Здесь мы начинаем использовать технику, которая описана во Введении. Мы также отсылаем читателя к обзору Вердьера [84], где эта техника вводится на «простом» ${ }^{3}$ примере симметричного волчка. Этот же пример исследуется или упоминается во всех работах по интегрируемым системам, в частности, в классической работе Адлера и ван Мербеке [2] (по-видимому, уравнения Лакса, которые будут использоваться ниже, впервые выписаны в этой работе) и в работе Ратью и ван Мербеке [73].
2.1. Уравнение Лакса
Используя обозначения из Главы I, более точно из I.2.1, имеем:

Предложение 2.1.1. Дифференциалная система, которая описывает движение волчка Лагранжа, эквивалентна следующей:
\[
\overbrace{\Gamma \lambda^{-1}+M+L \lambda}=\left[\Gamma \lambda^{-1}+M+L \lambda, \Omega+\lambda L\right] .
\]

Доказательство.
Это уравнение было получено из уравнения ( $E^{\prime}$ ) Главы I, а именно
\[
\overbrace{\Gamma+\varepsilon M}^{i}=[\Gamma+\varepsilon M, \Omega+\varepsilon L]
\]
${ }^{3}$ Мы объясним использование кавычек в 2.4 .

при помощи замены $\varepsilon$ на неопределенный коэффициент $\lambda$ (напомним, что $\varepsilon^{2}=0$ ) и сдвигом показателей, для того чтобы придать уравнению надлежащий вид. Единственное, что надо сделать, — это проверить, что коэффициенты при $\lambda^{2}$ и $\lambda$ справа и слева совпадают. Очевидно, что коэффициент при $\lambda^{2}$ в обеих частях равен нулю. Поскольку $L$ является постоянной, то линейный член слева равен нулю. Чтобы утверждать то же самое для правой части, нам необходимо доказать, что $[L, \Omega]+[M, L]=0$, т. е. $(M-\Omega) \times L=0$. В силу предположения о виде матрицы инерции $\mathbf{J}$ получаем, что вектор $M-\Omega$ коллинеарен $L$.

Имея в виду так называемую АКС-теорему (см. Приложение 2), рассмотрим следующие дифференциальные уравнения:
\[
\frac{d}{d t}\left(\Gamma \lambda^{-1}+M+L \lambda\right)=\left[\Gamma \lambda^{-1}+M+L \lambda, M+L \lambda\right],
\]

где матрица $M+L \lambda$ является полиномиальной частью $\Gamma \lambda^{-1}+M+L \lambda$, и
\[
\frac{d}{d t}\left(\Gamma \lambda^{-1}+M+L \lambda\right)=\left[\Gamma \lambda^{-1}+M+L \lambda, L\right],
\]

где матрица $L$ является полиномиальной частью $\lambda^{-1}\left(\Gamma \lambda^{-1}+M+L \lambda\right)$. В Приложении 2 показано, что существуют гамильтоновы уравнения для функций $H^{\prime}$ и $K$ (напомним из 1.1 , что $H^{\prime}=2 H+(1-1 / m) K^{2}$ ): здесь $\mathfrak{g}=\mathfrak{s} o(3)\left[\lambda, \lambda^{-1}\right]$ раскладывается в сумму подалгебр полиномов по переменным $\lambda$ и $\lambda^{-1}$, а инвариантные функции суть $\operatorname{tr}\left(A^{2}\right) / 2$ и $\lambda^{-1} \operatorname{tr}\left(A^{2}\right) / 2$, соответственно. Две матрицы $M+L \lambda$ и $L$ являются соответствующими градиентами этих двух функций в точке $(\Gamma, L)$.
2.2. Спектральная кривая

Уравнение Лакса из предложения 2.1.1, как и любое уравнение Лакса, описывает изоспектральные вариации матрицы. Таким образом, коэффициенты характеристического полинома являются первыми интегралами. Кроме того, в силу сделанного выше замечания и согласно АКСтеореме (Приложение 2), функции $H^{\prime}$ и $K$ коммутируют на орбите $\mathbf{O}_{c}$. В I.2.1 было показано, что $H$ и $K$ коммутируют. Эти два утверждения эквивалентны, так как $H^{\prime}$ является линейной комбинацией $H$ и $K^{2}$.

Уравнение спектральной кривой имеет вид
\[
\operatorname{det}\left(\Gamma \lambda^{-1}+M+L \lambda-\mu I\right)=0,
\]

где вектор $\Gamma \lambda^{-1}+M+L \lambda$ рассматривается как кососимметричная матрица. Таким образом, 0 является собственным значением, а характеристический полином записывается в виде $\mu\left(\mu^{2}+Q(\lambda)\right)$, где
\[
\begin{aligned}
Q(\lambda) & =\left\|\Gamma \lambda^{-1}+M+L \lambda\right\|^{2} \\
& =-\frac{1}{2} \operatorname{tr}\left(\Gamma \lambda^{-1}+M+L \lambda\right)^{2} \\
& =\lambda^{-2}+2 M \cdot \Gamma \lambda^{-1}+\|M\|^{2}+2 \Gamma \cdot L+2 M \cdot L \lambda+\lambda^{2} .
\end{aligned}
\]

Сдвиг в показателях степеней $\lambda$ показывает, что два кинетических момента $c=M \cdot \Gamma$ и $K=M \cdot L$ играют одинаковую роль. Если наша точка $(M, \Gamma)$ принадлежит уровню $\left(h^{\prime}, k\right)$ интегралов $\left(H^{\prime}, K\right)$ на орбите $\mathbf{O}_{c}$, то
\[
Q(\lambda)=\lambda^{-2}+2 c \lambda^{-1}+h^{\prime}+2 k \lambda+\lambda^{2} .
\]

