Основная цель этого приложения — описать вещественную часть якобиана вещественной кривой. Мы подробно разберем случай вещественных кривых рода 1. Материал, который мы излагаем, является классическим и восходит к работам Вейхольда [85] и Клейна [49,50] (см. также работу Комессатти [21]; ссылки на последние работы можно найти в работе Гросса и Харриса [38]). Для удобства мы начнем изложение с напоминания (без доказательства) основных фактов относительно (комплексных) алгебраических кривых ${ }^{7}$ и их якобианов, с которыми мы встречались на протяжении всей книги. За дополнительными деталями мы отсылаем читателя к книгам Гриффитса и Харриса [37], Фаркаша и Кра [27], а также Рейсса [78].
4.1. Комплексные кривые

Римановой поверхностью $X$ называется компактное связное комплексное аналитическое многообразие размерности 1 . Риманова поверхность обладает фундаментальным инвариантом, родом $g$, который можно определить многими ${ }^{8}$ различными (но эквивалентными) способами. Род кривой полностью определяет топологию поверхности, поскольку он равен числу ручек, или, более точно, поскольку
\[
H_{1}(X ; \mathbf{Z}) \cong \mathbf{Z}^{2 g} .
\]

Род также дает много информации об аналитической структуре, так как он совпадает с размерностью комплексного векторного простран-

${ }^{7}$ Значение алгебраических кривых осознавал даже Жюль Верн, как показывает цитата в начале книги.
${ }^{8}$ В книге Рейсса [78] приводится целых восемнадцать определений.

ства голоморфных 1-форм на $X$, т. е.
\[
g=\operatorname{dim} H^{0}\left(\Omega_{X}^{1}\right),
\]

где $\Omega_{X}^{1}$ — пучок (ростки) голоморфных форм, а $H^{0}\left(\Omega_{X}^{1}\right)$ — пространство его (глобальных) сечений, т. е. пространство голоморфных 1-форм.

Теорема Римана-Роха представляет собой главный аппарат исследования. Она является очень точной теоремой существования мероморфных функций (см. ниже). Утверждение об эквивалентности двух определений рода $g$, приведенных выше, есть одно из следствий этой теоремы.

Формула Римана-Гурвица. Пусть даны две римановы поверхности $X$ и $X^{\prime}$, а также отображение $f: X \rightarrow X^{\prime}$. С помощью формулы Римана-Гурвица легко вычисляется эйлерова характеристика, которая позволяет сравнивать род кривых $X$ и $X^{\prime}$. Мы достаточно часто пользуемся ей (даже без ссылки на нее) в настоящей книге, главным образом, для отображений степени 2. В этом случае, в соответствии с формулой Римана-Гурвица, эйлерова характеристика $2-2 g$ кривой $X$ равна удвоенной эйлеровой характеристике $2-2 g^{\prime}$ кривой $X^{\prime}$ минус число точек ветвления.

Например, если отображение $X \rightarrow \mathbf{P}^{1}$ степени 2 имеет четыре точки ветвления, то $X$ — кривая рода 1 .

Пополнения аффинных кривых. Очень часто, особенно в настоящей книге, римановы поверхности рассматриваются как пополнения аффинных плоских кривых. Аффинной плоской кривой $C_{P}$ называется множество нулей в $\mathbf{C}^{2}$ неприводимого полинома $P \in \mathbf{C}[X, Y]$ :
\[
C_{P}=\left\{(\lambda, \mu) \in \mathbf{C}^{2} \mid P(\lambda, \mu)=0\right\} .
\]

С кривой $C_{P}$ естественным образом связывается корректно определенная (компактная) риманова поверхность $X_{P}$, такая что существуют два конечных подмножества $E \subset C_{P}$ и $F \subset X_{P}$, где $C_{P}-E=X_{P}-F$. Таким образом, две поверхности совпадают, за исключением конечного множества точек: $X_{P}$ компактно: тогда как $C_{P}$ не может быть компактным, $X_{P}$ является гладким, тогда как $C_{P}$ может иметь особенности, которые суть точки из $E$ (заметим, что если кривая $C_{P}$ гладкая, то $E=\emptyset$ и $X_{P}$ является пополнением $C_{P}$ ).

Риманова поверхность $X_{P}$ называется нормализацией ${ }^{9}$ кривой $C_{P}$. Конечно, можно пополнить особую аффинную кривую, добавляя «бесконечно удаленные» гладкие точки, т. е. пополнить $C_{P}$, не затрагивая ее особые точки. Так обычно и поступают, когда имеют дело с семействами кривых, которые встречаются на протяжении всей книги (см., например, II.2.2, III.2, IV.2.1, IV.3.2, V.1.2 и Приложение 3). Более точно, это можно сделать, просто разделяя ветви кривой на бесконечности, как видно из примеров.

Гиперэллиптические кривые. Если существует отображение кривой в $\mathbf{P}^{1}$ степени 2 , то такая кривая называется гиперэллиптической. Большинство кривых в этой книге являются гиперэллиптическими: это те кривые, которые задаются уравнениями вида $y^{2}=P(x)$ ( $x$ определяет отображение степени 2). С отображением степени 2 связана инволюция, которая в этом случае называется гиперэллиптической инволюцией (она имеет вид $(x, y) \mapsto(x,-y)$ при $y^{2}=P(x)$ ).

