5.1. Определение многообразий Прима

Рассмотрим кривую $X$, снабженную инволюцией $\tau$, и накрывающее отображение $\pi: X \rightarrow Y=X / \tau$. Это отображение индуцирует гомоморфизм
\[
\pi^{\star}: \operatorname{Pic}(Y) \longrightarrow \operatorname{Pic}(X),
\]

который удваивает степени: достаточно рассмотреть прообраз дивизора. Образ морфизма $\pi^{\star}$ содержится в множестве неподвижных точек $\tau^{\star}$.

Это подгруппа $\operatorname{Pic}(X)$, поэтому, в частности, образ компоненты $\operatorname{Pic}^{0}(Y)$ степени 0 является абалевым подмногообразием в $\operatorname{Pic}^{0}(X)$.

Согласно теореме Пуанкаре (которая легко доказывается), в этом случае должно существовать «дополнительное» абелево подмногообразие. Оно называется многообразием Прима этой инволюции и обозначается $\operatorname{Prym}(\tau)$ или $\operatorname{Prym}(X \mid Y)$. Его можно определить либо как нейтральную компоненту группы «антинеподвижных» точек инволюции $\tau^{\star}$, либо как образ отображения $1-\tau^{\star}$. Используя двойственный подход, его можно также задать как фактор векторного подпространства, сопряженного пространству голоморфных 1-форм, антиинвариантных относительно $\tau^{\star}$ (см. книгу Мамфорда [65]).

Как правило, авторы наибольшее внимание уделяют случаю, когда $\tau$ не имеет неподвижных точек. В этом случае накрывающее отображение $\pi$ является стандартным, а многообразие Прима представляет собой основным образом поляризованное ${ }^{10}$ абелево многообразие. Здесь нас интересует случай, когда $\tau$ имеет неподвижные точки.

С такой ситуацией мы уже сталкивались в Главах III и IV, она достаточно часто возникает при изучении интегрируемых систем с двумя степенями свободы (кроме примеров, которые изучаются в настоящей книге, следует упомянуть систему Хенона-Хейлеса в работе Герарди [34] и геодезические на квадриках [11]). Это случай двулистного накрытия $\pi: C \rightarrow E$, где $E$ – кривая рода 1 , в то время как $C$ имеет род 3 , так что соответствующая инволюция кривой $C$ имеет четыре неподвижные точки. Абелево многообразие $\operatorname{Prym}(C \mid E)$ является поверхностью.

Следуя работе Хайне [39] по изучению четырехмерного свободного твердого тела, Барс [17] провел достаточно полное исследование геометрии этих абелевых поверхностей. Заметим, что поводом для такой «чисто алгебро-геометрической» работы послужили проблемы из теории интегрируемых систем. Мы рекомендуем читателю ознакомиться с этой замечательной статьей.

Барс показал (и мы будем этим пользоваться), что если абелева поверхность $A$ содержит кривую рода 3 , скажем $D$, то инволюцию $x \mapsto-x$
${ }^{10}$ Многообразие Прима также может быть основным образом поляризовано, если другого выбора нет (когда оно одномерно). Это происходит тогда, когда $X$ имеет род 2, а $\tau$ имеет две неподвижные точки. Мы сталкивались с такой ситуацией (достаточно бегло) в III.3.2.

на $A$ можно ограничить до инволюции на $D$ и, далее, что четыре ее неподвижные точки фактически принадлежат $D$. Фактор кривой $D$ по этой инволюции есть кривая $\mathcal{E}$ рода 1 , а $A$ – кривая, двойственная к $\operatorname{Prym}(D \mid \mathcal{E})$. Это в точности ситуация, изученная Хайне, с которой мы сталкивались в IV.3.4. В этом случае мы имели две кривые $C$ и $D$ рода 3 и две кривые $E$ и $\mathcal{E}$ рода 1 . Мы имели дело с отображением собственных векторов из некоторого множества, которое оказалось открытым подмножеством многообразия $\operatorname{Prym}(D \mid \mathcal{E})$, со значениями в $\operatorname{Prym}(C \mid E)$. Мы отмечали, что две рассматриваемые абелевы поверхности двойственны друг другу. Сейчас мы хотим показать, как этот результат можно вывести из теоремы Барса. Единственное, что остается сделать, – это представить $D$ как подмногообразие $\operatorname{Prym}(C \mid F)$ с фактором $\mathcal{E}$.
5.2. Двойственность между двумя примианами

