«On donne deux circonférences $O$ et $O^{\prime}$. D’un point $A$ pris sur $O$ on mène les tangentes à $O^{\prime}$; on joint les points de contact de ces tangentes; on mène la tangente en $A$ à la circonférence $O$. On demande le lieu du point d’intersection de cette tangente avec la corde des contacts de la circonférence $O^{\prime}$.»
Chacun comprenait l’importance d’un pareil théorème.
Jules Verne Paris au vingtième siècle ${ }^{2}$

Цель этой книги – показать роль некоторых современных методов в теории интегрируемых систем и пути их использования для получения топологической информации на примере задач механики. Мы старались двигаться непосредственно к цели, по ходу объясняя методы, а общую теорию вынося в приложения.

Основной объект изучения – «твердое тело с неподвижной точкой в постоянном гравитационном поле» в случае, когда дифференциальные уравнения, описывающие это движение, вполне интегрируемы. Для этого сложного понятия существует современный термин (который, без сомнения, столь же неудачен, сколь и удобен) – вращающийся волчок, или просто волчок. Мы будем пользоваться этим термином.
${ }^{2}$ Даны две окружности $O$ и $O^{\prime}$. Из точки $A$, взятой на окружности $O$, проведем две касательные к $O^{\prime}$ и соединим точки касания. Через точку $A$ проведем касательную к окружности $O$. Требуется найти положение точки пересечения этой касательной с хордой, проведенной через точки касания на окружности $O^{\prime}$.»
Каждый понимает важность этой теоремы.
Жюль Верн.
Париж в двадцатом веке.

Вращающиеся волчки представляют собой известные примеры вполне интегрируемых систем с двумя степенями свободы: твердое тело, вращающееся вокруг своего центра масс, твердое тело с осью вращения (именно этот случай объясняет, правда достаточно плохо, происхождение термина «вращающийся волчок») и, наконец, таинственный (?) случай Ковалевской.

За последние два десятилетия были получены важные результаты и разработана достаточно сложная техника в области интегрируемых систем конечных и бесконечных размерностей, и с этого времени интегрируемые системы стоят на пересечении многих областей математики. Упомянем здесь лишь теорию представлений (алгебры Ли, алгебры петель, алгебры Каца-Муди …) и алгебраическую геометрию (алгебраические кривые, абелевы многообразия, тета-функции …).

В то же время, но совершенно независимо, появились исследования по топологии этих систем (лиувиллевы торы и их бифуркации).

Главная идея настоящей книги – показать, что упомянутая «сложная техника» может также оказаться пригодной и для получения информации о топологии. С одной стороны, предложенный подход позволяет использовать один общий метод для описания разных случаев, с другой стороны, этот метод оказывается тем не менее достаточно естественным, поэтому он неожиданно дает новые результаты в известных задачах.

Вращающиеся волчки изучались с восемнадцатого столетия. Хорошо известно, что решения соответствующих дифференциальных уравнений могут быть выражены в терминах эллиптических функций или, как в случае Ковалевской, в терминах абелевых функций, связанных с гиперэллиптическими кривыми. Следовательно, a posteriori известно, что в основе лежат алгебраические кривые. Современная техника выдвигает их на передний план: отправной точкой исследования является алгебраическая кривая. В этом случае, мы заранее знаем, что система обладает достаточным количеством первых интегралов и можем найти точные решения. Здесь мы хотим показать, как этот подход можно использовать для описания топологии системы.

Во введении мы попытаемся дать набросок идеи этого метода в достаточно свободном стиле. Некоторые более сложные детали будут объяснены в приложении.