Применяя формулу Римана-Гурвица, получаем, что род кривой $y^{2}=P(x)$ равен $g$, если $\operatorname{deg} P=2 g+1$ или $\operatorname{deg} P=2 g+2$.
4.2. Якобианы и группы Пикара

С комплексной кривой рода $g$ принято связывать ее якобиан, комплексный $g$-мерный тор, который можно описать либо через интегрирование голоморфных форм, либо через дивизоры линейных расслоений.

Определение якобиана посредством голоморфных 1-форм. Пусть $X$ — комплексная кривая. Тогда можно задать естественное интегральное отображение
\[
\begin{aligned}
H_{1}(X ; \mathbf{Z}) & \longrightarrow H^{0}\left(\Omega_{X}^{1}\right)^{\star} \\
\gamma & \longmapsto\left(\omega \mapsto \int_{\gamma} \omega\right),
\end{aligned}
\]
${ }^{9}$ Это понятие, конечно, можно рассматривать в алгебраической категории. Поскольку здесь мы приводим только обзор результатов и этому предмету посвящено много хороших книг то мы предпочли самый короткий путь, а не самый красивый. Мы не будем, например, различать понятия «кривая» и «риманова поверхность».

которое, как нетрудно показать, является инъективным. Его образ совпадает с решеткой $\Lambda \cong \mathbf{Z}^{2 g}$ в $H^{0}\left(\Omega_{X}^{1}\right)^{\star} \cong \mathbf{C}^{g}$ (по теореме Римана-Роха). Тогда якобиан представляет собой тор, полученный в результате факторизации:
\[
\operatorname{Jac}(X)=H^{0}\left(\Omega_{X}^{1}\right)^{\star} / \Lambda .
\]

Касательное пространство к $\operatorname{Jac}(X)$ в каждой точке канонически изоморфно пространству $H^{0}\left(\Omega_{X}^{1}\right)^{\star}$, которое, в свою очередь, в силу двойственности Серра, изоморфно $H^{1}\left(\mathcal{O}_{X}\right)$, первой группе когомологий пучка $\mathcal{O}_{X}$ голоморфных функций на $X$ (это можно описать как подсчет вычетов).

Абелевы многообразия. Якобиан не является любым комплексным тором, т. е. решетка $\Lambda$ не является любой решеткой в $\mathbf{C}^{g}$ — она обладает специальными свойствами. Билинейные соотношения Римана показывают, что якобиан кривой можно вложить в качестве алгебраического подмногообразия в некоторое проективное пространство достаточно большой размерности. Это приводит к более общему понятию абелевых многообразий, комплексных торов, представляющих собой проективные многообразия. Мы отсылаем читателя к книгам Мамфорда [64], а также Ланге и Биркенеке [57].

Дивизоры и группа Пикара. Пусть $\operatorname{Div}(X)$ — свободная абелева группа, порожденная точками кривой $X$. Ее элементы, дивизоры, представляют собой формальные комбинации
\[
D=\sum_{i \in I} m_{i} P_{i}
\]
( $I$ — конечное множество, $m_{i} \in \mathbf{Z}, P_{i} \in X$ ). Например, мероморфная функция $f$ на $X$ задает дивизор
\[
(f)=\text { нули } f-\text { полюсы } f
\]
(с учетом кратностей). То же самое верно для 1-форм.
Группа $\operatorname{Div}(X)$ снабжена естественным морфизмом на $\mathbf{Z}$, который называется степенью:
\[
\operatorname{deg}: \sum m_{i} P_{i} \longmapsto \sum m_{i} .
\]

Дивизоры функций имеют степень 0 , тогда как дивизоры форм имеют степень $2 g-2$ (еще одно следствие теоремы Римана-Роха).

Группа $\operatorname{Div}(X)$ достаточно большая и в ней нет особого смысла. Чтобы получить дополнительную важную информацию, рассмотрим отношение линейной эквивалентности
$D \sim D^{\prime} \Leftrightarrow \quad \exists$ мероморфная функция $f$, такая что $D-D^{\prime}=(f)$.
Факторгруппа по этому отношению называется группой Пикара $\operatorname{Pic}(X)$. Ее можно разбить на подмножества $\operatorname{Pic}^{d}(X)$, порожденные дивизорами степени $d$, причем $\operatorname{Pic}^{0}(X)$ является подгруппой.

Теорема Абеля-Якоби. Эта теорема утверждает, что интегральное отображение
\[
\begin{array}{c}
\operatorname{Div}^{0}(X) \longrightarrow H^{0}\left(\Omega_{X}^{1}\right)^{\star} \\
\sum\left(P_{j}-Q_{j}\right) \longmapsto\left(\omega \mapsto \int_{Q_{j}}^{P_{j}} \omega\right)
\end{array}
\]

задает изоморфизм
\[
\operatorname{Pic}^{0}(X) \longrightarrow \operatorname{Jac}(X) .
\]

Если дана произвольная точка $Q$ из $X$, то этот изоморфизм порождает отображение $u$ представление $u$ этого изоморфизма
\[
\begin{array}{l}
X \longrightarrow \operatorname{Jac}(X) \\
P \longmapsto\left(\omega \mapsto \int_{Q}^{P} \omega\right)
\end{array}
\]
(отображение Абеля-Якоби), которое является инъективным отображением, если $q \geqslant 1$, и изоморфизмом, если $g=1$ : с точностью до выбора произвольной точки $P$ кривые рода 1 суть группы (эллиптические кривые), изоморфные своим якобианам.
Заметим, что $u$ индуцирует изоморфизм
\[
u_{\star}: H_{1}(X ; \mathbf{Z}) \longrightarrow H_{1}(\operatorname{Jac}(X) ; \mathbf{Z})
\]

по определению $\operatorname{Jac}(X)$.