Предположим, что нам даны четыре различные точки $a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}$ в пространстве $\mathbf{P}^{1}$ и полином $P$ степени 2 . Пусть $b_{1}, b_{2}, b_{3}, b_{4}$ – четыре корня полинома $P(\mu)^{2}-\prod\left(\mu-a_{i}\right)$. Предположим, что все $b_{i}$ различны (это условие на $P$ и на $a_{i}$ ). Рассмотрим двулистное накрытие над $\mathbf{P}^{1}$, разветвленное в точках $a_{i}$. Получаем кривую $\mathcal{E}$ рода 1 . Для простоты воспользуемся уравнением $w^{2}=\prod\left(\mu-a_{i}\right)$. Это означает, что $a_{i}
eq \infty$ для всех $i$. Мы также можем построить кривую $D$, заданную уравнениями
\[
\left\{\begin{array}{c}
w^{2}=\prod\left(\mu-a_{i}\right), \\
v^{2}=-w-P(\mu) .
\end{array}\right.
\]

Имеем двулистное накрытие над кривой $\mathcal{E}$, разветвленное в точках с координатами $(\mu, w)$, такими что $w=-P(\mu)$, т. е. $(\mu, w)=\left(b_{i},-P\left(b_{i}\right)\right)$.

Здесь мы не можем удержаться от следующего замечания: поменяем $a_{i}$ и $b_{i}$ местами. Тогда возникает другая кривая $E\left(z^{2}=P(\mu)^{2}-\right.$ $-\prod\left(\mu-a_{i}\right)$ ) рода 1 и кривая $C$, заданная уравнениями
\[
\left\{\begin{array}{l}
z^{2}=P(\mu)^{2}-\prod\left(\mu-a_{i}\right), \\
y^{2}=-z-P(\mu) .
\end{array}\right.
\]

Кривая $C$ представляет собой двулистное накрытие над $E$, разветвленное в точках $(\mu, z)$, таких что $z=P(\mu)$, другими словами, $(\mu, z)=\left(a_{i},-P\left(a_{i}\right)\right)$. Сделаем дополнительное предположение, что старший коэффициент полинома $P$ не равен 1 , так что ни одно из $b_{i}$ не обращается в бесконечность. Тогда кривая $E$ имеет две точки над $\mu=\infty$, а $C$ имеет четыре точки. Пусть $d_{\infty}$ – дивизор на бесконечности на $C$ (т. е. дивизор полюсов функции $\mu$; он имеет степень 4).

Предложение 5.2.1. Симметрическая степень $C^{(2)}$ содержит вложенную копию кривой $D$.

Замечание. Поскольку $C$ и $D$ симметричны между собой, то верно аналогичное утверждение, в котором эти кривые меняются местами.

Доказательство.
Построим отображение
\[
\begin{aligned}
D & \longrightarrow C^{(2)} \\
(\mu, v, w) & \longmapsto\left(\mu, y_{1},-P(\mu)-y_{1}\right)+\left(\mu, y_{2},-P(\mu)-y_{2}\right) .
\end{aligned}
\]

Здесь $\mu$ одно и то же в обеих частях соответствия, а значения $y_{1}$ и $y_{2}-$ два корня полинома $y^{2}-v \sqrt{2} y-w$ : мы рассматриваем две точки $(\mu, y)$ на $C$, которые удовлетворяют уравнению
\[
\left(P(\mu)+y^{2}\right)^{2}=z^{2}=P(\mu)^{2}-w^{2} .
\]

Тогда $y^{4}+2 y^{2} P(\mu)+w^{2}=0$. Однако поскольку $P(\mu)=-v^{2}-w$, то уравнение можно записать в виде
\[
y^{4}-2 y^{2}\left(v^{2}+w^{2}\right)+w^{2}=0,
\]
T. e.
\[
\left(y^{2}-w\right)^{2}-2 y^{2} v^{2}=0,
\]

другими словами,
\[
\left(y^{2}-v \sqrt{2} y-w\right)\left(y^{2}+v \sqrt{2} y-w\right)=0 .
\]

Итак, если мы знаем $v$ и $w$, то мы можем выбрать из четырех значений $y$ два, которые лежат над $\mu$.

Очевидно, что отображение инъективно: $y_{1}$ и $y_{2}$ определяют
\[
v=\frac{y_{1}+y_{2}}{\sqrt{2}} \quad \text { и } \quad w=-y_{1} y_{2} .
\]

Нам осталось доказать, что кривая $D$ вложена. Этот факт можно вывести из последующих результатов.

