Вероятно, читатель уже понял, что эта книга посвящена изучению собственных векторов матриц Лакса и их использованию в топологических целях, главным образом, на примерах задач механики твердого тела.

В книге будет немного симплектической или пуассоновой геометрии (нам будет достаточно начала любого учебника, например, Либерманна и Марле [59] или Главы II книги автора [10]). Зато будет сделан акцент на алгебраическую геометрию, кривые, якобианы, теоремы Римана-Роха и Абеля-Якоби. Мы также слегка коснемся когомологий пучков (см. книги Гриффитса и Харриса [37], Фаркаша и Кра [27], а также Рейсса [78]) и топологии. Мы старались сделать доказательства как можно проще.

4.1. Содержание книги

В этой книге будут подробно разобраны примеры использования приведенного выше метода: здесь будет достаточное количество примеров, иллюстрирующих не только вопросы, сформулированные в 2.2 , но и замечания из $\$ 3$. Для того чтобы быстрее ввести читателя в курс дела, вся «теория» помещена в приложения.

В первой главе показано, как дифференциальные уравнения движения «волчка» представить в гамильтоновой форме. Непосредственно и классическим способом исследованы свободное (при отсутствии силы тяжести) твердое тело и тяжелое твердое тело, движущееся вокруг центра масс. Значимость алгебраических кривых видна уже на примере системы с одной степенью свободы, каковой является движение свободного твердого тела.

Вторая глава посвящена симметричному вращающемуся волчку в случае, изученном Лагранжем в 1788 году (см. [56]). Волчок Лагранжа представляет собой твердое тело с осью вращения. Это движение можно наблюдать во время игры с вращающимся волчком. Напомним, что решения в этом случае выражаются в терминах эллиптических функций.

После классических задач о движении свободного твердого тела и волчка Лагранжа мы переходим к паре Лакса, спектральной кривой и методу собственных векторов. Задаче о волчке Лагранжа посвящено много работ, даже с точки зрения эллиптических функций она, на самом деле, не является простой – в литературе, мягко говоря, не достаточно четко представлены результаты по алгебро-геометрическому и топологическому аспектам. Здесь мы попытались изложить этот вопрос наиболее полно и подробно; даже возможно, что некоторые утверждения (например, теорема II.2.4.1) являются оригинальными.

Естественно, после случаев Эйлера-Пуансо и Лагранжа, следующая глава посвящена изучению случая Ковалевской ${ }^{12}$. Здесь имеется несколько замечательных особенностей. Во-первых, в этом случае довольно сложно найти представление Лакса со спектральным параметром для системы дифференциальных уравнений. Здесь мы использовали представление Лакса на алгебре $\mathfrak{s o}(3,2)$, найденное Бобенко, Рейманом и Семеновым-Тян-Шанским [18], однако существуют и другие представления (см. работы Адлера и ван Мербеке [4], Хайне и Хорозова [40]). Представление Лакса, предложенное в [18], получено естественным способом и, кроме того, матрицы являются вещественными, что особенно важно для нашего метода. Известно, что топология здесь является достаточно сложной, однако хорошо описывается с помощью отображения собственных векторов и абелевых многообразий ${ }^{13}$. Более того, именно здесь метод работает наилучшим образом, несмотря на то, что случай Ковалевской является наиболее сложным. Наконец, отметим интересный факт. Уже сама Ковалевская знала, что решения выражаются в $\theta$-функциях, связынных с кривой $X$ рода 2 . Однако решения, которые дает представление Лакса [18], порождаются $\theta$-функциями для многообразия Прима накрытия $C \rightarrow E$, где $C$ и $E$ – кривые рода 3 и 1 соответственно. Насколько нам известно, соответствие между этими кривыми до сих пор недостаточно изучено (эта проблема также рассмотрена в Приложении 5).
${ }^{12}$ Существуют ровно три интегрируемых случая, и не больше. Этот вопрос вкратце обсуждается в I.2.2.
13 после некоторых манипуляций!

В конце главы излагается метод, который использовали Бобенко, Рейман и Семенов-Тян-Шанский [18] для построения уравнения Лакса в задаче Ковалевской, и упоминаются два других уравнения Јакса, связанные с последним: одно из них описывает движение симметричного волчка, а другое является представлением Лакса для волчка ГорячеваЧаплыгина. Последнее приводится просто как любопытный факт, в то время как первое показывает зависимость данного метода от представления Лакса, а также является примером того, что спектральная кривая может быть всегда сингулярной.

