Следуя Гриффитсу [36], мы возвращаемся к обыденному рассмотрению уравнений Лакса (мы даже попытаемся показать, что вплоть до некоторого момента в рассуждениях никаких уравнений вообще не возникает). Рассмотрим алгебру Ли $\mathfrak{g}$ матриц размера $N \times N$, т. е. $\mathfrak{g} \subset \mathfrak{g} l(N, \mathbf{C})$.
3.1. Спектральная кривая и отображение собственных векторов
Рассмотрим изоспектральное семейство матриц $A_{\lambda} \in \mathfrak{g}\left[\lambda, \lambda^{-1}\right]$. Другими словами, матрицы из этого семейства являются полиномами Лорана по $\lambda$ и имеют одинаковый спектр. В частности, все они имеют один и тот же характеристический полином.

Этот характеристический полином задает спектральную кривую $C$ : сначала нужно определить аффинную кривую
\[
C_{0}=\left\{(\lambda, \mu) \in \mathbf{C}^{\star} \times \mathbf{C} \mid \operatorname{det}\left(A_{\lambda}-\mu \mathrm{Id}\right)=0\right\},
\]

а затем пополнить и нормализовать ее, добавляя подходящие дивизоры над точками $\lambda=0$ и $\infty$ (см. Приложение 4). Мы получим кривую $C$ вместе с накрывающим отображением $\lambda: C \rightarrow \mathbf{P}^{1}$. Положим $\mathcal{U}_{+}=\lambda^{-1}\left(\mathbf{P}^{1}-\infty\right), \mathcal{U}_{-}=\lambda^{-1}\left(\mathbf{P}^{1}-0\right)$ и заметим, что $C_{0}=\mathcal{U}_{+} \cap \mathcal{U}_{-}$. Дивизоры над точками 0 и $\infty$ обозначим через $P_{+}$и $P_{-}$, так что
\[
(\lambda)=P_{+}-P_{-} .
\]

Теперь мы можем нумеровать кривыми $C$ изоспектральные матрицы, т. е. обозначать их через $\mathcal{T}_{C}$.

Предположим, что полиномы $A_{\lambda}$ имеют простой спектр для почти всех значений $\lambda$. Тогда все собственные подпространства являются прямыми, которые порождают все пространство $\mathbf{C}^{N}$ : это означает, что $\lambda: C \rightarrow \mathbf{P}^{1}$ является $N$-листным разветвленным накрывающим отображением.

Предложение 3.1.1. Пусть $A_{\lambda}$ – данный элемент множества $\mathcal{T}_{C}$. Если кривая $C$ является гладкой, то существует единственный комплексный пучок прямых над $C$, который представляет собой подрасслоение $C \times \mathbf{C}^{N}$ и такой, что если $(\lambda, \mu) \in C$ и $\mu$ – простое собственное значение $A_{\lambda}$, то его слой в точке $(\lambda, \mu)$ есть собственное подпротранство $A_{\lambda}$, отвечающее $\mu$.

Доказательство.
Рассмотрим алгебраическое подмногообразие $V$ многообразия $C \times \mathbf{P}^{N-1}(\mathbf{C})$ вида
\[
V=\left\{(\lambda, \mu, d) \mid d \subset \operatorname{Ker}\left(A_{\lambda}-\mu \mathrm{Id}\right)\right\}
\]

и подмногообразие
\[
V_{0}=\left\{(\lambda, \mu, d) \in V \mid \mu-\text { простое собственное значение } A_{\lambda}\right\} .
\]

Через $F$ обозначим множество точек кривой $C$, в которых оба собственных значения совпадают. По предположению, множество $F$ конечно и является геометрическим местом точек ветвления конечнолистного накрытия $\lambda: C \rightarrow \mathbf{P}^{1}$. Нам нужно доказать, что голоморфное взаимно однозначное отображение
\[
\begin{aligned}
\varphi: \quad C-F & \longrightarrow V_{0} \\
(\lambda, \mu) & \longmapsto(\lambda, \mu, d)
\end{aligned}
\]

имеет голоморфное продолжение, определенное на всей кривой $C$ и принимающее значения в замыкании $\overline{V_{0}}$ подмногообразия $V_{0}$. Пусть $A$ точка из $F$. Поскольку, по предположению, кривая $C$ гладкая, то существует локальная карта $z$ с центром в точке $A$ и при $z
eq 0$ имеем:
\[
\varphi(z)=\left(z,\left[x_{1}(z), \ldots, x_{N}(z)\right]\right) .
\]

В этой формуле функции $x_{i}$ являются голоморфными, кроме, быть может, точки 0, в которой они в худшем случае мероморфны. Следовательно, для достаточно большого $m$ (но не слишком большого!) можно продолжить $\varphi$ на окрестность точки 0 по формуле
\[
\varphi(z)=\left(z,\left[z^{m} x_{1}(z), \ldots, z^{m} x_{N}(z)\right]\right) .
\]

