Здесь мы изложим широко используемую идею, восходящую к Костанту [54] и Адлеру [1], которая, тем не менее, достаточно проста. Самая простая формулировка принадлежит Семенову-ТянШанскому [79]. Именно ее мы и представляем.

2.1. $R$-матрица и СТШ-утверждение

Пусть $\mathfrak{g}$ – алгебра Ли и пусть $R$ – линейное отображение $\mathfrak{g} \rightarrow \mathfrak{g}$. Положим
\[
[X, Y]_{R}=[R X, Y]+[X, R Y] .
\]

Это кососимметричная скобка. Для того чтобы эта скобка задавала скобку Ли, она должна удовлетворять тождеству Якоби. Это эквивалентно требованию, чтобы $R$ удовлетворяло уравнению
\[
\left[X,[R Y, R Z]-R\left([Y, Z]_{R}\right)\right]+\text { (два аналогичных члена, }
\]

полученных при помощи циклической перестановки $X, Y, Z)=0$.
Замечание. Это уравнение можно рассматривать как вариант уравнения Янга-Бакстера. Оно выполнено, например, если $R$ удовлетворяет так называемому модифицированному уравнению Янга-Бакстера
\[
[R X, R Y]-R\left([X, Y]_{R}\right)=-[X, Y] .
\]

Заинтересованного читателя мы отсылаем, например, к обзору Реймана и Семенова-Тян-Шанского [77] и лекциям Семенова-Тян-Шанского [80].

Предположим, что указанное выше условие выполнено, так что $[,]_{R}$ является новой структурой алгебры Ли на $\mathfrak{g}$ и, следовательно, задает скобку Пуассона на $\mathfrak{g}^{\star}$, которую мы обозначим через $\{,\}_{R}$ :
\[
\{\varphi, \psi\}_{R}(\xi)=\langle\xi,[R d \varphi(\xi), d \psi(\xi)]+[d \varphi(\xi), R d \psi(\xi)]\rangle .
\]

Гамильтоново векторное поле функции $\varphi$ (относительно этой пуассоновой структуры) будет обозначаться через $X_{\varphi}^{R}$.

Теорема 2.1.1 (теорема об инволюции). Если $\varphi$ – инвариантная функция на $\mathfrak{g}^{\star}$, то
\[
X_{\varphi}^{R}(\xi)=\operatorname{ad}_{R d \varphi(\xi)}^{\star} \cdot \xi .
\]

Если $\varphi$ и $\psi$ – инвариантные функци, то
\[
\{\varphi, \psi\}=\{\varphi, \psi\}_{R}=0 .
\]

Доказательство почти очевидно.
Если функция $\varphi$ инвариантна: то $\langle\xi,[d \varphi(\xi), Y]\rangle=0$ для любого $Y \in \mathfrak{g}$. Поэтому
\[
\{\varphi, \psi\}_{R}(\xi)=\langle\xi,[R d \varphi(\xi), d \psi(\xi)]\rangle
\]

для любой функции $\psi$. Таким образом, первая часть теоремы доказана. Если обе функции инвариантны, то правая часть этого равенства обращается в нуль; следовательно, $\{\varphi, \psi\}_{R}=0$.

Замечание. Мы имеем дело с двумя различными структурами алгебры Ли на g, однако они не равноправны. Например, функции Казимира для $\{,\}_{R}$ не обязаны коммутировать относительно исходной скобки Пуассона. Теорема 2.1.1 утверждает, что дифференциальное уравнение
\[
\dot{\xi}=\operatorname{ad}_{R d \varphi(\xi)}^{\star} \cdot \xi
\]

является гамильтоновым относительно $\{,\}_{R}$, но может не быть гамильтоновым относительно $\{$,$\} . Однако поскольку оно гамильтоново$ в первом смысле, любое его решение лежит на совместной поверхности уровня функций Казимира относительно $\{,\}_{R}$. Согласно теореме 2.1.1, решения также целиком лежат на коприсоединенной орбите коалгебры $\mathfrak{g}^{\star}$ : траектории векторного поля $X_{\varphi}^{R}$ лежат на пересечениях орбит алгебр $\mathfrak{g}^{\star}$ и $\mathfrak{g}_{R}^{\star}$.

