3.1. Свободное твердое тело

В случае, когда неподвижная точка совпадает с центром масс (случай Эйлера-Пуансо), дифференциальная система (E) принимает вид
\[
\left\{\begin{aligned}
\dot{M} & =[M, \Omega], \\
\dot{\Gamma} & =[\Gamma, \Omega], \\
M & =\mathbf{J}(\Omega),
\end{aligned}\right.
\]

так как $L=0$. Конечно, основная задача состоит в том, чтобы решить первое уравнение (после этого можно решать второе). Мы, таким образом, должны рассмотреть систему
\[
\left\{\begin{array}{l}
\dot{M}=[M, \Omega], \\
M=\mathbf{J}(\Omega),
\end{array}\right.
\]

которая описывает движение свободного твердого тела (на тело не действуют никакие силы, и даже сила тяжести) вокруг одной из его точек. Несомненно, удобно начинать именно с этого примера, поскольку эта задача имеет малую размерность: $M \in \mathfrak{s} o(3)$, где орбиты представляют собой сферы с центром в точке 0 ; любая гамильтонова система на такой поверхности является интегрируемой.

Указанный первый интеграл $K=\frac{1}{2}\|M\|^{2}$ для всей системы становится «тривиальным» интегралом, который описывает орбиты (сферы)
\[
\mathbf{O}_{p^{2}}=\left\{M \in \mathbf{R}^{3} \mid u^{2}+v^{2}+w^{2}=2 p^{2}\right\} .
\]

Эти орбиты суть симплектические многообразия, на которых мы будем изучать поверхности уровня гамильтониана (кинетической энергии)
\[
H=\frac{1}{2}\left(\lambda_{1} u^{2}+\lambda_{2} v^{2}+\lambda_{3} w^{2}\right) .
\]

Рис. 1. Регулярные линии уровня для свободного твердого тела

Здесь $\lambda_{1}, \lambda_{2}$ и $\lambda_{3}$ — неотрицательные вещественные числа (обратные к собственным значениям оператора $\mathbf{J}$ ). Мы будем предполагать, что они различны и что, скажем, $\lambda_{1}<\lambda_{2}<\lambda_{3}$. Тогда поверхности уровня $H$ являются эллипсоидами общего вида (т. е. не имеющими оси вращения). Изучим их пересечения со сферами $\mathbf{O}_{p^{2}}$. Это пересечение условно изображено на рис. 1. Регулярные линии уровня состоят из двух несвязных овалов. Критические уровни состоят либо из двух точек, либо из двух овалов, пересекающихся в двух точках. Заштрихованные области соответствуют пустым уровням, а полупрямые — критическим значениям.
3.2. Алгебраическая модель

Все связные компоненты регулярного уровня с топологической точки зрения представляют собой окружности. Чтобы сделать такой вывод в этой размерности, теорема Арнольда-Лиувилля не нужна. Так как линии уровня отождествляются с окружностями, то утверждение о линейности гамильтонова векторного поля $X_{H}$ становится более или менее тавтологичным. Однако мы хотим понять аффинную структуру линий уровня.

У нас уже имеется алгебраическая структура, которая позволяет дать элегантное описание всей ситуации. Наша линия уровня представляет собой пересечение сферы и эллипсоида, т. е. двух вещественных аффинных квадрик. Ничто не мешает нам рассматривать их с комплексной и проективной точек зрения. Уравнения сферы и эллипсоида запишутся в виде
\[
\left\{\begin{array}{l}
u^{2}+v^{2}+w^{2}-2 p^{2} t^{2}=0, \\
\lambda_{1} u^{2}+\lambda_{2} v^{2}+\lambda_{3} w^{2}-2 h t^{2}=0 .
\end{array}\right.
\]

Обозначим их пересечение через $V$. Согласно классическому результату алгебраической геометрии, такое пересечение квадрик является эллиптической кривой.

Предложение 3.2.1. Если $\lambda_{1}, \lambda_{2}$ и $\lambda_{3}$ попарно различны, а также отличны от $h / p^{2}$, то пересечение $V$ является гладкой кривой рода 1 в $\mathbf{P}^{3}(\mathbf{C})$. Эта кривая представляет собой двулистное накрытие над $\mathbf{P}^{1}(\mathbf{C})$, разветвленное в точках $\lambda_{1}, \lambda_{2}, \lambda_{3} u \mathrm{~h} / \mathrm{p}^{2}$.

