3.1. Пары Лакса для вращающихся волчков

В этом пункте мы вкратце объясним, как была найдена пара Лакса, которой мы пользуемся. Мы будем следовать оригинальной работе Бобенко, Реймана и Семенова-Тян-Шанского [18]. Мы находимся в ситуации ${ }^{10}$, когда дана группа Ли $G$ (будем считать, что $G=S O(p, q))$ с алгеброй Ли $\mathfrak{g}$, снабженной инволюцией $\sigma$. Подгруппу неподвижных точек этой инволюции обозначим через $K$ (будем считать, что $K=S O(p) \times S O(q)$ ). На уровне алгебры Ли неподвижные и антинеподвижные точки инволюции $\sigma$ (мы используем одну и ту же букву $\sigma$ для инволюции на $G$ и $\mathfrak{g}$ ) дают разложение
\[
\mathfrak{g}=\mathfrak{k}+\mathfrak{p}
\]
(блочное разложение для $\mathfrak{s o}(p, q)$ :
\[
L \in \mathfrak{s o}(p, q)=\mathfrak{g} \Longleftrightarrow L=\left(\begin{array}{c|c}
A & C \\
\hline{ }^{t} C & B
\end{array}\right),
\]

где $(A, B) \in \mathfrak{s} o(p) \times \mathfrak{s} o(q)=\mathfrak{k}, c \in\left(\mathbf{R}^{p}\right)^{q}=\mathfrak{p} ;$ здесь инволюция $\sigma$ имеет вид $\left.\sigma(L)=-{ }^{t} L\right)$.

Группа $K$ действует на $\mathfrak{g}^{\star}$ как подгруппа группы $G$, и ее действие оставляет $\mathfrak{k}^{\star}$ и $\mathfrak{p}^{\star}$ инвариантными. Отождествим $T^{\star} K$ и $K \times \mathfrak{k}^{\star}$ при помощи левых сдвигов.
Рассмотрим подалгебру
\[
\tilde{\mathfrak{g}}^{\sigma}=\left\{L_{\lambda} \in \mathfrak{g}\left[\lambda, \lambda^{-1}\right] \mid \sigma\left(L_{\lambda}\right)=L_{-\lambda}\right\} \subset \mathfrak{g}\left[\lambda, \lambda^{-1}\right]
\]
(она называется скрученной алгеброй петель). Ее можно разложить в сумму алгебр полиномов по $\lambda$ и полиномов по $\lambda^{-1}$ без постоянного члена. Таким образом, мы имеем $R$-матрицу и $R$-скобки Пуассона (см. Приложение 2). ее на примере, имеющем отношение к вращающимся волчкам.

Зафиксируем элементы $a, h \in \mathfrak{p}^{\star}$ и определим отображение
\[
\begin{aligned}
T^{\star} K \cong K \times \mathfrak{g}^{\star} & \longrightarrow \widetilde{\mathfrak{g}}^{\sigma} \\
(k, \xi) & \longmapsto h \lambda^{-1}+\xi+\left(\operatorname{Ad}_{k^{-1}}^{\star} \cdot a\right) \lambda
\end{aligned}
\]
(заметим, что постоянный член $\xi$ принадлежит $\mathfrak{k}^{\star}$, а коэффициенты при $\lambda^{-1}$ и $\lambda$ принадлежат $\left.\mathfrak{p}^{\star}\right)$. Тогда справедлива

Лемма 3.1.1. Отображение $T^{\star} K \rightarrow \tilde{\mathfrak{g}}^{\sigma}$ есть отображение Пуассона.
При необходимости мы отсылаем читателя к оригинальной работе [18]. Используя метод $R$-матриц и АКС-теорему, приведенные в Приложениии 2 , мы строим гамильтоновы системы с большим количеством первых интегралов.

Удобно, как в оригинальной работе, сделать несложную (симплектическую) замену координат $(k, \xi) \mapsto\left(k^{-1},-\operatorname{Ad}_{k}^{\star} \cdot \xi\right)$. Тогда новая «матрица» принимает вид
\[
h \lambda^{-1}-\operatorname{Ad}_{k}^{\star} \cdot \xi+\left(\operatorname{Ad}_{k}^{\star} \cdot a\right) \lambda .
\]

В конкретном примере $G=S O(p, q)$, и мы окончательно получаем следующую теорему.