Дивизоры с неотрицательными коэффициентами называются э $\phi$ фективными. Заметим, что эффективные дивизоры степени $d$ представляют собой точки симметрического произведения
\[
X^{(d)}=X^{d} / \mathfrak{s}_{d} .
\]

Естественное отображение
\[
X^{(d)} \longrightarrow \operatorname{Pic}^{d}(X)
\]

является отображением «на» при $d \geqslant g$. При $d=g-1$ его образ представляет собой гиперповерхность в $\operatorname{Pic}^{g-1}(X)$, которая называется $\Theta$ дивизором. Различные сдвиги этой гиперповерхности в компонентах групп $\operatorname{Pic}^{d}(X)$ других степеней и, в частности, в $\operatorname{Pic}^{0}(X)$, или $\operatorname{Jac}(X)$, также называются $\Theta$-дивизорами.

Определение группы Пикара через линейные расслоения. На протяжении всей книги мы использовали отождествление между комплексными линейными расслоениями и дивизорами. Комплексное линейное расслоение на $X$ можно определить при помощи голоморфных функций (функций перехода)
\[
f_{\alpha, \beta}: \mathcal{U}_{\alpha} \cap \mathcal{U}_{\beta} \longrightarrow \mathbf{C}^{\star}
\]

которые позволяют склеивать тривиальные расслоения на открытых множествах $\mathcal{U}_{\alpha}$ накрытия кривой $X$. Оно имеет глобальные мероморфные сечения (снова теорема Римана-Роха). Такое сечение $s$ можно рассматривать как множество функций $s_{\alpha}$ на $\mathcal{U}_{\alpha}$, таких что на $\mathcal{U}_{\alpha} \cup \mathcal{U}_{\beta}$ имеем: $f_{\alpha, \beta}=s_{\alpha} / s_{\beta}$. Сечение $s$ обладает дивизором ( $s$ ), которое определяется как дивизор функции (нули — полюсы). Класс дивизора ( $s$ ) в $\operatorname{Pic}(X)$, т. е. по модулю дивизоров функций, корректно определен и зависит только от класса изоморфизмов голоморфных расслоений.

Заметим, что, в частности, степень ( $s$ ) зависит только от расслоения; она является целым числом, которое есть также его первый класс Черна $c_{1}$.

Обратно, любой дивизор (степени $d$ ) задает голоморфное линейное расслоение (степени $d$ ). Тогда группу Пикара можно также отождествить с группой линейных расслоений (это есть фактически группа с тензорным произведением линейных расслоений). Например, если $s-$ сечение линейного расслоения $L$, то дивизор
\[
\left(\frac{1}{s}\right)=-(s)
\]

связан с двойственным линейным раслоением $L^{\star}$.
Более конкретно, точная последовательность когомологий
\[
\longrightarrow H^{1}(X ; \mathbf{Z}) \longrightarrow H^{1}\left(\mathcal{O}_{X}\right) \longrightarrow H^{1}\left(\mathcal{O}_{X}^{\star}\right) \xrightarrow{\operatorname{deg}=c_{1}} H^{2}(X ; \mathbf{Z})=\mathbf{Z},
\]

ассоциированная с экспонентой
\[
0 \longrightarrow \mathbf{Z} \longrightarrow \mathcal{O}_{X} \xrightarrow{\exp } \mathcal{O}_{X}^{\star} \longrightarrow 1,
\]

задает изоморфизм
\[
\operatorname{Pic}^{0}(X) \cong H^{1}\left(\mathcal{O}_{X}\right) / H^{1}(X ; \mathbf{Z}) .
\]

Теорема Римана-Роха. Мы уже несколько раз пользовались теоремой Римана-Роха для доказательства некоторых результатов. Она содержит формулу для размерности $h^{0}(D)$ комплексного векторного пространства
\[
\mathcal{L}(D)=\{f \mid(f)+D \geqslant 0\},
\]

связанного с дивизором $D$ степени $d$, а именно,
\[
h^{0}(D)-h^{0}(K-D)=d-g+1,
\]

где $K$, канонический дивизор, — дивизор голоморфной 1-формы на $X$.
Дивизор $D$, такой что $h^{0}(K-D)=0$, называется общим.
Если мы имеем дело с отображением двух римановых поверхностей, что часто встречается в этой книге, то удобно пользоваться теоремой Гротендика-Римана-Роха. Здесь мы не хотим обсуждать общие определения и доказательства этого равенства (см., например, классическую книгу Хирцебруха [42]). Рассмотрим отображение $f: X \rightarrow X^{\prime}$ двух римановых поверхностей, имеющих род $g$ и $g^{\prime}$ соответственно. Пусть $E$ — линейное раслоение на $X$. Теорема утверждает, что
\[
\operatorname{ch}\left(f_{\star} E\right) \operatorname{td}\left(X^{\prime}\right)=f_{\star}\left(\operatorname{ch}(E) \operatorname{td}\left(X^{\prime}\right)\right) .
\]