Интересно рассмотреть особый случай, когда алгебра Ли является прямой суммой двух подалгебр Ли:
\[
\mathfrak{g}=\mathfrak{a}+\mathfrak{b}
\]
(эта прямая сумма есть прямая сумма векторных подпространств, а не алгебр Ли; это означает, что $[a, b]$ не обязано обращаться в нуль при $a \in \mathfrak{a}$ и $b \in \mathfrak{b}$ ). Обозначим через $P_{+}$и $P_{-}$две проекции на а и $\mathfrak{b}$ соотвественно, определенные разложением. Положим $X_{ \pm}=P_{ \pm} X$ и
\[
R=\frac{1}{2}\left(P_{+}-P_{-}\right) .
\]

В этом случае
\[
\begin{aligned}
{[X, Y]_{R} } & =\frac{1}{2}\left(\left[X_{+}-X_{-}, Y\right]+\left[X, Y_{+}-Y_{-}\right]\right) \\
& =\frac{1}{2}\left(\left[X_{+}-X_{-}, Y_{+}+Y_{-}\right]+\left[X_{+}+X_{-}, Y_{+}-Y_{-}\right]\right) \\
& =\left[X_{+}, Y_{+}\right]-\left[X_{-}, Y_{-}\right] .
\end{aligned}
\]

Эта скобка, очевидно, является скобкой Ли: она наделяет $\mathfrak{g}$ структурой алгебры Ли как прямую сумму $\mathfrak{a} \oplus \mathfrak{b}$ (с точностью до знака на $\mathfrak{b}$ ). Обычно эту алгебру Ли обозначают через $\mathfrak{g}_{0}$, а $[,]_{R},\{,\}_{R}$ и $X_{\varphi}^{R}$ через $[,]_{0},\{,\}_{0}$, и $X_{\varphi}^{0}$, даже если это и не очень последовательно. Заметим, что если $\varphi$ – инвариантная функция на $\mathfrak{g}^{\star}$, то
\[
0=\operatorname{ad}_{d \varphi(\xi)}^{\star}(\xi)=\operatorname{ad}_{d \varphi(\xi)_{+}}^{\star}(\xi)+\operatorname{ad}_{d \varphi(\xi)_{-}}^{\star}(\xi) .
\]

Тогда
\[
\operatorname{ad}_{R d \varphi(\xi)}^{\star}(\xi)=-\operatorname{ad}_{d \varphi(\xi)-}^{\star}(\xi) .
\]

Отсюда немедленно получаем
Следствие 2.1.2. Пусть $\varphi-$ инвариантная функция на $\mathfrak{g}^{\star}$. Тогда
\[
X_{\varphi}^{0}(\xi)=-\operatorname{ad}_{d \varphi(\xi)-}^{\star}(\xi) .
\]

Если $\varphi$ и $\psi$ – две инвариантные функции, то они коммутируют относительно обеих скобок Пуассона.
2.2. АКС-утверждение

Заметим, что теорема 2.1.1 и следствие 2.1.2 дают систематический подход к построению гамильтоновых систем, обладающих достаточным количеством первых интегралов (всеми инвариантными функциями). Затем мы используем их для построения гамильтоновых систем на коалгебре $\mathfrak{a}^{\star}$ алгебры Ли $\mathfrak{a}$, снабженной канонической пуассоновой структурой. Эти гамильтоновы системы также имеют достаточное количество первых интегралов. Это и есть содержание теоремы Адлера-Костанта-Симса.

Более точно, предположим, что $\mathfrak{g}$ – алгебра Ли группы $G$, а $A$ и $B$ – подгруппы $G$, такие что векторное пространство $\mathfrak{g}$ является прямой суммой их алгебр Ли $\mathfrak{a}$ и $\mathfrak{b}$. Рассмотрим алгебру Ли $\mathfrak{g}=\mathfrak{a}+\mathfrak{b}$ со второй скобкой Ли $[,]_{0}$ и попытаемся вложить $\mathfrak{a}^{\star}$ в $\mathfrak{g}$. Для этого предположим, что мы имеем инвариантную симметричную билинейную форму $\langle$,$\rangle , которая позволяет отождествить \mathfrak{g}$ с сопряженным векторным пространством $\mathfrak{g}^{\star}$.

