Мы будем пользоваться обозначениями из I.2.1, однако орбиты будут иметь индекс $2 l=c$, как принято в классической литературе.
1.1. Несколько алгебраических редукций

Опишем метод, используемый Ковалевской [55]. Дополнительный первый интеграл $K$ имеет вид
\[
K=\left|(p+i q)^{2}+\left(\gamma_{1}+i \gamma_{2}\right)\right|^{2} .
\]

Естественно положить $x=p+i q$ и
\[
\begin{aligned}
\xi & =p^{2}-q^{2}+\gamma_{1}+i\left(2 p q+\gamma_{2}\right) \\
& =x^{2}+\gamma_{1}+i \gamma_{2} .
\end{aligned}
\]

Тогда мы получим в точности то ${ }^{1}$, что сделала Ковалевская. Удобно ввести переменные $y=p-i q$ и $\eta=p^{2}-q^{2}+\gamma_{1}-i\left(2 p q+\gamma_{2}\right)$ и рассмотреть $x, y, \xi$ и $\eta$ как независимые комплексные переменные (они действительно независимы, если комплексифицировать уравнения и считать, что векторы $M$ и $\Gamma$ принадлежат $\mathbf{C}^{3}$, а не $\mathbf{R}^{3}$ ). Итак, следующие четыре уравнения (первые два описывают орбиту $\mathbf{O}_{2 l}$, а два последних представляют собой интегралы $H$ и $K$ )
\[
\left\{\begin{aligned}
1 & =\|\Gamma\|^{2}, \\
2 l & =\Gamma \cdot M, \\
H & =\frac{1}{2} \Omega \cdot M+\Gamma \cdot L, \\
K & =\left(p^{2}-q^{2}+\gamma_{1}\right)^{2}+\left(2 p q+\gamma_{2}\right)^{2}
\end{aligned}\right.
\]

принимают вид
\[
\left\{\begin{aligned}
\gamma_{3}^{2} & =1-K+y^{2} \xi+x^{2} \eta-x^{2} y^{2}, \\
r \gamma_{3} & =2 l-y \xi-x \eta+x y(x+y), \\
r^{2} & =2 H+\xi+\eta-(x+y)^{2}, \\
\xi \eta & =K .
\end{aligned}\right.
\]

Ковалевская исключила $r$ и $\gamma_{3}$ из первых трех уравнений, воспользовавшись полиномами
\[
R(x)=-x^{4}+2 H x^{2}+4 l x+1-K
\]

и
\[
R_{1}(x, y)=-2 H x^{2} y^{2}-4 l x y(x+y)-(1-K)(x+y)^{2}+2 H(1-K)-4 l^{2} .
\]
${ }^{1}$ Мы приняли старую запись цифр, нак в Acta Math., для тех формул, которые взяты непосредственно из [55].

Это позволило ей записать уравнение
\[
\xi R(y)+\eta R(x)+R_{1}(x, y)+K(x-y)^{2}=0 .
\]

Она также заметила, что
\[
-4\left\{\frac{d x}{d t}\right\}^{2}=R(x)+(x-y)^{2} \xi,
\]

и решила рассмотреть кривую $\mathcal{E}$ рода 1 , отвечающую уравнению $u^{2}=-R(x)$. Ее якобиан ${ }^{2}$ является (изоморфной) кривой $\mathcal{E}^{\prime}$, заданной уравнением $t^{2}=S(s)$, где
\[
S(s)=4 s^{3}-\left(\frac{H^{2}}{3}-(1-K)\right) s+\frac{H}{3}\left(\frac{H^{2}}{9}+1-K\right)-l^{2} .
\]

Кривая $\mathcal{E}$ является главным однородным пространством относительно действия группы $\mathcal{E}^{\prime}$. Знаки + и -, которые мы будем использовать, относятся к этому действию.

Рассмотрим голоморфную форму $\omega=d x / u$. Автоморфизмы кривой $\mathcal{E}$, которые переводят $\omega$ в $\pm \omega$, имеют вид $M \mapsto P \pm M$ для некоторой точки $P$ кривой $\mathcal{E}^{\prime}$ (см. работы Хорозова и ван Мербеке [43], а также Вейля [86]). Другими словами, точки $P$ кривой $\mathcal{E}^{\prime}$ параметризуют эти автоморфизмы.