В простом одномерном случае, который мы рассматриваем, эта формула эквивалентна следующей:
\[
1-g^{\prime}+d^{\prime}=1-g^{\prime}+d,
\]

где $d$ — степень линейного расслоенияи $E$, а $d^{\prime}$ — степень прямого образа $f_{\star} E$.
4.3. Вещественные структуры

Вещественной структурой на комплексном алгебраическом многообразии $X$ называется антиголоморфная инволюция $S$ на $X$ : если $f-$ локально голоморфная функция на $X$, то функция $f \circ S$ антиголоморфна.

Основным примером здесь, без сомнения, служит пример пространства $\mathbf{C}^{g}$ с вещественной структурой, определяемой комплексным сопряжением. Следующую лемму можно рассматривать одновременно как замечание, необходимое нам в дальнейшем, и как простое упражнение из линейной алгебры.

Лемма 4.3.1. Пусть $V$ — комплексное векторное пространство, $u$ пусть $S: V \rightarrow V$ — линейная антиголоморфная инволюция. Пусть $V_{\mathbf{R}}$ — вещественное векторное пространство неподвижных точек инволюции $S$. Тогда пространство $(V, S)$ изоморфно пространству $\left(V_{\mathbf{R}} \otimes_{\mathbf{R}} \mathbf{C}, S_{0}\right)$, где $S_{0}$ — комплексное сопряжение.

Еще одно семейство примеров состоит из примеров алгебраических многообразий, которые описываются полиномиальными уравнениями с вещественными коэффициентами: эти многообразия обладают вещественной структурой (комплексное сопряжение координат). В это семейство попадают поверхности уровня и все кривые, возникающие из матриц Лакса в примерах, которые исследуются в настоящей книге (см., например, I.3.2.1, I.1.1, II.2.2 и II.2.1).

Заметим, что, в соответствии с этим определением, вещественное алгебраическое многообразие представляет собой комплексное алгебраическое многообразие + еще что-то (т. е. $S$ ). Это совсем не то же самое, что вещественная часть, или множество вещественных точек $X_{\mathbf{R}}$ пространства $(X, S$ ), которая есть множество неподвижных точек инволюции $S$. Существуют честные вещественные многообразия, которые не содержат ни одной вещественной точки и, тем не менее, используются для ответа на «вещественные» вопросы: хорошим примером здесь служит спектральная кривая для симметричного волчка, с которой мы сталкивались в II.2.2.

Вещественные алгебраические многообразия, которые представляют для нас наибольший интерес, — это вещественные кривые и их якобианы.
4.4. Якобианы вещественных кривых

Без сомнения, якобиан вещественной кривой является вещественным многообразием. Это можно увидеть как с точки зрения форм, так и с точки зрения дивизоров.

Вещественная структура на голоморфных 1-формах. Вещественная структура $S$ индуцирует также инволюцию на функциях и формах. Пусть $f$ — голоморфная функция, заданная на открытом подмножестве $U \subset X$. Тогда $f^{S}=\overline{f \circ S}$ является голоморфной функцией на $S(U)$. Если $\omega$ — голоморфная 1 -форма на $X$, которую можно представить в виде $f(z) d z$ на $U$, то $\omega^{S}-1$-форма на $X$, которая записывается как $\overline{f \circ S(z)} d z$ на $S(U)$.

Заметим, что форма $\frac{1}{2}\left(\omega+\omega^{S}\right)$ инвариантна относительно $S$. Такие формы называются вещественными. Заметим также, что если $a$ интегральный класс гомологий, то
\[
\int_{S(a)} \omega^{S}=\overline{\int_{a}} \omega .
\]

Пусть $(X, S)$ — вещественная кривая. Мы только что рассмотрели действие $S$ на комплексном векторном пространстве $H^{0}\left(\Omega_{X}^{1}\right)$, причем это действие, очевидно, антиголоморфно. Сопряженное векторное пространство наследует вещественную структуру, также обозначаемую через $S$, по правилу
\[
S \cdot \varphi=\overline{\varphi \circ S}=\overline{{ }^{t}} \bar{S}(\varphi) .
\]

При $a \in H_{1}(X, \mathbf{Z})$ через $\varphi_{a}$ обозначим линейную форму «интегрирование вдоль $a »$. В силу (4) имеем:
\[
S \cdot \varphi_{a}(\omega)=\overline{\varphi_{a} \circ S(\omega)}=\overline{\int_{a} \omega^{S}}=\int_{S_{\star}(a)} \omega .
\]

Тогда $S \cdot F_{a}=F_{S_{\star}(a)}$, и вещественная структура на $H^{0}\left(\Omega_{X}^{1}\right)^{\star}$ сохраняет решетку периодов, на которой она действует при помощи гомологического образа $S_{\star}$ инволюции $S$.