Замечание. Мы воспользовались только тем, что кривая $C$ гладкая, однако также существенно, что она одномерна (в доказательстве это важно). Более того, векторное расслоение, определенное таким способом, является единственным подрасслоением пространства $C \times \mathbf{C}^{N}$, продолжающим расслоение собственных векторов.
Имеем отображение
\[
\varphi_{C}: \mathcal{T}_{C} \longrightarrow \operatorname{Pic}^{d}(C)
\]
(для некоторого $d$ ). Каждому полиному $A_{\lambda}$ это отображение ставит в соответствие пространство $L$, двойственное к пучку собственных векторов $V$ (мы выбрали именно это отображение, поскольку координаты собственных векторов являются сечениями двойственного пространства и поэтому $L$ имеет положительную степень $d$ ). Будем называть $L$ расслоением собственных векторов, а отображение $\varphi_{C}$ – отображением собственных векторов. Это отображение можно понимать (и оно фактически так было определено) как семейство отображений
\[
\psi_{A_{\lambda}}: C \longrightarrow \mathbf{P}^{N-1}(\mathbf{C}) .
\]

Для любого фиксированного полинома $A_{\lambda}$, антиувлечение $\psi_{A_{\lambda}}^{\star} \mathcal{O}(1)$ линейного расслоения Хопфа являетсн расслоением собственных векторов.

Степень расслоения собственных векторов. Степень $d$ можно вычислить с помощью теоремы Римана-Роха. Проще всего здесь рассмотреть конечнолистное накрытие $\lambda: C \rightarrow \mathbf{P}^{1}$. Образ векторного расслоения представляет собой расслоение ранга $N$, слой которого в точке $\lambda$ есть сумма всех собственных подпространств $A_{\lambda}$, т. е. все пространство $\mathbf{C}^{N}$, на котором действует матрица $A$ (заметим, что благодаря построенному продолжению это верно независимо от того, является ли $\lambda$ точкой в $\mathbf{P}^{1}$, для которой все собственные пространства одномерны, или нет). Теперь степень $d$ легко вычислить с помощью теоремы Гротендика-Римана-Роха (см. П.4.2):
\[
\operatorname{ch}\left(\lambda_{\star} E\right) \operatorname{td}\left(\mathbf{P}^{1}\right)=\lambda_{\star}(\operatorname{ch}(E) \operatorname{td}(C)) \in H^{\star}\left(\mathbf{P}^{1} ; \mathbf{Z}\right) .
\]

Поскольку $\lambda_{\star} E$ тривиально и имеет ранг $N$, а $C$ и $\mathbf{P}^{1}$ – кривые, то все остальное можно выразить просто в терминах генераторов $u$ группы $H^{2}(C ; \mathbf{Z})$ и $t$ группы $H^{2}\left(\mathbf{P}^{1} ; \mathbf{Z}\right)$. А именно, $\operatorname{ch}(E)=1+d u, \operatorname{td}(C)=$ $1+(1-g) u$, где $g-$ род $^{4}$ кривой $C$, a $\operatorname{td}\left(\mathbf{P}^{1}\right)=1+t$ (та же самая формула, но для рода 0 ). Кроме того, $\lambda_{\star} u=t$ и $\lambda_{\star} 1=N$, так как $\lambda$ является отображением степени $N$. Следовательно, (1) дает
\[
\begin{aligned}
N(1+t) & =\lambda_{\star}[(1+d u)(1+(1-g) u)] \\
& =\lambda_{\star}[1+(d-g+1) u] \\
& =N+(d-g+1) t .
\end{aligned}
\]

Окончательно имеем: $d=N+g-1$.
${ }^{4}$ Заметим, что $g$ может быть выражено через $N$, степени матрицы $A_{\lambda}$ по $\lambda$ и $\lambda^{-1}$ и поведение $A_{\lambda}$ в точках 0 и $\infty$.

3.2. Касательное отображение

Основной результат работы Гриффитса [36] заключается в вычислении отображения, касательного к отображению собственных векторов $\varphi_{C}: \mathcal{T}_{C} \rightarrow \operatorname{Pic}^{d}(C)$. Здесь мы хотим найти образ касательного вектора. Зафиксируем последний, рассматривая достаточно малую гладкую кривую $t \mapsto A_{\lambda}(t)$ в $\mathcal{T}_{C}$. Мы должны найти
\[
T_{A_{\lambda}} \varphi_{C}\left(\frac{d}{d t} A_{\lambda}(t)_{\left.\right|_{t=0}}\right),
\]
т. е. инфинитезимальную вариацию собственного вектора $L_{t}=$ $\psi_{A_{\lambda}(t)}^{\star} \mathcal{O}(1)$. Для краткости обозначим $A_{\lambda}(0)$ через $A_{\lambda}, \psi_{A_{\lambda}(t)}$ через $\psi_{t}$, a $\psi_{A_{\lambda}}=\psi_{0}$ через $\psi$.

