2.1. Пара Лакса

В работе Бобенко, Реймана и Семенова-Тян-Шанского [18] была построена естественная пара Лакса
\[
\dot{L_{\lambda}}=\left[L_{\lambda}, M_{\lambda}\right],
\]

где матрицы принадлежат алгебре Ли $\mathfrak{s} o(3,2)$ и записываются в терминах обычного блочного разложенин (см. $\S 3$, если необходимо), в виде
\[
L_{\lambda}=\left(\begin{array}{cc}
0 & F \\
{ }^{t} F & 0
\end{array}\right) \lambda^{-1}+\left(\begin{array}{cc}
-M & 0 \\
0 & P M P
\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc}
0 & E \\
{ }^{t} E & 0
\end{array}\right) \lambda .
\]

С точностью до постоянного множителя матрица $M_{\lambda}$ совпадает с полиномиальной частью матрицы $\operatorname{tr} L_{\lambda}^{2}$, а гамильтониан имеет вид
\[
H=\frac{1}{8} \operatorname{Res}\left(\operatorname{tr} L_{\lambda}^{2} \lambda^{-1} d \lambda\right) .
\]

В уравнении (5) матрицы $E$ и $F$ состоят из двух столбцов, которые являются векторами в $\mathbf{R}^{3}$. Здесь $F=(\Gamma, 0)$, а $E$ состоит из двух первых векторов канонического базиса пространства $\mathbf{R}^{3}$, в то время как $P M P$
${ }^{6}$ Описание бифуркаций торов Лиувилля в случае Ковалевской сделано на основе геометрического анализа. См. М. І. Харламов. Топологический анализ интегрируемыз задач динамики твердого тела. – Л.: Изд-во Ленинградского университета. 1988. – 200 с. – Прим. перев.

является верхним левым углом кососимметричной матрицы $M$. Краткое описание этого построения, предложенного тремя авторами, приведено в $\S 3$.

Если $I_{3,2}$ – матрица стандартной квадратичной формы сигнатуры $(3,2)$, то тот факт, что $L_{\lambda}$ принадлежит $\mathfrak{s} o(3,2)$, записывается в виде
\[
I_{3,2}{ }^{t} L_{\lambda}=-L_{\lambda} I_{3,2} .
\]

Существует также симметрия, которая возникает вследствие зависимости по $\lambda$. Она выражается в том, что диагональные блоки кососимметричны:
\[
L_{-\lambda}=-{ }^{t} L_{\lambda} .
\]

Уравнение спектральной кривой имеет вид $\operatorname{det}\left(L_{\lambda}-\mu \mathrm{Id}\right)=0$. Оно обладает двумя инволюциями $\tau_{1}$ и $\tau_{2}$, которые отражают указанные выше соотношения: $\tau_{1}(\lambda, \mu)=(-\lambda, \mu)$ и $\tau_{2}(\lambda, \mu)=(\lambda,-\mu)$.

Поскольку $5=2+3$ нечетно, то из уравнения (6) получаем, что 0 всегда является собственным значением матрицы $L_{\lambda}$, поэтому характеристический полином определяет приводимую кривую. Мы уже отмечали, что уравнение Лакса получено совершенно естественным образом в работе [18]. Авторы этой работы также заметили, что можно воспользоваться изоморфизмом $\mathfrak{s o}(3,2) \cong \mathfrak{s} p(4, \mathbf{R})$ и заменить $L_{\lambda}$ матрицей
\[
\begin{array}{l}
L^{\prime}(\lambda)=\left(\begin{array}{cc|cc}
\gamma_{1} & \gamma_{2} & \gamma_{3} & 0 \\
\gamma_{2} & -\gamma_{1} & 0 & -\gamma_{3} \\
\hline \gamma_{3} & 0 & -\gamma_{1} & \gamma_{2} \\
0 & -\gamma_{3} & \gamma_{2} & \gamma_{1}
\end{array}\right) \lambda^{-1}+ \\
\left(\begin{array}{cc|cc}
0 & 0 & -v & -u \\
0 & 0 & u & -v \\
\hline v & -u & 0 & -2 w \\
u & v & 2 w & 0
\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc|cc}
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
\hline 0 & 0 & 2 & 0 \\
0 & 0 & 0 & -2
\end{array}\right) \lambda .
\end{array}
\]