Вещественная структура на дивизорах. Можно очевидным образом распространить $S$ на $\operatorname{Div}(X)$ по формуле
\[
S\left(\sum a_{i} P_{i}\right)=\sum a_{i} S\left(P_{i}\right) .
\]

Чтобы задать вещественную структуру на $\operatorname{Pic}(X)$, нам необходимо проверить, что инволюция $S$ совместима с линейной эквивалентностью. Однако $D \sim D^{\prime}$ означает, что существует мероморфная функция $f$, такая что $(f)=D-D^{\prime}$. В этом случае $S(D)-S\left(D^{\prime}\right)$ является дивизором мероморфной функции $\overline{f \circ S}$.

Вещественную структуру, определенную таким способом на $\operatorname{Pic}(X)$, снова обозначим через $S$. Очевидно, что изоморфизм
\[
\begin{aligned}
\operatorname{Pic}^{0}(X) & \longrightarrow \operatorname{Jac}(X) \\
\sum\left(P_{j}-Q_{j}\right) & \longmapsto\left(\omega \mapsto \int_{Q_{j}}^{P_{j}} \omega\right)
\end{aligned}
\]

является вещественным, т. е. совместим с вещественной структурой.
Дадим описание вещественной части якобиана. Из классической теории Вейхольда и Клейна следует, что количество связных компонент $\operatorname{Jac}(X)_{\mathbf{R}}$ зависит только от количества компонент связности $X_{\mathbf{R}}$. Более точно, имеем
Предложение 4.4.1. Пусть $X$ — вещественная кривая рода $g$. Если $X_{\mathbf{R}}
eq \emptyset$, то
\[
\left|\pi_{0}\left(\mathbf{J a c}(X)_{\mathbf{R}}\right)\right|=2^{\left|\pi_{0}\left(X_{\mathbf{R}}\right)\right|-1} .
\]

Если $X$ не содержит вещественных точек, то $\left|\pi_{0}\left(\operatorname{Jac}(X)_{\mathbf{R}}\right)\right|$ равно 1 , если $g$ четно, и равно 2 , если $g$ нечетно.
Доказательство.
Мы уже объяснили, как снабдить комплексное векторное пространство $H^{0}\left(\Omega_{X}^{1}\right)^{\star}$ вещественной структурой. Согласно лемме 4.3.1, это пространство изоморфно $\mathbf{C}^{g}$ с естественной вещественной структурой $z \mapsto \bar{z}$. Единственное, что осталось сделать, — это описать решетку $\Lambda$ в $\mathbf{C}^{g}$. Следующую лемму мы оставляем в качестве упражнения.
Лемма 4.4.2. Пусть $\Lambda-\mathrm{Z}-$ модуль, снабженный инволюцией $S$. Тогда существует $\mathbf{Z}$-базис $\left(\alpha_{1}, \ldots, \alpha_{q}, \beta_{1}, \ldots, \beta_{\lambda}, \gamma_{\lambda+1}, \ldots, \gamma_{n-q}\right)$ решетки $\Lambda$, в котором матрица инволюции $S$ имеет вид
(где $p=n-q-\lambda$ ).
В случае нашей решетки периодов, $q$ должно быть равно $g$, так как $\Lambda$ порождает $\mathbf{C}^{g}$ как комплексное векторное пространство, поэтому $\left(\alpha_{1}, \ldots, \alpha_{q}\right)$ — базис в $\mathbf{R}^{g}$. Теперь можно рассмотреть комплексный тор $\mathbf{C}^{g} / \Lambda$ и его вещественную часть, т. е. образ множества точек $v$ пространства $\mathbf{C}^{g}$, таких что $\bar{v}=v$ по модулю решетки $\Lambda$. Если
\[
v=\sum x_{i} \alpha_{i}+\sum y_{j} \beta_{j}+\sum z_{k} \gamma_{k},
\]

то
\[
\bar{v}-v=\sum y_{j} \alpha_{j}-2 \sum y_{j} \beta_{j}-2 \sum z_{k} \gamma_{k} .
\]

Следовательно, $\bar{v}-v \in \Lambda$ тогда и только тогда, когда все $y_{j}$ являются целыми, а все $z_{k}$ — полуцелыми. Класс элемента $v$ можно представить как
\[
\sum_{i=1}^{g} x_{i} \alpha_{i}+\sum_{k=\lambda+1}^{g} n_{k} \frac{\gamma_{k}}{2}
\]

где $x_{i} \in\left[0,1\left[\right.\right.$ и $n_{k} \in\{0,1\}$. Запишем $m=g-\lambda$. Мы только что доказали, что
\[
\left(\mathbf{C}^{g} / \Lambda\right)_{\mathbf{R}} \text { диффеоморфно }\left(\mathbf{R}^{g} / \mathbf{Z}^{g}\right) \times\{0,1\}^{m},
\]

в частности, что $\left(\mathbf{C}^{g} / \Lambda\right)_{\mathbf{R}}$ имеет $2^{m}$ связных компонент. Теперь мы должны связать $m$ или $\lambda$ (которые возникли из действия $S$ на гомологиях $X$ ) с вещественной частью $X$.