Отобразим симметрическое произведение $C^{(2)}$ в $\operatorname{Pic}^{2}(C)$. Как отмечалось в Приложении 4 , образом является гиперповерхность $W_{2}$, так называемый канонический $\Theta$-дивизор. Рассмотрев композицию, получаем отображение $D \rightarrow \operatorname{Pic}^{2}(C)$.
Предложение 5.2.2. Образ крибой $D$ содержится в подмногообразии многообразия $\operatorname{Pic}^{2}(C)$, параллельном $\operatorname{Prym}(C \mid E)$.

Доказательство.
Абелева поверхность $\operatorname{Prym}(C \mid E)$, определяемая как нейтральная компонента антинеподвижных точек инволюции $\tau:(\mu, y, z) \mapsto(\mu,-y, z)$, является подмногообразием $\operatorname{Pic}^{0}(C)$. Рассмотрим $\operatorname{Pic}^{2}(C)$ как однородное пространство относительно действия группы $\operatorname{Pic}^{0}(C)$. Подмногообразие из условия теоремы и параллельное $\operatorname{Prym}(C \mid E)$ представляет собой компоненту $A_{0}$ многообразия
\[
A=\left\{d \in \operatorname{Pic}^{2}(C) \mid \tau(d)=d_{\infty}-d\right\},
\]

которая содержит кривую $D$. Действительно, рассмотрим точку $\left(\mu_{0}, v, w\right)$ кривой $D$ и ее образ $d$. Получаем класс дивизора
\[
\widetilde{d}=\left(\mu_{0}, y_{1}, z_{1}\right)+\left(\mu_{0}, y_{2}, z_{2}\right),
\]

где
\[
\tau(\widetilde{d})=\left(\mu_{0},-y_{1}, z_{1}^{\prime}\right)+\left(\mu_{0},-y_{2}, z_{2}^{\prime}\right) .
\]

Четыре искомые точки – это четыре точки кривой $D$ над $\mu_{0} \in \mathbf{P}^{1}$. Благодаря функции $\mu-\mu_{0}$ имеем
\[
\widetilde{d}+\tau(\widetilde{d}) \sim d_{\infty} .
\]

Образ кривой $D$ лежит в пересечении $W_{2}$ и $A_{0}$. Мы имеем отображение из кривой $D$ рода 3 в абелеву поверхность $A_{0}$. Благодаря формуле присоединения, мы знаем, что кривая $D$ вложена. Рассмотрим инволюцию $A_{0}$, действующую на $D:$ на $\operatorname{Prym}(C \mid E)$ имеем $-x=\tau(x)$. Следовательно, инволюции $x \mapsto-x$ степени 2 в ограничении на $A_{0}$ соответствует инволюция $\tau$. Однако если $y_{1}$ и $y_{2}$ – корни полинома $y^{2}-v \sqrt{2} y-w$, то $-y_{1}$ и $-y_{2}$ – корни полинома $y^{2}+v \sqrt{2} y-w$. Следовательно, $\tau(d)$ образ точки $(\mu,-v, w)$ кривой $D$, а фактор по этой инволюции есть $\mathcal{E}$. Окончательно, с помощью теоремы Барса мы доказали

Предложение 5.2.3. Абелевы поверхности $\operatorname{Prym}(C \mid E)$ и $\operatorname{Prym}(D \mid \mathcal{E})$ двойственны друг другу.
5.3. Если реализуется кривая рода 2

Снова рассмотрим случай двулистного накрытия кривой $C$ рода 3 над кривой $E$ рода 1 , однако теперь четыре точки ветвления накрытия $C \rightarrow E$ суть две пары точек, которые меняются местами при инволюции кривой $E$. Покажем, что тогда можно построить кривую рода 2 , якобиан которой очень похож на $\operatorname{Prym}(C \mid E)$.

Кривая $E$ представляет собой двулистное накрытие над $\mathbf{P}^{1}$, разветвленное в четырех точках $x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}$. Существуют также две точки $y_{1}$ и $y_{2}$, которые являются образами в $\mathbf{P}^{1}$ двух пар точек ветвления накрытия $C \rightarrow E$. Таким образом, мы выделили шесть точек в $\mathbf{P}^{1}$ и хотим рассмореть двулистное накрытие $X$ над $\mathbf{P}^{1}$, разветвленное в этих шести точках, тогда $X$ является кривой рода 2 .

Предложение 5.3.1. Кривая $С$ является нормализацией послойного произведения над $\mathbf{P}^{1}$ кривых $E$ и $X$. В частности, она представляет собой стандартное двулистное накрытие над $X$. Абелева поверхность $\operatorname{Prym}(C \mid E)$ является фактором $\operatorname{Pic}^{0}(X)$ по подгруппе второго порядка, порожденной классом дивизора $y_{1}-y_{2}$.

