\lambda }_1{u}^2+{\lambda }_2{v}^2+{\lambda }_3{w}^2).$$

Рис. 1. Регулярные линии уровня для свободного твердого тела

Здесь ${\lambda }_1,{\lambda }_2$ и ${\lambda }_3$ — неотрицательные вещественные числа (обратные к собственным значениям оператора $\mathbf{J}$ ). Мы будем предполагать, что они различны и что, скажем, ${\lambda }_1<{\lambda }_2<{\lambda }_3$. Тогда поверхности уровня $H$ являются эллипсоидами общего вида (т. е. не имеющими оси вращения). Изучим их пересечения со сферами ${\mathbf{O}}_{p^2}$. Это пересечение условно изображено на рис. 1. Регулярные линии уровня состоят из двух несвязных овалов. Критические уровни состоят либо из двух точек, либо из двух овалов, пересекающихся в двух точках. Заштрихованные области соответствуют пустым уровням, а полупрямые — критическим значениям.
3.2. Алгебраическая модель

Все связные компоненты регулярного уровня с топологической точки зрения представляют собой окружности. Чтобы сделать такой вывод в этой размерности, теорема Арнольда-Лиувилля не нужна. Так как линии уровня отождествляются с окружностями, то утверждение о линейности гамильтонова векторного поля $X_H$ становится более или менее тавтологичным. Однако мы хотим понять аффинную структуру линий уровня.

У нас уже имеется алгебраическая структура, которая позволяет дать элегантное описание всей ситуации. Наша линия уровня представляет собой пересечение сферы и эллипсоида, т. е. двух вещественных аффинных квадрик. Ничто не мешает нам рассматривать их с комплексной и проективной точек зрения. Уравнения сферы и эллипсоида запишутся в виде
$$\{\begin{array}{l}{u}^2+v^2+w^2-2p^2{t}^2=0,\\ {\lambda }_1{u}^2+{\lambda }_2{v}^2+{\lambda }_3{w}^2-2h{t}^2=0.\end{array}$$

Обозначим их пересечение через $V$. Согласно классическому результату алгебраической геометрии, такое пересечение квадрик является эллиптической кривой.

Предложение 3.2.1. Если ${\lambda }_1,{\lambda }_2$ и ${\lambda }_3$ попарно различны, а также отличны от $h/p^2$, то пересечение $V$ является гладкой кривой рода 1 в ${\mathbf{P}}^3(\mathbf{C})$. Эта кривая представляет собой двулистное накрытие над ${\mathbf{P}}^1(\mathbf{C})$, разветвленное в точках ${\lambda }_1,{\lambda }_2,{\lambda }_{3}u\mathrm{h}/{\mathrm{p}}^2$.

Замечание. Это наиболее общее расположение двух гладких трансверсальных квадратичных поверхностей (по крайней мере, над $\mathbf{C}$ ).

Доказательство.
Условие, наложенное на коэффициенты, обеспечивает трансверсальность двух квадратичных поверхностей. Таким образом, их пересечение $V$ является гладкой комплексной кривой. Рассмотрим теперь линейное семейство (пучок) $\mathcal{L}$, которое состоит из всех квадрик $C_z$ :
$$\begin{array}{c}{C}_z:Q_z(u,v,w,t)=\\ =({\lambda }_1-z)u^2+({\lambda }_2-z)v^2+({\lambda }_3-z)w^2-2(h-z{p}^2)t^2=0,\end{array}$$

где $z\in {\mathbf{P}}^1=\mathbf{C}\cup \mathrm{\infty }$, так что $C_0$ соответствует нашему эллипсоиду, а $C_{\mathrm{\infty }}$ — сфере радиуса $p\sqrt{2}$. Заметим, что особые квадрики пучка $\mathcal{L}$ соответствуют значениям $z={\lambda }_1,{\lambda }_2,{\lambda }_3$ или $h/p^2$.

Зафиксируем точку $A\in V$. Опишем отображение ${\mathrm{\Phi }}_A:V\to \mathcal{L}$. Каждая точка $M\in V$ определяет прямую $AM$ (касательную к $V$ в точке $A$, если $M=A$ ). Эта прямая принадлежит одной (и только одной) квадрике $C_z$. Действительно, если ${\phi }_z$ — симметричная билинейная форма, ассоциированная с $Q_z$ (его полярная форма), то
$$Q_z[(1-\alpha )A+\alpha M]=0\mathrm{\forall }\alpha \iff {\phi }_z(A,M)=0.$$

Это линейное уравнение по переменной $z$, которое имеет единственное решение $z$, такое что $AM\subset C_z$.

Рис. 2

Отображение ${\mathrm{\Phi }}_A$ голоморфно, и мы покажем, что оно является двулистным накрытием над ${\mathbf{P}}^1$, как утверждается в предложении. Выберем произвольную точку $z\in {\mathbf{P}}^1$ и рассмотрим ее прообраз ${\mathrm{\Phi }}_A^{-1}(z)$. Он состоит из всех прямых в $C_z$, которые содержат точку $A$, т. е. является пересечением $T_A{C}_z\cap Q_z$. Получаем, что этот прообраз представляет собой две прямые. Теперь рассмотрим пересечение пучка $\mathcal{L}$ с плоскостью $T_A{C}_z$. Очевидно, мы получаем пучок конических кривых. Наши две прямые образуют особую конику этого пучка, поэтому они должны пересекать все коники пучка. Следовательно, мы получаем две точки $M,N\in V$, образом которых является $z$ (см. рис. 2).

Если две прямые не совпадают, т.е. если пересечение $T_A{C}_z\cap Q_z$ не является двойной прямой, то эти две точки будут различными. В противном случае, $C_z$ будет особой, что эквивалентно условию $z={\lambda }_1,{\lambda }_2,{\lambda }_3$ или $h/p^2$.

