В этом параграфе мы, прежде всего, дадим классическое описание (см., например, книги Аппеля [7] и Арнольда [9]) движения оси симметрии вращающегося волчка (каждый, кто хотя бы раз играл с настоящим вращающимся волчком, понимает, что это интересный вопрос). Затем мы объясним также, как связано это движение с проблемой лиувиллевых торов.
В этом случае матрица тензора инерции имеет вид
\[
\mathbf{J}=\left(\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & m
\end{array}\right)
\]

как указано выше (см. обозначения, которыми мы пользуемся, в I.2.1), а ось $L$ нвляется третьим вектором в базисе. Зафиксируем орбиту $\mathbf{O}_{c}$ и значения $h$ и $k$ величин $H=\frac{1}{2} M \cdot \Omega+\Gamma \cdot L$ и $K=M \cdot L$.
1.1. Дифференциальные уравнения для $\gamma_{3}$

Изучив поведение величины $M \cdot \Gamma$, мы поймем, как меняется со временем положение оси $L$ относительно вертикального направления $\Gamma$. Запишем
\[
\Gamma=\left(\begin{array}{c}
\gamma_{1} \\
\gamma_{2} \\
\gamma_{3}
\end{array}\right), \quad M=\left(\begin{array}{c}
u \\
v \\
w
\end{array}\right), \quad \Omega=\left(\begin{array}{c}
u \\
v \\
m^{-1} w
\end{array}\right) .
\]

Попытаемся найти дифференциальное уравнение, которому удовлетворяет $\gamma_{3}$.

Поскольку $\dot{\Gamma}=[\Gamma, \Omega]$, мы имеем $\dot{\gamma_{3}}=\gamma_{1} v-\gamma_{2} u$ и
\[
{\dot{\gamma_{3}}}^{2}=\gamma_{1}^{2} v^{2}+\gamma_{2}^{2} u^{2}-2 \gamma_{1} \gamma_{2} u v .
\]

Воспользуемся тем, что $w=M \cdot L=k$ и $c=M \cdot \Gamma$. Отсюда
\[
u \gamma_{1}+v \gamma_{2}=c-k \gamma_{3} .
\]

Для вычисления слагаемого $2 u v \gamma_{1} \gamma_{2}$, возведем эту формулу в квадрат и подставим в уравнение (1):
\[
{\dot{\gamma_{3}}}^{2}=\left(\gamma_{1}^{2}+\gamma_{2}^{2}\right)\left(u^{2}+v^{2}\right)-\left(c-k \gamma_{3}\right)^{2} .
\]

Поскольку вектор Г единичный, получаем
\[
{\dot{\gamma_{3}}}^{2}=\left(1-\gamma_{3}^{2}\right)\left(u^{2}+v^{2}\right)-\left(c-k \gamma_{3}\right)^{2} .
\]

Для того чтобы исключить члены, содержащие $u$ и $v$, которые еще остаются в уравнении (2), мы воспользуемся интегралом $H$ :
\[
h=\frac{1}{2}\left(u^{2}+v^{2}+\frac{1}{m} k^{2}\right)+\gamma_{3},
\]

благодаря которому легко вычисляется $u^{2}+v^{2}$. Подставим это выражение в (2):
\[
H^{\prime}=2 H+\left(1-\frac{1}{m}\right) K^{2} .
\]

Окончательно получаем:
\[
{\dot{\gamma_{3}}}^{2}=\left(1-\gamma_{3}^{2}\right)\left(h^{\prime}-k^{2}-2 \gamma_{3}\right)-\left(c-k \gamma_{3}\right)^{2} .
\]

Уравнение (3) имеет вид $\dot{x}^{2}=f(x)$ для некоторого полинома $f$ степени 3. Таким образом, мы должны рассмотреть кривую $\mathcal{C}$, заданную уравнением
\[
y^{2}=f(x) .
\]

Эта кривая является эллиптической, на ней уравнение (3) принимает вид $d t=d x / y$.

Для того чтобы значения $(h, k$ ) соответствовали действительным движениям вращающегося волчка, необходимо наличие решений, для

Рис. 4. Кривая $\mathcal{C}$
которых $-1 \leqslant \gamma_{3} \leqslant 1$, так что кривая должна иметь вещественные точки на отрезке $[-1,1]$. Значения $(h, k)$, удовлетворяющие этому условию, можно найти непосредственно, однако это аналитически сложно. В 2.5 мы получим этот результат достаточно легко, а пока будем считать, что эти значения найдены.