В этом утверждении $y_{i}$, очевидно, обозначает единственную точку кривой $X$, лежащую над $y_{i} \in \mathbf{P}^{1}$.

Замечание.
1) В этом случае тот факт, что многообразие $\operatorname{Prym}(C \mid E)$ должно иметь поляризацию типа $(1,2)$, очевиден (даже для тех, кто не знает в точности, что это означает).
2) Обратно, если дана кривая $X$ рода 2, то легко построить кривые $C$ и $E$, такие что якобиан кривой $X$ имеет такой же род, что и $\operatorname{Prym}(C \mid E)$ : можно представить $X$ как двулистное накрытие над $\mathbf{P}^{1}$, разветвленное в шести точках (напомним, что все кривые рода 2 являются гиперэллиптическими, см., например, работу Фаркаша и Кра [27]) и разделить множество из шести точек на два подмножества по четыре и две точки соответственно.

Доказательство.
Пусть $C_{0}$ – послойное произведение над $\mathbf{P}^{1}$ кривых $E$ и $X$ :
\[
C_{0}=\{(e, x) \in E \times X \mid p(e)=q(x)\} .
\]

Кривая $C_{0}$ имеет особенности над общими точками ветвления отображений $p$ и $q$, т. е. над $x_{i}$. В любой из этих точек она фактически имеет обычную двукратную точку, как видно из уравнений, и, таким образом, имеет две ветви. Процесс нормализации здесь представляет собой разделение этих двух ветвей. Результирующая нормализованная кривая $\widetilde{C}$ является двулистным накрытием над кривой $E$, разветвленным в точках кривой $E$, которые лежат над $y_{1}$ и $y_{2} \in \mathbf{P}^{1}$ (над каждой точкой $x_{i}$ мы имеем две точки). Таким образом, $\widetilde{C}$ совпадает с $C$; кроме того, $\widetilde{C}$ двулистно накрывает $X$ и не имеет точек ветвления.

Рассматривая две инволюции на $C$, легко проверить, что образы пространств $H^{0}\left(\Omega_{E}^{1}\right)$ и $H^{0}\left(\Omega_{X}^{1}\right)$ – дополнительные векторные подпространства в $H^{0}\left(\Omega_{C}^{1}\right)$ : первое состоит из неподвижных точек инволюции, дающей фактор $E$, а второе – из неподвижных точек инволюции, определяющей $X$. Следовательно, образ $\operatorname{Pic}^{0}(X)$ в $\operatorname{Pic}^{0}(C)$ дополняет образ $\mathrm{Pic}^{0}(E)$. Для завершения доказательства предложения достаточно проверить, что этот образ является фактором $\operatorname{Pic}^{0}(X)$ по правой подгруппе второго порядка, т. е. что эта подгруппа является ядром отображения $Q^{\star}: \operatorname{Pic}^{0}(X) \rightarrow \operatorname{Pic}^{0}(C)$. Это утверждение можно вывести из следующей леммы, которую мы уже использовали в III.2.3.
Лемма 5.3.2. Пусть $Z$ – гладкая кривая, а $\mathcal{D}$ – элемент второго порядка в $\operatorname{Pic}^{0}(Z)$. Пусть $\pi: Y \rightarrow Z$ – стандартное двулистное накрытие, ассоциированное с $\mathcal{D}$. Тогда ядро отображения
\[
\pi^{\star}: \operatorname{Pic}^{0}(Z) \longrightarrow \operatorname{Pic}^{0}(Y)
\]

представляет собой подгрупу, порожденную $\mathcal{D}$.
Отложим на некоторое время доказательство леммы. Для простоты предположим, что $x_{i}, y_{j}
eq \infty \in \mathbf{P}^{1}$. Тогда кривая $X$ имеет две точки $\infty_{+}$и $\infty_{-}$над $\infty \in \mathbf{P}^{1}$. Можно представить (аффинное) уравнение кривой $X$ в виде
\[
u^{2}=\prod_{i=1}^{4}\left(x-x_{i}\right) \prod_{j=1}^{2}\left(x-y_{j}\right) .
\]

Здесь $x$ и $u$ – две мероморфные функции на $X$ и
\[
\left(\left(x-y_{1}\right)\left(x-y_{2}\right)\right)=2\left(y_{1}+y_{2}\right)-2\left(\infty_{+}+\infty_{-}\right) .
\]