Очевидно, коэффициенты являютея исходными первыми интегралами (мы не получили ничего нового!). Уравнение спектральной кривой с индексом $\left(h^{\prime}, k\right)$ (или с соответствующим индексом $(h, k)$ ) имеет вид
\[
\mu\left(\mu^{2}+Q(\lambda)\right)=0 .
\]

Более удобно ${ }^{4}$ использовать аффинную кривую $X_{0}$ :
\[
\mu^{2}+\lambda^{-2}+\lambda^{2}+2\left(c \lambda^{-1}+k \lambda\right)+h^{\prime}=0 .
\]

Фактически мы хотим использовать кривую, пополненную и нормализованную в точках $\lambda=0$ и $\lambda=\infty$ (см. П.4.1). Обычно считается, что уравнение (6) задано в пространстве $\mathbf{P}^{1} \times \mathbf{P}^{1}$ : две переменные $\lambda$ и $\mu$ пополняются независимо. Например, при $\lambda=\infty$ кривая имеет две ветви, которые являются чисто мнимыми и сопряженными, так что
${ }^{4} \mathrm{Ha}$ этом пути мы игнорируем компоненту рода 0 и ее точки пересечения с $X_{0}$, которые могли бы дать некомпактные слагаемые в (обобщенном) якобиане всей спектральной кривой. Это не так уж страшно, однако пришлось бы воспользоваться другим подходом (см. работу Адлера и ван Мербеке [2]). К тому же процесс не вполне безобидный (см. 2.4).

гладкее пополнение имеет две (мнимые сопряженные) точки $a_{-}$и $b_{-}$ над $\lambda=\infty(\lambda=\infty, \mu= \pm i \infty)$. Случай $\lambda=0$ рассматривается аналогично. Обозначим соответствующие точки через $a_{+}$и $b_{+}$. Эта гладко пополненная кривая является двулистным накрытием пространства $\mathbf{P}^{1}$, разветвленным в четырех корнях полинома $\lambda^{2} Q(\lambda)$. Таким образом, получаем кривую рода 1 , которую будем называть спектральной кривой и обозначать через $X$.

Мы уже знаем, что в нашей задаче должна возникнуть эллиптическая кривая (см. 1.1). Связь между двумя кривыми $\mathcal{C}$ и $X$ будет обсуждаться в 2.4 .
2.3. Отображение собственных векторов

Спектральная кривая дает нам некоторую информацию (фактически всю) о (ненулевых) собственных значениях матрицы Лакса $A_{\lambda}$. Рассмотрим ее собственные значения. Если $(\lambda, \mu) \in X$, то, вообще говоря, $A_{\lambda}$ имеет собственную прямую с собственным значением $\mu$. Это утверждение неверно ровно в четырех точках, в которых $\mu=0$. Однако в этих точках существует предельная прямая. Более точно:

Предложение 2.3.1. Если кривая $X$ является гладкой, то существует комплексное векторное расслоение степени -4 над $X$, причем в точке $(\lambda, \mu)(\mu
eq 0)$ слой представляет собой собственное подпространство матрицы Лакса $A_{\lambda}$, соответствующее собственному значению $\mu$.

Это предложение непосредственно следует из общего результата П.3.1.1. Утверждение относительно степени может быть получено как следствие теоремы Гротендика-Римана-Роха (см. П.4.1). Доказательство слегка отличается от приведенного в Приложении 3 , поскольку сумма двух собственных подпространств, соответствующих двум различным значениям $\mu$ над данным $\lambda$, не совпадает со всем пространством $\mathbf{C}^{3}$ : мы отбросили ядро $A_{\lambda}$. В любом случае мы будем искать в явном виде дивизор ${ }^{5}$, представляющий это расслоение, так что утверждение о степени становится очевидным.
${ }^{5} \mathrm{C}$. Приложение 4 и ссылки, приведенные там, относительно дивизоров, линейных расслоений и групп Пикара.

редложение 2.3.2. Пусть $a_{-}$и $b_{-}$- две точки кривой $X$ над $\lambda=\infty \in \mathbf{P}^{1}$, и пусть $R_{ \pm}$- две точки кривой $X$, заданные условием
\[
\lambda\left(R_{ \pm}\right)=-\frac{\gamma_{1} \mp i \gamma_{2}}{u \mp i v}, \quad \mu\left(R_{ \pm}\right)= \pm i\left(\gamma_{3} \lambda\left(R_{ \pm}\right)^{-1}+w+\lambda\left(R_{ \pm}\right)\right) .
\]

Тогда существует нигде не обращающееся в нуль сечение расслоения собственных векторов, дивизор полюсов которого равен $R_{+}+R_{-}+$ $+a_{-}+b_{-}$.

