Рассмотрим теперь матрицы размера $3 \times 3$ (что соответствует случаю трех частиц).

2.1. Кривая и интегралы

Рассмотрим гиперэллиптическую кривую рода 2 , которая является пополнением кривой
\[
X_{0}=\left\{(\lambda, \mu) \in \mathbf{C}^{\star} \times \mathbf{C} \mid \lambda+\lambda^{-1}-\mu^{3}+H_{1}(b, x) \mu+H_{2}(b, x)=0\right\},
\]

где
\[
\left\{\begin{array}{l}
H_{1}(b, x)=x_{1}+x_{2}+x_{3}-b_{1} b_{2}-b_{2} b_{3}-b_{3} b_{1} \\
H_{2}(b, x)=b_{1} b_{2} b_{3}-b_{1} x_{2}-b_{2} x_{3}-b_{3} x_{1} .
\end{array}\right.
\]

Зафиксируем значения $h_{1}$ и $h_{2}$ функций $H_{1}$ и $H_{2}$. Соответствующая кривая $X$ является гладкой, когда корни полинома
\[
\Delta(\mu)=\left(-\mu^{3}+h_{1} \mu+h_{2}\right)^{2}-4
\]

различны, т. е. когда оба полинома $-\mu^{3}+h_{1} \mu+h_{2} \pm 2$ имеют простые корни.
2.2. Свойства отображения собственных векторов

Собственные векторы легко вычисляются в терминах миноров матрицы $A_{\lambda}^{\prime}-\mu \mathrm{Id}$ (заметим, что вычисления являются достаточно общими и взяты из работы ван Мербеке и Мамфорда [62]). Находим, что
\[
\left(\begin{array}{l}
u_{1} \\
u_{2} \\
u_{3}
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}
-1+x_{3}\left(b_{2}-\mu\right) \lambda^{-1} \\
b_{1}-\mu-x_{1} x_{3} \lambda^{-1} \\
x_{1}-\left(b_{1}-\mu\right)\left(b_{2}-\mu\right)
\end{array}\right)
\]
– собственный вектор матрицы $A_{\lambda}^{\prime}$ с собственным значением $\mu$.

Заметим, что третья координата $u_{3}$ является функцией от $\mu$, так что она обращается в нуль в двух парах точек $\left(Q_{1}, \tau Q_{1}\right),\left(Q_{2}, \tau Q_{2}\right)$. Пусть $Q_{1}$ и $Q_{2}$ – общие нули функций $u_{1}$ и $u_{3}$. Заметим, что $u_{1}=u_{3}=0$ $\Rightarrow u_{2}=0$, так что эти точки также являются общими нулями функций $u_{2}$ и $u_{3}$.

Положим $P_{i}=\tau Q_{i}$ и рассмотрим сечение ${ }^{t}\left(f_{1}, f_{2}, 1\right)={ }^{t}\left(\frac{u_{1}}{u_{2}}, \frac{u_{2}}{u_{3}}, 1\right)$ расслоения собственных векторов.

Заметим, что порядок полюса в точке $A$ равен
– 2 по $\mu^{2}$ и $u_{3}$,
– 3 по $\lambda$ и $u_{2}$,
– 4 по $\lambda \mu$ и $u_{1}$,

а точка $B$ не является полюсом функций $f_{1}$ и $f_{2}$. Тогда
\[
\begin{array}{l}
\left(f_{1}\right)_{\infty}=P_{1}+P_{2}+2 A, \\
\left(f_{2}\right)_{\infty}=P_{1}+P_{2}+A,
\end{array}
\]

и дивизор полюсов этого ссчсния равсн $P_{1}\left|P_{2}\right| 2 A$. Замстим также, что $B$ является простым нулем функции $f_{2}$ и двойным нулем $f_{1}$.