Пусть $f$ – функция на g. Имея билинейную форму, можно вычислить ее градиент $
abla_{x} f(x \in \mathfrak{g})$, который можно представить в виде суммы $\left(
abla_{x} f\right)_{+}+\left(
abla_{x} f\right)_{-}$. Если элементу $x$ соответствует элемент $\xi$ в коалгебре $\mathfrak{g}^{\star}$, то функция $f$, рассматриваемая как функция на $\mathfrak{g}^{\star}$, будет обозначаться через $\varphi$, так что $d \varphi(\xi)=
abla_{x} f \in \mathfrak{g}$. Если функция $f$ ad-инвариантна, то функция $\varphi$ $\mathrm{ad}^{\star}$-инвариантна и
\[
\begin{aligned}
X_{\varphi}^{0}(\xi) & =-\operatorname{ad}_{d \varphi(\xi)_{-}}^{\star}(\xi) \quad \text { согласно 2.1.2 } \\
& =-\left[d \varphi(\xi)_{-}, x\right] \\
& =\left[x,\left(
abla_{x} f\right)_{-}\right] .
\end{aligned}
\]

Если мы хотим описать таким образом гамильтонову систему на $\mathfrak{a}^{\star}$, то нам необходимо включение $\mathfrak{a}^{\star} \subset \mathfrak{g}$. Изоморфизм
\[
\begin{array}{l}
\mathfrak{g} \longrightarrow \mathfrak{g}^{\star} \\
x \longmapsto \xi
\end{array}
\]

отображает ортогональное подпространство $\mathfrak{b}^{\perp}$ на аннултятор $\mathfrak{b}^{\circ}$ пространства $\mathfrak{b}$ в $\mathfrak{g}^{\star}$, который, в свою очередь, отождествляется с $\mathfrak{a}^{\star}$ (см. рис. 24); очевидно, мы можем поменять местами а и $\mathfrak{b}$.
Замечание. Как следствие, коприсоединенные орбиты подгруппы $A$ в алгебре $\mathfrak{a}^{\star}$ можно рассматривать в $\mathfrak{b}^{\perp} \subset \mathfrak{g} \cong \mathfrak{g}^{\star}$. Если $g \in A \subset G$, то обозначим через $\left(\mathrm{Ad}^{\star} g\right)_{\mathfrak{a}}$ – его коприсоединенное действие на $\mathfrak{a}^{\star}$ и через $\mathrm{Ad}^{\star} g$ его коприсоединенное действие на $\mathfrak{g}^{\star}$ как элемента $\mathfrak{g}$. Пусть $x$ – элемент алгебры $\mathfrak{b}^{\perp} \cong \mathfrak{a}^{\star}$ и $X=X_{+}+X_{-}$- элемент $\mathfrak{g}$. Тогда, в очевидных обозначениях, имеем:
\[
\left\langle\left(\operatorname{Ad}^{\star} g\right)_{\mathfrak{a}}(x), X_{+}+X_{-}\right\rangle=\left\langle x,(\operatorname{Ad} g)\left(X_{+}\right)\right\rangle .
\]

Это показывает, что $\left(\mathrm{Ad}^{\star} g\right)_{\mathfrak{a}}(x)$ является проекцией $\left(\mathrm{Ad}^{\star} g\right)(x)$ на $\mathfrak{b}^{\perp}$.