Это утверждение необходимо нам, чтобы закончить доказательство предложения 2.3.1. Докажем его.
Доказательство.
Рассмотрим кососимметричную матрицу
\[
A=\left(\begin{array}{ccc}
0 & -z & y \\
z & 0 & -x \\
-y & x & 0
\end{array}\right) .
\]

Если $\mu-$ собственное значение матрицы $A$, т. е. $\mu^{2}+x^{2}+y^{2}+z^{2}=0$, то
\[
V=\left(\begin{array}{c}
\frac{-x z-\mu y}{x^{2}+y^{2}} \\
\frac{-y z+\mu x}{x^{2}+y^{2}} \\
1
\end{array}\right)
\]

является собственным вектором матрицы $A$, отвечающим значению $\mu$. Этот вектор нигде не обращается в нуль, поскольку его третья компонента всегда отлична от нуля. Если $A$ есть матрица $\Gamma \lambda^{-1}+M+L \lambda$, то она определяет не обращающееся в нуль сечение $V(\lambda, \mu)$ расслоения собственных векторов. Нам остается рассмотреть полюсы $V(\lambda, \mu)$, т. е. точки $(\lambda, \mu) \in X$, в которых либо первая, либо вторая координата обращаются в бесконечность.
Легко проверить, что
\[
\left(f_{+}=\frac{\mu+i z}{x-i y}, \quad f_{-}=\frac{\mu-i z}{x+i y}\right)
\]

— базис комплексного векторного пространства, порожденного
\[
\frac{-x z-\mu y}{x^{2}+y^{2}} \quad \text { и } \quad \frac{-y z+\mu x}{x^{2}+y^{2}} .
\]

Таким образом, нам остается найти полюсы функций $f_{+}$и $f_{-}$. Эти функции отличаются знаком перед $i$, поэтому достаточно найти полюсы функции $f_{+}$. Знаменатель функции $f_{+}$обращается в нуль при $x-i y=\left(\gamma_{1}-i \gamma_{2}\right) \lambda^{-1}+(u-i v)=0$, другими словами, при $\lambda=-\left(\gamma_{1}-i \gamma_{2}\right) /(u-i v)$. Этому значению $\lambda$ соответствуют два значения $\mu$; для одного из них числитель также обращается в нуль. Напомним, что
\[
(\mu+i z)(\mu-i z)+(x+i y)(x-i y)=0 .
\]

Мы получили точку $R_{+}$из нашего утверждения. Это простой полюс функции $f_{+}$. Аналогично, $R_{-}$- это простой полюс функции $f_{-}$.

Числитель $\mu+i\left(\gamma_{3} \lambda^{-1}+w+\lambda\right)$ стремится к бесконечности при $\lambda=0$ или $\lambda=\infty$. При $\lambda=0$ знаменатель также обращается в бесконечность. Таким образом, точки $a_{-}$и $b_{-}$являются простыми полюсами функций $f_{+}$и $f_{-}$и, следовательно, полюсами первых двух координат собственного вектора.

Замечание. Так как $\mu^{2}+x^{2}+y^{2}+z^{2}=0$, имеем $f_{+} f_{-}=-1$. Поэтому полюсы функции $f_{+}$являются нулями функции $f_{-}$и, в частности, $R_{+}+a_{-} \sim R_{-}+b_{-}$(это отношение линейной эквивалентности, см. Приложение 4).

Значение $\left(h^{\prime}, k\right.$ ) первых интегралов определяет как кривую $X$, так и поверхность уровня с индексом ( $h^{\prime}, k$ ) (в качестве индекса можно использовать саму кривую $X$ ). Обозначим эту поверхность уровня через $\mathcal{T}_{X}$. То, что мы определили, можно рассматривать как отображение, отображение собственных векторов
\[
f_{X}: \mathcal{T}_{X} \longrightarrow \operatorname{Pic}^{4}(X)
\]

которое с каждой точкой ( $\Gamma, M$ ) уровня $\mathcal{T}_{X}$ связывает линейное расслоение, двойственное расслоению собственных векторов. Тем самым определено линейное расслоение, слоем которого в точке $(\lambda, \mu) \in X$ является собственная (сопряженная) прямая матрицы $\Gamma \lambda^{-1}+M+L \lambda$,

отвечающая собственному значению $\mu$. Теперь мы имеем явного представителя из класса образа.

Наиболее классическое применение построенного отображения это линеаризация потоков.

Предложение 2.3.3. Отображение $f_{X}$ линеаризует потоки интегралов $H^{\prime}, K$ и .

Доказательство основано на непосредственном применении общего утверждения о линеаризации П.3.3.2.

Другое возможное применение заключается в определении регулярных значений. В его основе лежит предложение П.3.2.3. Коциклы, связанные с функциями $H^{\prime}$ и $K$ в силу этого предложения, определяются значениями $\mu$ и $\mu \lambda^{-1}$, соответственно. Легко проверить, что функция $\mu \lambda^{-1}$ голоморфна в окрестности $\lambda=\infty$, так что она определяет нулевой класс в одномерном векторном пространстве $H^{1}\left(X ; \mathcal{O}_{X}\right)$, которое является касательным пространством к $\operatorname{Pic}^{4}(X)$. Это означает, что $X_{K}(\Gamma, M)$ принадлежит ядру касательного отображения $T_{(\Gamma, M)} f_{X}$. Фактически это векторное поле порождает ядро, поскольку $\mu$ является ненулевым элементом в группе когомологий. Таким образом, векторы $X_{H^{\prime}}$ и $X_{K}$ независимы. Мы доказали следующее

Предложение 2.3.4. Если комп.ексная кривая $X$ является гладкой, то точка $(h, k) \in \mathbf{C}^{2}$ — регулярное значение отображения момента $(H, K)$ на орбите $\mathbf{O}_{c}$.

Это утверждение будет дополнено (словами «только если» и «вещественный») в предложении 2.5.1. Заметим, тем не менее, что очень легко узнать, является ли кривая гладкой: это так, в точности когда четыре корня полинома $\lambda^{2} Q(\lambda)$ различны.