Таким образом, мы имеем локальное голоморфное нигде не обращающееся в нуль сечение $v(x, t)$ векторного расслоения собственных векторов (это расслоение есть $V_{t}=\psi_{t}^{\star} \mathcal{O}(-1)=L_{t}^{\star}$ ). Рассмотрим его производную в точке 0 .

Для формулировки первого свойства этой производной нам необходимо рассмотреть точную последовательность пучков (они фактически являются векторными расслоениями) над $\mathbf{P}^{N-1}(\mathbf{C})=P$ :
\[
0 \longrightarrow \mathcal{O}_{P} \longrightarrow \mathbf{C}^{N} \otimes \mathcal{O}(1) \longrightarrow T P \longrightarrow 0 .
\]

Напомним, что отображение включения определяется (в терминах векторных расслоений) соответствием
\[
(l, u) \longmapsto u\left(\left(e_{1}^{\star}\right)_{\mid}, \ldots,\left(e_{N}^{\star}\right)_{\left.\right|_{t}}\right),
\]

где $l$ – прямая в $\mathbf{C}^{N}$ (точка пространства $P$ ), вектор из слоя $\mathcal{O}(1)$ в $l$ линейная форма на $l$, а $\left(e_{1}^{\star}, \ldots, e_{N}^{\star}\right)$ – базис, двойственный каноническому базису в $\mathbf{C}^{N}$. Применяя операцию антиувлечения $\psi^{\star}$, отобразим его обратно в $C$ и получим
\[
0 \longrightarrow \mathcal{O}_{C} \longrightarrow \mathbf{C}^{N} \otimes L \longrightarrow \psi^{\star} T P \longrightarrow 0 .
\]

Мы воспользуемся связывающим гомоморфизмом в ассоциированной длинной точной последовательности когомологий:
\[
\longrightarrow H^{0}\left(C, \psi^{\star} T P\right) \xrightarrow{\delta} H^{1}\left(C ; \mathcal{O}_{C}\right) \longrightarrow .
\]

Напомним, что $H^{1}\left(C ; \mathcal{O}_{C}\right)$ является касательным пространством к Pic $^{d}(C)$ в любой точке (см. Приложение 4). Окончательно получаем

Предложение 3.2.1. Производная $\dot{v}$ локально голоморфного нигде не обращающегося в нуль сечения $v$ пространства $L^{\star}$, вычисленная в точке 0 , задает локально голоморфное сечение $N$-плоского пучка $\mathbf{C}^{N} \otimes L$ над $C$. Ее класс в факторпространстве $\psi^{\star} T P$ не зависит от выбора $v$. Таким образом, эта производная определяет глобально голоморфное сечение $[\dot{v}]$ пространства $\psi^{\star} T P$. Кроме того,
\[
\delta[\dot{v}]=T_{A_{\lambda}} \varphi_{C}\left(\frac{d}{d t} A_{\lambda}(t)_{\left.\right|_{t=0}}\right) .
\]

Замечание. Векторное пространство $H^{0}\left(\psi^{\star} T P\right)$ можно рассматривать как касательное пространство к пространству всех деформаций отображения $\psi: C \rightarrow P$ (кривая $C$ фиксирована). Поэтому наша фактическая кривая $\psi_{A_{\lambda}}(t)$ определяет элемент $[\dot{v}]$ в этом векторном пространстве (см. работу Гриффитса [36]).
Доказательство.
Любое сечение $v$ пространства $V$ определяет сечение $\alpha_{v}$ в сопряженном пространстве (по формуле $\alpha_{v}(v)=1$ ). В терминах этого сечения включение $\mathbf{C} \rightarrow \mathbf{C}^{N} \otimes L$ задается как
\[
(x, u) \longmapsto\left(x, u\left(v \otimes \alpha_{v}\right)\right) .
\]

Производная $\dot{v}$ в точке 0 снова является вектором в $\mathbf{C}^{N}$. Тогда $\dot{v} \otimes \alpha_{v}$ представляет собой локальное сечение пространства $\mathbf{C}^{N} \otimes L$. Это сечение фактически не сильно зависит от $v$ : пусть $\rho-$ нигде не обращающаяся в нуль голоморфная функция, а $w=\rho v$. Тогда $\alpha_{w}=\alpha_{v} / \rho$ и
\[
\dot{w} \otimes \alpha_{w}=\left(\frac{\dot{\rho}}{\rho(0)}\right) v \otimes \alpha_{v}+\dot{v} \otimes \alpha_{v} .
\]

Предложение доказано.
Теперь мы хотим получить больше информации о касательных векторах, образы которых мы вычисляем.