Теорема 3.1.2 (Бобенко, Рейман и Семенов-Тян-Шанский [18]). Пусть $A$ и $H-$ два фиксированных элемента в $\left(\mathbf{R}^{p}\right)^{q}(p \times q$ матрицы). Тогда коэффициенты характеристического полинома матрицы
\[
L_{\lambda}=\left(\begin{array}{c|c}
0 & H \\
\hline{ }^{t} H & 0
\end{array}\right) \lambda^{-1}-\left(\begin{array}{c|c}
k \xi^{t} k & 0 \\
\hline 0 & r \omega^{t} r
\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c|c}
0 & k A^{t} r \\
\hline r^{t} A^{t} k & 0
\end{array}\right) \lambda
\]

являются функциями четырех аргументов
\[
(k, r, \xi, \omega) \in S O(p) \times S O(q) \times \mathfrak{s} o(p)^{\star} \times \mathfrak{s} o(q)^{\star} \cong T^{\star}(S O(P) \times S O(q)),
\]

которые коммутируют относительно канонической пуассоновой структуры.

Заметим, что матрица $L_{\lambda}$ инвариантна относительно правого действия стабилизатора $K_{A}$ элемента $A$ в группе $K$. Предположим,
что $q \leqslant p$, и пусть $A$ – матрица, состоящая из первых $q$ векторов канонического базиса пространства $\mathbf{R}^{p}$. Тогда $K_{A}$ состоит из матриц
\[
\left(\begin{array}{c|c}
k & 0 \\
\hline 0 & r
\end{array}\right),
\]

таких что $k A^{t} r=A$, т. е., в нашем случае, таких что
\[
k=\left(\begin{array}{c|c}
r & 0 \\
\hline 0 & s
\end{array}\right)
\]

для произвольного $s \in S O(p-q)$. Следовательно, сталибизатор $K_{A}$ изоморфен $S O(q) \times S O(p-q)$ и вложен в качестве подгруппы в $S O(p) \times S O(q)$ с помощью отображения
\[
(r, s) \longmapsto\left(\begin{array}{c|c|c}
r & 0 & 0 \\
\hline 0 & s & 0 \\
\hline 0 & 0 & r
\end{array}\right) .
\]

Выполним редукцию относительно действия диагональной подгруппы $S O(q)(s=1)$. Отображение момента $\mu: T^{\star} K \rightarrow \mathfrak{s} o(q)^{\star}$ для этого действия имеет вид
\[
(k, r, \xi, \omega) \longmapsto \xi^{\prime}+\omega,
\]

где $\xi^{\prime}$ – матрица, полученная из кососимметричной $p \times p$-матрицы $\xi$ усечением.

Полученное редуцированное фазовое пространство изоморфно $T^{\star} S O(p)$. Заметим, что даже если оно не зависит от $q$, то первые интегралы, которые получаются из теоремы 3.1.2, зависят от $q$. Редукция гамильтониана
\[
H=\operatorname{Res} \operatorname{tr}\left(L_{\lambda}^{2} \lambda^{-1} d \lambda\right)
\]

дает
\[
H=\sum_{i, j=1}^{p} \xi_{i, j}^{2}+\sum_{i, j=1}^{q} \xi_{i, j}^{2}-\sum_{i=1}^{q}\left(k e_{i} \cdot H_{i}\right),
\]

где обозначения для потенциала более или менее понятны. На самом деле мы интересуемся квадратичной частью, кинетической энергией.

Заметим, что удвоение членов $\xi_{i, j}^{2}(i, j \leqslant q)$ возникло в процессе редукции, так что этот процесс отвечает за появление гамильтониана типа Ковалевской (напомним, что вид матрицы тензора инерции приведен в I.2.1).

Случай волчка Ковалевской соответствует $(p, q)=(3,2)$. Случай $(p, q)=(3,1)$ дает матрицу Лакса для волчка Лагранжа (см. 3.2).