Замечание. Если мы не хотим использовать симметрии задачи, то в качестве альтернативы можно заменить якобиан кривой $X$ двумерным якобианом, как поступили Гаврилов и Живков [33]. Заметим, что член наивысшей степени в матрице Лакса $A_{\lambda}$ — это $L$, постоянная матрица. Поэтому сушествует изоморфизм слоев расслоения собственных векторов в точках $a_{-}$и $b_{-}$. Таким образом, отображение собственных векторов
\[
f_{X}: \mathcal{T}_{X} \longrightarrow \operatorname{Pic}^{4}(X)
\]

факторизуется с помощью множества классов изоморфизмов линейных расслоений $E \rightarrow X$ с изоморфизмом $E_{a_{-}} \rightarrow E_{b_{-}}$. Это не что иное как якобиан особой кривой $X_{s}$, полученной из $X$ отождествлением $a_{-}$и $b_{-}$, а это есть расширение $\operatorname{Pic}(X)$ мультипликативной группой $\mathbf{C}^{\star}$. Мы не будем здесь использовать обобщенные якобианы: якобиан кривой $X$ проще и будет достаточным для наших целей.
2.4. Дальнейшие комментарии и свойства

В действительности, «простой» пример оказывается не таким уж простым. Это происходит по нескольким причинам.

Во-первых, поток интеграла $K$ является периодическим и порождает группу вращений вокруг оси. Следовательно, циклическая группа $\mathcal{R}$ действует на всей системе и кажется разумным рассмотреть редуцированную систему, которая получается факторизацией по $\mathcal{R}$ (см. 1.2). Однако уравнение Лакса описывает нередуцированную систему.

Кроме того, уравнение Лакса задано на $\mathfrak{s o}(3)\left[\lambda, \lambda^{-1}\right]$, и кососимметричная матрица размера $3 \times 3$ всегда имеет собственное значение 0 . Спектральная кривая, которую мы используем, является единственной неприводимой компонентой кривой, определенной характеристическим полиномом. Здесь возникают технические проблемы. Например, сумма собственных подпространств, соответствующих данному $\lambda$, не совпадает со всем пространством $\mathbf{C}^{3}$. Выражаясь техническим языком, прямой образ $\lambda_{\star} L$ расслоения собственных векторов $L$ на $\mathbf{P}^{1}$ не является тривиальным пучком плоскостей. Также $h^{0}(L)=2$, поэтому достаточно трудно строить наше пространство $\mathbf{C}^{3}$, исходя из векторного расслоения $L$ (это одно из самых непонятных положений в работе Вердьеpa [84]).

Замечание. Спектральную кривую легко сделать неприводимой, если использовать $\mathfrak{s} u(2)$ вместо $\mathfrak{s} o(3)$ (мы сделаем нечто аналогичное в Главе III; см. также работу Гаврилова и Живкова [33]).

По тем же причинам не так очевидна связь между топологическими аспектами (регулярные уровни) и кривой $X$. Следует отметить, что лучшие работы ${ }^{6}$, посвященные этой тематике, либо недостаточно
6Даже работы Оден и Силола [15] и французская версия «Toupies» настоящей

точны, либо неверны по этому вопросу. Неверно, что $\mathcal{T}_{X} / \mathcal{R}$ является вещественной частью $X$ (которая пуста), а также неверно, что $\mathcal{T}_{X} / \mathcal{R}$ является вещественной частью якобиана (так как якобиан имеет две связные компоненты, а $\mathcal{T}_{X} / \mathcal{R}$ связно). Неверно, что $f_{X}$ определяет изоморфизм (в какой категории?) факторпространства $\mathcal{T}_{X} / \mathcal{R}$ на свой образ. Приведем точное утверждение.
Теорема 2.4.1. Пусть $\mathcal{R}$ — группа вращений вокруг оси волчка. Если комплексная кривая $X$ является гладкой, то отображение $f_{X}: \mathcal{T}_{X} \rightarrow$ $\rightarrow \operatorname{Pic}^{4}(X)$ задает связное двулистное накрытие $\mathcal{T}_{X} / \mathcal{R}$ над одной из двух компонент $\operatorname{Pic}^{4}(X)_{\mathbf{R}}$.

Доказательство.
Вещественная структура $S$ многообразия $\operatorname{Pic}^{d}(X)$ задается комплексным сопряжением на $X$ : она определяет инволюцию на множестве дивизоров и, после соответствующей факторизации, антиголоморфную инволюцию $S$ на $\operatorname{Pic}^{d}(X)$ (см. Приложение 4). Например, дивизор $a_{-}+b_{-}$состоит из точек ( $\infty, \pm i \infty$ ) в $X$ и, таким образом, инвариантен относительно $S$, т. е. является вещественным. Так как этот дивизор постоянный, то мы ничего не потеряем, если заменим $f_{X}: \mathcal{T}_{X} \rightarrow \operatorname{Pic}^{4}(X)$ отображением
\[
\begin{aligned}
\mathcal{T}_{X} & \longrightarrow \operatorname{Pic}^{2}(X) \\
(\Gamma, M) & \longmapsto\left[R_{+}+R_{-}\right],
\end{aligned}
\]

которое мы также будем обозначать через $f_{X}$ и считать заданным на комплексной поверхности уровня $\mathcal{T}_{X}^{\mathrm{C}}$ (Г и $M$ могут принимать комплексные значения, удовлетворяющие тем же уравнениям). Тогда $f_{X}$ является вещественным отображением в том смысле, что оно сохраняет вещественные структуры: так как
\[
R_{ \pm}(\bar{\Gamma}, \bar{M})=\overline{R_{\mp}(\Gamma, M)},
\]

то справедливо $f_{X}(\bar{\Gamma}, \bar{M})=S f_{X}(\Gamma, M)$. В частности, $f_{X}$ отображает вещественный уровень $\mathcal{T}_{X}$ на вещественную часть (множество неподвижных точек инволюции $S$ ) многообразия $\operatorname{Pic}^{2}(X)_{\mathbf{R}}$. Вспомним теперь, что для вещественной кривой $X$ рода 1 без вещественных то-
книги!