Здесь начинается топологическая часть доказательства. Рассмотрим факторповерхность $Y=X_{\mathbf{C}} / S$. Это топологическая поверхность с границей $X_{\mathbf{R}}$, ориентируемой или нет, а ее эйлерова характеристика равна $1-g$. Рассмотрим относительные гомологии пространств $Y$ и $X_{\mathbf{R}}$ (предполагая, что $X_{\mathbf{R}}
eq \emptyset$ ). С топологической точки зрения число $\lambda$ равно размерности образа отображения
\[
\mathrm{Id}+S: H_{1}(X ; \mathbf{Z} / 2) \longrightarrow H_{1}(X ; \mathbf{Z} / 2) .
\]

Это то же самое, что образ естественного гомоморфизма
\[
H_{1}(Y ; \mathbf{Z} / 2) \longrightarrow H_{1}\left(Y, X_{\mathbf{R}} ; \mathbf{Z} / 2\right)
\]

или ядро граничного гомоморфизма
\[
\partial: H_{1}\left(Y, X_{\mathbf{R}} ; \mathbf{Z} / 2\right) \longrightarrow H_{0}\left(X_{\mathbf{R}} ; \mathbf{Z} / 2\right) .
\]

Так как $\partial$ — отображение «на» и $\operatorname{dim} H_{1}\left(Y, X_{\mathbf{R}} ; \mathbf{Z} / 2\right)=\operatorname{dim} H^{1}(Y ; \mathbf{Z} / 2)$ $=g-1$, то мы окончательно получаем: $\lambda+\operatorname{dim} H_{0}\left(X_{\mathbf{R}} ; \mathbf{Z} / 2\right)=g-1$, так что $\operatorname{dim} H_{0}\left(X_{\mathbf{R}} ; \mathbf{Z} / 2\right)=g-\lambda-1$.

Аналогично, если $X$ не содержит вещественных точек, то $Y$ является замкнутой неориентируемой поверхностью, а $X$ — его ориентирующим накрытием. Тогда точная последовательность Гизина дает желаемый результат.

Если $X_{\mathbf{R}}
eq \emptyset$, пусть $X_{0}, \ldots, X_{m}$ — связные компоненты $X_{\mathbf{R}}$. Предположим, что $m \geqslant 1$ ( $X_{\mathbf{R}}$ имеет по крайней мере две компоненты). Для каждого $i \geqslant 1$ выберем путь $c_{i}^{\prime}$ в $Y$ с началом в $X_{0}$, и концом в $X_{i}$. Поднимем эти пути до замкнутых кривых в $X$ и ориентируем их так, чтобы получилось $m$ циклов $c_{1}, \ldots, c_{m}$ в $H_{1}(X ; \mathbf{Z})$, таких что $S_{\star} c_{i}=-c_{i}$.

Тогда нетрудно заменить $\gamma_{i}$ из леммы 4.4 .2 на $c_{i}$ (которые с этих пор мы будем обозначать через $\gamma_{i}$ ).
Имеем сюрьективный групповой гомоморфизм
\[
\begin{aligned}
\psi: \operatorname{Jac}(X)_{\mathbf{R}} & \longrightarrow(\mathbf{Z} / 2)^{m} \\
\sum x_{i} \alpha_{i}+\sum n_{k} \frac{\gamma_{k}}{2} & \longmapsto\left(n_{\lambda+1}, \ldots, n_{g}\right) \quad \bmod 2
\end{aligned}
\]

со связным ядром и такой, что для любых $P, Q \in X_{\mathbf{R}}$ имеет место равенство
\[
\int_{Q}^{P} \omega=-\frac{\gamma_{j}}{2}+\frac{\gamma_{i}}{2}+\text { вещественный член, }
\]

если $P \in X_{i}, Q \in X_{j}$ при условии, что $\gamma_{0}=0$.
Вещественная часть группы Пикара. Существует красивое описание представления группы $\operatorname{Pic}^{0}(X)_{\mathbf{R}}$ в виде объединения его связных компонент, использующее связные компоненты $X_{\mathbf{R}}$.

Предложение 4.4.3. Предположим, что $X_{\mathbf{R}}
eq \emptyset$, и пусть $X_{0}, \ldots$, $X_{m}$ — его связные компоненты. Тогда отображение
\[
\begin{aligned}
X_{\mathbf{R}} & \longrightarrow(\mathbf{Z} / 2)^{m} \\
P & \longmapsto\left\{\begin{array}{l}
0, \text { если } P \in X_{0} \\
\left(0, \ldots, 1_{i}, \ldots, 0\right), \text { если } P \in X_{i}
\end{array}\right.
\end{aligned}
\]

индуцирует сюрьективный групповой гомоморфизм $\operatorname{Pic}^{0}(X)_{\mathbf{R}} \longrightarrow(\mathbf{Z} / 2)^{m}$ со связным ядром.

Запись $\left(0, \ldots, 1_{i}, \ldots, 0\right)$ означает, что на $i$-м месте стоит 1 . Это предложение утверждает, что связные компоненты $\operatorname{Pic}^{0}(X)_{\mathbf{R}}$ можно нумеровать элементами группы $(\mathbf{Z} / 2)^{m}$. Рассмотрим, например, случай вещественной кривой с двумя вещественными компонентами $(m=1)$. Согласно предложению, есть две возможности для класса дивизора $P-Q$ ( $P$ и $Q$ — вещественные точки): либо $P$ и $Q$ лежат в одной и той же компоненте $X_{\mathbf{R}}$, либо нет.