Возвращаясь к группам Ли общего вида, получаем, что случай $G=S L(n, \mathbf{R})$ и $K=S O(n)$ дает свободное $n$-мерное твердое тело (случай Манакова, см. Главу IV). Рейман и Семенов-Тян-Шанский получили экзотическую систему на $S O(4)$, положив $G=G_{2}$ (см. [76]).
3.2. Снова симметричный волчок

Вернемся к случаю симметричного вращаюшегося волчка. Он описывается значениями $p=3, q=1$ в приведенной выше конструкции. Используя обозначения $\S 2$, а также Главы I, сформулируем
Предложение 3.2.1 (Бобенко, Рейман и Семенов-Тян-Шанский [18]). В случае Лагранжа система (E) эквивалентна уравнению Лaкca
\[
\frac{d}{d t} L_{\lambda}=\left[L_{\lambda}, M_{\lambda}\right]
\]

где
\[
L_{\lambda}=\left(\begin{array}{cc}
0 & \Gamma \\
{ }^{t} \Gamma & 0
\end{array}\right) \lambda^{-1}+\left(\begin{array}{cc}
-M & 0 \\
0 & P M P
\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc}
0 & L \\
{ }^{t} L & 0
\end{array}\right) \lambda,
\]

а $M_{\lambda}$ – полиномиальная часть $\left(L_{\lambda}^{2}\right)_{+}$матрицы $L_{\lambda}^{2}$.
Замечание. В блочном разложении алгебры $\mathfrak{s o}(3,1)$ любая матрица записывается в виде
\[
M=\left(\begin{array}{cc}
A & v \\
{ }^{t} & 0
\end{array}\right)
\]

где $A \in \mathfrak{s o}(3)$ – кососимметричная матрица, а $v \in \mathbf{R}^{3}$ – вектор. Следовательно, как векторное пространство $\mathfrak{s o}(3,1)$ представляется в виде $\mathfrak{s o}(3) \times \mathbf{R}^{3}$. Структура алгебры Ли задается скобкой
\[
[(A, v),(B, w)]=([A, B]+v \wedge w, A \cdot w-B \cdot v) .
\]

Заметим, что эта скобка Ли отлична от скобки Ли, ассоциированной с алгеброй Ли группы движений, которую мы использовали в I.1.2.

Спектральные кривые. Спектральная кривая $Y$ задается уравнением
\[
\mu^{4}+\left(H^{\prime}-\left(\lambda^{-2}+\lambda^{2}\right)\right) \mu^{2}-\left(c \lambda^{-1}+K \lambda\right)^{2}=0
\]
(как обычно, нормализованным в точках $\lambda=0$ и $\lambda=\infty$ ). Оно обладает несколькими инволюциями, среди которых $(\mu, \lambda) \mapsto(\mu,-\lambda)$. Факторизация относительно этой инволюции дает кривую $C$ :
\[
\mu^{4}+\left(H^{\prime}-\left(z^{-1}+z\right)\right) \mu^{2}-z^{-1}(c+K z)^{2}=0 .
\]

Рассмотрим отображение $\mu: C \rightarrow \mathbf{P}^{1}$ степени 2. Его точки ветвления суть корни дискриминанта уравнения кривой $C$, рассматриваемого как уравнение по $z$ степени 2 . Дискриминант этого уравнения имеет вид
\[
\Delta(\mu)=\mu^{2} \delta(\mu),
\]

так что 0 всегда (т. е. для всех значений $H$ и $K$ ) является двукратным корнем $\Delta$. Это означает, что $C$ всегда имеет двойную точку, следовательно, спектральная кривая $Y$ всегда имеет две двойные точки.

Мы хотим обсудить этот пример, главным образом, поскольку он показывает, что нет никакой надежды доказать общее утверждение об эквивалентности между гладкостью спектральной кривой и регулярностью уровней.

Замечание. Однако мы можем выделить две ветви в двойной точке кривой $C$, чтобы получить, вообще говоря, гладкие кривые $\widetilde{Y}$ и $\widetilde{C}$. Последняя имеет род 2 и является двулистным накрытием над $E$, разветвленным в двух точках. Если слегка обобщить отображение собственных векторов, то оказывается возможным отобразить соответствующий уровень в $\operatorname{Pic}(\tilde{Y})$. Те же соображения симметрии, что и в 2.3 , показывают, что это обобщенное отображение собственных векторов можно модифицировать и определить отображение в $\operatorname{Pic}(\widetilde{C})$ со значениями в $\operatorname{Prym}(\widetilde{C} \mid E)$. Таким образом, мы получаем одномерное абелево многообразие, которое связано с кривой $X$ рода 1 , построенной в Главе II.