чек, $\operatorname{Pic}^{2 d}(X)$ представляет собой вещественную кривую рода 1 , изоморфную $X$ над $\mathbf{C}$, вещественная часть которой состоит из двух связных компонент (см. следствие П.4.5.2). Заметим теперь, что образ отображения $f_{X}$ содержится в одной ${ }^{7}$ из компонент. Определим отображение
\[
\begin{aligned}
g: X & \longrightarrow \operatorname{Pic}^{2}(X) \\
P & \longmapsto[P+\bar{P}] .
\end{aligned}
\]

Поскольку комплексная кривая $X$ связна, а $g$ — непрерывное отображение, то ее образ должен быть связным. Так как он содержится в вещественной части, то совпадает с одной из двух компонент, скажем $C$, многообразия $\operatorname{Pic}^{2}(X)_{\mathbf{R}}$. Однако, если $(\Gamma, M) \in \mathcal{T}_{X}^{\mathbf{R}}$, то $f_{X}(\Gamma, M)=g\left(R_{+}(\Gamma, M)\right.$ ). Следовательно, образ вещественной части содержится в образе $g$ и попадает только в одну компоненту.

Зафиксируем точку $D=\left[R_{+}+R_{-}\right]$из образа. Найдем все $(\Gamma, M) \in \mathcal{T}_{X}$, такие что $f_{X}(\Gamma, M)=D$.

Заметим сначала, что $R_{+}$определяет ( $\Gamma, M$ ) с точностью до потока $K$. Зная, что
\[
\lambda=-\frac{\gamma_{1}-i \gamma_{2}}{u-i v}
\]

а $\mu=i\left(\gamma_{3} \lambda^{-1}+K+\lambda\right)$, можно найти $\gamma_{3}$. Тогда оба выражения $\left|\gamma_{1}-i \gamma_{2}\right|^{2}=$ $=1-\gamma_{3}^{2}$ и $|u-i v|^{2}$ известны благодаря $H^{\prime}$ и $\operatorname{Re}\left[\left(\gamma_{1}-i \gamma_{2}\right)(u+i v)\right]$, которое равно $c$. Таким образом, $\gamma_{1}-i \gamma_{2}$ и $u-i v$ известны с точностью до умножения на (одно и то же) число $e^{i \theta}$, и мы окончательно находим класс элемента ( $\Gamma, M$ ) в $\mathcal{T}_{X} / \mathcal{R}$.

Для того чтобы доказать, что накрытие двулистно, достаточно найти одну точку в образе, прообраз которой состоит из двух точек факторпространства $\mathcal{T}_{X} / \mathcal{R}$. Рассмотрим класс $D$ дивизора $a_{-}+b_{-}$в $\operatorname{Pic}^{2}(X)$. Тогда для отображения $и$ Абеля-Якоби имеем:
\[
u^{-1}(D)=\{P+\tau P \mid P \in X\} \subset X^{(2)},
\]

где $\tau$ — эллиптическая инволюция $(\lambda, \mu) \mapsto(\lambda,-\mu)$ кривой $X$, а $X^{(2)}-$ ее симметрический квадрат (см. Іриложение 4). Легко проверить (мы
${ }^{7}$ Мы пока что не хотим воспользоваться тем фактом, что уровень $\mathcal{T}_{X}$ связен.

оставляем это читателю в качестве упражнения), что прообраз дивизоpa $D$ в $\mathcal{T}_{X} / \mathcal{R}$ состоит из точек ( $\Gamma, M$ ), которые отображаются в $R_{+}+R_{-}$, где
\[
R_{+}=\left(-\frac{1}{\alpha}, i\left(-\gamma_{3} \alpha+k-\frac{1}{\alpha}\right)\right) \quad \text { и } \quad R_{-}=\tau R_{+} .
\]

Здесь $\gamma_{3}$ — один из корней $x_{3}$ или $x_{2}$ полинома $f$ из уравнения (3), а
\[
\alpha=\frac{c-k \gamma_{3}}{1-\gamma_{3}^{2}} .
\]

Два значения элемента $R_{+}$, определенные этим способом, соответствуют двум классам точки ( $\Gamma, M$ ) по модулю $\mathcal{R}$, которые отображаются на класс $R_{+}+R_{-}$. Следовательно, наше накрытие двулистно. Фактически $\mathcal{T}_{X} / \mathcal{R}$ снабжено инволюцией, заданной в соответствии с замечанием после доказательства предложения 2.3.2, так что
\[
\left\{\begin{array}{l}
R_{+}+R_{-} \sim D, \\
R_{+}-R_{-} \sim a_{-}-b_{-}
\end{array}\right.
\]

и точка $R_{+}$корректно определена с точностью до элемента порядка 2 . Существуют три ненулевых элемента порядка 2 в группе $\operatorname{Pic}^{0}(X)$, однако, каю видно из предыдущего примера, только один из них переводит точку $R_{+}(\Gamma, M)$ в точку $R_{+}\left(\Gamma^{\prime}, M^{\prime}\right)$ того же вида. Тем самым определена инволюция $\sigma$ на $\mathcal{T}_{X} / \mathcal{R}$.

Утверждение о нетривиальности накрытия есть следствие того факта, что уровни $\mathcal{T}_{X}$ связны, а это мы уже доказали в 1.2 и 1.3 и еще раз докажем в 2.6. Тем не менее, для доказательства этого факта предпочтительнее использовать отображение собственных векторов. Рассуждение с накрытиями более деликатно.