Предложение 3.2.2. Для любой матрицы $B_{\lambda}$ из $\mathfrak{g}\left[\lambda, \lambda^{-1}\right]$, матрица $\left[A_{\lambda}, B_{\lambda}\right]$ является касательной $к \mathcal{T}_{C}$ в точке $A_{\lambda}$.

Замечание. Чтобы определить отображение $\varphi_{C}$, мы предположили, что кривая $C$ гладкая. Заметим, что здесь не делается никаких предположений (и утверждений) относительно гладкости $\mathcal{T}_{C}$. Мы лишь утверждаем, что $\left[A_{\lambda}, B_{\lambda}\right]$ содержится в ядре касательного отображения к функциям, определяющим $\mathcal{T}_{C}$.

Доказательство.
Это утверждение эквивалентно тому, что спектр постоянен вдоль траекторий векторного поля $A_{\lambda} \mapsto\left[A_{\lambda}, B_{\lambda}\right]$, другими словами, вдоль решений дифференциального уравнения
\[
\dot{A_{\lambda}}=\left[A_{\lambda}, B_{\lambda}\right] .
\]

Это более или менее очевидно, если мы знаем, что решения имеют вид
\[
A_{\lambda}(t)=U(t) A_{\lambda}(0) U(t)^{-1} .
\]

Последнее также легко установить. Чтобы проверить, что $\operatorname{tr} A_{\lambda}^{k}$ является постоянным, необходимо рассмотреть его производную вдоль потока:
\[
k \operatorname{tr}\left(A_{\lambda}^{k-1} \dot{A_{\lambda}}\right)=k \operatorname{tr}\left(A_{\lambda}^{k-1}\left[A_{\lambda}, B_{\lambda}\right]\right)=k \operatorname{tr}\left[A_{\lambda}^{k}, B_{\lambda}\right]=0 .
\]

Следующей нашей целью является вычисление образов этих касательных векторов. Мы попытались дать читателю понять, и еще раз хотим это подчеркнуть, что до сих пор в наших рассуждениях не появлялось никакой дифференциальной системы, и тем более интегрируемой системы. Сейчас возникнут уравнения Лакса, однако напомним, что все (т. е. $C, \mathcal{T}_{C}$ и $\varphi_{C}$ ) было определено раньше. Например, мы не утверждаем, что первые интегралы находятся в инволюции: в действительности здесь нет никакой пуассоновой структуры.

Тем не менее, кроме $A_{\lambda}$, мы рассмотрим другой полином Лорана $B_{\lambda}$. Обозначим через $m$ и $n$ его степени по $\lambda^{-1}$ и $\lambda$ соответственно,

так что
\[
B_{\lambda}=\sum_{k=-m}^{n} B_{k} \lambda^{k},
\]

а через $D$ – дивизор
\[
D=n P_{-}+m P_{+} .
\]

Заметим, что $D$ зависит от $B_{\lambda}$ (однако мы не хотим усложнять обозначения) и определяется в точности таким образом, что $B_{\lambda}$ можно считать ${ }^{5}$ гомоморфизмом $\mathbf{C}^{N} \longrightarrow \mathbf{C}^{N}(D)$. Как и выше, если $v-$ локально голоморфное сечение $V$, то $B_{\lambda} v$ можно рассматривать как глобальное сечение пространства $\mathbf{C}^{N}(D) \otimes L$ : в тех же обозначениях, что и выше, его можно представить в виде ( $\left.B_{\lambda} v\right) \otimes \alpha_{v}$. Поэтому имеем $B_{\lambda}(\rho v)=B_{\lambda} v$ и введем новые обозначения: элемент группы $H^{0}\left(C ; \mathbf{C}^{N}(D) \otimes L\right)$, который мы только что определили, будем обозначать через $E$.
Вернемся к основным вычислениям Гриффитса. Поскольку
\[
A_{\lambda}(t) v_{t}(x)=\mu v_{t}(x),
\]

то, дифференцируя по $t$ в точке $t=0$, получаем:
\[
\dot{A_{\lambda}} v+A_{\lambda} \dot{v}=\mu \dot{v} .
\]

Так как мы находимся на траектории $\left[A_{\lambda}, B_{\lambda}\right]$, то получаем:
\[
A_{\lambda}\left(B_{\lambda} v+\dot{v}\right)=\mu\left(B_{\lambda} v+\dot{v}\right) .
\]

Другими словами, $B_{\lambda} v+\dot{v}$ является собственным вектором $A_{\lambda}$ с собственным значением $\mu$. По предположению, в общем случае собственные подпространства $A_{\lambda}$ одномерны. Тогда существует функция $g$, такая что
\[
B_{\lambda} v+\dot{v}=-g v .
\]
${ }^{5}$ Следует также отметить, что $B_{\lambda}$ может быть (и в общем случае является) функцией от $A_{\lambda}$ (вспомним об уравнении Лакса,которое возникает в АКС-теореме). Если рассматривать траектории векторного поля $\left[A_{\lambda}, B_{\lambda}\right]$, то $B_{\lambda}$ также будет зависеть от $t$.

