Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике Основная цель этого приложения – описать вещественную часть якобиана вещественной кривой. Мы подробно разберем случай вещественных кривых рода 1. Материал, который мы излагаем, является классическим и восходит к работам Вейхольда [85] и Клейна [49,50] (см. также работу Комессатти [21]; ссылки на последние работы можно найти в работе Гросса и Харриса [38]). Для удобства мы начнем изложение с напоминания (без доказательства) основных фактов относительно (комплексных) алгебраических кривых ${ }^{7}$ и их якобианов, с которыми мы встречались на протяжении всей книги. За дополнительными деталями мы отсылаем читателя к книгам Гриффитса и Харриса [37], Фаркаша и Кра [27], а также Рейсса [78]. Римановой поверхностью $X$ называется компактное связное комплексное аналитическое многообразие размерности 1 . Риманова поверхность обладает фундаментальным инвариантом, родом $g$, который можно определить многими ${ }^{8}$ различными (но эквивалентными) способами. Род кривой полностью определяет топологию поверхности, поскольку он равен числу ручек, или, более точно, поскольку Род также дает много информации об аналитической структуре, так как он совпадает с размерностью комплексного векторного простран- ${ }^{7}$ Значение алгебраических кривых осознавал даже Жюль Верн, как показывает цитата в начале книги. ства голоморфных 1-форм на $X$, т. е. где $\Omega_{X}^{1}$ – пучок (ростки) голоморфных форм, а $H^{0}\left(\Omega_{X}^{1}\right)$ – пространство его (глобальных) сечений, т. е. пространство голоморфных 1-форм. Теорема Римана-Роха представляет собой главный аппарат исследования. Она является очень точной теоремой существования мероморфных функций (см. ниже). Утверждение об эквивалентности двух определений рода $g$, приведенных выше, есть одно из следствий этой теоремы. Формула Римана-Гурвица. Пусть даны две римановы поверхности $X$ и $X^{\prime}$, а также отображение $f: X \rightarrow X^{\prime}$. С помощью формулы Римана-Гурвица легко вычисляется эйлерова характеристика, которая позволяет сравнивать род кривых $X$ и $X^{\prime}$. Мы достаточно часто пользуемся ей (даже без ссылки на нее) в настоящей книге, главным образом, для отображений степени 2. В этом случае, в соответствии с формулой Римана-Гурвица, эйлерова характеристика $2-2 g$ кривой $X$ равна удвоенной эйлеровой характеристике $2-2 g^{\prime}$ кривой $X^{\prime}$ минус число точек ветвления. Например, если отображение $X \rightarrow \mathbf{P}^{1}$ степени 2 имеет четыре точки ветвления, то $X$ – кривая рода 1 . Пополнения аффинных кривых. Очень часто, особенно в настоящей книге, римановы поверхности рассматриваются как пополнения аффинных плоских кривых. Аффинной плоской кривой $C_{P}$ называется множество нулей в $\mathbf{C}^{2}$ неприводимого полинома $P \in \mathbf{C}[X, Y]$ : С кривой $C_{P}$ естественным образом связывается корректно определенная (компактная) риманова поверхность $X_{P}$, такая что существуют два конечных подмножества $E \subset C_{P}$ и $F \subset X_{P}$, где $C_{P}-E=X_{P}-F$. Таким образом, две поверхности совпадают, за исключением конечного множества точек: $X_{P}$ компактно: тогда как $C_{P}$ не может быть компактным, $X_{P}$ является гладким, тогда как $C_{P}$ может иметь особенности, которые суть точки из $E$ (заметим, что если кривая $C_{P}$ гладкая, то $E=\emptyset$ и $X_{P}$ является пополнением $C_{P}$ ). Риманова поверхность $X_{P}$ называется нормализацией ${ }^{9}$ кривой $C_{P}$. Конечно, можно пополнить особую аффинную кривую, добавляя «бесконечно удаленные» гладкие точки, т. е. пополнить $C_{P}$, не затрагивая ее особые точки. Так обычно и поступают, когда имеют дело с семействами кривых, которые встречаются на протяжении всей книги (см., например, II.2.2, III.2, IV.2.1, IV.3.2, V.1.2 и Приложение 3). Более точно, это можно сделать, просто разделяя ветви кривой на бесконечности, как видно из примеров. Гиперэллиптические кривые. Если существует отображение кривой в $\mathbf{P}^{1}$ степени 2 , то такая кривая называется гиперэллиптической. Большинство кривых в этой книге являются гиперэллиптическими: это те кривые, которые задаются уравнениями вида $y^{2}=P(x)$ ( $x$ определяет отображение степени 2). С отображением степени 2 связана инволюция, которая в этом случае называется гиперэллиптической инволюцией (она имеет вид $(x, y) \mapsto(x,-y)$ при $y^{2}=P(x)$ ). Применяя формулу Римана-Гурвица, получаем, что род кривой $y^{2}=P(x)$ равен $g$, если $\operatorname{deg} P=2 g+1$ или $\operatorname{deg} P=2 g+2$. С комплексной кривой рода $g$ принято связывать ее якобиан, комплексный $g$-мерный тор, который можно описать либо через интегрирование голоморфных форм, либо через дивизоры линейных расслоений. Определение якобиана посредством голоморфных 1-форм. Пусть $X$ – комплексная кривая. Тогда можно задать естественное интегральное отображение которое, как нетрудно показать, является инъективным. Его образ совпадает с решеткой $\Lambda \cong \mathbf{Z}^{2 g}$ в $H^{0}\left(\Omega_{X}^{1}\right)^{\star} \cong \mathbf{C}^{g}$ (по теореме Римана-Роха). Тогда якобиан представляет собой тор, полученный в результате факторизации: Касательное пространство к $\operatorname{Jac}(X)$ в каждой точке канонически изоморфно пространству $H^{0}\left(\Omega_{X}^{1}\right)^{\star}$, которое, в свою очередь, в силу двойственности Серра, изоморфно $H^{1}\left(\mathcal{O}_{X}\right)$, первой группе когомологий пучка $\mathcal{O}_{X}$ голоморфных функций на $X$ (это можно описать как подсчет вычетов). Абелевы многообразия. Якобиан не является любым комплексным тором, т. е. решетка $\Lambda$ не является любой решеткой в $\mathbf{C}^{g}$ – она обладает специальными свойствами. Билинейные соотношения Римана показывают, что якобиан кривой можно вложить в качестве алгебраического подмногообразия в некоторое проективное пространство достаточно большой размерности. Это приводит к более общему понятию абелевых многообразий, комплексных торов, представляющих собой проективные многообразия. Мы отсылаем читателя к книгам Мамфорда [64], а также Ланге и Биркенеке [57]. Дивизоры и группа Пикара. Пусть $\operatorname{Div}(X)$ – свободная абелева группа, порожденная точками кривой $X$. Ее элементы, дивизоры, представляют собой формальные комбинации Дивизоры функций имеют степень 0 , тогда как дивизоры форм имеют степень $2 g-2$ (еще одно следствие теоремы Римана-Роха). Группа $\operatorname{Div}(X)$ достаточно большая и в ней нет особого смысла. Чтобы получить дополнительную важную информацию, рассмотрим отношение линейной эквивалентности Теорема Абеля-Якоби. Эта теорема утверждает, что интегральное отображение задает изоморфизм Если дана произвольная точка $Q$ из $X$, то этот изоморфизм порождает отображение $u$ представление $u$ этого изоморфизма по определению $\operatorname{Jac}(X)$. Дивизоры с неотрицательными коэффициентами называются э $\phi$ фективными. Заметим, что эффективные дивизоры степени $d$ представляют собой