Замечание.
— На рис. 8 показано преобразование, индуцированное инволюцией $\sigma$ на $\gamma_{3}$ (кривая $y^{2}=f(x)$ представляет собой две вещественные компоненты кривой $X$, т. е. многообразия $\operatorname{Pic}^{2}(X)$, см. Приложение 4). Элементы порядка 2 — это точки с координатами $\left(x_{i}, 0\right)$, причем именно точка с координатой $\left(x_{1}, 0\right)$ позволяет перейти от $R_{+}$к $R_{-}$.

Рис. 8.
— Доказательство показывает, что комплексифицированное отображение
\[
f_{X}^{\mathbf{C}}: \mathcal{T}_{X}^{\mathbf{C}} / \mathcal{R}^{\mathbf{C}} \longrightarrow \operatorname{Pic}^{2}(X)
\]

многообразия $\mathcal{T}_{X}^{\mathbf{C}} / \mathcal{R}^{\mathbf{C}}$ на свой образ имеет степень 4.
2.5. Регулярные и критические значения

Спектральная кривая $X$ описывает (ненулевые) собственные значения кососимметричной матрицы $A_{\lambda}=\Gamma \lambda^{-1}+M+L \lambda$. Комплексная кривая $X_{\mathbf{C}}$ является гладкой, в точности когда полином $\lambda^{2} Q(\lambda)$ не имеет кратных корней. Сейчас мы сформулируем более полное утверждение, чем утверждение 2.3.4 (с доказательством) о регулярных значениях отображения $\left(H^{\prime}, K\right)$. В частности, заметим, что в этом случае $X$ не имеет вещественных точек: $Q(\lambda)=\left\|\Gamma \lambda^{-1}+M+L \lambda\right\|^{2}>0, X_{\mathbf{R}}=\emptyset$.
Предложение 2.5.1. Точка $(h, k) \in \mathbf{R}^{2}$ является регулярным значением отображения момента $(H, K)$ на орбите $\mathbf{O}_{c}$ тогда и только тогда, когда соответствующая комплексная кривая $X_{\mathbf{C}}$ является гладкой.

Доказательство.
По определению, комплексная кривая $X_{\mathrm{C}}$ является гладкой в точках $\lambda=0$ и $\lambda=\infty$, причем она особа тогда и только тогда, когда полином $\lambda^{2} Q$ имеет кратный корень. Это вещественный полином четвертой степени, неотрицательный для вещественных значений $\lambda$. Если он имеет кратные корни, то они могут быть либо двукратными вещественными, либо двукратными комплексно-сопряженными корнями.

Более того, полином имеет двукратный вещественный корень тогда и только тогда, когда он имеет хотя бы один вещественный корень, т. е. если
\[
\exists \lambda \in \mathbf{R} \mid \Gamma \lambda^{-1}+M+L \lambda=0 .
\]

Он имеет два двукратных комплексно-сопряженных корня тогда и только тогда, когда он является квадратом неприводимого вещественного полинома, т. е. тогда и только тогда, когда
\[
\begin{aligned}
\lambda^{2} Q & =1+2 c \lambda+h^{\prime} \lambda^{2}+2 k \lambda^{3}+\lambda^{4} \\
& =\left(1+c \lambda+\lambda^{2}\right)^{2} .
\end{aligned}
\]

Это может быть выполнено лишь в том случае, если
\[
\left\{\begin{aligned}
h^{\prime} & =c^{2}+2, \\
k & =c,
\end{aligned}\right.
\]

где $c^{2}-4<\mathbf{0}$, поскольку два двукратных корня не являются вещественными.

Рассмотрим поверхность уровня интегралов $(H, K)$. Мы находимся на орбите $\mathbf{O}_{c}$ :
\[
\left\{\begin{aligned}
\|\Gamma\|^{2} & =1, \\
\Gamma \cdot M & =c
\end{aligned}\right.
\]

и хотим вынснить, когда функции
\[
\left\{\begin{array}{l}
H(\Gamma+\varepsilon M)=\frac{1}{2} \Omega \cdot M+\Gamma \cdot L, \\
K(\Gamma+\varepsilon M)=L \cdot M
\end{array}\right.
\]

независимы. Мы уже вычислили градиенты (см. I.2.1):
\[
\begin{array}{l}

abla_{\Gamma+\varepsilon M} H=\Omega+\varepsilon L, \\

abla_{\Gamma+\varepsilon M} K=L .
\end{array}
\]

Относительно той же самой инвариантной билинейной формы градиенты двух функций, которые задают орбиту $\mathbf{O}_{c}$, очевидно, равны $\varepsilon \Gamma$ и $\Gamma+\varepsilon M$ соответственно. Вопрос о регулярности поверхностей уровня эквивалентен вопросу о ранге матрицы размера $6 \times 4$ :
\[
\left(\begin{array}{llll}
0 & \Gamma & \Omega & L \\
\Gamma & M & L & 0
\end{array}\right),
\]

а его нетрудно найти. Воспользовавшись коллинеарностью векторов $M-\Omega$ и $L$ или заменяя $H$ на $H^{\prime}$, получаем, что ранг этой матрицы равен рангу матрицы
\[
\left(\begin{array}{llll}
0 & \Gamma & M & L \\
\Gamma & M & L & 0
\end{array}\right) .
\]

Утверждение, что ранг не максимален, эквивалентно утверждению, что три вектора $\Gamma, M, L$ пространства $\mathbf{R}^{3}$ зависимы.
1) Если векторы $L, \Gamma, M$ коллинеарны — ось волчка, а также кинетический момент вертикальны — то нашу матрицу можно записать в виде
\[
\left(\begin{array}{cccc}
0 & \Gamma & s \Gamma & t \Gamma \\
\Gamma & s \Gamma & t \Gamma & 0
\end{array}\right)
\]