Рис. 24. AKC-разложение

Предположим теперь, что $x \in \mathfrak{b}^{\perp} \cong \mathfrak{a}^{\star}$. Заметим, что в действительности нам не нужно, чтобы $f$ было определено на всем $\mathfrak{g}$. Пусть $\Gamma \subset \mathfrak{b}^{\perp}$ – объединение коприсоединенных орбит (коалгебры $\mathfrak{a}^{\star}$ ). Предположим, что $f$ определено в некоторой инвариантной окрестности множества $\Gamma$ в $\mathfrak{g}$. Так как $\left(
abla_{x} f\right)_{-} \in \mathfrak{b}$, то
\[
\left[x,\left(
abla_{x} f\right)_{-}\right] \in \mathfrak{b}^{\perp}
\]
(инвариантность формы влечет включение $\left[\mathfrak{b}^{\perp}, \mathfrak{b}\right] \subset \mathfrak{b}^{\perp}$ ), поэтому мы не выходим за пределы $\mathfrak{b}^{\perp}$. Кроме того, $X_{\varphi}^{0}(\xi)$ является гамильтоновым векторным полем относительно структуры $\{,\}_{0}$, которая и есть в точности структура Кириллова-Костанта ${ }^{3}$ на $\mathfrak{a}^{*}$. Из следствия 2.1 .2 вытекает
Следствие 2.2.1 (АКС-теорема). Пусть $\mathfrak{g}$ – алгебра Ли, снабженная инвариантной невырожденной симметричной билинейной формой. Предположим, что векторное пространство $\mathfrak{g}$ представлено в виде прямой суммы двух подалгебр Ли $\mathfrak{a}+\mathfrak{b}$, так что $\mathfrak{g}=\mathfrak{a}^{\perp}+\mathfrak{b}^{\perp} u \mathfrak{b}^{\perp}$ отождествляется $с \mathfrak{a}^{\star}$. Пусть $\Gamma \subset \mathfrak{b}^{\perp}$ – объединение коприсоединенных орбит в коалгебре $\mathfrak{a}^{\star}$ и пусть $f$ – инвариантная функция, заданная в окрестности Г. Тодда гамильтонова система, ассоциированная $c$, имеет вид
\[
\dot{x}=\left[x,\left(
abla_{x} f\right)_{-}\right]
\]
(нижний индекс «-» обозначает проекцию на $\mathfrak{b}$ ). Кроме того, все инвариантные функции, заданные в окрестности Г, попарно коммутируют.
${ }^{3}$ Заметим, что скобку Пуассона на $\mathfrak{a}^{\star}$ можно записать в виде $\{f, g\}(x)=$ $\left\langle x,\left[\left(
abla_{x} f\right)_{+},\left(
abla_{x} g\right)_{+}\right]\right\rangle$при $x \in \mathfrak{b}^{\perp},\left(
abla_{x} f\right)_{+},\left(
abla_{x} g\right)_{+} \in \mathfrak{a}$.

Замечание. С геометрической точки зрения ситуация следующая: совместные поверхности уровня инвариантных функций на алгебре Ли $\mathfrak{g}$ являются (ко)присоединенными орбитами. Потоки, которые эти функции задают на $\Gamma$, сохраняют пересечение $\Gamma$ с орбитами, нвляющимисн совместными поверхностями уровня первых интегралов. Заметим, что количество коммутирующих первых интегралов, которые мы получили, ограничено рангом алгебры Ли g. Поэтому для того чтобы получать интегрируемые системы, мы должны воспользоваться достаточно малыми пространствами $Г$.
2.3. Пример

Пусть $\mathfrak{g}=\mathfrak{s} l_{n}(\mathbf{C})$ – алгебра Ли комплексных матриц с нулевым следом. Пусть $\mathfrak{a}$ – подалгебра Ли нижнетреугольных матриц, а $\mathfrak{b}$ подалгебра кососимметричных матриц:
\[
\begin{array}{l}
\mathfrak{a}=\left\{a \in \mathfrak{s} l_{n}(\mathbf{C}) \mid a_{i, j}=0 \text { при } j>i\right\}, \\
\mathfrak{b}=\left\{b \in \mathfrak{s} l_{n}(\mathbf{C}) \mid b_{j, i}=-b_{i, j}\right\} .
\end{array}
\]

Векторное пространство g является прямой суммой $\mathfrak{a}$ и $\mathfrak{b}$ : если $X=\left(x_{i, j}\right) \in \mathfrak{s} l_{n}(\mathbf{C})$, то $X=X_{+}+X_{-}$, где $X_{+}=\left(y_{i, j}\right) \in \mathfrak{a}$ и $X_{-}=\left(z_{i, j}\right) \in \mathfrak{b}$ определены по правилу
\[
y_{i, j}=\left\{\begin{array}{ll}
x_{i, j}+x_{j, i} & j<i \\
x_{i, j} & j=i \\
0 & j>i
\end{array}\right.
\]

и
\[
z_{i, j}=\left\{\begin{array}{ll}
-x_{i, j} & j<i \\
0 & j=i \\
x_{i, j} & j>i .
\end{array}\right.
\]

Невырожденная симметричная билинейная форма $\langle X, Y\rangle=\operatorname{tr}(X Y)$ инвариантна относительно сопряжения (это форма Киллинга). Легко проверить, что $\mathfrak{a}^{\perp}$ представляет собой подпространство строго нижнетреугольных матриц, а $\mathfrak{b}^{\perp}$ – подпространство симметричных матриц.