Напомним, что мы рассматриваем $B_{\lambda} v$ как глобальное сечение $E$ пространства $\mathbf{C}^{N}(D) \otimes L$, а $\dot{v}$ – как глобальное сечение пространства $\mathbf{C}^{N} \otimes L / \mathcal{O}_{C}$. Рассмотрим второй собственный вектор $w$, такой что $w=\rho v$ :
\[
B_{\lambda} w+\dot{w} \stackrel{\text { def }}{=} B_{\lambda} w \otimes \alpha_{w}+\dot{w} \otimes \alpha_{w}=B_{\lambda} v \otimes \alpha_{v}+\dot{v} \otimes \alpha_{v}+\frac{\dot{\rho}}{\rho} v \otimes \alpha_{v} .
\]

Тогда заменим $g$ на $g+\dot{\rho} / \rho$. Так как $\rho$ – нигде не обращающаяся в нуль голоморфная функция, то лорановская часть разложения $g$ в окрестности дивизора $D$ определена корректно. Гриффитс называет ее хвостом Лорана функции $g$ в $D$. Другими словами, мы будем рассматривать $g$ как глобальное сечение пучка $\mathcal{O}_{D}(D)$, определяемого последовательностью
\[
0 \longrightarrow \mathcal{O}_{C} \longrightarrow \mathcal{O}_{C}(D) \longrightarrow \mathcal{O}_{D}(D) \longrightarrow 0 .
\]

Гриффитс называет это сечение вычетом элемента $B_{\lambda}$ и обозначает его через $\rho(B)$.

Замечание. Предположим, что $v$ – локально голоморфное сечение $V$, a $g$ – мероморфная функция, такая что $B_{\lambda} v+g v$ задает глобальное голоморфное сечение пространства $\psi^{\star} T P$. Тогда хвост Лорана функции $g$ в $D$ корректно определен, а $g$ является вычетом $B_{\lambda}$.

Используя связывающий гомоморфизм $\partial$ когомологической последовательности, ассоциированной с (3), мы снова получаем элемент группы $H^{1}\left(C ; \mathcal{O}_{C}\right)$. Этот результат можно сформулировать в виде теоремы.

Теорема 3.2.3 (Гриффитс [36]). Образ касательного вектора $\left[A_{\lambda}, B_{\lambda}\right] \kappa \mathcal{T}_{C}$ в точке $A_{\lambda}$ под действием отображения $T_{A_{\lambda}} \varphi_{C}$, касательного к отображению собственных векторов $\varphi_{C}$, есть $\partial \rho\left(B_{\lambda}\right) \in$ $H^{1}\left(C ; \mathcal{O}_{C}\right)$.

Доказательство.
Объединим точные последовательсти пучков (2) и (3) и получим диаграмму и точные когомологические последовательности

Вследствие 3.2.1, касательный вектор, который мы ищем, есть $\delta[\dot{v}] \in H^{1}\left(\mathcal{O}_{C}\right)$ и находится либо в верхнем правом углу, либо в нижнем левом углу. С помощью $B_{\lambda}$ мы определили элемент $E$ в группе $H^{0}\left(\mathbf{C}^{N}(D) \otimes L\right)$, который имеет такой же образ, как $\rho(B)$ в $\ddagger=H^{0}\left(\mathbf{C}^{N} \otimes L \otimes \mathcal{O}_{D}(D)\right)$, и такой же образ, как $[\dot{v}]$ в $\dagger=H^{0}\left(\psi^{\star} T P(D)\right)$. В силу коммутативности имеем: $\delta[\dot{v}]=\partial \rho(B)$.

Вернемся к особому случаю, описанному в Приложении 2 (см. 2.4). Теорема 3.2.4 (Рейман [74]). Пусть $f \in \mathbf{C}\left[X, X^{-1}, Y\right]-$ полином (так что $f(\lambda, \mu)$ является голоморфной функиией на $C_{0}$ ). Тогда образ касательного вектора $\left[A_{\lambda}, f\left(\lambda, A_{\lambda}\right)_{+}\right]$в касательном пространстве $H^{1}\left(C ; \mathcal{O}_{C}\right)$ есть класс 1-коцикла для накрытия $C=\mathcal{U}_{+} \cup \mathcal{U}_{-}$, определяемого функцией $f$.