Эта матрица удовлетворяет уравнению Лакса, в котором вместо $M_{\lambda}$ стоит $M_{\lambda}^{\prime} \in \mathfrak{s} p(4)(\mathbf{R})$. Тогда характеристический полином матрицы $L_{\lambda}$ есть $\mu \operatorname{det}\left(L_{\lambda}^{\prime}-\mu \mathrm{Id}\right.$ ). Соотношения (6) и (7) соответственно принимают вид
\[
L_{-\lambda}^{\prime}=\eta L_{\lambda}^{\prime} \eta
\]

и
\[
{ }^{t} L_{\lambda}^{\prime}=-\eta L_{\lambda}^{\prime} \eta,
\]

где
\[
\eta=\left(\begin{array}{cccc}
0 & -i & 0 & 0 \\
i & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & -i \\
0 & 0 & i & 0
\end{array}\right)
\]
2.2. Спектральные кривые и интегрируемость

Если исключить тривиальный множитель $\mu=0$, то спектральная кривая $Y$ будет иметь уравнение $\operatorname{det}\left(L_{\lambda}^{\prime}-\mu \mathrm{Id}\right)=0$, т.е.,
\[
\mu^{4}-2\left(\lambda^{-2}-2 H+2 \lambda^{2}\right) \mu^{2}+\lambda^{-4}+4\left(2 l^{2}-H\right) \lambda^{-2}+4 K=0 .
\]

Эта кривая стандартным образом двулистно накрывает кривую $C=Y / \tau_{1}$, уравнение которой имеет вид
\[
\mu^{4}-2\left(z^{-1}-2 H+2 z\right) \mu^{2}+z^{-2}+4\left(2 l^{2}-H\right) z^{-1}+4 K=0
\]

и которая, в свою очередь, является разветвленным двулистным накрытием над кривой $E=C / \tau_{2}$, заданной уравнением
\[
y^{2}-2\left(z^{-1}-2 H+2 z\right) y+z^{-2}+4\left(2 l^{2}-H\right) z^{-1}+4 K=0 .
\]

Здесь мы считаем, что буквы $Y, C$ и $E$ обозначают кривые, пополненные и нормализованные в точках $\lambda=0$ и $\infty$.

Гладкость. Предположим, что $l
eq 0$. Функция $z$ является накрывающим отображением $E \rightarrow \mathbf{P}^{1}(\mathbf{C})$ степени 2 , разветвленным в точке 0 и в корнях … полинома Ковалевской $\varphi$, как показывает вычисление дискриминанта уравнения кривой $E$. Таким образом, кривая $E$ является гладкой тогда и только тогда, когда три корня полинома $\varphi$ различны (заметим, что 0 никогда не является корнем $\varphi$, так как по предположению $l
eq 0$ ), т. е. тогда и только тогда, когда точка $(K, H)$ не принадлежит кривой с точкой возврата на рис. 10.
Заметим, что $E$ имеет две точки над $z=\infty$ :
\[
\left\{\begin{array}{l}
(z, y)=\infty_{-}=(\infty, 0) \\
(z, y)=\infty_{+}=(\infty, \infty)
\end{array}\right.
\]

(как обычно, удобно считать, что уравнения заданы в пространстве $\mathbf{P}^{1}(\mathbf{C}) \times \mathbf{P}^{1}(\mathbf{C})$ ). Накрывающее отображение $C \rightarrow E$ разветвлено в точках $\infty_{-}$и $\infty_{+}$, а также в двух точках $p_{1}=(\alpha, 0)$ и $p_{2}=(\beta, 0)$, где через $\alpha$ и $\beta$ обозначены два корня уравнения
\[
4 K z^{2}+4\left(2 l^{2}-H\right) z+1=0 .
\]

Заметим, что $\alpha$ и $\beta$ различны и отличны от $\infty$ в точности в том случае, когда $(K, H)$ не принадлежит параболе или оси $H$ на рис. 10 , так что мы окончательно доказали

Предложение 2.2.1. Две кривые $C$ и $Y$ являются гладкими тогда и только тогда, когда кривая Ковалевской $X$ является гладкой.