Замечание. Это наиболее общее расположение двух гладких трансверсальных квадратичных поверхностей (по крайней мере, над $\mathbf{C}$ ).

Доказательство.
Условие, наложенное на коэффициенты, обеспечивает трансверсальность двух квадратичных поверхностей. Таким образом, их пересечение $V$ является гладкой комплексной кривой. Рассмотрим теперь линейное семейство (пучок) $\mathcal{L}$, которое состоит из всех квадрик $C_{z}$ :
\[
\begin{array}{c}
C_{z}: Q_{z}(u, v, w, t)= \\
=\left(\lambda_{1}-z\right) u^{2}+\left(\lambda_{2}-z\right) v^{2}+\left(\lambda_{3}-z\right) w^{2}-2\left(h-z p^{2}\right) t^{2}=0,
\end{array}
\]

где $z \in \mathbf{P}^{1}=\mathbf{C} \cup \infty$, так что $C_{0}$ соответствует нашему эллипсоиду, а $C_{\infty}$ — сфере радиуса $p \sqrt{2}$. Заметим, что особые квадрики пучка $\mathcal{L}$ соответствуют значениям $z=\lambda_{1}, \lambda_{2}, \lambda_{3}$ или $h / p^{2}$.

Зафиксируем точку $A \in V$. Опишем отображение $\Phi_{A}: V \rightarrow \mathcal{L}$. Каждая точка $M \in V$ определяет прямую $A M$ (касательную к $V$ в точке $A$, если $M=A$ ). Эта прямая принадлежит одной (и только одной) квадрике $C_{z}$. Действительно, если $\varphi_{z}$ — симметричная билинейная форма, ассоциированная с $Q_{z}$ (его полярная форма), то
\[
Q_{z}[(1-\alpha) A+\alpha M]=0 \quad \forall \alpha \Leftrightarrow \varphi_{z}(A, M)=0 .
\]

Это линейное уравнение по переменной $z$, которое имеет единственное решение $z$, такое что $A M \subset C_{z}$.

Рис. 2

Отображение $\Phi_{A}$ голоморфно, и мы покажем, что оно является двулистным накрытием над $\mathbf{P}^{1}$, как утверждается в предложении. Выберем произвольную точку $z \in \mathbf{P}^{1}$ и рассмотрим ее прообраз $\Phi_{A}^{-1}(z)$. Он состоит из всех прямых в $C_{z}$, которые содержат точку $A$, т. е. является пересечением $T_{A} C_{z} \cap Q_{z}$. Получаем, что этот прообраз представляет собой две прямые. Теперь рассмотрим пересечение пучка $\mathcal{L}$ с плоскостью $T_{A} C_{z}$. Очевидно, мы получаем пучок конических кривых. Наши две прямые образуют особую конику этого пучка, поэтому они должны пересекать все коники пучка. Следовательно, мы получаем две точки $M, N \in V$, образом которых является $z$ (см. рис. 2).

Если две прямые не совпадают, т.е. если пересечение $T_{A} C_{z} \cap Q_{z}$ не является двойной прямой, то эти две точки будут различными. В противном случае, $C_{z}$ будет особой, что эквивалентно условию $z=\lambda_{1}, \lambda_{2}, \lambda_{3}$ или $h / p^{2}$.

Таким образом, мы имеем двулистное накрытие, разветвленное в четырех точках, причем $V$ является кривой рода 1 .

Замечание (относительно вещественной части). Предположим, что точка $A$, которая используется для определения накрывающего отображения $\Phi_{A}$, является вещественной точкой (имеет вещественные координаты). Тогда $\Phi_{A}$ — вещественное отображение, переводящее вещественную часть $V_{\mathbf{R}}$ многообразия $V$ в $\mathbf{P}^{1}(\mathbf{R})$. Образ представляет собой множество всех вещественных значений $z$, для которых $C_{z}$ содержит вещественную прямую, проходящую через $A$. Вещественная квадратичная поверхность $C_{z}$ может содержать вещественную прямую только тогда, когда она является однополостным гиперболоидом, т. е. если сигнатура квадратичной формы $Q_{z}$ равна $(2,2)$, или если сигнатура формы
\[
\frac{\lambda_{1}-z}{h-z p^{2}} u^{2}+\frac{\lambda_{2}-z}{h-z p^{2}} v^{2}+\frac{\lambda_{3}-z}{h-z p^{2}} w^{2}
\]