Таким образом, мы нашли представителя образа точки $(b, x)$ в $\operatorname{Pic}^{4}(X)$ при отображении собственных векторов. Упомянутый выше дивизор $D$ есть не что иное как $P_{1}+P_{2}$. Следующей нашей целью будет изучение его свойств.
Предложение 2.2.1. Существует эффективный дивизор $D$ степени 2 на $X$, который является общим, удовлетворяет равенству
\[
h^{0}(D+k A-(k+1) B)=0 \quad \text { при } k=0,1,2
\]

и такой, что $D+2 A$ является представителем класса дивизора собственных векторов.

Доказательство.
Прежде всего для $m \geqslant 1$ имеем $\operatorname{deg}(D+m A)=m+2>2$. Поэтому, согласно теореме Римана-Роха, получаем
\[
h^{0}(D+m A)=m+2-2+1=m+1 .
\]

Например, $h^{0}(D+A)=2$. Из этого следует, что $h^{0}(D)=1$, так как было замечено, что
\[
f_{2} \in \mathcal{L}(D+A)-\mathcal{L}(D),
\]

причем это включение строгое. Иными словами, $D$ является общим. Как следствие, $\mathcal{L}(D)=\mathbf{C}$ (постоянные функции), таким образом,
$\mathcal{L}(D-B)=0$ (константа равна нулю) и, поскольку $f_{2} \in \mathcal{L}(D+A-B)$, то $h^{0}(D+A-B)=1$ (напомним, что добавление полюса может, самое большее, увеличить размерность на 1!).
Нуль функции $f_{2}$ в точке $A$ является простым, так что
\[
f_{2} \in \mathcal{L}(D+A-B)-\mathcal{L}(D+A-2 B)
\]

и $h^{0}(D+A-2 B)=0$. Аналогично, $f_{1} \in \mathcal{L}(D+2 A-2 B)$, поэтому $h^{0}(D+2 A-2 B)=h^{0}(D+A-2 B)+1=1$ и $h^{0}(D+2 A-3 B)=0$.

Предположим теперь, что мы имеем дивизор $D$ на кривой $X$, который удовлетворяет указанным выше свойствам. Можно построить матрицу $A_{\lambda}^{\prime}$, такую что дивизор $D+2 A$ является ее образом. Следовательно, мы получаем наш основной результат.
Рассмотрим отображение Абеля-Якоби
\[
\begin{array}{l}
X \longrightarrow \operatorname{Pic}^{4}(X) \\
P \longmapsto P+3 A .
\end{array}
\]

Пусть $\mathcal{D}_{1}$ – его образ (это копия кривой $X$, вложенная в $\operatorname{Pic}^{4}(X)$, сдвиг $\Theta$-дивизора). Аналогично, пусть $\mathcal{D}_{2}$ и $\mathcal{D}_{3}$ – образы дивизора $\mathcal{D}_{1}$, полученные сдвигами порядка 3 на $A-B$ и $2 A-2 B$, соответственно.

Теорема 2.2.2. Предположим, что кривая $X$ гладкая. Тогда уровень $\mathcal{T}_{h}^{\prime}$ регулярен, отображение собственных векторов
\[
\varphi^{\prime}: \mathcal{T}_{h}^{\prime} \longrightarrow \operatorname{Pic}^{4}(X)
\]

является изоморфизмом на свой образ, а образ $\varphi^{\prime}$ есть дополнение до объединения $\mathcal{D}_{1} \cup \mathcal{D}_{2} \cup \mathcal{D}_{3}$.

Доказательство.
Первое утверждение немедленно следует из предложения 1.2.2. Докажем теперь второе утверждение, т. е. попытаемся построить матрицу $A_{\lambda}^{\prime}$, исходя из дивизора $D$. Прежде всего, $\mathcal{L}(D+2 B)=V$ является трехмерным векторным пространством: это есть пространство $\mathbf{C}^{3}$, на котором будет действовать матрица $A_{\lambda}^{\prime}$. Более того, можно выбрать базис $\left(g_{1}, g_{2}, 1\right)$ в пространстве $V$, такой что
\[
g_{1} \in \mathcal{L}(D+2 A-2 B), \quad g_{2} \in \mathcal{L}(D+A-B) .
\]