точки симметрического произведения Естественное отображение является отображением «на» при $d \geqslant g$. При $d=g-1$ его образ представляет собой гиперповерхность в $\operatorname{Pic}^{g-1}(X)$, которая называется $\Theta$ дивизором. Различные сдвиги этой гиперповерхности в компонентах групп $\operatorname{Pic}^{d}(X)$ других степеней и, в частности, в $\operatorname{Pic}^{0}(X)$, или $\operatorname{Jac}(X)$, также называются $\Theta$-дивизорами. Определение группы Пикара через линейные расслоения. На протяжении всей книги мы использовали отождествление между комплексными линейными расслоениями и дивизорами. Комплексное линейное расслоение на $X$ можно определить при помощи голоморфных функций (функций перехода) которые позволяют склеивать тривиальные расслоения на открытых множествах $\mathcal{U}_{\alpha}$ накрытия кривой $X$. Оно имеет глобальные мероморфные сечения (снова теорема Римана-Роха). Такое сечение $s$ можно рассматривать как множество функций $s_{\alpha}$ на $\mathcal{U}_{\alpha}$, таких что на $\mathcal{U}_{\alpha} \cup \mathcal{U}_{\beta}$ имеем: $f_{\alpha, \beta}=s_{\alpha} / s_{\beta}$. Сечение $s$ обладает дивизором ( $s$ ), которое определяется как дивизор функции (нули – полюсы). Класс дивизора ( $s$ ) в $\operatorname{Pic}(X)$, т. е. по модулю дивизоров функций, корректно определен и зависит только от класса изоморфизмов голоморфных расслоений. Заметим, что, в частности, степень ( $s$ ) зависит только от расслоения; она является целым числом, которое есть также его первый класс Черна $c_{1}$. Обратно, любой дивизор (степени $d$ ) задает голоморфное линейное расслоение (степени $d$ ). Тогда группу Пикара можно также отождествить с группой линейных расслоений (это есть фактически группа с тензорным произведением линейных расслоений). Например, если $s-$ сечение линейного расслоения $L$, то дивизор связан с двойственным линейным раслоением $L^{\star}$. ассоциированная с экспонентой задает изоморфизм Теорема Римана-Роха. Мы уже несколько раз пользовались теоремой Римана-Роха для доказательства некоторых результатов. Она содержит формулу для размерности $h^{0}(D)$ комплексного векторного пространства связанного с дивизором $D$ степени $d$, а именно, где $K$, канонический дивизор, – дивизор голоморфной 1-формы на $X$. В простом одномерном случае, который мы рассматриваем, эта формула эквивалентна следующей: где $d$ – степень линейного расслоенияи $E$, а $d^{\prime}$ – степень прямого образа $f_{\star} E$. Вещественной структурой на комплексном алгебраическом многообразии $X$ называется антиголоморфная инволюция $S$ на $X$ : если $f-$ локально голоморфная функция на $X$, то функция $f \circ S$ антиголоморфна. Основным примером здесь, без сомнения, служит пример пространства $\mathbf{C}^{g}$ с вещественной структурой, определяемой комплексным сопряжением. Следующую лемму можно рассматривать одновременно как замечание, необходимое нам в дальнейшем, и как простое упражнение из линейной алгебры. Лемма 4.3.1. Пусть $V$ – комплексное векторное пространство, $u$ пусть $S: V \rightarrow V$ – линейная антиголоморфная инволюция. Пусть $V_{\mathbf{R}}$ – вещественное векторное пространство неподвижных точек инволюции $S$. Тогда пространство $(V, S)$ изоморфно пространству $\left(V_{\mathbf{R}} \otimes_{\mathbf{R}} \mathbf{C}, S_{0}\right)$, где $S_{0}$ – комплексное сопряжение. Еще одно семейство примеров состоит из примеров алгебраических многообразий, которые описываются полиномиальными уравнениями с