Это можно объяснить с помощью формул. Будем искать авторморфизм $(x, u) \mapsto(y, v)\left(v^{2}=R(y)\right)$, такой что $\frac{d x}{u}= \pm \frac{d y}{v}$, другими словами, такой что
\[
\left\{\frac{d y}{d x}\right\}^{2}=\frac{R(y)}{R(x)} .
\]

Решения этого дифференциального уравнения удовлетворяют соотношению
\[
\Phi_{s}(x, y)=0
\]
${ }^{2}$ Разница между кривой рода 1 и ее якобианом заключается в следующем: якобиан является группой и, следовательно, имеет выделенный элемент, а на кривой естественной групповой структуры нет. Лишь только кривая рода 1 , отвечающая уравнению $t^{2}=S(s)$ для кубического полинома $S$, обладает такой структурой, согласованной с групповой структурой якобиана: умножение здесь задается с помощью секущих, а роль единицы играет бесконечно удаленная точка (см. Приложение 4).

для некоторого однородного симметрического полинома $\Phi$ по $x$ и $y$, имеющего степень 2 по каждой из переменных, а также степень 2 по параметру $s$. После некоторых (!) вычислений окончательно получаем уравнение
\[
4(x-y)^{2}\left(s-\frac{H}{6}\right)^{2}-4\left(s-\frac{H}{6}\right) \widetilde{R}(x, y)+R_{1}(x, y)=0,
\]

которое можно найти на странице 188 работы [55] и в котором
\[
\widetilde{R}(x, y)=-x^{2} y^{2}+2 H x y+2 l(x+y)+1-K .
\]

Преимущество этого уравнения состоит в следующем: возьмем произвольную точку $M=(x, u)$ на кривой $\mathcal{E}$ (заметим, между прочим, что $-M=(x,-u)$ ). Зафиксируем также точку $P=(s, t) \in \mathcal{E}^{\prime}$ (аналогично, $-P=(s,-t)$ ). Тогда решения уравнения $\Phi_{s}(x, y)=0$ относительно $y$ имеют вид $y(P+M)$ и $y(P-M)$.

С другой стороны, если при фиксированном $M$ рассмотреть другую точку $M^{\prime}=(y, v) \in \mathcal{E}$, то решения уравнения $\Phi_{s}(x, y)=0$ относительно $s$ примут вид
\[
\begin{array}{l}
s_{1}=s\left(M+M^{\prime}\right)=s\left(-M^{\prime}-M\right) \quad \text { и } \\
s_{2}=s\left(M-M^{\prime}\right)=s\left(M^{\prime}-M\right) .
\end{array}
\]

Это и есть «таинственная замена переменных», найденная Ковалевской: она заменила $x$ и $y$ переменными $s_{1}$ и $s_{2}$. В силу (2), имеем
\[
\left\{\begin{array}{l}
\frac{d s_{1}}{\sqrt{S\left(s_{1}\right)}}=\frac{d x}{\sqrt{R(x)}}+\frac{d y}{\sqrt{R(y)}}, \\
\frac{d s_{2}}{\sqrt{S\left(s_{2}\right)}}=-\frac{d x}{\sqrt{R(x)}}+\frac{d y}{\sqrt{R(y)}} .
\end{array}\right.
\]

1.2. Линеаризация потока гамильтониана $H$

Затем Ковалевская рассмотрела уравнение (1) и симметричное ему:
\[
\left\{\begin{array}{l}
-4\left\{\frac{d x}{d t}\right\}^{2}=R(x)+(x-y)^{2} \xi, \\
-4\left\{\frac{d y}{d t}\right\}^{2}=R(y)+(y-x)^{2} \eta
\end{array}\right.
\]

и получила
\[
-4\left\{\frac{1}{\sqrt{S\left(s_{1}\right)}} \frac{d s_{1}}{d t}\right\}^{2}=4 \frac{(x-y)^{4}}{R(x) R(y)}\left(s_{1}-\frac{H}{6}-\frac{\sqrt{K}}{2}\right)\left(s_{1}-\frac{H}{6}+\frac{\sqrt{K}}{2}\right) .
\]

Записав
\[
T(s)=-S(s)\left(s-\frac{H}{6}-\frac{\sqrt{K}}{2}\right)\left(s-\frac{H}{6}+\frac{\sqrt{K}}{2}\right),
\]

откуда
\[
\frac{d s_{1}}{\sqrt{T\left(s_{1}\right)}}=\frac{d t}{s_{1}-s_{2}}
\]

и, аналогично,
\[
\frac{d s_{2}}{\sqrt{T\left(s_{2}\right)}}=\frac{d t}{s_{2}-s_{1}}
\]

она вывела дифференциальные уравнения, которым удовлетворяют $s_{1}$ и $s_{2}$ :
\[
\left\{\begin{array}{r}
0=\frac{d s_{1}}{\sqrt{T\left(s_{1}\right)}}+\frac{d s_{2}}{\sqrt{T\left(s_{2}\right)}}, \\
d t=\frac{s_{1} d s_{1}}{\sqrt{T\left(s_{1}\right)}}+\frac{s_{2} d s_{2}}{\sqrt{T\left(s_{2}\right)}} .
\end{array}\right.
\]

Таким образом, она рассмотрела гиперэллиптическую кривую $X$, отвечающую уравнению $y^{2}=T(s)$.