В этом случае кривая $C$ имеет род 3 , а кривая $Y$ имеет род 5 . Наши кривые (более точно, кривые Бобенко, Реймана и Семенова-ТянШанского) отличны от кривой Ковалевской $X$ рода 2. Связь между всеми этими кривыми до сих пор остается загадкой. Заметим, что мы ограничились лишь случаем $l
eq 0$. В случае орбиты $\mathbf{O}_{0}$ кривая $E$ становится рациональной, а кривая $C$ имеет род 2. В этом случае проще установить связь между кривыми $C$ и $X$; см. Приложение 5 .

Некоторые элементы группы Пикара. Так как мы собираемся работать с многообразием $\operatorname{Pic}(C)$, то полезно рассмотреть некоторые дивизоры на кривых $E$ и $C$. Прежде всего, очевидно, что на $E$ справедливо
\[
\begin{array}{l}
(z)=2 a-\infty_{-}-\infty_{-}, \\
(y)=p_{1}+p_{2}+\infty_{-}-\infty_{+}-2 a
\end{array}
\]

для некоторой точки $a$. Если $a_{+}$и $a_{-}$- две точки кривой $C$ над $a$, то на кривой $C$ имеем:
\[
\begin{array}{l}
(z)=2 a_{+}+2 a_{-}-2 \infty_{+}-2 \infty_{-}, \\
(\mu)=p_{1}+p_{2}+\infty_{-}-\infty_{+}-a_{+}-a_{-} .
\end{array}
\]

Таким образом, в $\operatorname{Pic}^{0}(C)$ имеет место равенство $2\left(a_{+}+a_{-}-\right.$ $\left.-\infty_{+}-\infty_{-}\right)=0$. Заметим, что $y$ является мероморфной функцией степени 3 на $C$, так что кривая $C$ не может быть гиперэллиптической (см., например, предложение III.7.10 в работе Фаркаша и Кра [27]). Следовательно, не существует функций степени 2 на $C$, а дивизор $a_{+}+a_{-}-\infty_{+}-\infty_{-}$является ненулевым элементом порядка 2 в группе $\operatorname{Pic}^{0}(C)$.

Касательное пространство в любой точке многообразия $\operatorname{Pic}^{d}(C)$ канонически отождествляется с векторным пространством $H^{1}\left(\mathcal{O}_{C}\right)$ (см. Приложение 4), которое мы рассматриваем как первую группу когомологий, ассоциированную с накрытием $C=\mathcal{U}_{+} \cup \mathcal{U}_{-}$кривой $C$ (см. Приложение 3). Нам понадобится следующая

Лемма 2.2.2. 1-коциклы, определяемые голоморфными функциями $\mu$, $\mu^{2}, \mu^{3}$ на $\mathcal{U}_{+} \cap \mathcal{U}_{-}$, порождают независимые классы когомологий b $H^{1}\left(\mathcal{O}_{C}\right)$.
Доказательство.
Рассмотрим инволюцию $\mu \mapsto-\mu$ на $C$ : функция $\mu^{2}$ инвариантна, в то время как две другие антиинвариантны ${ }^{7}$. Поэтому достаточно проверить, что $y$ определяет нетривиальный элемент в $H^{1}\left(\mathcal{O}_{E}\right)$, что очевидно. Необходимо также проверить, что $\mu$ и $\mu^{2}$ порождают независимые элементы в $H^{1}\left(\mathcal{O}_{C}\right)$, что может быть сделано с помощью вычетов, как в $[15]$, и остается читателю в качестве упражнения.
Интегрируемость. Несложные вычисления показывают, что
\[
\operatorname{Res}\left(\operatorname{tr} L(\lambda)^{4} \lambda^{-1} d \lambda\right)=16\left[2\left(H^{2}+1\right)-K\right] .
\]

Таким образом, используя технику из Приложения 2 (теорема П.2.1.1 об инволюции), получаем

Предложение 2.2.3. Две функции $Н$ и К находятся в инволюции.
2.3. Отображение собственных векторов

Зафиксируем орбиту $\mathbf{O}_{2 l}(l
eq 0)$ и рассмотрим совместную поверхность уровня $\mathcal{T}_{H, K}$ первых интегралов в $\mathbf{O}_{2 l}$. Эти значения определяют также спектральную кривую $Y$. Каждому элементу $(\Gamma, M) \in \mathbf{O}_{2 l}$, как обычно, соответствует комплексное линейное расслоение $F$ на $Y$, слой
${ }^{7}$ Очень скоро в этом тексте они породят элементы в многообразии Прима.