Поэтому класс $\mathcal{D}$ линейной эквивалентности дивизора $\left(y_{1}+y_{2}\right)$ $-\left(\infty_{+}+\infty_{-}\right)$есть элемент второго порядка в группе $\operatorname{Pic}^{0}(X)$ и, очевидно, является элементом, который определяет накрытие: $C$ можно рассматривать как риманову поверхность функции $\sqrt{\left(x-y_{1}\right)\left(x-y_{2}\right)}$ над $X$ (другими словами, система уравнений
\[
\left\{\begin{array}{l}
u^{2}=\prod\left(x-x_{i}\right) \prod\left(x-y_{j}\right), \\
v^{2}=\prod\left(x-y_{j}\right)
\end{array}\right.
\]

задает $C_{0}$ ). Имеем:
\[
y_{1}+y_{2}-\infty_{+}-\infty_{-} \sim y_{1}-y_{2}
\]

на $X$, поскольку $2 y_{2}-\infty_{+}-\infty_{-}-$дивизор мероморфной функции $x-y_{2}$.
Доказательство леммы.
Доказательство более или менее очевидно, если воспользоваться теми же идеями, однако мы дадим топологическое доказательство. Множество элементов второго порядка в $\operatorname{Pic}^{0}(Z)$ естественным образом отождествляется с $H^{1}(Z ; \mathbf{Z}) / 2 H^{1}(Z ; \mathbf{Z})$, т. е. с $H^{1}(Z ; \mathbf{Z} / 2)$, или $\operatorname{Hom}\left(\pi_{1}(Z) ; \mathbf{Z} / 2\right)$. Тогда элемент $\mathcal{D}$ второго порядка в $\operatorname{Pic}^{0}(Z)$ определяет накрытие $Y \rightarrow Z$ римановых поверхностей: если $2 \mathcal{D}=(f)$, то кривая $Y$ имеет уравнение $y^{2}=f$ в $\mathbf{C} \times X$. С топологической точки зрения это не что иное как накрытие, определяемое подгруппой $\pi_{1}(Z)$ индекса 2 , которая является ядром представления $\mathcal{D}$ в $\operatorname{Hom}\left(\pi_{1}(Z) ; \mathbf{Z} / 2\right)$. Итак, мы имеем точную последовательность
\[
1 \longrightarrow \pi_{1}(Y) \xrightarrow{\pi_{\star}} \pi_{1}(X) \xrightarrow{D} \mathbf{Z} / 2 \longrightarrow 0,
\]

из которой в силу двойственности вытекает утверждение леммы.
Кривая Ковалевской $X$. В Главе III при исследовании твердого тела в случае Ковалевской мы имели дело с несколькими кривыми:
– с одной стороны, кривая $X$ рода 2 и эллиптическая кривая $\mathcal{E}^{\prime}$ (III.1); следуя Ковалевской, можно выразить решения в терминах $\vartheta$-функций, ассоциированных с $X$,
– с другой стороны, кривая $C$ рода 3 и эллиптическая кривая $E$ (III.2); следуя Бобенко, Рейману и Семенову-Тян-Шанскому, можно выразить решения в терминах $\vartheta$-функций, ассоциированных с $\operatorname{Prym}(C \mid E)$.

Таким образом, должны существовать некоторые связи, более точно, соответствия между этими двумя группами кривых, однако, как нам кажется, они до конца не поняты. Сделаем два замечания.

– Накрытие $C \rightarrow E$ плохо соответствует предложению 5.3.1: точки ветвления в $E$ не меняются местами при эллиптической инволюции (см. III.2.2.1).
– Однако кривая $\mathcal{E}^{\prime}$ является двулистным накрытием над $\mathbf{P}^{1}$, разветвленным в трех корнях $e_{1}, e_{2}, e_{3}$ полинома Ковалевской $\varphi$ и в точке $\infty$, а $X$ имеет уравнение
\[
y^{2}=-2(x-b)(x-c) \varphi(x),
\]

где для простоты введены обозначения $b, c=H \pm \sqrt{K}$ (в обозначениях III.1). Следовательно, кривая $X$ является двулистным накрытием над $\mathbf{P}^{1}$, разветвленным в точках $e_{1}, e_{2}, e_{3}, b, c$ и $\infty$, в частности, в точках ветвления накрытия $\mathcal{E}^{\prime} \rightarrow \mathbf{P}^{1}$. Поэтому можно применить предложение 5.3 .1 к $X$ и $\mathcal{E}^{\prime}$. Получаем кривую $\widetilde{X}$ рода 3 , якобиан которой содержит как $\mathcal{E}^{\prime}$, так и фактор $\operatorname{Pic}^{0}(X) /\langle D\rangle=\operatorname{Prym}\left(\widetilde{X} \mid \mathcal{E}^{\prime}\right)$.