вещественными коэффициентами: эти многообразия обладают вещественной структурой (комплексное сопряжение координат). В это семейство попадают поверхности уровня и все кривые, возникающие из матриц Лакса в примерах, которые исследуются в настоящей книге (см., например, I.3.2.1, I.1.1, II.2.2 и II.2.1). Заметим, что, в соответствии с этим определением, вещественное алгебраическое многообразие представляет собой комплексное алгебраическое многообразие + еще что-то (т. е. $S$ ). Это совсем не то же самое, что вещественная часть, или множество вещественных точек $X_{\mathbf{R}}$ пространства $(X, S$ ), которая есть множество неподвижных точек инволюции $S$. Существуют честные вещественные многообразия, которые не содержат ни одной вещественной точки и, тем не менее, используются для ответа на «вещественные» вопросы: хорошим примером здесь служит спектральная кривая для симметричного волчка, с которой мы сталкивались в II.2.2. Вещественные алгебраические многообразия, которые представляют для нас наибольший интерес, – это вещественные кривые и их якобианы. Без сомнения, якобиан вещественной кривой является вещественным многообразием. Это можно увидеть как с точки зрения форм, так и с точки зрения дивизоров. Вещественная структура на голоморфных 1-формах. Вещественная структура $S$ индуцирует также инволюцию на функциях и формах. Пусть $f$ – голоморфная функция, заданная на открытом подмножестве $U \subset X$. Тогда $f^{S}=\overline{f \circ S}$ является голоморфной функцией на $S(U)$. Если $\omega$ – голоморфная 1 -форма на $X$, которую можно представить в виде $f(z) d z$ на $U$, то $\omega^{S}-1$-форма на $X$, которая записывается как $\overline{f \circ S(z)} d z$ на $S(U)$. Заметим, что форма $\frac{1}{2}\left(\omega+\omega^{S}\right)$ инвариантна относительно $S$. Такие формы называются вещественными. Заметим также, что если $a$ интегральный класс гомологий, то Пусть $(X, S)$ – вещественная кривая. Мы только что рассмотрели действие $S$ на комплексном векторном пространстве $H^{0}\left(\Omega_{X}^{1}\right)$, причем это действие, очевидно, антиголоморфно. Сопряженное векторное пространство наследует вещественную структуру, также обозначаемую через $S$, по правилу При $a \in H_{1}(X, \mathbf{Z})$ через $\varphi_{a}$ обозначим линейную форму «интегрирование вдоль $a »$. В силу (4) имеем: Тогда $S \cdot F_{a}=F_{S_{\star}(a)}$, и вещественная структура на $H^{0}\left(\Omega_{X}^{1}\right)^{\star}$ сохраняет решетку периодов, на которой она действует при помощи гомологического образа $S_{\star}$ инволюции $S$. Вещественная структура на дивизорах. Можно очевидным образом распространить $S$ на $\operatorname{Div}(X)$ по формуле Чтобы задать вещественную структуру на $\operatorname{Pic}(X)$, нам необходимо проверить, что инволюция $S$ совместима с линейной эквивалентностью. Однако $D \sim D^{\prime}$ означает, что существует мероморфная функция $f$, такая что $(f)=D-D^{\prime}$. В этом случае $S(D)-S\left(D^{\prime}\right)$ является дивизором мероморфной функции $\overline{f \circ S}$. Вещественную структуру, определенную таким способом на $\operatorname{Pic}(X)$, снова обозначим через $S$. Очевидно, что изоморфизм является вещественным, т. е. совместим с вещественной структурой. Если $X$ не содержит вещественных точек, то $\left|\pi_{0}\left(\operatorname{Jac}(X)_{\mathbf{R}}\right)\right|$ равно 1 , если $g$ четно, и равно 2 , если $g$ нечетно. то Следовательно, $\bar{v}-v \in \Lambda$ тогда и только тогда, когда все $y_{j}$ являются целыми, а все $z_{k}$ – полуцелыми. Класс элемента $v$ можно представить как где $x_{i} \in\left[0,1\left[\right.