которого в точке $(\lambda, \mu)$ двойствен собственной прямой матрицы $L_{\lambda}$ с собственным значением $\mu$.

Степень $F$ может быть вычислена следующим образом (см. Приложение 3): с помощью формы (8) легко видеть, что отображение $\lambda_{\star} F \rightarrow \mathbf{P}^{1}$ является тривиальным расслоением ранга 4 над $\mathbf{P}^{1}(\mathbf{C})$, причем слой над точкой $\lambda$ – это сумма двойственных векторных пространств ко всем собственным подпространствам $L_{\lambda}$, т. е. все пространство $\mathbf{C}^{4}$. Применим теорему Гротендика-Римана-Роха:
\[
\operatorname{ch}\left(\lambda_{\star} F\right) \operatorname{td}\left(\mathbf{P}^{1}\right)=\lambda_{\star}(\operatorname{ch}(F) \operatorname{td}(Y))
\]
(см. П.4.1), т. е.
\[
4(1+t)=\lambda_{\star}((1+d u)(1+(1-g) u)),
\]

где $t \in H^{2}\left(\mathbf{P}^{1}\right), u \in H^{2}(Y)$ – очевидные генераторы, $d$ – степень, которую необходимо вычислить, а $g$, род кривой $Y$, равен 5 . Имеем $\lambda_{\star} u=t$ и $\lambda_{\star} 1=4$, так как $\lambda$ имеет степень 4 . Таким образом, $d=8$, а отображение собственных векторов имеет вид
\[
f_{H, K}: \mathcal{T}_{H, K} \longrightarrow \operatorname{Pic}^{8}(Y) .
\]

Замечание. На орбите $\mathbf{O}_{-2 l}$ уровень, соответствующий тем же самым значениям интегралов $H$ и $K$, отображается в то же самое многообразие Якоби: уравнение кривой $Y$ зависит только от $l^{2}$. Однако очевидно, что эти два уровня изоморфны, причем изоморфизм имеет вид
\[
\left((p, q, r),\left(\gamma_{1}, \gamma_{2}, \gamma_{3}\right)\right) \longmapsto\left(\{-p,-q, r),\left(\gamma_{1}, \gamma_{2},-\gamma_{3}\right)\right) .
\]

Из соотношения (9) следует, что если $v$ является собственным вектором матрицы $L_{\lambda}^{\prime}$ с собственным значением $\mu$, то $\eta v$ является собственным вектором матрицы $L_{\lambda}^{\prime}$ с тем же собственным значением. В частности, $\tau_{1}^{\star} F$ изоморфно $F$, а $f_{H, K}$ принимает значения в образе отображения
\[
\pi^{\star}: \operatorname{Pic}^{4}(C) \longrightarrow \operatorname{Pic}^{8}(Y),
\]

индуцированного накрытием $\pi: Y \rightarrow C$.

Замечание. Отображение $\pi^{\star}$ представляет собой двулистное накрытие своего образа и не является включением как утверждали Бобенко, Рейман и Семенов-Тян-Шанский. В терминах группы гомоморфизмов, ядро его представления
\[
\pi^{\star}: \operatorname{Pic}^{0}(C) \rightarrow \operatorname{Pic}^{0}(Y)
\]

порождается элементом $a_{+}+a_{-}-\infty_{+}-\infty_{-}$порядка 2 , который мы уже рассматривали выше (см. также лемму П.5.3.2).

Предложение 2.3.1. Существует поднятие $\tilde{f}_{H, K}: \mathcal{T}_{H, K} \rightarrow \operatorname{Pic}^{4}(C)$ отображения $f_{H, K}$ (т. е. отображение $\tilde{f}_{H, K}$ такое, что $f_{H, K}=\pi^{\star} \tilde{f}_{H, K}$ ). Доказательство.