3.3. Курьезный факт, случай Горячева-Чаплыгина

Метод $R$-матриц и АКС-теорема (Приложение 2) являются достаточно мощным аппаратом для построения интегрируемых систем. Однако достаточно сложным оказывается представить данную систему в лаксовой форме. Если как-то еще можно понять, что вышеуказанные методы Бобенко, Реймана и Семенова-Тян-Шанского [18] дают пары Лакса для волчков Лагранжа и Ковалевской, то более неожиданным является тот факт, что попутно возникает загадочный результат: Бобенко и Кузнецов получили в [19] пару Лакса для случая Горячева-Чаплыгина. Это выглядит подобно кулинарному рецепту: нужно взять представление пары Лакса для случая Ковалевской, удалить первый столбец и первую строку обеих матриц … и все.

Удачным является представление из уравнения (8), слегка преобразованное подходящим сопряжением (процедура, конечно, достаточно чувствительна к сопряжению), которое дает:
\[
L_{\lambda}=\left(\begin{array}{ccc}
0 & -i \gamma_{3} \lambda^{-1} & -v+i u \\
i \gamma_{3} \lambda^{-1} & -2 i w & \left(\gamma_{2}-i \gamma_{1}\right) \lambda^{-1}-2 i \lambda \\
v+i u & \left(\gamma_{2}+i \gamma_{1}\right) \lambda^{-1}+2 i \lambda & 2 i w
\end{array}\right)
\]

и
\[
M_{\lambda}=\left(\begin{array}{ccc}
3 i w & 0 & v-i u \\
0 & 2 i w & 2 i \lambda \\
-v-i u & -2 i \lambda & -2 i w
\end{array}\right) .
\]

Предложение 3.3.1 (Бобенко и Кузнецов [19]). В случае ГорячеваЧаплыгина система (E) из I. 1 эквивалентна следующей:
\[
\frac{d}{d t} L_{\lambda}=\left[L_{\lambda}, M_{\lambda}\right]
\]

Доказательство этого предложения опять-таки непосредственное, и мы оставляем его читателю в качестве упражнения. Из этой пары Лакса получаем спектральную кривую $Y$ :
\[
\operatorname{det}\left(L_{\lambda}-\mu_{\mathrm{i}} \mathrm{I} \mathrm{d}\right)=-\mu^{3}+\left(\lambda^{-2}-2 H+4 \lambda^{2}\right) \mu-2 i K,
\]

снабженную инволюцией ( $\lambda \mapsto-\lambda$ ), и ее фактор $X$ :
\[
-\mu^{3}+\left(z^{-1}-2 H+4 z\right) \mu-2 i K=0 .
\]

В работе [19] найдены решения системы (E). Оказывается, они могут быть выражены через квадратные корни из $\vartheta$-функций, ассоциированных с якобианом кривой $X$ (это означает, что потоки на якобиане нелинейны). Действительно, хорошо известно, что в этом случае совместные поверхности уровня интегралов $H$ и $K$ являются разветвленными двулистными накрытиями абелевых поверхностей (см., например, работу Пиована [71]). Заметим, что это связано со следующим общим принципом: если пара Лакса, которую мы используем, была получена честным путем, то поток, который она описывает, линеаризуется на абелевом многообразии и наш уровень обладает компактификацией, которая является (стандартным) накрытием этого абелева многообразия ${ }^{11}$.

С топологической точки зрения уравнения Лакса не очень удобны. Если бы кривая $X$ обладала вещественной структурой (чтобы это выяснить, нужно выполнить замену $\mu$ на $i \mu$ ) и была бы эквивалентна кривой, используемой Горячевым и Чаплыгиным, то было бы справедливо, но не очевидно, утверждение, что матрица $L$ дает вещественное отображение собственных векторов.
${ }^{11}$ Мы обязаны Алексею Рейману за это замечание, которое является философским основанием его результатов, изложенных в Приложении 3.