Доказательство.
Мы определили отображение $X_{\mathbf{R}} \rightarrow(\mathbf{Z} / 2)^{m}$. Оно задает групповой гомоморфизм
\[
\operatorname{Div}^{0}(X)_{\mathbf{R}} \longrightarrow(\mathbf{Z} / 2)^{m},
\]

который, очевидно, является отображением «на». Заметим, однако, что $\operatorname{Div}^{0}(X)_{\mathbf{R}}$ — это группа дивизоров степени 0 , состоящих из отдельных вещественных точек, и что мы a priori не знаем, является ли естественное отображение $\operatorname{Div}^{0}(X)_{\mathbf{R}} \rightarrow \operatorname{Pic}^{0}(X)_{\mathbf{R}}$ отображением «на».

Композиция $\operatorname{Div}^{0}(X) \rightarrow \operatorname{Pic}^{0}(X) \rightarrow \operatorname{Jac}(X)$ представляет собой интегральный морфизм. Предположим, что $P$ и $Q$ — две вещественные точки $X_{\mathbf{R}}$, принадлежащие $X_{i}$ и $X_{j}$ соответственно. Пусть $\omega$ — вещественная 1-форма. Тогда, как мы уже заметили,
\[
\int_{Q}^{P} \omega=-\frac{\gamma_{j}}{2}+\frac{\gamma_{i}}{2}+\text { вещественный член. }
\]

Следовательно,
\[
\psi\left(\int_{Q}^{P}\right)=\left(0, \ldots, 1_{i}, 0 \ldots, 1_{j}, 0, \ldots, 0\right)=\varphi(P-Q) .
\]

Поэтому наша диаграмма коммутативна. Предложение доказано.
Замечание. В частности, как следствие этого предложения, получаем, что при $X_{\mathbf{R}}
eq \emptyset$ отображение $\operatorname{Div}^{0}(X)_{\mathbf{R}} \rightarrow \operatorname{Pic}^{0}(X)_{\mathbf{R}}$ является отображением «на». Это, очевидно, неверно в том случае, если $X$ не содержит вещественных точек (с такой ситуацией мы сталкиваемся в II.2.4).
4.5. Вещественные кривые рода 1

В случае кривых рода 1, согласно предыдущим доказательствам, существуют две различные возможности для якобиана кривой $X$ : решетка периодов порождается 1 и

— либо элементом $\beta$, таким что $\bar{\beta}=1-\beta$, т. е. $\beta=\frac{1}{2}+i b, b \in \mathbf{R}$; в этом случае вещественная часть $\mathbf{C} / \Lambda$, которая является образом вещественной оси, связна,
— либо элементом $\gamma$, таким что $\bar{\gamma}=-\gamma$, т. е. $\gamma=i c, c \in \mathbf{R}$; в этом случае вещественная часть $\mathbf{C} / \Lambda$ имеет две связные компоненты, образ вещественной оси и параллельной ей вещественной прямой, проходящей через ic/2 (см. рис. 25).
Рис. 25. Вещественные эллиптические кривые

Заметим, что якобиан кривой $X$ является не только вещественной кривой рода 1. Будучи якобианом, эта кривая представляет собой группу и, таким образом, ее вещественная часть непуста. В частности, не существует вещественного изоморфизма между вещественной кривой без вещественных точек и ее якобианом. Здесь нет ничего удивительного: комплексный изоморфизм включает точку из $X$. Таким образом,
Отображение Абеля-Якоби
\[
\begin{array}{r}
u_{x_{0}}: X \longrightarrow \mathbf{C} / \Lambda \\
x \longmapsto \int_{x_{0}}^{x} \omega
\end{array}
\]

является комплексным изоморфизмом для любой точки $x_{0}$ кривой $X$. Зафиксируем такую точку и положим
\[
a=\int_{x_{0}}^{S\left(x_{0}\right)} \omega=u_{x_{0}}\left(S\left(x_{0}\right)\right) .
\]

Тогда $\bar{a}=-a \bmod \Lambda$ и для любого $y \in X$ имеем:
\[
\int_{x_{0}}^{S(y)} \omega=\int_{x_{0}}^{S\left(x_{0}\right)} \omega+\int_{S\left(x_{0}\right)}^{S(y)} \omega=\int_{x_{0}}^{y} \omega+a .
\]

Тогда $u_{x_{0}}(S(y))=\overline{u_{x_{0}}(y)}+a$ для всех $y$ из $X$. На уровне $\mathbf{C} / \Lambda$ отображение $z \mapsto \bar{z}+a$ является антиголоморфной инволюцией, это и есть вещественная структура на $X$, если $X$ и $\mathbf{C} / \Lambda$ отождествляются при помощи отображения Абеля-Якоби.

Если $X_{\mathbf{R}}
eq \emptyset$, то можно выбрать $x_{0}$ в $X_{\mathbf{R}}$. Также имеем: $a=0$ и $u_{x_{0}}$ сохраняет вещественные структуры.