Зафиксируем точку в $\mathcal{T}_{H, K}$, другими словами, матричный полином $L_{\lambda}^{\prime}$. Рассмотрим голоморфное сечение $\psi$ ассоциированного линейного расслоения $F$, или (двойственно) мероморфное нигде не обращающееся в нуль сечение $(\lambda, \mu) \mapsto v(\lambda, \mu)$ расслоения собственных векторов. Вследствие инвариантности относительно $\tau_{1}$, если необходимо, умножая $v$ на подходящую функцию, можно считать, что дивизор полюсов функции $v$ имеет вид $A+\pi^{-1}\left(\infty_{+}\right)$, где $A$ – эффективный дивизор степени 6 , удовлетворяющий равенству $\tau_{1}^{\star} A=A$. Тогда ${ }^{8} A=\pi^{\star} D$, где $D$ – эффективный дивизор степени 3 на $C$.

Два элемента группы $\operatorname{Pic}^{4}(C)$, которые отображаются в $f_{H, K}\left(L^{\prime}(\lambda)\right)$ являются, таким образом, классами дивизоров $D+\infty_{+}$и $D+a_{+}+$ $+a_{-}-\infty_{-}$. Чтобы доказать предложение, достаточно проверить, что дивизор $D+a_{+}+a_{-}-\infty_{-}$не эквивалентен эффективному дивизору вида $D^{\prime}+\infty_{+}$: тогда мы сможем определить $\tilde{f}_{H, K}\left(L^{\prime}(\lambda)\right)$, например, как класс дивизора $D+\infty_{+}$.
Предположим, что
\[
D+a_{+}+a_{-}-\infty_{-} \sim D^{\prime}+\infty_{+},
\]

или что
\[
D+a_{+}+a_{-} \sim D^{\prime}+\infty_{+}+\infty_{-} .
\]
${ }^{8}$ Несмотря на то, что авторы работы [18] были не очень аккуратны по этому вопросу, эта конструкция взята из их работы.

Пусть $g$ – мероморфная функция на $C$, такая что $(g)=D^{\prime}+\infty_{+}+$ $+\infty_{-}-D-a_{+}-a_{-}$. Тогда $\widetilde{g}=g \circ \pi$ является функцией, определенной на $Y$, а $\widetilde{g} \psi$ – мероморфным сечением расслоения $F$. Его дивизор равен
\[
\pi^{\star}\left(D^{\prime}\right)+2 \pi^{-1} \infty_{+}+\pi^{-1} \infty_{-}-\pi^{-1}\left(a_{+}\right)-\pi^{-1}\left(a_{-}\right) .
\]

Так как $D^{\prime}$ – эффективный дивизор, то $\tilde{g} \psi$ обращается в нуль во всех точках над $\lambda=\infty$. Это означает, что $\widetilde{g} \psi$ отображает все собственные векторы $L_{\infty}^{\prime}$ в нуль. Эта матрица является диагональной (в каноническом базисе), так что сечение $\widetilde{g} \psi$ оказывается нулевым, что приводит к противоречию.

Теперь мы сформулируем и докажем главный результат этой главы.

Теорема 2.3.2. Предположим, что кривая $C$ гладкая. Тогда соответствующее значение $(K, H)$ регулярно, и $\widetilde{f}: \mathcal{T}_{H, K} \rightarrow \operatorname{Pic}^{4}(C)$ является изоморфизмом (комплексного, с вещественной структурой) алгебраического многообразия на свой образ. Этот образ изоморфен открытому подмножеству многообразия $\operatorname{Prym}(C \mid E)$.

Замечание. Большую часть комплексных аспектов этой теоремы сформулировали Бобенко, Рейман и Семенов-Тян-Шанский [18] как следствие теоремы о нахождении явных решений системы (E) из I.1. Здесь эта теорема получена независимо от явного вида решений.

