Согласно определению, для того чтобы система была интегрируемой, нам необходимо иметь еще один первый интеграл, коммутирующий с энергией $H$.

Имеется классический список ${ }^{4}$ примеров (для некоторых специальных значений $L$ и $\mathbf{J}$ ), для которых этот интеграл существует. Мы приводим этот список (без этого нельзя обойтись) вместе с некоторыми комментариями.
${ }^{4}$ Вклады ученых, упомянутых в этом списке, и полные ссылки с датами (конечно, Пуансо ничего не сделал в 1758 году!) можно найти в классической книге Уиттекера [87].

Случай Эйлера-Пуансо (1758). В этом случае неподвижная точка совпадает с центром масс $O=G$ (или, что равносильно, $L=0$ ). Здесь, очевидно, $K=\frac{1}{2}\|M\|^{2}$ является интегралом движения. В самом деле,
\[

abla_{\Gamma+\varepsilon M} H=\Omega \quad \text { и } \quad
abla_{\Gamma+\varepsilon M} K=M,
\]

так что ${ }^{5}$
\[
\{H, K\}(\Gamma+\varepsilon M)=\langle\Gamma+\varepsilon M,[\Omega, M]\rangle=M \cdot(\Omega \times M)=0 .
\]

Случай Лагранжа (1788). В этом случае мы имеем дело с симметричным волчком, причем в некоторой (подвижной) системе координат матрица тензора инерции имеет вид
\[
\mathbf{J}=\left(\begin{array}{ccc}
l & 0 & 0 \\
0 & l & 0 \\
0 & 0 & m
\end{array}\right)
\]
(с точностью до замены, можно предполагать – и мы это будем делать – что $l=1$ ), а третий вектор коллинеарен $L$ : прямая $O G$ является осью вращения тела. Это означает, что $(M-\Omega) \times L=0$.

Этот случай принято называть случаем Лагранжа. Кинетический момент $K=M \cdot L$ относительно оси (или кинетический момент Лагранжа) является первым интегралом. Кроме того, $
abla_{\Gamma+\varepsilon M} K=L$ и
\[
\begin{aligned}
\{H, K\}(\Gamma+\varepsilon M) & =\omega_{\Gamma+\varepsilon M}(\Omega+\varepsilon L, L) \\
& =(\Gamma+\varepsilon M) \cdot[\Omega+\varepsilon L, L] \\
& =(\Gamma+\varepsilon M) \cdot[\Omega, L] \\
& =M \cdot(\Omega \times L) \\
& =\mathbf{0},
\end{aligned}
\]

поскольку $M$ принадлежит плоскости $(\Omega, L)$. Следовательно, эти два интеграла коммутируют.
${ }^{5}$ См. определение скобки Пуассона $\{$,$\} и методы ее вычисления в терминах гра-$ диентов в Приложении 1.

Заметим также, что $K$ является кинетическим моментом для потока, порожденного вращениями вокруг оси симметрии $L$, а его гамильтоново векторное поле имеет вид
\[
\begin{aligned}
X_{K}(\Gamma+\varepsilon M) & =\left[
abla_{\Gamma+\varepsilon M} K, \Gamma+\varepsilon M\right] \\
& =[L, \Gamma+\varepsilon M] \\
& =[L, \Gamma]+\varepsilon[L, M] .
\end{aligned}
\]

Вектор $[L, X]=L \times X$ получается проектированием вектора $X$ на плоскость, ортогональную $L$, с последующим поворотом на $90^{\circ}$ по часовой стрелке: фактически он представляет собой фундаментальное векторное поле $S^{1}$-действия, порожденного вращениями вокруг оси $L$. Функция $K$ является периодическим гамильтонианом.

Случай Ковалевской (1889). Существует подвижная система координат, в которой матрица тензора инерции имеет вид
\[
\mathbf{J}=\left(\begin{array}{ccc}
2 m & 0 & 0 \\
0 & 2 m & 0 \\
0 & 0 & m
\end{array}\right)
\]
(мы будем предполагать, что $m=1$ ), причем первый вектор этой системы коллинеарен $L$ : как и в симметричном случае, здесь имется «экваториальная» плоскость, которой принадлежит центр масс. Это и есть случай Ковалевской [55]. Запишем в этом базисе:
\[
M=\left(\begin{array}{c}
u \\
v \\
w
\end{array}\right), \quad \Omega=\left(\begin{array}{c}
p \\
q \\
r
\end{array}\right), \quad \Gamma=\left(\begin{array}{c}
\gamma_{1} \\
\gamma_{2} \\
\gamma_{3}
\end{array}\right), \quad L=\left(\begin{array}{c}
-1 \\
0 \\
0
\end{array}\right)
\]

и рассмотрим функцию
\[
K=\left|(p+i q)^{2}+\left(\gamma_{1}+i \gamma_{2}\right)\right|^{2} .
\]

Легко проверить (непосредственным вычислением), что $\{H, K\}=0$, таким образом, система (E) является интегрируемой. Проверка этого утверждения достаточно утомительна и предлагается читателю в качестве упражнения. Отметим, что его можно получить и как следствие общей теории (а именно, АКС-теоремы, см. Приложение 2 и Главу III).