Предложение 1.2.1. Поток гамильтониана $Н$ линеаризуется на якобиане кривой $X$.

Доказательство.
Первое, что необходимо сделать, это придать точный смысл формулировке, которая является одновременно классической и непонятной. Кривая $X$ имеет род 2 , и замена переменных дает нам дифференциальную систему (3), которую можно представить как дифференциальную систему на симметрической степени $X^{(2)}$ :
\[
\left\{\begin{aligned}
0 & =\frac{d s_{1}}{y_{1}}+\frac{d s_{2}}{y_{2}}, \\
d t & =\frac{s_{1} d s_{1}}{y_{1}}+\frac{s_{2} d s_{2}}{y_{2}} .
\end{aligned}\right.
\]

Рассмотрим отображение Абеля-Якоби:
\[
\begin{array}{l}
X^{(2)} \xrightarrow{u} \operatorname{Jac}(X) \\
P_{1}+P_{2} \longrightarrow\left(\omega \mapsto \int_{P}^{P_{1}} \omega+\int_{P}^{P_{2}} \omega\right) .
\end{array}
\]

Пусть
\[
\begin{aligned}
\mathbf{R} & \xrightarrow{\gamma} X^{(2)} \\
t & \longmapsto\left(\left(s_{1}, y_{1}\right),\left(s_{2}, y_{2}\right)\right)
\end{aligned}
\]
– решение системы (4). Мы хотим доказать в точности, что $u \circ \gamma$ : $\mathbf{R} \rightarrow \operatorname{Jac}(X)$ является (образом) прямой (в $\mathbf{C}^{2}$ ) с линейной параметризацией и что все эти прямые параллельны.

Якобиан $\operatorname{Jac}(X)$ есть фактор пространства $H^{0}\left(\Omega_{X}^{1}\right)^{\star}$, двойственного к векторному пространству голоморфных форм на $X$, по периодической решетке $\Lambda$. В частности, любую голоморфную форму $\alpha$ на $X$ можно рассматривать как 1-форму на якобиане $\operatorname{Jac}(X)$. Таким образом, $\alpha \in H^{0}\left(\Omega_{X}^{1}\right)$ является (постоянной) 1-формой на $H^{0}\left(\Omega_{X}^{1}\right)^{\star}$, т. е., после факторизации, 1-формой на $\operatorname{Jac}(X)$. Здесь
\[
\left(\frac{d s}{y}, \frac{s d s}{y}\right)
\]

– базис пространства $H^{0}\left(\Omega_{X}^{1}\right)$. Пусть $\left(x_{1}, x_{2}\right)$ – координаты в двойственном пространстве. Положим $u \circ \gamma(t)=\left(x_{1}(t), x_{2}(t)\right)$. Тогда система (4) на $\operatorname{Jac}(X)$ принимает вид
\[
\left\{\begin{array}{l}
\frac{d x_{1}}{d t}=0, \\
\frac{d x_{2}}{d t}=1 .
\end{array}\right.
\]

Следовательно, потоки (их образы) являются прямыми линиями с линейной параметризацией.

Замечание. Это утверждение можно использовать для нахождения решений в терминах $\vartheta$-функций.
Кривая $X$. Для простоты, положим
\[
z=2\left(s+\frac{H}{3}\right),
\]

так что
\[
2 S(s)=\varphi(z)=z^{3}-2 H z^{2}+\left(H^{2}+1-K\right) z-2 l^{2},
\]

и
\[
\left(s-\frac{H}{6}-\frac{\sqrt{K}}{2}\right)\left(s-\frac{H}{6}+\frac{\sqrt{K}}{2}\right)=\frac{1}{2}(z-H-\sqrt{K})(z-H+\sqrt{K}) .
\]

Уравнение кривой $X$ принимает вид
\[
y^{2}=-2 \varphi(z)\left[(z-H)^{2}-K\right] .
\]

Кривая $X$ является (гиперэллиптической) кривой рода 2 , гладкой тогда и только тогда, когда полином
\[
\Phi(z)=-2 \varphi(z)\left[(z-H)^{2}-K\right]
\]

имеет только простые корни.