Если $X_{\mathbf{R}}=\emptyset$, то вещественного изоморфизма не существует. Зафиксируем точку $x_{0}$ и соответствующее значение $a$ и рассмотрим инволюцию $z \mapsto \bar{z}+a$ на $\mathbf{C} / \Lambda$. Прежде всего $\bar{a} \sim-a \bmod \Lambda$, поэтому $a=\frac{n}{2}+i x(n \in \mathbf{Z}, x \in \mathbf{R})$. Случай четного $n$ не вызывает больших затруднений: тогда можно предположить, что $n=0$, а инволюция $z \mapsto \bar{z}+i x$ всегда имеет неподвижные точки. Поэтому $X_{\mathbf{R}}$, с которого мы начинали, в действительности непусто. Таким образом, предположим, что $n=1$ и $a=\frac{1}{2}+i x$. Если $\Lambda=\left\langle 1, \frac{1}{2}+i b\right\rangle$, то инволюция имела бы неподвижные точки. Таким образом, случай $X_{\mathbf{R}}=\emptyset$ соответствует решетке $\Lambda=\langle 1, i c\rangle$. Сформулируем полученный результат в виде предложения.
Предложение 4.5.1. Пусть $X$ — вещественная кривая рода 1. Если $X_{\mathbf{R}}
eq \emptyset$, то $X$ как вешественное многообразие изоморфно своему якобиану. Якобиан представляет собой тор $\mathbf{C} / \Lambda$, снабженный операцией комплексного сопряжения и решеткой вида $\Lambda=\langle 1, i c\rangle(c \in \mathbf{R})$, если $X_{\mathbf{R}}$ имеет две компоненты связности, и $\Lambda=\left\langle 1, \frac{1}{2}+i b\right\rangle(b \in \mathbf{R})$, если $X_{\mathbf{R}}$ связно.

Если $X_{\mathbf{R}}$ пусто, то якобиан кривой $X$ является тором $\mathbf{C} / \Lambda$, снабженным комплексным сопряжением и решеткой $\Lambda=\langle 1, i c\rangle$. В частности, $\operatorname{Jac}(X)_{\mathbf{R}}$ состоит из двух связных компонент. Кроме того, как вещественное многообразие $X$ можно отождествить с $\mathbf{C} / \Lambda$, снабженным инволюцией $z \mapsto \bar{z}+\frac{1}{2}+i x(x \in \mathbf{R})$.

Следствие 4.5.2. Пусть $X$ — вещественная кривая рода 1 без вещественных точек. Тогда для любого $n$ многообразие $\operatorname{Pic}^{n}(X)$ представляет собой вещественную кривую рода 1. Если п нечетно, то как вещественное многообразие $\operatorname{Pic}^{n}(X)$ изоморфно $X$ (и, следовательно, не имеет вещественных точек). Если же $n$ четно, то $\operatorname{Pic}^{n}(X)$ изоморфно якобиану $X$ (как вещественное многообразие) и, следовательно, состоит из двух компонент.

Доказательство.
Если $P$ — произвольная точка из $X$, то $P+S(P)$ — вещественный дивизор степени 2. Воспользуемся им для отождествления $\operatorname{Pic}^{2 n+1}(X)$ с $\operatorname{Pic}^{1}(X)$ и $X, \operatorname{Pic}^{2 n}(X)$ с $\operatorname{Pic}^{0}(X)$ и $\operatorname{Jac}(X)$ при помощи сдвига.
$\wp$-функция Вейерштрасса. $\wp$-функция Вейерштрасса, соответствующая решетке $\Lambda$, определяется по формуле
\[
\wp(z)=\frac{1}{z^{2}}+\sum_{w}^{\prime}\left(\frac{1}{z^{2}-w^{2}}-\frac{1}{w^{2}}\right) .
\]
функция удовлетворяет дифференциальному уравнению
\[
\wp^{\prime}(z)^{2}=4 \wp(z)^{3}-g_{2} \wp(z)-g_{3} .
\]

Поэтому $\wp, \wp^{\prime}$ определяют проективное вложение кривой $\mathbf{C} / \Lambda$, образом которой является кривая
\[
y^{2}=4 x^{3}-g_{2} x-g_{3} .
\]
вид, описанный выше. Так как комплексного сопряжения:
\[
\begin{aligned}
\wp(\bar{z}) & =\frac{1}{\bar{z}^{2}}+\sum^{\prime}\left(\frac{1}{\bar{z}^{2}-w^{2}}-\frac{1}{w^{2}}\right) \\
& =\frac{1}{\bar{z}^{2}}+\sum^{\prime}\left(\frac{1}{\bar{z}^{2}-\bar{w}^{2}}-\frac{1}{\bar{w}^{2}}\right) \\
& =\overline{(z)},
\end{aligned}
\]

то функция $\wp(z)$ вещественна, если $z$ вещественно. Если вещественная часть кривой $\mathbf{C} / \Lambda$ несвязна, то точки другой компоненты суть точки $u+\frac{i c}{2}(u \in \mathbf{R})$. В этих точках функция ю также принимает вещественные значения, как нетрудно проверить простым вычислением $\wp\left(u+\frac{i c}{2}\right)$. Следовательно, $\wp$ также параметризует вещественную пример, не менее классическую книгу Жордана [46]), т. е. четность, двукратные полюсы в точках решетки, периодичность и т. д., мы получаем графы на рис. 26.