Поскольку оба эти подпространства пространства $\mathcal{L}(D+2 A)$ одномерны, то $g_{1}$ и $g_{2}$ корректно определены с точностью до умножения на ненулевое комплексное число. Нам необходимо понять, как действует операция умножения на $\mu$ на этих функциях.
Сначала рассмотрим $\mu g_{2}$. Имеем:
\[
\left(\mu g_{2}\right)=(\mu)+\left(g_{2}\right) \geqslant-B-A-D-A+B=-D-2 A,
\]

откуда $\mu g_{2} \in \mathcal{L}(D+2 A)$ и
\[
\mu g_{2}=y_{1} g_{1}+b_{2} g_{2}+c .
\]

Поскольку мы знаем, что $\mathcal{L}(D+A-2 B)=0$, то нуль функции $g_{2}$ в точке $B$ является простым, поэтому $\mu g_{2}$ не может обращаться в нуль в точке $B$ и $c
eq 0$. Положим $f_{2}=g_{2} / c$, тогда
\[
\mu f_{2}=y_{1} g_{1}+b_{2} f_{2}+1 .
\]

Рассмотрим теперь $\mu g_{1}$. Имеем:
\[
\left(\mu g_{1}\right)=(\mu)+\left(g_{1}\right) \geqslant-B-A+\left(g_{1}\right) \geqslant-B-A-D-2 A+2 B .
\]

Таким образом, $\left(\mu g_{1}\right) \geqslant-D+B-3 A$. Действительно, мероморфная функция $\mu g_{1}$ имеет полюсы на $D$ и тройной полюс в точке $A$, никаких других полюсов у этой функции нет. Кроме того, она обращается в нуль в точке $B$. Вспомним, что $\lambda$ также имеет тройной полюс в точке $A$, поэтому существует ненулевое комплексное число $y_{3}$, такое что $\mu g_{1}-y_{3} \lambda^{-1}$ имеет, самое худшее, полюс второго порядка в точке $A$. Следовательно, $\mu g_{1}-y_{3} \lambda^{-1} \in \mathcal{L}(D+2 A-B)$. Тогда ( $g_{1}, f_{2}$ ) является базисом пространства $\mathcal{L}(D+2 A-B)$, и мы можем записать:
\[
\mu g_{1}-y_{3} \lambda^{-1}=b_{1} g_{1}+c f_{2} .
\]

Наконец, рассмотрим $\mu \cdot 1$. Напомним, что в точке $B$ функция $\mu$. имеет простой полюс, $\lambda$ имеет тройной полюс, а $g_{1}$ имеет двойной нуль, поэтому $\lambda g_{1}$ имеет простой полюс в точке $B$. Заменяя $g_{1}$ на подходящий множитель $f_{1}$, мы можем заключить, что $\mu-\lambda f_{1}$ не имеет полюсов в точке $B$. В точке $A$ функция $\lambda f_{1}$ имеет простой нуль, так что $\mu-\lambda f_{1}$ имеет простой полюс. Все полюсы функции $\lambda f_{1}$ являются простыми и принадлежат $D$, поэтому $\mu-\lambda f_{1} \in \mathcal{L}(D+A)$. Таким образом получаем, что $\mu-\lambda f_{1}$ равно $x_{2} f_{2}+b_{3}$ для некоторых корректно определенных констант $x_{2}$ и $b_{3}$. Заметим, что теперь $f_{1}$ и $f_{2}$ полностью определены и удовлетворяют равенству
\[
\mu\left(\begin{array}{c}
f_{1} \\
f_{2} \\
1
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}
b_{1} & c^{\prime} & x_{3} \lambda^{-1} \\
x_{1} & b_{2} & 1 \\
\lambda & x_{2} & b_{3}
\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}
f_{1} \\
f_{2} \\
1
\end{array}\right) .
\]

Поскольку $(\lambda, \mu) \in X$, то $c^{\prime}=1$ и мы построили матрицу $A_{\lambda}^{\prime}$, исходя из дивизора $D$.