Четвертая глава посвящена свободному твердому телу. Результаты Главы I преподносятся здесь уже с точки зрения отображения собственных векторов (это результат Хайне [39]), а также исследуется известное обобщение этой задачи. Соответствующее представление Јакса принадлежит Манакову [60] и, кажется, является основой многих исследований, приведенных в книге. Здесь твердое тело четырехмерно, система имеет две степени свободы, первые интегралы квадратичны, поверхности уровня являются одновременно пересечениями квадрик и аффинными частями абелевых многообразий … можно вообразить, что алгебро-геометрические аспекты очень разнообразны и интересны. Этой теме посвящено много работ (см., например, работы Адлера и ван Мербеке [3], Хайне [39] и Барса [17]). Здесь мы не имеем возможности ни рассмотреть все эти аспекты, ни дать полные доказательства топологических утверждений. Мы ограничимся лишь определением регулярных поверхностей уровня и утверждением, что классические результаты Хайне (это и есть «другой подход», упомянутый в 3.4) могут дать ${ }^{14 *}$ всю требуемую топологическую информацию.
${ }^{14}$ Один из наиболее неудовлетворительных аспектов в литературе по топологии интегрируемых систем хорошо проиллюстрирован, например, результатами о топологических особенностях этой задачи, анонсированными Ошемковым [68]. Через несколько лет за этой работой последовали прямые и утомительные доказательства в книге [32] под редакцией Фоменко.
* Комментарий переводчиков: Метод описания топологии интегрируемых гамильтоновых систем, изложенный в книге, годится для систем, в которых найдено разделение переменных. Однако известны примеры систем, где переменные до сих пор еще не разделены (например, случай гиростата Ковалевской и обобщенный случай Чаплыгина). В этих случаях удается провести топологический анализ методами, развитыми М. П. Харламовым [47], а впоследствии использованными А. А.Ошемковым. В частности, без использования разделяющего преобразова-

Последняя глава посвящена задачам с неполными потоками. Поскольку полная энергия тела является собственной функцией, мы вынуждены покинуть мир твердых тел. В данном случае, в качестве примера можно взять вариант периодической цепочки Тода.

Сведения, необходимые для понимания книги, содержатся в приложениях. В Приложении 1 описывается естественная пуассонова структура и гамильтоновы системы на коалгебре Ли. Приложение 2 посвящено теореме Адлера-Костанта-Симса (АКС-теореме), которая позволяет конструировать интегрируемые системы в форме Лакса (в этих естественных рамках построены все представленные здесь примеры). В Приложении 3 уточняется определение отображения собственных векторов и, следуя Гриффитсу, доказываются утверждения о линеаризации. В Приложении 4 содержатся основные понятия алгебраической геометрии (комплексной и вещественной): кривые, якобианы, вещественные кривые и их якобианы. Приложение 5 появящено определению и изучению некоторых аспектов многообразий Прима.

4.2. Что осталось за рамками книги

– Несмотря на то, что примеры взяты из механики, эта книга не является учебником по механике: здесь только вкратце объяснено, как получаются дифференциальные уравнения. Заинтересованный читатель может обратиться, например, к классическим книгам Якоби [45], Клейна и Зоммерфельда [51], Аппеля [7], Уиттекера [87] и Арнольда [9].
– Решения уравнений выписаны только для случаев рода 1: это будут $\wp$-функции (см. Главы I и II). Решения в полном виде не выписывались, их можно найти в замечательной книге Голубева [35]. Самый экономичный способ записи решений в случае Ковалевской

ния выполнен топологический анализ задачи о движении тяжелого гиростата при условиях Ковалевской на распределение масс, одного из самых сложных в динамике твердого тела (см. М. П. Харламов, П. Е. Рябов. Бифуркации первых интегралов в случае Ковалевской-Яхьи // Регулярная и хаотическая динамика. Т.2.1997. Вып. 2. C. 25-40.) и обобщенной задачи Чаплыгина (см. O. E. Orel, P. E. Ryabov. Bifurcation sets in a problem on motion of a rigid body in fluid and in the generalization of this problem // Regular and Chaotic Dynamics. V. 3. 1998. 2. P. 82-91.).

был предложен Бобенко, Рейманом и Семеновым-Тян-Шанским в $[18]$.
– Мы не пытались объяснять слово «интегрируемость» (кроме нескольких замечаний в I.2.2), обсуждать интегрируемость «в квадратурах» и координаты действия, хотя это и является предметом многих интересных исследований (см., например, работу Ванеке $[82]$ ).
– Еще один интересный вопрос: как найти представление Лакса для данной системы. Мы не знаем ни одного удовлетворительного ответа на этот вопрос, кроме конструкций ${ }^{15}$ Бобенко, Реймана и Семенова-Тян-Шанского [18] (см. также III.3), этот способ чемто напоминает кулинарный рецепт (см., например, III.3.3).
– Мы не пытались дать исчерпывающий списою литературы, однако надеемся, что список работ, вместе со ссылками, которые в них содержатся, будет достаточным. Особенно следует обратить внимание на книгу Мамфорда [66]. Многие аспекты теории интегрируемых систем могут быть найдены в недавно вышедшей книге под редакцией Бабелона, Картье и Косманна-Шварцбаха [16].
– Все алгебро-геометрические идеи, приведенные здесь, содержатся в цикле работ, выполненных Новиковым и другими в семидесятых годах, по бесконечномерным интегрируемым системам (см. обзор Дубровина [26]). Мы не пытались дать подробный исторический экскурс по представленным материалам и отсылаем заинтересованного читателя к историческим замечаниям, которые содержатся у Реймана и Семенова-Тян-Шанского [77].