В Главе I мы уже обсуждали пример свободного твердого тела: здесь возникают уравнения Эйлера $\dot{M}=[M, \Omega]$. В этой главе мы хотим показать, как метод собственных векторов матриц Лакса можно использовать для доказательства уже полученных результатов (алгебраическое содержание будет здесь более наглядным). Мы рассмотрим аналогичную задачу о так называемом четырехмерном свободном твердом теле, которая является интегрируемой на компактных четырехмерных симплектических многообразиях, коприсоединенных орбитах группы $S O(4)$. Алгебраические аспекты здесь очень богаты, но мы не будем обсуждать их все.