Так как $f( \pm 1)=-(c-K)^{2} \leqslant 0$, то полином $f$ должен иметь два вещественных корня $x_{3}$ и $x_{2}$ на $[-1,1]$ и третий вещественный корень $x_{1}>1$.

Вещественная часть кривой $\mathcal{C}$ изображена на рис. 4. Заметим, что только ограниченная компонента соответствует действительным движениям. Это означает, что решения дифференциального уравнения (3), соответствующие действительным движениям волчка, принадлежат $\left[x_{3}, x_{2}\right]$. Поэтому, как и следовало ожидать и как видно из классических рисунков (рис. 7), конец оси во все время движения будет оставаться в полосе, ограниченной $x_{2}$ и $x_{3}$.
1.2. Симплектическая редукция и лиувиллевы торы

Поскольку случай Лагранжа характеризуется наличием оси симметрии, то на фазовом пространстве действует группа окружности. Рассмотрим симплектическую $^{1}$ орбиту $\boldsymbol{O}_{c}$ и кинетический момент Лагранжа
${ }^{1}$ Можно описать редукцию (факторизацию) на всем пуассоновом многообразии. Поскольку легче ограничивать на подмногообразие 2-форму, чем скобку Пуассона, то удобнее работать с симплектическими листами и рассматривать факторизацию каждой орбиты в отдельности.

\[
K: \mathbf{O}_{c} \longrightarrow \mathbf{R} \text {. }
\]

Зафиксируем регулярный уровень $\mathbf{O}_{c, k}=K^{-1}(k)$ кинетического момента $K$. Так как группа $\mathcal{R}$ вращений вокруг оси $L$ порождается потоком $K$ (как уже было отмечено в I.2.1), то она также действует на $\mathbf{O}_{c, k}$. Следовательно, можно рассмотреть факторпространство $\mathbf{O}_{c, k} / \mathcal{R}$. Это простой пример симплектической редукиии (см. работу Марсдена и Вейнстейна [61], а также любой учебник по симплектической геометрии, например, Либерманна и Марле [59] или автора [10]). Ядро ограничения симплектической формы на подмногообразие $\mathbf{O}_{c, k}$ коразмерности 1 порождается гамильтоновым векторным полем $X_{K}$, следовательно, на факторпространстве определена невырожденная замкнутая 2-форма. Таким образом, это пространство является двумерным симплектическим многообразием. Кроме того, поскольку энергия коммутирует с $K$, то она определяет гамильтониан, который мы по-прежнему будем обозначать через $H$,
\[
H: \mathbf{O}_{c, k} \longrightarrow \mathbf{R} .
\]

Совместная поверхность уровня $\mathcal{T}_{h, k} \subset \mathbf{O}_{c}$ двух интегралов представляет собой $S^{1}$-расслоение над поверхностью уровня $H$ в пространстве $\mathbf{O}_{c, k} / \mathcal{R}$, так что редукция позволяет легко увидеть «лиувиллевы торы». Как и в случае свободного твердого тела, нам только требуется рассмотреть уровни функции $H$ на поверхности.

Рассмотрим $\mathcal{R}$-орбиту точки $(\Gamma, M)$ в $\mathbf{O}_{c, k}$. Окружность $\mathcal{R}$ действует с помощью тех же вращений на плоских векторах $\left(\gamma_{1}, \gamma_{2}\right)$ и $(u, v)$. Заметим, что точки ( $\Gamma, M$ ), для которых $\gamma_{1}=\gamma_{2}=0$, являются критическими точками $K$ на $\mathbf{O}_{c}$ (это легко проверяется). Поскольку мы предположили, что значение $k$ регулярно, то для каждой орбиты в единственной точке выполняется $\gamma_{1}>0$ и $\gamma_{2}=0$. Если $\gamma_{3}$ выбрано, то $\gamma_{1}=\sqrt{1-\gamma_{3}^{2}}$. Из уравнения $\gamma_{1} u+\gamma_{3} k=c$ находим $u=\left(c-k \gamma_{3}\right) / \gamma_{1}$, a $v$ может принимать любое значение. Любая $\mathcal{R}$-орбита определяется значениями $\gamma_{3}$ и $v$. Таким образом, мы имеем вложение $\mathbf{O}_{c, k} / \mathcal{R}$ в $]-1,1[\times \mathbf{R}$.
Рассмотрим теперь уровни гамильтониана $H$ :
\[
H\left(\gamma_{3}, v\right)=\frac{1}{2}\left(\left(\frac{c-k \gamma_{3}}{\gamma_{1}}\right)^{2}+v^{2}+\frac{1}{m} k^{2}\right)+\gamma_{3} .
\]