Рассмотрим инвариантную функцию $f(L)=\frac{1}{2} \operatorname{tr}\left(L^{2}\right)$, заданную на $\mathfrak{g}$, и гамильтонову систему, которую она определяет на $\mathfrak{a}^{\star}=\mathfrak{b}^{\perp}$. Так как $d f_{L}(X)=\operatorname{tr}(L X)$, то $
abla_{L} f=L$. Для симметричной матрицы $L=\left(x_{i, j}\right) \in \mathfrak{b}^{\perp}$ проекция $\left(
abla_{L} f\right)_{-}=L_{-}$на подпространство кососимметричных матриц равна
\[
\left(L_{-}\right)_{i, j}=\left\{\begin{array}{ll}
-x_{i, j} & j<i \\
0 & i=j \\
x_{j, i} & j>i .
\end{array}\right.
\]

Рассмотрим систему $\dot{L}=[L, M]$, где $L-$ симметричная матрица с нулевым следом, а $M$ – кососимметричная матрица, причем у этих матриц элементы над диагоналями совпадают. АКС-теорема показывает, что эту систему можно рассматривать как гамильтонову, а все функции $L \mapsto \operatorname{tr}\left(L^{k}\right)(2 \leqslant k \leqslant n)$ – как попарно коммутирующие первые интегралы. Таким образом, мы имеем $n-1$ интегралов. Будем искать достаточно малое пространство $\Gamma \subset \mathfrak{b}^{\perp}$.

Группа Ли $A$ состоит из обратимых нижнетреугольных матриц. Коприсоединенному действию этой группы на $\mathfrak{a}^{\star}$ соответствует при изоморфизме $\mathfrak{a}^{\star} \cong \mathfrak{b}^{\perp}$ ее действие на $\mathfrak{b}^{\perp}$ по формуле
\[
a \cdot L=\text { проекция } a L a^{-1} \text { на } \mathfrak{b}^{\perp} .
\]

Другими словами, симметричная матрица $L$ сопрягается треугольной обратимой матрицей $a$, а результат $a L a^{-1}$ разлагается на симметричную $a \cdot L$ и строго нижнетреугольную части. Рассмотрим, например, подпространство $\Gamma \subset \mathfrak{b}^{\perp}$ трехдиагональных симметричных матриц (матриц Якоби)
\[
L=\left(\begin{array}{cccccc}
b_{1} & a_{1} & & & & \\
a_{1} & \ddots & \ddots & & & \\
& \ddots & \ddots & \ddots & & \\
& & \ddots & \ddots & \ddots & \\
& & & \ddots & \ddots & a_{n 1} \\
& & & & a_{n-1} & b_{n}
\end{array}\right)
\]

Легко проверить, что если $L \in \Gamma$ и $a \in A$, то элементы матрицы $a L a^{-1}$ над «второй диагональю равны нулю, так что ее симметричная часть также трехдиагональна. Таким образом, Г инвариантно относительно действия группы $A$, и мы можем применить АКС-теорему: функция $f=\frac{1}{2} \operatorname{tr} L^{2}$ задает гамильтонову систему на пуассоновом многообразии $Г$ трехдиагональных симметричных матриц. Более точно, эта гамильтонова система имеет вид
\[
\begin{aligned}
& \frac{d}{d t}\left(\begin{array}{cccc}
b_{1} & a_{1} & & \\
a_{1} & \ddots & \ddots & \\
& \ddots & \ddots & a_{n-1} \\
& & a_{n-1} & b_{n}
\end{array}\right)= \\
= & {\left[\left(\begin{array}{cccc}
b_{1} & a_{1} & & \\
a_{1} & \ddots & \ddots & \\
& \ddots & \ddots & a_{n-1} \\
& & a_{n-1} & b_{n}
\end{array}\right),\left(\begin{array}{cccc}
0 & a_{1} & & \\
-a_{1} & \ddots & \ddots & \\
& \ddots & \ddots & a_{n-1} \\
& & -a_{n-1} & 0
\end{array}\right)\right] }
\end{aligned}
\]