В качестве полезного упражнения предлагается построить простое когомологическое доказательство, аналогичное доказательству теоремы 3.2.3. Эту теорему можно также понимать (см. оригинальную работу Реймана) как утверждение о линеаризации, включающее решения гамильтоновых уравнений. Этот подход будет рассмотрен в следующем пункте.
3.3. Линеаризация потоков

Обратимся к некоторым утверждениям о линеаризации. Пусть $t \mapsto A_{\lambda}(t)$ – достаточно малая кривая в изоспектральном множестве $\mathcal{T}_{C}$, и пусть $L_{t}$ – расслоение собственных векторов $A_{\lambda}(t)$. Вычисления, приведенные выше, в определенных случаях позволяют найти вектор
\[
\left(\frac{d}{d t} L_{t}\right)_{\left.\right|_{t=0}} \in H^{1}\left(C ; \mathcal{O}_{C}\right) .
\]

Тот факт, что $\varphi_{C}$ линеаризует $A_{\lambda}(t)$ в $\operatorname{Pic}^{d}(C)$, можно понимать двояко:
– либо что $L_{t}=\varphi_{C}\left(A_{\lambda}(t)\right)$ принадлежит прямой линии ${ }^{6}$, другими словами, что ускорение, производная скорости $d L_{t} / d t$, коллинеарно скорости;
– либо что сама скорость постоянна. Это самое сильное из возможных требований: не только кривая $L_{t}$ является прямой линией, но и параметр $t$ является линейным параметром.
${ }^{6}$ Должно быть нсно, что такое прнмая линия на торе. Если нет, то следующую фразу в тексте можно взять в качестве определения.

Заметим, что если мы хотим выписать и/или изучить поведение решений данного дифференциального уравнения, то параметр имеет большое значение. Несмотря на то, что приведенные выше результаты Гриффитса можно использовать для обсуждения обоих случаев, мы ограничимся более сильным свойством.
В общем случае, рассмотренном Гриффитсом, мы получаем

Следствие 3.3.1. Предположим, что $A_{\lambda}(t)$ – интегральная кривая векторного поля $\left[A_{\lambda}, B_{\lambda}\right]$ на $\mathcal{T}_{C}$. Тогда необходимое и достаточное условие того, что образ $L_{t}$ в $\operatorname{Pic}^{d}(C)$ линеен, есть
\[
\frac{d}{d t} \rho(B) \equiv 0
\]

по модулю хвостов Лорана глобально мероморфных функций на $C$, у которых дивизоры полюсов $\geqslant D$.

Замечание. Можно выразить это условие в терминах вычетов в $D$, и так достаточно часто поступают на практике. Всюду в книге можно встретить применения теорем 3.2 и 3.3. Достаточно смелому читателю предлагается попытаться применить их к уравнению Лакса из III.3.3, чтобы проверить, что его поток не линеаризуется на якобиане спектральной кривой.

Ситуация в случае Реймана является одной из самых простых: из теоремы 3.2.4 непосредственно выводим
Следствие 3.3.2. Отображение собственных векторов $\varphi_{C}$ линеаризует потоки всех векторных полей вида
\[
\left[A_{\lambda}, f\left(\lambda, A_{\lambda}\right)_{+}\right]
\]

при $f \in \mathbf{C}\left[X, X^{-1}, Y\right]$.
Доказательство.
Действительно, образ касательного вектора является коциклом, определяемым функцией $f$. Этот коцикл не зависит от решения и, следовательно, от времени.

Рассмотрим линейное расслоение $F_{t}$, которое задается на $C$ при помощи функции сдвига $\exp (t f)$ на $C_{0}$. Приведем элегантную переформулировку утверждений 3.2.4 и 3.3.2 (фактически эта формулировка является в точности утверждением Реймана [74]).

Теорема 3.3.3. Пусть $E_{t}$ – расслоение собственных векторов решения $A_{\lambda}(t)$ уравнения
\[
\dot{A_{\lambda}}=\left[A_{\lambda}, f\left(\lambda, A_{\lambda}\right)_{+}\right] .
\]

Тогда $E_{t}=E_{0} \otimes F_{t}$.
Алгебра Ли $\widetilde{\mathfrak{g}}=\mathfrak{g}\left[\lambda, \lambda^{-1}\right]$ распадается в сумму подалгебр Ли а полиномов по $\lambda$ и $\mathfrak{b}$ полиномов по $\lambda^{-1}$ без постоянного члена. Пусть $A$ и $B-$ соответствующие группы Ли.

Лемма 3.3.4. Зафиксируем (постоянную) матрииу $A_{\lambda}$ и положим $M_{\lambda}=$ $f\left(\lambda, A_{\lambda}\right)$. Предположим, что $\exp \left(t M_{\lambda}\right)$ представляется в виде
\[
\exp \left(t M_{\lambda}\right)=a(t)^{-1} b(t),
\]

где а и $b$ – пути в $A$ и $B$ соответственно, определенные для достаточно малого $t$. Тогда решение гамильтонова уравнения с начальным условием $A_{\lambda}(0)=A_{\lambda}$ имеет вид
\[
A_{\lambda}(t)=a(t) A_{\lambda}(0) a(t)^{-1}=b(t) A_{\lambda}(0) b(t)^{-1} .
\]

Доказательство.
Это в точности интегральный вариант теорем типа АКС из Приложения 2 , который получается дифференцированием по $t$. Дополнительные разъяснения приведены в замечании ниже.