Таким образом, мы имеем двулистное накрытие, разветвленное в четырех точках, причем $V$ является кривой рода 1 .

Замечание (относительно вещественной части). Предположим, что точка $A$, которая используется для определения накрывающего отображения ${\mathrm{\Phi }}_A$, является вещественной точкой (имеет вещественные координаты). Тогда ${\mathrm{\Phi }}_A$ — вещественное отображение, переводящее вещественную часть $V_{\mathbf{R}}$ многообразия $V$ в ${\mathbf{P}}^1(\mathbf{R})$. Образ представляет собой множество всех вещественных значений $z$, для которых $C_z$ содержит вещественную прямую, проходящую через $A$. Вещественная квадратичная поверхность $C_z$ может содержать вещественную прямую только тогда, когда она является однополостным гиперболоидом, т. е. если сигнатура квадратичной формы $Q_z$ равна $(2,2)$, или если сигнатура формы
$$\frac{{\lambda }_1-z}{h-z{p}^2}{u}^2+\frac{{\lambda }_2-z}{h-z{p}^2}{v}^2+\frac{{\lambda }_3-z}{h-z{p}^2}{w}^2$$

равна $(2,1)$. Если мы расположим четыре точки $\{{\lambda }_1,{\lambda }_2,{\lambda }_3,h/p^2\}$ в порядке возрастания ${\lambda }_1<b<c<{\lambda }_3$, то условие принимает вид
$$z\in [{\lambda }_1,b]\cup [c,{\lambda }_3].$$

Заметим, что мы использовали вещественную точку $A$ многообразия $V$, а значит, должны были предполагать, что вещественная часть $V_{\mathbf{R}}$ не пуста и, следовательно, $h/p^2\in [{\lambda }_1,{\lambda }_3]$ (поэтому ${\lambda }_1$ наименьшее, а ${\lambda }_3$ наибольшее число среди указанных четырех чисел). Тогда $V_{\mathbf{R}}$, как мы уже отмечали, состоит из двух свнзных компонент.
3.3. Линеаризация решений

Запишем дифференциальное уравнение $\dot{M}=[M,\mathrm{\Omega }]$ покомпонентно:
$$\{\begin{array}{rl}\dot{u}& =({\lambda }_3-{\lambda }_2)vw\\ \dot{v}& =({\lambda }_1-{\lambda }_3)wu\\ \dot{w}& =({\lambda }_2-{\lambda }_1)uv\end{array}$$

и рассмотрим дифференциальную форму
$$\omega =\frac{du}{({\lambda }_3-{\lambda }_2)vw}=\frac{dv}{({\lambda }_1-{\lambda }_3)wu}=\frac{dw}{({\lambda }_2-{\lambda }_3)uv}.$$

Легко проверить (мы оставляем это читателю в качестве упражнения), что $\omega$ является голоморфной 1 -формой на $V$. Поскольку $V$ является кривой рода 1 , то комплексное векторное пространство голоморфных 1-форм на $V$ одномерно и существует изоморфизм $u_A:V\to \mathbf{C}/\mathrm{\Lambda }$ (где $\mathrm{\Lambda }$ — это период решетки пространства $V$ ), заданный соответствием:
$$M⟼{\int }_A^M\omega$$

Рис. 3. Отображение момента для волчка Эйлера-Пуансо

Теперь предположим, что $t\mapsto M(t)$ является решением дифференциального уравнения $\dot{M}=[M,\mathrm{\Omega }]$. Имеем
$$u_{M(0)}(M(t))={\int }_{M(0)}^{M(t)}\omega ={\int }_{M(0)}^{M(t)}dt=t.$$

Это означает, что образы решений в $\mathbf{C}/\mathrm{\Lambda }$ суть прямые линии по модулю $\mathrm{\Lambda }$ (в размерности 1 это и неудивительно) с линейной параметризацией (а это уже интересно). Таким образом, каноническая структура на $\mathbf{C}/\mathrm{\Lambda }$ является овеществлением аффинной структуры, определяемой потоком на $V$.
3.4. Лиувиллевы торы для волчка Эйлера-Пуансо

Вернемся к исходной задаче Эйлера-Пуансо и рассмотрим вектор $Г$. Для любого $M$, удовлетворяющего уравнениям
$$\{\begin{array}{l}K=\frac{1}{2}{p}^2=\frac{1}{2}\Vert M{\Vert }^2\\ H=\frac{1}{2}h=\frac{1}{2}M\cdot \mathrm{\Omega }\end{array}$$

найдем все векторы $\mathrm{\Gamma }$, такие что
$$\{\begin{array}{c}\Vert \mathrm{\Gamma }{\Vert }^2=1,\\ \mathrm{\Gamma }\cdot M=c.\end{array}$$

Второе уравнение — это уравнение плоскости, ортогональной $M$. Нас интересует пересечение этой плоскости с единичной сферой. Это пересечение является
— пустым, если $|c|>p/\sqrt{2}$,
— точкой $(\mathrm{\Gamma }=M)$, если $|c|=p/\sqrt{2}$,
— окружностью, если $|c|<p/\sqrt{2}$.
Комбинируя эти результаты с тем, что мы знаем относительно вектора $M$, мы находим образ «отображения момента» $(H,K)$ (рис. 3) и делаем вывод, что все регулярные поверхности уровня состоят из двух лиувиллевых торов.

На границе образа критические уровни, соответствующие точкам общего положения, состоят из двух окружностей, а критические уровни, соответствующие линии ${\lambda }_2$, являются прямым произведением фигуры, имеющей вид двух пересекающихся окружностей, на окружность.