\right.$ и $n_{k} \in\{0,1\}$. Запишем $m=g-\lambda$. Мы только что доказали, что в частности, что $\left(\mathbf{C}^{g} / \Lambda\right)_{\mathbf{R}}$ имеет $2^{m}$ связных компонент. Теперь мы должны связать $m$ или $\lambda$ (которые возникли из действия $S$ на гомологиях $X$ ) с вещественной частью $X$. Здесь начинается топологическая часть доказательства. Рассмотрим факторповерхность $Y=X_{\mathbf{C}} / S$. Это топологическая поверхность с границей $X_{\mathbf{R}}$, ориентируемой или нет, а ее эйлерова характеристика равна $1-g$. Рассмотрим относительные гомологии пространств $Y$ и $X_{\mathbf{R}}$ (предполагая, что $X_{\mathbf{R}} Это то же самое, что образ естественного гомоморфизма или ядро граничного гомоморфизма Так как $\partial$ – отображение «на» и $\operatorname{dim} H_{1}\left(Y, X_{\mathbf{R}} ; \mathbf{Z} / 2\right)=\operatorname{dim} H^{1}(Y ; \mathbf{Z} / 2)$ $=g-1$, то мы окончательно получаем: $\lambda+\operatorname{dim} H_{0}\left(X_{\mathbf{R}} ; \mathbf{Z} / 2\right)=g-1$, так что $\operatorname{dim} H_{0}\left(X_{\mathbf{R}} ; \mathbf{Z} / 2\right)=g-\lambda-1$. Аналогично, если $X$ не содержит вещественных точек, то $Y$ является замкнутой неориентируемой поверхностью, а $X$ – его ориентирующим накрытием. Тогда точная последовательность Гизина дает желаемый результат. Если $X_{\mathbf{R}} Тогда нетрудно заменить $\gamma_{i}$ из леммы 4.4 .2 на $c_{i}$ (которые с этих пор мы будем обозначать через $\gamma_{i}$ ). со связным ядром и такой, что для любых $P, Q \in X_{\mathbf{R}}$ имеет место равенство если $P \in X_{i}, Q \in X_{j}$ при условии, что $\gamma_{0}=0$. Предложение 4.4.3. Предположим, что $X_{\mathbf{R}} индуцирует сюрьективный групповой гомоморфизм $\operatorname{Pic}^{0}(X)_{\mathbf{R}} \longrightarrow(\mathbf{Z} / 2)^{m}$ со связным ядром. Запись $\left(0, \ldots, 1_{i}, \ldots, 0\right)$ означает, что на $i$-м месте стоит 1 . Это предложение утверждает, что связные компоненты $\operatorname{Pic}^{0}(X)_{\mathbf{R}}$ можно нумеровать элементами группы $(\mathbf{Z} / 2)^{m}$. Рассмотрим, например, случай вещественной кривой с двумя вещественными компонентами $(m=1)$. Согласно предложению, есть две возможности для класса дивизора $P-Q$ ( $P$ и $Q$ – вещественные точки): либо $P$ и $Q$ лежат в одной и той же компоненте $X_{\mathbf{R}}$, либо нет. Доказательство. который, очевидно, является отображением «на». Заметим, однако, что $\operatorname{Div}^{0}(X)_{\mathbf{R}}$ – это группа дивизоров степени 0 , состоящих из отдельных вещественных точек, и что мы a priori не знаем, является ли естественное отображение $\operatorname{Div}^{0}(X)_{\mathbf{R}} \rightarrow \operatorname{Pic}^{0}(X)_{\mathbf{R}}$ отображением «на». Композиция $\operatorname{Div}^{0}(X) \rightarrow \operatorname{Pic}^{0}(X) \rightarrow \operatorname{Jac}(X)$ представляет собой интегральный морфизм. Предположим, что $P$ и $Q$ – две вещественные точки $X_{\mathbf{R}}$, принадлежащие $X_{i}$ и $X_{j}$ соответственно. Пусть $\omega$ – вещественная 1-форма. Тогда, как мы уже заметили, Следовательно, Поэтому наша диаграмма коммутативна. Предложение доказано. В случае кривых рода 1, согласно предыдущим доказательствам, существуют две различные возможности для якобиана кривой $X$ : решетка периодов порождается 1 и – либо элементом $\beta$, таким что $\bar{\beta}=1-\beta$, т. е. $\beta=\frac{1}{2}+i b, b \in \mathbf{R}$; в этом случае вещественная часть $\mathbf{C} / \Lambda$, которая является образом вещественной оси, связна, Заметим, что якобиан кривой $X$ является не только вещественной кривой рода 1. Будучи якобианом, эта кривая представляет собой группу и, таким образом, ее вещественная часть непуста. В частности, не существует вещественного изоморфизма между вещественной кривой без вещественных точек и ее якобианом. Здесь нет ничего удивительного: комплексный изоморфизм включает точку из $X$. Таким образом, является комплексным изоморфизмом для любой точки $x_{0}$ кривой $X$. Зафиксируем такую точку и положим Тогда $\bar{a}=-a \bmod \Lambda$ и для любого $y \in X$ имеем: Тогда $u_{x_{0}}(S(y))=\overline{u_{x_{0}}(y)}+a$ для всех $y$ из $X$. На уровне $\mathbf{C} / \Lambda$ отображение $z \mapsto \bar{z}+a$ является антиголоморфной инволюцией, это и есть вещественная структура на $X$, если $X$ и $\mathbf{C} / \Lambda$ отождествляются при помощи отображения Абеля-Якоби. Если $X_{\mathbf{R}} Если $X_{\mathbf{R}}=\emptyset$, то вещественного изоморфизма не существует. Зафиксируем точку $x_{0}$ и соответствующее значение $a$ и рассмотрим инволюцию $z \mapsto \bar{z}+a$ на $\mathbf{C} / \Lambda$. Прежде всего $\bar{a} \sim-a \bmod \Lambda$, поэтому $a=\frac{n}{2}+i x(n \in \mathbf{Z}, x \in \mathbf{R})$. Случай четного $n$ не вызывает больших затруднений: тогда можно предположить, что $n=0$, а инволюция $z \mapsto \bar{z}+i x$ всегда имеет неподвижные точки. Поэтому $X_{\mathbf{R}}$, с которого мы начинали, в действительности непусто. Таким образом, предположим, что $n=1$ и $a=\frac{1}{2}+i x$. Если $\Lambda=\left\langle 1, \frac{1}{2}+i b\right\rangle$, то инволюция имела бы неподвижные точки. Таким образом, случай $X_{\mathbf{R}}=\emptyset$ соответствует решетке $\Lambda=\langle 1, i c\rangle$. Сформулируем полученный результат в виде предложения. Если $X_{\mathbf{R}}$ пусто, то якобиан кривой $X$ является тором $\mathbf{C} / \Lambda$, снабженным комплексным сопряжением и решеткой $\Lambda=\langle 1, i c\rangle$. В частности, $\operatorname{Jac}(X)_{\mathbf{R}}$ состоит из двух связных компонент. Кроме того, как вещественное многообразие $X$ можно отождествить с $\mathbf{C} / \Lambda$, снабженным инволюцией $z \mapsto \bar{z}+\frac{1}{2}+i x(x \in \mathbf{R})$. Следствие 4.5.2. Пусть $X$ – вещественная кривая рода 1 без вещественных точек. Тогда для любого $n$ многообразие $\operatorname{Pic}^{n}(X)$ представляет собой вещественную кривую рода 1. Если п нечетно, то как вещественное многообразие $\operatorname{Pic}^{n}(X)$ изоморфно $X$ (и, следовательно, не имеет вещественных точек). Если же $n$ четно, то $\operatorname{Pic}^{n}(X)$ изоморфно якобиану $X$ (как вещественное многообразие) и, следовательно, состоит из двух компонент. Доказательство. Поэтому $\wp, \wp^{\prime}$ определяют проективное вложение кривой $\mathbf{C} / \Lambda$, образом которой является кривая то функция $\wp(z)$ вещественна, если $z$ вещественно. Если вещественная часть кривой $\mathbf{C} / \Lambda$ несвязна, то точки другой компоненты суть точки $u+\frac{i c}{2}(u \in \mathbf{R})$. В этих точках функция ю также принимает вещественные значения, как нетрудно проверить простым вычислением $\wp\left(u+\frac{i c}{2}\right)$. Следовательно, $\wp$ также параметризует вещественную пример, не менее классическую книгу Жордана [46]), т. е. четность, двукратные полюсы в точках решетки, периодичность и т. д., мы получаем графы на рис. 26.
|
1 |
Оглавление
|