равна $(2,1)$. Если мы расположим четыре точки $\left\{\lambda_{1}, \lambda_{2}, \lambda_{3}, h / p^{2}\right\} \quad$ в порядке возрастания $\lambda_{1}<b<c<\lambda_{3}$, то условие принимает вид
\[
z \in\left[\lambda_{1}, b\right] \cup\left[c, \lambda_{3}\right] .
\]

Заметим, что мы использовали вещественную точку $A$ многообразия $V$, а значит, должны были предполагать, что вещественная часть $V_{\mathbf{R}}$ не пуста и, следовательно, $h / p^{2} \in\left[\lambda_{1}, \lambda_{3}\right]$ (поэтому $\lambda_{1}$ наименьшее, а $\lambda_{3}$ наибольшее число среди указанных четырех чисел). Тогда $V_{\mathbf{R}}$, как мы уже отмечали, состоит из двух свнзных компонент.
3.3. Линеаризация решений

Запишем дифференциальное уравнение $\dot{M}=[M, \Omega]$ покомпонентно:
\[
\left\{\begin{aligned}
\dot{u} & =\left(\lambda_{3}-\lambda_{2}\right) v w \\
\dot{v} & =\left(\lambda_{1}-\lambda_{3}\right) w u \\
\dot{w} & =\left(\lambda_{2}-\lambda_{1}\right) u v
\end{aligned}\right.
\]

и рассмотрим дифференциальную форму
\[
\omega=\frac{d u}{\left(\lambda_{3}-\lambda_{2}\right) v w}=\frac{d v}{\left(\lambda_{1}-\lambda_{3}\right) w u}=\frac{d w}{\left(\lambda_{2}-\lambda_{3}\right) u v} .
\]

Легко проверить (мы оставляем это читателю в качестве упражнения), что $\omega$ является голоморфной 1 -формой на $V$. Поскольку $V$ является кривой рода 1 , то комплексное векторное пространство голоморфных 1-форм на $V$ одномерно и существует изоморфизм $u_{A}: V \rightarrow \mathbf{C} / \Lambda$ (где $\Lambda$ — это период решетки пространства $V$ ), заданный соответствием:
\[
M \longmapsto \int_{A}^{M} \omega
\]

Рис. 3. Отображение момента для волчка Эйлера-Пуансо

Теперь предположим, что $t \mapsto M(t)$ является решением дифференциального уравнения $\dot{M}=[M, \Omega]$. Имеем
\[
u_{M(0)}(M(t))=\int_{M(0)}^{M(t)} \omega=\int_{M(0)}^{M(t)} d t=t .
\]

Это означает, что образы решений в $\mathbf{C} / \Lambda$ суть прямые линии по модулю $\Lambda$ (в размерности 1 это и неудивительно) с линейной параметризацией (а это уже интересно). Таким образом, каноническая структура на $\mathbf{C} / \Lambda$ является овеществлением аффинной структуры, определяемой потоком на $V$.
3.4. Лиувиллевы торы для волчка Эйлера-Пуансо

Вернемся к исходной задаче Эйлера-Пуансо и рассмотрим вектор $Г$. Для любого $M$, удовлетворяющего уравнениям
\[
\left\{\begin{array}{l}
K=\frac{1}{2} p^{2}=\frac{1}{2}\|M\|^{2} \\
H=\frac{1}{2} h=\frac{1}{2} M \cdot \Omega
\end{array}\right.
\]

найдем все векторы $\Gamma$, такие что
\[
\left\{\begin{array}{c}
\|\Gamma\|^{2}=1, \\
\Gamma \cdot M=c .
\end{array}\right.
\]

Второе уравнение — это уравнение плоскости, ортогональной $M$. Нас интересует пересечение этой плоскости с единичной сферой. Это пересечение является
— пустым, если $|c|>p / \sqrt{2}$,
— точкой $(\Gamma=M)$, если $|c|=p / \sqrt{2}$,
— окружностью, если $|c|<p / \sqrt{2}$.
Комбинируя эти результаты с тем, что мы знаем относительно вектора $M$, мы находим образ «отображения момента» $(H, K)$ (рис. 3) и делаем вывод, что все регулярные поверхности уровня состоят из двух лиувиллевых торов.

На границе образа критические уровни, соответствующие точкам общего положения, состоят из двух окружностей, а критические уровни, соответствующие линии $\lambda_{2}$, являются прямым произведением фигуры, имеющей вид двух пересекающихся окружностей, на окружность.