Доказательство теоремы.
Предполагая, что задача факторизации решена, мы имеем в точности:
\[
A_{\lambda}(t)=a(t) A_{\lambda}(0) a(t)^{-1}=b(t) A_{\lambda}(0) b(t)^{-1} .
\]

Отображение $a(t)$ является автоморфизмом пространства $\mathbf{C}^{N}$, на котором действуют наши матрицы; это отображение полиномиально по $\lambda \in \mathbf{C}$. То же самое верно для $b(t)$, только оно полиномиально по $\lambda^{-1} \in \mathbf{C}$. Оба отображения $a(t)$ и $b(t)$ определяют изоморфизмы между $E_{t}$ и $E_{0}$ на $\mathcal{U}_{+} \cap \mathcal{U}_{-}$. Их можно сравнивать, поскольку
\[
\left.a(t)^{-1} b(t)\right|_{E_{0}}=\left.\exp \left(t M_{\lambda}\right)\right|_{E_{0}} .
\]

Однако $E_{0}$ является расслоением собственных векторов $A_{\lambda}$ : для любого сечения $v=v(\lambda, \mu)$ пространства $E_{0}$ имеем: $A_{\lambda} v=\mu v$, так что
\[
M_{\lambda} v(\lambda, \mu)=f\left(\lambda, A_{\lambda}\right) v(\lambda, \mu)=f(\lambda, \mu) v(\lambda, \mu),
\]

а $\left.\exp \left(t M_{\lambda}\right)\right|_{E_{0}}$ представляет собой умножение на $\exp (t f)$.
Доказательство еще не закончено, так как оно основано на решении задачи факторизации, как утверждается в лемме 3.3.4. Эта задача известна как задача Римана и тот факт, что она нетривиальна, можно понять даже из приведенного доказательства. Функцию $\exp \left(t M_{\lambda}\right)$ также можно рассматривать как функцию склейки при построении голоморфного $G$-расслоения пространства $\mathbf{P}^{1}(\mathbf{C})$ со спектральным параметром $\lambda$ (здесь $G$ – группа Ли, соответствующая матричной алгебре Ли g). Решение задачи факторизации (см. лемму 3.3.4) дает нам голоморфную тривиализацию этого расслоения.

Существуют нетривиальные голоморфные $G$-расслоения над $\mathbf{P}^{1}(\mathbf{C})$. Рассмотрим случай общей линейной группы ( $\mathfrak{g}$ – алгебра Ли всех комплексных матриц размера $N \times N$ ). Здесь мы можем воспользоваться теоремой Биркгоффа о факторизации, которая дает
\[
\exp \left(t M_{\lambda}\right)=a(t)^{-1} c b(t),
\]

где $c$ – диагональная матрица вида ( $\lambda^{a_{1}}, \ldots, \lambda^{a_{N}}$ ) для некоторых целых $a_{i}$. Тогда построенное $N$-плоское расслоение над $\mathbf{P}^{1}(\mathbf{C})$ изоморфно $\mathcal{O}\left(a_{1}\right) \oplus \cdots \oplus \mathcal{O}\left(a_{N}\right)$. Доказательство теоремы Биркгоффа и обсуждения ее связи с расслоениями над $\mathbf{P}^{1}(\mathbf{C})$ можно найти в Главе 8 книги Прессли и Сигала [72].

Очевидно, при $t=0$ и, следовательно, при достаточно малых $t$ мы получаем, что все $a_{i}$ равны нулю, что и доказывает теорему.

Замечание. Более показательное доказательство леммы 3.3.4 содержится в работе Реймана [74]. Предположим, что мы хотим доказать более общее утверждение, что если $\varphi$ – любая инвариантная функция на $\mathfrak{g}^{\star}$, то решения гамильтоновой системы, ассоциированной с $\varphi$, как в теореме 2.1.1, имеют вид
\[
\xi(t)=\operatorname{Ad}_{b(t)}^{\star} \xi
\]

где $\xi=\xi(0)$, а $b(t) \in B$ появляется в результате факторизации $\exp (t d \varphi(\xi))=a(t)^{-1} b(t)$. Рассмотрим $G_{0}=A \times B$ и два отображения $\sigma: G_{0} \rightarrow G, \sigma_{0}: \mathfrak{g}_{0} \rightarrow \mathfrak{g}$, определяемые по следующим формулам: $\sigma(a, b)=a b^{-1}, \sigma_{0}(\alpha, \beta)=\alpha-\beta$. Если оба пространства $T G$ и $T G_{0}$ тривиализуются с помощью левых сдвигов, то $d \sigma_{(a, b)}=\operatorname{Ad}_{b} \circ \sigma_{0}$. Поэтому $\sigma$ является погружением и задает отображение $\sigma^{\star}: T^{\star} G_{0} \rightarrow T^{\star} G$, которое является поднятием $\sigma$ и симплектическим погружением. Отображение $\varphi$ определяет следующую гамильтонову систему на $T^{\star} G$ :
\[
\left\{\begin{array}{l}
\dot{\xi}=0, \\
\dot{g}=d \varphi(\xi) .
\end{array}\right.
\]