Таким образом, мы показали, что любой общий дивизор $D$, удовлетворяющий дополнительным свойствам, указанным в предложении 2.2.1, является образом ровно одной матрицы $A_{\lambda}^{\prime}$, поэтому отображение собственных векторов инъективно и указанные свойства описывают его образ.

Нам осталось проверить, что свойства, перечисленные в предложении 2.2 .1 , в точности означают, что $D+2 A
otin \mathcal{D}_{i}$.
2.3. Топология поверхностей уровня

Здесь мы опишем топологию поверхностей уровня $\mathcal{T}_{h}^{\prime}$, используя теорему 2.2.2: эти поверхности возникают на вещественной части дополнения ${ }^{2}$ к дивизорам $\mathcal{D}_{i}$ на якобиане. Мы должны сначала изучить относительное расположение дивизоров $\mathcal{D}_{i}$, а затем понять, как они вложены в якобиан.

Относительное расположение дивизоров $\mathcal{D}_{1}, \mathcal{D}_{2}, \mathcal{D}_{3}$. Каждый дивизор $\mathcal{D}_{i}$ касается двух соседних. Обычно это описывают с помощью комбинаторной схемы, как показано на рис. 19; на рис. 21 приведено более детальное описание. Дадим точную формулировку этого свойства.
${ }^{2}$ Заметим, что это единственный пример в книге, где нам необходимо знать образ отображения собственных векторов: в случае, когда рассматриваемый уровень компактен, если удастся получить инъективное отображение собственных векторов, то уровень отождествляется с вещественной частью абелева многообразия.

Рис. 19.

Предложение 2.3.1. Пересечение дивизоров $\mathcal{D}_{i}$ и $\mathcal{D}_{i+1}(i \bmod 3)$ состоит из одной точки, которая является вещественной и в которой две кривые касаются. Касательный вектор в точке пересечения принадлежит прямой, порожденной коциклом $\mu \in H^{1}\left(X ; \mathcal{O}_{X}\right)$.

Доказательство.
Гомологическое пересечение, вообще говоря, описывается формулой Пуанкаре (см., например, книгу Ланге и Биркенеке [57] по поводу этого результата). В данном случае это пересечение найти достаточно просто, поскольку мы имеем дело с кривой рода 2 , вложенной в четырехмерный тор: индекс самопересечения равен числу Эйлера нормального расслоения; поскольку объемлющее пространство является тором, то это число совпадает с точностью до знака с эйлеровой характеристикой и, следовательно, равно 2.

Теоретико-множественное пересечение $\mathcal{D}_{1} \cap \mathcal{D}_{2}$ содержит класс дивизора $4 A$, который появляется в $\mathcal{D}_{1}$ как образ $A+3 A$ точки $A$ и в $\mathcal{D}_{2}$ как образ $B+3 A+(A-B)$ точки $B$. Заметим, что точка $4 A$ вещественна.

Для доказательства предложения достаточно показать, что прямая с направляющим коциклом $\mu$ касается в этой точке как $\mathcal{D}_{1}$, так и $\mathcal{D}_{2}$ : это гарантирует, что $\mathcal{D}_{1}$ и $\mathcal{D}_{2}$ касаются в этой точке. Поскольку индекс самопересечения равен 2 , то точка $4 A$ будет единственной точкой в $\mathcal{D}_{1} \cap \mathcal{D}_{2}$.

С помощью сдвигов мы хотим показать, что (в образе кривой $X$ в ее якобиане при отображении Абеля-Якоби) касательная прямая в обеих точках $A$ и $B$ является прямой с направляющим коциклом $\mu$.

Действительно, запишем отображение Абеля-Якоби в виде
\[
\begin{array}{c}
X \longrightarrow H^{0}\left(\Omega_{X}^{1}\right)^{\star} / \Lambda \\
P \longmapsto\left(\omega \mapsto \int^{P} \omega\right) .
\end{array}
\]

Тогда его касательное отображение имеет вид
\[
\begin{aligned}
T_{P} X & \longrightarrow H^{0}\left(\Omega_{X}^{1}\right) \\
\eta & \longmapsto\left(\omega \mapsto \omega_{P}(\eta)\right),
\end{aligned}
\]

и прямая, касательная к образу кривой в точке образа $P$, есть прямая, порожденная линейной формой $\omega \mapsto \omega_{P}$.