для некоторых вещественных чисел $s$ и $t$. В этой точке отображение момента $(H, K)$ имеет нулевой ранг и принимает значение
\[
h=\frac{c^{2}}{2 m}+\eta, \quad k=c \eta \quad \text { при } \eta= \pm 1
\]

или
\[
\left\{\begin{aligned}
h^{\prime} & =c^{2}+2 \eta, \\
k & =c \eta
\end{aligned}\right.
\]

в соответствии с предыдущей формулой. Для $\eta=1$ и $c<2$ в этой точке многочлен $\lambda^{2} Q$ имеет два комплексно-сопряженных двукратных корня.
2) Если три вектора порождают двумерное подпространство в $\mathbf{R}^{3}$, то имеем два линейных соотношения
\[
\beta \Gamma+\gamma M+\delta L=0
\]

Рис. 9. Отображение момента $\left(H^{\prime}, K\right)$ для симметричного волчка

и
\[
\alpha \Gamma+\beta M+\gamma L=0,
\]

которые выражают тот факт, что ранг $<4$. Если поделить первое соотношение на $\gamma$, а второе на $\beta$, то получим систему
\[
\left\{\begin{array}{l}
a \Gamma+M+\lambda L=0, \\
b \Gamma+M+a^{-1} L=0 .
\end{array}\right.
\]

Следовательно, $a=\lambda^{-1}$ и существует вещественное число $\lambda$, такое что $\Gamma \lambda^{-1}+M+L \lambda=0$. Другими словами, $\lambda^{2} Q$ имеет вещественный (двукратный) корень, и ранг отображения момента равен 1.

На рис. 9 показан образ отображения момента (его регулярные и критические значения) для $c \geqslant 0$ (отсюда легко вывести случай $c \leqslant 0$ : если поменять знак у $M$, то $c$ изменится на $-c, K$ на $-K$, а $\|\Gamma\|^{2}, H^{\prime}$ и $H$ не изменятся). Две выделенные точки на каждой диаграмме изображают значения ( $\left.H^{\prime}, K\right)$, в которых полином имеет два двукратных корня, а кривая соответствует одному вещественному двукратному корню. Заметим, что на нижней левой диаграмме одна из выделенных точек лежит внутри образа, а не на критической кривой: это соответствует двум комплексным двукратным корням, а также особой кривой $X_{\mathbf{C}}$ с гладкой (в действительности, пустой) вещественной частью. Предложение 2.5.1 связывает гладкость вещественных поверхностей уровня с гладкостью комплексной кривой.
2.6. Особенности

Объясним, как были получены диаграммы на рис. 9 , и дадим некоторые комментарии относительно образа, особых значений и критических поверхностей уровня.

Дискриминант. Эти диаграммы суть не что иное как сечения дискриминанта всех полиномов степени 4 (ласточкин хвост). Дискриминантная кривая параметризуется двукратным корнем $t$. Действительно, запишем: $\lambda^{2} Q(\lambda)=(\lambda-t)^{2}\left(\lambda^{2}+a \lambda+b\right)$, откуда
\[
\left\{\begin{array}{c}
H^{\prime}=t^{2}-4 c t^{-1}-3 t^{-2}, \\
K=-t+c t^{-2}+t^{-3} .
\end{array}\right.
\]

Получаем две ветви при $t<0$ и $t>0$. Замена $c$ на $-c$ меняет эти ветви местами, так что снова достаточно рассмотреть случай $c \geqslant 0$. Две ветви пересекаются, когда $\lambda^{2} Q$ имеет два вещественных двукратных корня, т. е. когда $t^{2}-c t+1=0$ (в этом случае две ветви пересекаются в точке $\left(H^{\prime}, K\right)=\left(c^{2}-2,-c\right)$ ) и когда $t^{2}+c t+1=0$ (в этом случае одна из ветвей имеет точку самопересечения $\left(H^{\prime}, K\right)=\left(c^{2}+2, c\right)$ при $c^{2}-4 \geqslant 0$ ).

При $c^{2}-4<0$ два корня уравнения $t^{2}+c t+1=0$ являются двукратными корнями полинома $\lambda^{2} Q$, которые соответствуют вещественным значениям $\left(c^{2}+2, c\right.$ ) отображения момента ( $\left.H^{\prime}, K\right)$.

Образ отображения момента. Поскольку орбита $\mathbf{O}_{c}$ является связной, то образ отображения момента также связен. Для того чтобы доказать, что этот образ действительно имеет вид, изображенный на рис. 9, нам необходимо лишь проверить, что в любой заштрихованной компоненте дополнения к дискриминанту найдется точка, которая не может принадлежать образу. Это легко сделать, используя тот факт, что $H^{\prime} \geqslant-2$ и что $\lambda^{2} Q$ не может иметь вещественного трехкратного корня для вещественных значений $\Gamma$ и $M$.

Критические поверхности уровня общего вида. В данном случае задача описания бифуркаций торов Лиувилля решается достаточно просто. Единственное, что нужно понять, — это как пересечь границу образа. Точки общего положения (т. е. точки, не являющиеся выделенными) границы образа соответствуют критическим поверхностям уровня, которые представляют собой окружности.

Это можно проверить непосредственно. Если $t \in \mathbf{R}$ — параметр точки на дискриминантной кривой, то $\Gamma+t M+t^{2} L=0$, откуда $\gamma_{3}=-t K-t^{2}$, вектор $\Gamma$ описывает соответствующую параллель на единичной сфере и $\gamma_{1}+t u=\gamma_{2}+t v=0$ определяет единственный вектор $M$, который зависит от $\Gamma$. Следовательно, критический уровень является окружностью.