Следствие 2.3.3. Если $С$ является гладкой, то (вешественная) поверхность уровня $\mathcal{T}_{H, K}$ диффеоморфна вещественной части многообразия $\operatorname{Prym}(C \mid E)$. В частности, количество торов Лиувилля на этом уровне совпадает с количеством компонент связности вещественной части $\operatorname{Prym}(C \mid E)_{\mathbf{R}}$.
Доказательство следствия.
Так как $\mathcal{T}_{H, K}$ компактно, то вся вещественная часть $\operatorname{Prym}(C \mid E)$ содержится в образе $\tilde{f}$.
Доказательство теоремы.
Учитывая то, что мы сделали, для доказательства теоремы достаточно проверить, что

– отображение, касательное к отображению $f_{H, K}$, принимает значение в векторном подпространстве группы $H^{1}\left(\mathcal{O}_{Y}\right)$, состоящем из элементов, инвариантных относительно $\tau_{1}^{\star}$ и антиинвариантных относительно $\tau_{2}^{\star}$ : это касательное пространство к $\operatorname{Prym}(C \mid E)$,
– это касательное отображение индуцирует изоморфизм касательного пространства к $\mathcal{T}_{H, K}$ и этого подпространства.

Мы покажем, что $f_{H, K}$ (а также $\tilde{f}_{H, K}$ ) является накрытием над своим образом. Тогда достаточно будет доказать, что $\tilde{f}$ инъективно в точке общего положения, или, что то же самое вследствие факторизации посредством $C$ (предложение 2.3.1), что в точке общего положения отображение $f$ имеет степень 2 .

Используя технику, описанную в Приложении 3 , легко вычислить отображение, касательное к отображению собственных векторов. Например, гамильтоново векторное поле функции $H$ отображается в класс коцикла, определенного функцией $\mu$ (с точностью до скалярного постоянного множителя). Используя доказательство предложения 2.2 .3 , получаем, что векторное поле функции $16\left[2\left(H^{2}+1\right)-K\right]$ отображается в класс функции $\mu^{3}$. Итак, образ отображения, касательного к $f$, есть векторное подпространство пространства $H^{1}\left(\mathcal{O}_{C}\right)$, порожденное классами $\mu$ и $\mu^{3}$.

После доказательства леммы 2.2.2 становится очевидно, что гамильтоновы векторные поля функций $K$ и $H$ линейно независимы, причем отображаются в независимые элементы группы $H^{1}\left(\mathcal{O}_{C}\right)$. Таким образом, мы получаем

Предложение 2.3.4. Если кривая $C$ гладкая, то уровень $\mathcal{T}_{H, K}$ регулярный.

Предложение 2.3.5. Если значение $(K, H)$ таково, что кривая $C$ гладкая, то отображение собственных векторов $\widetilde{f}_{H, K}: \mathcal{T}_{H, K} \rightarrow \operatorname{Pic}^{4}(C)$ является стандартным накрытием своего образа, который представляет собой абелево подмногообразие, параллельное (и, следовательно, изоморфное) многообразию $\operatorname{Prym}(C \mid E)$.

Чтобы закончить доказательство теоремы, мы должны проверить, что $f$ имеет степень 2 (на свой образ).

Воспользуемся снова работой Реймана [74] (см. П.3.4). Прообраз $f_{H, K}\left(L^{\prime}\right)$ состоит из всех матриц того же вида, что и сопряженные к $L^{\prime}$. Для данной матрицы $L_{\lambda}^{\prime}$ типа (8), ассоциированной с векторами $\Gamma$ и $M$, легко найти все матрицы $g \in S L(4, \mathbf{C})$, такие что $g L_{\lambda}^{\prime} g^{-1}$ имеют тот же вид, и вывести, что
\[
f^{-1}(f(\Gamma, M))=\left\{\left(\left(\begin{array}{c}
\gamma_{1} \\
\gamma_{2} \\
\gamma_{3}
\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}
u \\
v \\
w
\end{array}\right)\right),\left(\left(\begin{array}{c}
\gamma_{1} \\
-\gamma_{2} \\
-\gamma_{3}
\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}
u \\
-v \\
-w
\end{array}\right)\right)\right\} .
\]

Таким образом, $f$ имеет степень 2 . Теорема доказана.
2.4. Топология

В этом пункте для описания топологии поверхностей уровня $(K, H)$ мы будем использовать вещественные аспекты предыдущих результатов. Начиная с этого места, все будет вещественным.