и представляет собой знаменитую (непериодическую) цепочку Тода.
Заметим, что векторное пространство $Г$ само не является орбитой: подпространство диагональных матриц, очевидно, замкнуто относительно действия группы $A$. Однако открытое подмножество $\Gamma_{0}$ матриц из $\Gamma$, у которых все элементы, не лежащие на диагонали, отличны от нуля (т. е. $a_{i}
eq 0$ для всех $i$ ), является орбитой, содержащей трехдиагональную матрицу
\[
\left(\begin{array}{cccc}
0 & 1 & & \\
1 & \ddots & \ddots & \\
& \ddots & \ddots & 1 \\
& & 1 & 0
\end{array}\right)
\]
(как легко проверить непосредственно). Таким образом, открытое множество $\Gamma_{0}$ является симплектическим многообразием, и мы только что описали $n-1$ коммутирующих функций на $2(n-1)$-мерном симплектическом многообразии (остается проверить, что эти интегралы независимы на $\Gamma$, а это верно).

Замечание. Можно обобщить систему Тода на другие простые алгебры Ли: диагональ соответствует подалгебре Картана, а субдиагональ связана с простыми корнями алгебры $\mathfrak{s} l_{n}(\mathbf{C})$ (см. работу Костанта [54] и, например, лекции Семенова-Тян-Шанского [80]).
2.4. Бесконечная размерность

Хотя предыдущий конечномерный пример и был интересен, оказывается, что почти все другие интересные примеры бесконечномерны, поскольку в них существенно используются матрицы Лакса, которые являются полиномами по дополнительной переменной $\lambda$.

Опишем этот бесконечномерный случай. Обозначим алгебру Ли матриц через $\mathfrak{g}$ и рассмотрим алгебру Ли $\mathfrak{\mathfrak { g }}$ полиномов Лорана относительно одной переменной $\lambda$. Поскольку мы использовали бидуальность, ситуация, описанная выше, является конечномерной. Мы не хотим углубляться в детали доказательства, что все утверждения верны и в этом случае. Однако отметим, что это так для всех рассматриваемых примеров (см., например, работы Адлера и ван Мербеке [2], а также Реймана и Семенова-Тян-Шанского [77]).

С помощью инвариантной невырожденной симметричной билинейной формы на $\mathfrak{g}$ определим билинейную форму на $\tilde{\mathfrak{g}}$ (с теми же свойствами) по следующей формуле:
\[
\left\langle\sum A_{i} \lambda^{i}, \sum B_{j} \lambda^{j}\right\rangle=\operatorname{Res}\left(\sum\left\langle A_{i}, B_{j}\right\rangle \lambda^{i+j}\right) \lambda^{-k} d \lambda .
\]

Предположим, что даны разложение $\widetilde{\mathfrak{g}}=\mathfrak{a}+\mathfrak{b}$ (мы игнорируем трудности, связанные с переходом к сопряженным пространствам в бесконечных размерностях) и инвариантная функция $\varphi$ на $\tilde{\mathfrak{g}}$. Тогда имеем уравнения Лакса
\[
\dot{L}=\left[\boldsymbol{L}, M_{-}\right] \text {или } \dot{L}=\left[L, M_{+}\right],
\]

где $M=
abla_{L} \varphi$.

В настоящей книге встречается другой важный специальный случай разложения алгебры $\tilde{\mathfrak{g}}$ на сумму полиномов $\sum_{i \geqslant 0} A_{i} \lambda^{i}$ по $\lambda$ и полиномов $\sum_{i<0} A_{i} \lambda^{i}$ по $\lambda^{-1}$ без постоянного члена, причем функция $\varphi$ имеет вид
\[
\varphi(A(\lambda))=\operatorname{Res} \operatorname{tr}\left(Q(\lambda, A(\lambda)) \lambda^{-1} d \lambda\right)
\]

для некоторого полинома $Q \in \mathbf{C}\left[X, X^{-1}, Y\right]$. В этом случае $M=d \varphi(A(\lambda))=$ $=f\left(\lambda, A_{\lambda}\right)$ для $f=\partial Q / \partial Y$. Обратно, для любого полинома $f \in \mathbf{C}\left[X, X^{-1}, Y\right]$ уравнение
\[
\dot{L}=\left[L, f(\lambda, L)_{+}\right]
\]

имеет указанный вид.
Замечание. АКС-теорема позволяет строить гамильтоновы системы с большим количестовм первых интегралов, однако в конечномерном случае интегралов фактически не хватает, поскольку их количество ограничено рангом алгебры Ли. Поэтому мы вынуждены рассматривать достаточно малые симплектические многообразия (см. пример в 2.3).