Рис. 10. Дискриминант в случае Ковалевской

Дискриминант семейства кривых $X$ описывает значения интегралов $H$ и $K$, для которых $\Phi$ имеет кратный корень. Кратный корень полинома $\varphi$ определяет кривую с точкой возврата, двукратный корень полинома $\left[(z-H)^{2}-K\right]$ дает прямую $(K=0)$, а общий корень этих двух полиномов – параболу, касающуюся кривой с точкой возврата и оси $H$, которая является вещественной частью дискриминанта в плоскости $^{3}(K, H)$ (см. рис. 10$)$.
Замечание. Количество компонент вещественной части $X_{\mathbf{R}}$ кривой $X$ зависит только от числа вещественных корней полинома $\Phi$, т. е. полинома $\varphi$ (так как сомножитель степени 2 всегда имеет два вещественных корня). Таким образом, это число не зависит от расположения рассматриваемой точки $(K, H)$ относительно параболы. То же самое верно для количества компонент ${ }^{4}$ вещественной части $\operatorname{Jac}(X)_{\mathbf{R}}$ якобиана. Однако мы увидим, что число торов Лиувилля на данном уровне может меняться от одной ветви параболы к другой. Замена переменных Ковалевской позволяет линеаризовать поток и записать решения гамильтоновой системы (в своей работе она выписала явные решения), однако определить количество торов Лиувилля таким способом достаточно сложно. Пре-
${ }^{3}$ Мы следуем Харламову [47], в работе которого эти диаграммы появились впервые и который использовал неалфавитный порядок координат $H$ и $K$.
${ }^{4}$ Классический результат Вейхольда и Клейна заключается в том, что количество компонент связности $\operatorname{Jac}(X)_{\mathbf{R}}$ зависит только от количества компонент $X_{\mathbf{R}}$, см. Приложение 4.

имущество метода «пара Лакса/спектральная кривая/отображение собственных векторов» состоит в том, что мы получаем отображение торов Лиувилля в некоторые абелевы многообразия, которое линеаризует потоки и дает информацию о топологии (как будет показано в этой книге). Возможно поэтому мы не знаем никакой вещественной пары Лакса $^{5}$ для волчка Ковалевской, которая представляла бы кривую $X$ как спектральную кривую.

Тем не менее, используя замену переменных Ковалевской, с помощью достаточно сложных вычислений можно получить информацию о топологии регулярных поверхностей уровня и их бифуркаций. Это было сделано Харламовым [47]. Его работа основана на «действительных движениях», впервые исследованных Аппельротом [8]. Последний изучил образ проекции вектора $\Omega$ (или $\frac{1}{2} M$ ) на экваториальную плоскость тела и описал все возможные значения переменных $(p, q)$. В своих исследованиях он рассматривал функции $s_{1}$ и $s_{2}$ (которые использовались в утверждении о линеаризации) и их возможные расположения относительно вещественных корней полинома $T$. С одной стороны,
\[
s_{2}<H-\sqrt{K}<s_{1}<H+\sqrt{K},
\]

с другой стороны, если $e_{1}, e_{2}, e_{3}$ (соответственно $e_{1}$ ) являются вещественными корнями (соответственно корнем) полинома $\varphi$, то
\[
s_{2}<e_{3}<e_{2}<e_{1}<s_{1} \quad \text { (соответственно } s_{2}<e_{1}<s_{1} \text { ). }
\]

Затем в экваториальной плоскости (в плоскости $(p, q)$ ) Аппельротом было построено семейство линий уровня двух функций $s_{1}$ и $s_{2}$. Области возможности движения – это те области, в которых выполнены указанные выше неравенства. Нетрудно понять, что существенным является расположение рассматриваемой точки $(K, H)$ относительно дискриминанта, которое определяет количество вещественных корней полинома $\varphi$ и их расположение относительно $H \pm \sqrt{K}$.
${ }^{5}$ Существуют пары Лакса, для которых $X$ является спектральной кривой (см, работы Хайне и Хорозова [40] или Адлера и ван Мербеке [4]), однако они имеют комплексные коэффициенты.

Рис. 11. Возможные движения в плоскости $(p, q)$

Рис. 11 взят из работы Аппельрота [8]. Указанные области возможности движения соответствуют значениям параметров $(K, H)$ из областей на рис. 12 , обозначенных соответственно $\mathbf{1}, \mathbf{2}, 3$ и $4,4^{\prime}$ и 5 ).

Позже Харламов [47] определил, сколько точек ( $\Gamma, M$ ) лежит в прообразе произвольной точки $(p, q)$. Тогда оказывается возможным найти количество торов Лиувилля, соответствующих любой компоненте дополнения к дискриминанту.

С помощью перестроек областей возможности движения стало возможно исследование бифуркаций торов Лиувилля (что также было сделано Аппельротом). Несмотря на то, что доказательства, приведенные в работе Харламова [47], не полны (что касается бифуркаций, то доказательства полностью отсутствуют ${ }^{6}$ ), следует отметить, что это (насколько известно автору) первая работа, в которой систематически изучены бифуркации лиувиллевых торов и описаны все возможные локальные модели для случая двух степеней свободы.