Случай Горячева-Чаплыгина (1900). Этот случай ${ }^{6}$ немного отличается от предыдущих, поскольку система является интегрируемой только на одной орбите, а именно на орбите $\mathbf{O}_{0}$. Другими словами, она не интегрируема как система на всем пуассоновом многообразии, а только на одном симплектическом листе. В этом случае
\[
\mathbf{J}=\left(\begin{array}{ccc}
4 m & 0 & 0 \\
0 & 4 m & 0 \\
0 & 0 & m
\end{array}\right)
\]

в некотором базисе, первый вектор которого коллинеарен $L$. В тех же обозначениях для координат $M, \Omega, \Gamma$ и $L$, что и в случае Ковалевской, дополнительный первый интеграл принимает вид
\[
K=w\left(u^{2}+v^{2}\right)+2 u \gamma_{3} .
\]

Здесь снова непосредственное вычисление дает
\[

abla_{\Gamma+\varepsilon M} K=\left(\begin{array}{c}
2 u w+2 \gamma_{3} \\
2 v w \\
u^{2}+v^{2}
\end{array}\right)+2 \varepsilon\left(\begin{array}{l}
0 \\
0 \\
u
\end{array}\right),
\]

откуда
\[
\{H, K\}(\Gamma+\varepsilon M)=c v .
\]

Таким образом, система является интегрируемой на орбите $\mathbf{O}_{0}$.
Замечание. Мы уже отмечали, что полная энергия $H$ представляет собой собственное отображение $\mathbf{O}_{c} \rightarrow \mathbf{R}$, так что во всех этих случаях все совместные поверхности уровня первых интегралов компактны, а значит, состоят из лиувиллевых торов.
2.2. Комментарии

Читателю может показаться удивительным, каким образом оказалось возможным найти именно эти случаи интегрируемости и ничего
${ }^{6}$ Ссылки на оригинальные работы Горячева и Чаплыгина можно найти в книге Голубева [35].

больше. Это очень интересная проблема. Метод, которым воспользовалась Ковалевская, заключается в следующем. Она исследовала, когда (при каких условиях на $\mathbf{J}$ и $L$ ) особенности решений системы (Е) являются достаточно простыми. Более точно, поскольку система (E) нелинейна, то ее решения могут иметь достаточно сложные особенности; в простейших случаях решения являются мероморфными функциями времени. Во времена Ковалевской уже были известны решения для случаев Эйлера-Пуансо и Лагранжа. Она заметила, что эти решения являются мероморфными и попыталась найти все возможные значения тензора инерции, при которых решения имеют такой же характер. Кроме известных случаев, Ковалевская нашла еще один случай, который теперь носит ее имя. Она также указала дополнительный интеграл $K$ и выписала решения.

Замечание.
1) Мы уже по крайней мере дважды отмечали, что полная энергия является собственной функцией, так что потоки не уходят на бесконечность. Для того чтобы решения были мероморфными функциями (или еще хуже), необходимо по крайней мере считать время комплексной переменной. Поэтому эта теория не была развита до конца XIX столетия, и именно поэтому она была создана математиком из школы Вейерштрасса.
2) Существует большое количество современных исследований по проблемам, возникшим в связи с этой процедурой. Например, почему дифференциальные уравнения, решения которых имеют не слишком сложные особенности, обладают достаточным количеством первых интегралов? Это до сих пор кажется загадочным.
3) Так называемый «анализ Пенлеве» (или, более точно, «анализ Ковалевской-Пенлеве») тесно связан с рассматриваемой проблемой и активно развивается в настоящее время. В рамках этой теории полюса (мероморфных) решений используются для изучения геометрии поверхностей уровня (соответствующие ссылки будут даны в Главах IV и V).
Несколько слов относительно полноты приведенного списка примеров: можно показать, что если система (E) обладает дополнительным

полиномиальным (соответственно, мероморфным) интегралом, то мы получаем один из указанных выше случаев. Этот результат принадлежит Гюссону [44] (соответственно, Зиглину [89]).