Мы хотим показать, что обе прямые в $H^{0}\left(\Omega_{X}^{1}\right)^{\star}$, порожденные формами $\omega \mapsto \omega_{A}$ и $\omega \mapsto \omega_{B}$, совпадают с прямыми, порожденными коциклом $\mu$. В точках $A$ и $B$ функция $u=1 / \mu$ является голоморфной локальной координатой. Поэтому, если $\omega=\alpha(u) d u$ в точке $A$ и $\omega=\beta(u) d u$ в точке $B$, то $\operatorname{Res}_{A}(\mu \omega)=\alpha(0), \operatorname{Res}_{B}(\mu \omega)=\beta(0)$ и
\[
\left\{\begin{aligned}
\omega_{A} & =0 \Leftrightarrow \operatorname{Res}_{A}(\mu \omega)=0, \\
\omega_{B}=0 & \Leftrightarrow \operatorname{Res}_{B}(\mu \omega)=0,
\end{aligned}\right.
\]

что и требовалось доказать.
Замечание. В общем случае мы получаем $n+1$ сдвиг дивизора $\mathcal{D}_{1}$, каждый из которых касается предыдущего и следующего дивизоров. Комбинаторная схема совпадает с расширенной диаграммой Дынкина полупростой алгебры Ли $\mathfrak{s} l_{n+1}$. Этот результат взят из работы Адлера и ван Мербеке [6] (аналогичные результаты относительно цепочек Тода, связанные с другими полупростыми алгебрами Ли, можно найти в той же работе. Приведенное здесь утверждение и его доказательство носят общий характер (включая утверждение о касании, см. [12]).

Регулярные значения. Построим вещественную кривую $X_{\mathbf{R}}$ (в координатах ( $\mu, y$ ), см. лемму 1.2.3) в зависимости от расположения точки $\left(h_{1}, h_{2}\right.$ ) (рис. 20).

Рис. 20.

Дискриминантная кривая состоит из двух экземпляров дискриминантов полиномов степени 3 (см. 2.1). Вне этих кривых мы имеем регулярные уровни, и можно проверить, что точки дискриминанта фактически являются критическими значениями. Дополнение до дискриминанта состоит из четырех областей, обозначенных соответственно $(1),(2),(3)$ и (4). Они соответствуют вещественной части $X_{\mathbf{R}}$, имеющей соответственно три, две, две или одну связную компоненту.

Вещественная кривая на якобине. Заметим, что $\operatorname{Pic}^{4}(X)_{\mathbf{R}}$ можно отождествить с вещественной частью якобиана, поскольку $X_{\mathbf{R}}$ всегда непусто. Единственное, что нам осталось сделать, – это изучить вещественные аспекты отображения Абеля-Якоби.

Лемма 2.3.2. Любая связная компонента кривой $X_{\mathbf{R}}$ представляет собой примитивный ненулевой элемент группы $H_{1}\left(\operatorname{Jac}(X)_{\mathbf{R}} ; \mathbf{Z}\right)$.

Доказательство.
Пусть $X_{0}$ – связная компонента кривой $X_{\mathbf{R}}$, и пусть $T_{0}$ – двумерный тор, в который эта компонента переходит под действием отображения Абеля-Якоби $u$. Напомним, что $u_{\star}: H_{1}(X ; \mathbf{Z}) \rightarrow H_{1}(\operatorname{Jac}(X) ; \mathbf{Z})$ является изоморфизмом (см. Приложение 4).

Если рассматривать $X$ как двулистное накрытие над $\mathbf{P}^{1}(\mathbf{C})$, разветвленное в корнях полинома $P(\mu)^{2}-4$, то более или менее очевидно, что каждая компонента вещественной части дает примитивный ненулевой элемент в $H_{1}(X ; \mathbf{Z})$ и, следовательно, в $H_{1}(\operatorname{Jac}(X) ; \mathbf{Z})$.