На уровне $h$ имеем
\[
v^{2}=\left(1-\gamma_{3}\right)^{2}\left(h^{\prime}-k^{2}-2 \gamma_{3}\right)-\left(c-k \gamma_{3}\right)^{2} .
\]

Отсюда видно, что наша точка $\left(\gamma_{3}, v\right)$ принадлежит эллиптической кривой $\mathcal{C}$. Таким образом, мы доказали

Предложение 1.2.1. Для симметричного волчка все регулярные уровни отображения момента в $\mathbf{O}_{c}$ являются расслоениями со слоем окружность над связной компонентой некоторой вещественной эллиптической кривой. В частности, они представляют собой торы (и, следовательно, связны).
1.3. Замечание относительно лиувиллевых торов

Изложим другой (прямой) способ доказательства того, что в этой задаче регулярные уровни являются связными. Зафиксируем значение $(h, k)$, такое что соответствующий уровень не пуст: получаем два вещественных числа $x_{3}$ и $x_{2}$, таких что $-1 \leqslant x_{3} \leqslant x_{2} \leqslant 1$. Более того, для точки $\left(h, k\right.$ ) общего положения справдедливо $-1<x_{3}<x_{2}<1$. Зафикситруем единичный вектор $\Gamma$, такой что $x_{3} \leqslant \gamma_{3} \leqslant x_{2}$, и рассмотрим все векторы $M$, такие что точка ( $\Gamma, M) \in \mathbf{O}_{c}$ лежит на уровне $(h, k)$ в $\mathbf{O}_{c}$. Эти векторы имеют следующий вид:
\[
\left(\begin{array}{l}
u \\
v \\
k
\end{array}\right) \text {, такие что }\left\{\begin{aligned}
u \gamma_{1}+v \gamma_{2} & =c-k \gamma_{3}, \\
\frac{1}{2}\left(u^{2}+v^{2}\right) & =-\frac{1}{2 m} k^{2}-\gamma_{3}+H .
\end{aligned}\right.
\]

Концы этих векторов принадлежат пересечению прямой и окружности в плоскости $(u, v)$. По предположению оно не пусто и, вообще говоря, состоит из двух точек. Таким образом, поверхность уровня представляет собой один тор, который при проектировании $(\Gamma, M) \mapsto \Gamma$ отображается в кольцо (рис. 5) на сфере.

Если решения целиком лежат в кольцах, то часто удается наглядно понять, что система интегрируема. В частности, это справедливо для вращающегося волчка (в этом случае кольцо имеет вид $x_{3} \leqslant \gamma_{3} \leqslant x_{2}$ на двумерной сфере, каю показано на рис. 7 ), а такжедля геодезических

Рис. 6. Геодезические на эллипсоиде

потоков на эллипсоиде (см. книгу Гильберта и Кон-Фоссена [41], работы Кноррера [52] и автора [11], геодезические на эллипсоиде изображены на рис. 6 ).
1.4. Решения дифференциального уравнения для $\gamma_{3}$

Дифференциальное уравнение (3) может быть записано в виде $d t=d x / y$ (здесь $x$ – это $\gamma_{3}$, а $y^{2}=f(x)$ ). Простая (вещественная) замена переменных $X=a x+b, Y=y$ приводит уравнение кривой $\mathcal{C}$ к стандартному виду
\[
Y^{2}=4 X^{3}-g_{2} X+g_{3} .
\]

Следовательно, комплексная кривая параметризуется $\wp$-функцией Вейерштрасса и ее производной:
\[
X=\wp(u), \quad Y=\wp^{\prime}(u),
\]

а решения дифференциального уравнения $d u=d X / Y$ выражаются функциями $X(u)=\wp(u+$ const $)$.