С одной стороны, из 2.3.2 мы видим, что критические значения ( $K, H$ ) принадлежат дискриминанту семейства кривых $C$ (или $X$ ). С другой стороны, нетрудно найти вещественный образ отображения момента $(K, H)$ : нужно просто рассмотреть все компоненты дискриминанта в плоскости $(K, H)$ и для каждой из них выяснить, чему она соответствует. Очевидно, что заштрихованные области на рис. 12 не принадлежат образу, поскольку они содержат либо точки, для которых $K<0$, либо точки, для которых $H<-1$. Чтобы доказать, что незаштрихованные области на рис. 12 действительно принадлежат образу, достаточно найти хотя бы одну точку в каждой области, прообраз которой не пуст. Мы оставляем это читателю в качестве упражнения.

Все точки ветвления кривых, которые принадлежат границе образа отображения момента, без сомнения, являются вещественными критическими значениями.
Предложение 2.4.1 (Харламов [47], Оден и Силол [15]). Критические значения отображения момента $(K, H)$ суть точки вещественной части дискриминанта семейства кривых $C$, которые принадлежат образу отображения $(K, H)$. Исключение составляет ветвь параболы, расположенная «после» точки касания с кривой, у которой есть точка возврата.

Рис. 12. Образ отображения момента в случае Ковалевской

Критические значения и образ отображения момента показаны на рис. 12. Чтобы доказать, что искомые значения действительно являются критическими, достаточно найти хотя бы одну критическую точку на соответствующем уровне. Например, существуют критические точки вида
\[
(\Gamma, M)=\left(\left(\begin{array}{c}
\gamma_{1} \\
0 \\
\gamma_{3}
\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}
u \\
0 \\
w
\end{array}\right)\right),
\]

которые отображаются во все компоненты дискриминанта (как показывают непосредственные вычисления). Это позволяет нам получить все критические значения, как утверждается в предложении 2.4.1.

Более трудно (да и к тому же утомительно) проверить непосредственно, как было сделано Харламовым [47], что точки на оставшейся части параболы, не являются критическими. Однако этот факт можно получить с помощью алгебро-геометрической техники, используемой здесь и в [15]: поверхности уровня здесь являются вещественными частями многообразий Прима, которые сингулярны ${ }^{9}$… но без вещественных особых точек (особые точки появляются как пары сопряженных точек, однако они не являются вещественными).
Из следствия 2.3.3 вытекает
${ }^{9}$ Фактически, компактификаций обобщенных многообразий Прима.

Рис. 13. Лиувиллевы торы в случае Ковалевской

Предложение 2.4.2. Количество торов Лиувилля на поверхности уровня, соответствующей регулярному значению $(K, H) \in \mathbf{R}^{2}$, показано на рис. 13.

Это одно из утверждений Харламова [47]. Чтобы доказать его, достаточно в каждом случае пронумеровать связные компоненты $\operatorname{Prym}(C \mid E)_{\mathbf{R}}$. Заинтересованного читателя мы отсылаем к работе [15] за недостающими деталями. Единственный трюк, который мы использовали, – это сведение перечисления компонент к перечислению вещественных точек порядка 2 , используя тот факт, что число вещественных точек порядка 2 на комплексном торе $A$ размерности $g$ (здесь $g=2$ ) равно $2^{g} \cdot\left|\pi_{0}\left(A_{\mathbf{R}}\right)\right|$.

Тот же самый метод можно использовать для изучения бифуркаций торов Лиувилля.
Предложение 2.4.3 (Харламов [47], Оден и Силол [15]). Бифуркации лиувиллевых торов для волчка Ковалевской показаны на рис. 14.

Графы, которые изображены в правой части от рисунка, изображают эти бифуркации (вдоль путей, обозначенных $a, b, c$ ) в стиле Фоменко (см., например, [31]).

Для доказательства предложения, во-первых, заметим, что слоение на лиувиллевы торы минимально: симплектическое многообразие $\mathbf{O}_{2 l}$ является гладким, а особые слои, соответствующие (регулярным) точ-

Рис. 14. Бифуркации торов Лиувилля в случае Ковалевской

кам дискриминанта общего положения, снабжены нигде не обращающимися в нуль векторными полями, так что они являются объединениями вложенных окружностей, торов или бутылок Клейна и не могут быть чем-либо другим (в противном случае, поверхности имели бы ненулевую эйлерову характеристику). Тогда можно описать устойчивые минимальные модели для вырождений многообразий Прима вдоль дискриминанта. Это самая сложная часть (см. [15]).