Рис. 21.

Связная компонента $T_{0}$ многообразия $\operatorname{Jac}(X)_{\mathbf{R}}$ задается включением $P \hookrightarrow \mathbf{C}^{2}$ некоторого сдвига вещественной плоскости $\mathbf{R}^{2}$ и соответствующей решеткой $\Lambda_{0} \hookrightarrow \Lambda$, так что мы получаем коммутативную диаграмму
\[
\begin{aligned}
\Lambda_{0}=H_{1}\left(T_{0}\right) & \longrightarrow H_{1}(\mathrm{Jac}(X))=\Lambda \\
H_{1}\left(X_{0}\right) & \longrightarrow \prod_{1}(X) .
\end{aligned}
\]

Генератор $H_{1}\left(X_{0}\right)$ отображается на примитивный ненулевой элемент $H_{1}\left(T_{0}\right)$.

Таким образом, дополнение любой компоненты кривой $X_{\mathbf{R}}$ в своем торе является цилиндром. Используя относительное расположение дивизоров $\mathcal{D}_{i}$ (см. предложение 2.3.1), можно легко получить полное описание топологии вещественных поверхностей уровня $\mathcal{T}_{h}^{\prime}$, как показано на рис. 21.

Предложение 2.3.3. Вещественная поверхность уровня $\mathcal{T}_{h}^{\prime}$ состоит из трех открытых дисков, если $X_{\mathrm{R}}$ связно, трех открытых дисков $и$ трех иилиндров, если $X_{\mathbf{R}}$ состоит из двух компонент, и трех открытых дисков, шести цилиндров и тора, если $X_{\mathbf{R}}$ имеет три компоненты связности.

Собственная цепочка Тода. Используя это предложение, можно описать топологию исходной поверхности уровня $\mathcal{T}_{h}$ (которая компактна): отображение собственных векторов $\varphi: \mathcal{T}_{h} \rightarrow \operatorname{Pic}^{4}(X)$ является четырехлистным накрытием над своим образом, который содержится в вещественной части якобиана без дивизоров $\mathcal{D}_{i}$ (поскольку $\varphi$ не инъективно, то могут найтись, и они действительно есть, вещественные точки на якобиане, которые являются образами невещественных точек поверхности $\mathcal{T}_{h}$ ). Поскольку гамильтониан является собственной функцией, единственные значения $h$, которые могут дать непустые уровни $\mathcal{T}_{h}$, – это те, для которых $\mathcal{T}_{h}^{\prime}$ имеет компактную компоненту (случай, когда $X_{\mathbf{R}}$ имеет максимально возможное число компонент). Кроме того, знаки $a_{1}, a_{2}$ и $a_{3}$ (где $a_{1} a_{2} a_{3}=1$ ) позволяют делать различие между четырьмя группами связных компонент в $\mathcal{T}_{h}$. Окончательно получаем
Следствие 2.3.4. Вещественная поверхность уровня $\mathcal{T}_{h}$ состоит из четырех торов, если $h$ таково, что $X_{\mathbf{R}}$ имеет три компоненты, и пусто в противном случае.

Замечание. Как показывает рис. 21 и предложение 2.3.1, существует выделенное направление, касательное к многообразию $\operatorname{Jac}(X)$. Исходя из изоспектрального множества $\mathcal{T}_{h}$ матриц Якоби (которое фактически не имеет отношения ни к одной дифференциальной системе), мы находим, используя отображение собственных векторов $\varphi$, выделенное направление, касательное к $\mathcal{T}_{h}$. А это уже неожиданный результат. Еще более удивительным является то, что это есть направление потока Тода, потока гамильтониана $H$ (как видно из доказательства предложения 1.2.2). Более подробную информацию по этому вопросу можно найти в [12].

Бифуркации. Заметим, что торы, равно как и цилиндры, могут исчезать, становясь все тоньше и тоньше. Однако не существует никакой морсовской модели, согласно которой могут исчезать диски … поэтому они остаются.