Однако это утверждение следует также из алгебро-геометрического описания, приведенного в 1.2: мы имеем расслоение со слоем окружность над овалом, а овал вырождается в особую точку. На рис. 7 это означает, что сферический пояс становится тоньше и тоньше, а затем превращается в окружность.

Заметим, что прямое доказательство показывает, что эти уровни (и, следовательно, все непустые уровни) являются связными.

Точки типа центр-центр и фокус-фокус. Выделенные точки на рис. 9 соответствуют слоям, содержащим точку, в которой отображение момента
\[
\left(H^{\prime}, K\right): \mathbf{O}_{c} \longrightarrow \mathbf{R}^{2}
\]

имеет ранг 0. Либо непосредственно, либо используя алгебро-геометрическое описание, легко понять, что линии уровня выделенных точек на границе (т. е. углов границы, где $\left(h^{\prime}, k\right)=\left(c^{2}+2 \eta, \eta c\right)$ при $\eta= \pm 1$ и $c^{2} \geqslant 4$ ) состоят из изолированных критических точек. Такие точки называются точками типа центр-центр. Картина аналогична той, что имеет место в окрестности неподвижной точки гамильтонова действия тора $T^{2}$ на четырехмерном симплектическом многообразии.

Мы сталкиваемся с совершенно иной ситуацией в выделенной точке, которая лежит внутри образа $\left(\left(h^{\prime}, k\right)=\left(c^{2}+2, c\right)\right.$ при $\left.c^{2}<4\right)$. Прообраз такой точки есть сфера с двумя отождествленными точками (это и есть критическая точка на этом уровне). Такие точки носят название точек типа бокус-бокус.

Несколько слов о точке типа фокус-фокус. Наличие особой точки внутри образа есть вещь необычная для особенности дифференциального отображения, однако это типично для интегрируемых систем с двумя степенями свободы (см. также рис. 17 в Главе IV). Такая особая точка появляется в классификации абелевых подалгебр алгебры Ли симплектических групп пространства $\mathbf{R}^{4}$ или, что то же самое, в абелевых подалгебрах однородных квадратичных полиномов на $\mathbf{R}^{4}$ со стандартной скобкой Пуассона (это теорема Вилльямсона [88], разъясненная Арнольдом в Приложении 6 книги [9] и использованная, например, Лерманом и Уманским [58] и Десолнэ-Моли [24]). В общем случае, прообраз точки типа фокус-фокус состоит из цепочки сфер (в нашем примере мы имеем ровно одну сферу), причем соседние сферы пересекаются по точке, как было показано Нгуеном [67].
«Исчезновение» точки фокус-фокус (его превращение в точку центр-центр при стремлении $c$ к значению 2) иногда называют гамильтоновой бифуркацией Хопфа (см., например, работу Кушмана и Ван дер Мейера [23]).

Выбор отображения момента и выпуклость. Картина регулярных значений в этом примере не является новым результатом; образ отображения момента построен, по крайней мере ${ }^{8}$ (кроме совместной работы автора и Силола [15]), в работах Кушмана и Кноррера [22], а также Фоменко [32]. Однако диаграммы, полученные в двух последних работах, несколько отличны от приведенных на рис. 9 , хотя и не противоречат им. Причина этого отличия заключается в том, что

${ }^{8}$ Мы не пытаемся дать полный список ссылок по этому вопросу, однако совершенно ясно, что эта задача не представляла особого интереса для авторов, упоминаемых книг и статей.

мы строили образ отображения момента $\left(H^{\prime}, K\right)$ на данной орбите $\mathbf{O}_{c}$. Другой возможный подход состоит в том, чтобы использовать отображение момента $(H, K)$, как в работе [32], и третья возможность — это рассмотреть вместе три функции $(c, H, K)$, как в [22].

Во Введении мы пояснили, почему не существует канонического выбора отображения момента: по сути, единственное, что нам дано — это абелева подалгебра алгебры Пуассона-Ли всех функций. Выбор $\left(H^{\prime}, K\right)$ ничем не лучше, чем выбор $(H, K)$, поскольку не существует «лучших» выборов. Однако алгебра всех первых интегралов содержит выделенную подалгебру, подалгебру функций Казимира, так что $c$ играет несколько иную роль, чем $H$ и $K$ (в действительности, для полноты картины следует добавить $\|\Gamma\|^{2}$ ).

Выбор $\left(H^{\prime}, K\right)$ был здесь обусловлен специальной формой матрицы Лакса. Поскольку матрица Лакса известна, то очевидно (см. дифференциальные уравнения в конце 2.1), что нужно использовать функцию $H^{\prime}$. Однако если учитывать постановку задачи, то необходимо взять функцию $H$, полную энергию системы.

В уравнении спектральной кривой появляется именно значение интеграла $H^{\prime}$, поэтому удается так легко построить образ: мы просто изучаем кратные корни полинома. Именно поэтому диаграмма в некотором смысле выпукла: наша граница является линейным сечением дискриминанта всех полиномов степени 4 , так что она может быть описана как огибающая гладкого семейства прямых и не может иметь точек перегиба. Это общая черта отображений момента, заданных коэффициентами полиномов (см. рисунки в Главах III и IV и в работах автора, посвященных системам Мозера [13], [11]). При этом критическая кривая отображения момента $(H, K)$ может иметь точки перегиба, и она действительно имеет одну такую точку (см. рисунки в указанных выше работах).