Решения этой системы имеют простой вид:
\[
\left\{\begin{array}{l}
\xi(t)=\xi, \\
g(t)=g \exp (t d \varphi(\xi)) .
\end{array}\right.
\]

Решения нашей исходной системы получаются как проекции на $\mathfrak{g}_{0}^{\star}$ их образов при отображении $\sigma^{\star}$, т. е. $\xi(t)=\operatorname{Ad}_{b(t)}^{\star} \xi$.

Относительно решений и факторизации можно сделать еще одно замечание. В конечномерном случае, когда отсутствует спектральный параметр $\lambda$, мы фактически получим утверждение, что решения могут быть выражены в терминах показателей временной переменной. Однако мы знаем, что этого не достаточно для систем классической механики, в которых, например, возникают абелевы интегралы. Бесконечномерного обсуждения избежать не удается.
3.4. Различные проблемы

Проблема регулярного значения. Используя полученные результаты, часто оказывается достаточно просто изучать проблему регулярности совместных поверхностей уровня первых интегралов (непосредственное вычисление в общем случае достаточно утомительно). Для того чтобы задать отображение собственных векторов
\[
\varphi_{C}: \mathcal{T}_{C} \longrightarrow \operatorname{Pic}^{d}(C),
\]

достаточно, чтобы спектральный параметр был гладким. Если есть возможность проверить, что гамильтоновы векторные поля отображаются в независимые векторы из $H^{1}\left(C ; \mathcal{O}_{C}\right)$, то мы можем быть уверены в том, что они независимы между собой и, следовательно, их поверхности уровня регулярны. Это рассуждение достаточно часто позволяет доказать утверждение типа «если кривая $C$ гладкая, то соответствующий уровень $\mathcal{T}_{C}$ регулярен» (см. [11], II.2.3.4, III.2.3.4 и IV.3.3.1). Заметим также, что в общем случае бывает нетрудно проверить, является ли кривая $C$ гладкой. Однако следующее общее утверждение, по-видимому, неверно: существуют честные примеры уравнений Лакca, полученные честными методами, в которых спектральная кривая $C$ является сингулярной для всех значений первых интегралов (см., например, III.3.2).

Проблема реконструкции. Две матрицы $A \in \tilde{\mathfrak{g}}=\mathfrak{g}\left[\lambda, \lambda^{-1}\right]$, сопряженные при помощи элемента группы $G$ (не зависящего от $\lambda$ ), имеют изоморфные расслоения собственных векторов (изоморфизм индуцирован охватывающим изоморфизмом $\mathbf{C}^{N}$ ). При определенных предположениях (которые, в частности, справедливы в случае Реймана, так как член наивысшей степени по $\lambda$ в $L$ диагонализуем), Рейман [74] доказал, что верно обратное, другими словами, что можно реконструировать прообраз точки из образа отображения собственных векторов. Он также показал, что образ является дополнением к сдвигу $\Theta$-дивизора. Аналогичная ситуация описывается в Главе V.

Полюсы решений. Поверхности уровня инвариантных полиномов из пространства $\mathfrak{g}\left[\lambda, \lambda^{-1}\right]$ являются комплексными аффинными алгебраическими многообразиями. Поэтому их невозможно отобразить на комплексные торы (здесь возникает $\Theta$-дивизор из предыдущего замечания). С точки зрения гамильтоновых уравнений это означает, что некоторые решения должны уходить в бесконечность: они являются мероморфными функциями времени. Это связано с проблемой факторизации, которая упоминается в доказательстве теоремы 3.3.3: так как $\exp (t d \varphi(\xi))$ представляется в виде $a(t)^{-1} b(t)$, решения являются голоморфными. Однако это верно лишь в том случае, когда $t$ достаточно мало. Если это не так, то решение имеет полюс. Мы видим, что так называемый «анализ Пенлеве» тесно связан с клеточным разложением грассманиана. В бесконечномерном случае (т. е. со спектральным параметром $\lambda$ ) это разложение представляет собой клеточное разложение грассманиана Сато (см. книгу Прессли и Сигала [72]). Однако имеются содержательные примеры уже в конечномерном случае (замечательное теоретико-групповове исследование ситуации в случае непериодической цепочки Тода можно найти в работе Флашка и Хайне [30]).