Для уравнения (3) имеем
\[
d t=\frac{d x}{y}=\frac{1}{a} \frac{d X}{Y}=\frac{1}{a} d u .
\]

Его решения суть $X=\wp(a t+$ const $)$ и, таким образом,
\[
\gamma_{3}(t)=x(t)=\frac{1}{a}[\wp(a t+\text { const })-b] .
\]

Величины $a$ и $b$ легко находятся в явном виде: сдвиг переводит сумму корней функции $f$ в 0 , а растяжение дает коэффициент 4 . Таким образом, формула (5) дает все комплексные решения уравнения (3).

Мы уже отмечали, что вещественная часть кривой $\mathcal{C}$ состоит из двух связных компонент. Являясь комплексным тором, кривая $\mathcal{C}$ (или, скорее, ее пополнение – мы должны добавить бесконечно удаленную точку) имеет вид $\mathbf{C} / \Lambda$ для некоторой решетки $\Lambda$. Вследствие вещественных свойств $\mathcal{C}$, можно считать, что $\Lambda$ имеет базис $\left(2 \omega, 2 \omega^{\prime}\right)$, где $2 \omega \in \mathbf{R}$ и $2 \omega^{\prime} \in i \mathbf{R}$, а вещественная структура определяется комплексным сопряжением $z \mapsto \bar{z}$. В этих рамках две компоненты вещественной части появляются как образы вещественной оси и параллельной ей прямой, проходящей через $\omega^{\prime}$ (см. Приложение 4 и особенно рис. 25).

Функция Вейерштрасса имеет двойные полюса в точках решетки, следовательно, $\wp(u)$ параметризует некомпактную вещественную компоненту для $u \in \mathbf{R}$. Что касается компактной компоненты, то она параметризуется значениями $\wp\left(u+\omega^{\prime}\right)(u \in \mathbf{R})$, которые также являются вещественными. Функция Вейерштрасса не имеет полюсов на этой прямой и является настоящей периодической функцией (см. рис. 26).
1.5. Движение оси

Для полноты изложения – а также поскольку это красиво – напомним, как можно описать движение оси. Мы определили $\gamma_{3}$ как проекцию вектора $\Gamma$ на ось волчка, однако мы можем представлять ее как проекцию вектора $L$ на вертикальную ось в неподвижной системе координат. С этой точки зрения мы только что описали так называемое движение нутации (колебания относительно вертикали). Напомним, что конец оси совершает периодические колебания в области, ограниченной двумя параллелями ( $x_{3} \leqslant \gamma_{3} \leqslant x_{2}$ ) на единичной сфере.

Полное движение волчка состоит из нутации, вращения вокруг его оси и прецессии, которую мы сейчас опишем. Представим вращение $R$ относительно неподвижной и подвижной систем координат (см. I.1) в виде произведения трех вращений, используя углы Эйлера ${ }^{2} \theta, \varphi$ и $\psi$.
– $\theta$ – это угол между осью и вертикальным направлением, так что $\gamma_{3}=\cos \theta$.
– Экваториальная плоскость волчка (плоскость $L^{\perp}$ ) пересекает горизонтальную плоскость по прямой $O I$, тогда $\psi$ – это угол между осью $O X$ подвижной системы координат и этой прямой. Этот угол называется в астрономии азимутом. Изменение именно этого угла со временем мы и собираемся изучать.
– Чтобы перевести ось $O I$ в ось $O x$ неподвижной системы координат, нужно повернуть ее вокруг вертикали. Последний угол, $\varphi$, является углом этого вращения.

Легко проверить, что
\[
\Omega=\left(\begin{array}{c}
\dot{\psi} \sin \theta \sin \varphi+\dot{\theta} \cos \varphi \\
\dot{\psi} \sin \theta \cos \varphi-\dot{\theta} \sin \varphi \\
\dot{\psi} \cos \theta+\dot{\varphi}
\end{array}\right)
\]
(см., например, книгу Арнольда [9]), так что
\[
\dot{\psi}=\frac{c-k \gamma_{3}}{1-\gamma_{3}^{2}} .
\]

Следовательно, в зависимости от расположения величины $c / k$ относительно двух корней $x_{3}$ и $x_{2}$ полинома $f$, функция $\psi(t)$ либо монотонна, либо нет. Три диаграммы на рис. 7 показывают слева направо случаи $c / k
otin\left[x_{3}, x_{2}\right], c / k=x_{2}$ (случай $c / k=x_{3}$ мы оставляем читателю в качестве упражнения) и $c / k \in] x_{3}, x_{2}[$.
${ }^{2}$ Мы используем обозначения, взятые из книги Аппеля [7].

Рис. 7. Движение оси