Воспользуемся уравнением Манакова, чтобы дать другое доказательство результатов I.3. В старых обозначениях для $J$ и $\mathbf{J}$ заметим, что условия $0<\lambda_{1}<\lambda_{2}<\lambda_{3}$, или $0<a_{3}<a_{2}<a_{1}$, из Главы I дают $b_{1}<b_{2}<b_{3}$. Кроме того, как и в I.1, предположим, что $a_{1}<a_{2}+a_{3}$, поэтому $b_{1}>0$ и $0<b_{1}^{2}<b_{2}^{2}<b_{3}^{2}$.
Замечание. Насколько нам известно, это единственное место в книге, где условие на матрицу $\mathbf{J}$, полученное из физических соображений, используется (достаточно слабо) в математической постановке задачи.
${ }^{1}$ Здесь $G=S L(n, \mathbf{R}), K=S O(n)$, а $\sigma$ — инволюция Картана.

2.1. Спектральная кривая

Найдем характеристический полином матрицы $M+J^{2} \lambda$. Пусть собственное значение этой матрицы равно $\lambda \mu$. Поскольку матрица $J^{2}$ диагональна, то $J^{2}-\mu \mathrm{Id}$ также диагональна с элементами $\beta_{i}=b_{i}^{2}-\mu$, а искомый характеристический полином равен
\[
\operatorname{det}\left(M+\lambda\left(J^{2}-\mu \mathrm{Id}\right)\right)=\lambda\left(\beta_{1} \beta_{2} \beta_{3} \lambda^{2}+\beta_{1} u^{2}+\beta_{2} v^{2}+\beta_{3} w^{2}\right) .
\]

Рассмотрим спектральную кривую $X$, заданную уравнением
\[
\lambda^{2}+\frac{u^{2}}{\left(b_{2}^{2}-\mu\right)\left(b_{3}^{2}-\mu\right)}+\frac{v^{2}}{\left(b_{3}^{2}-\mu\right)\left(b_{1}^{2}-\mu\right)}+\frac{w^{2}}{\left(b_{1}^{2}-\mu\right)\left(b_{2}^{2}-\mu\right)}=0,
\]

которое можно также переписать в виде
\[
\lambda^{2}+\frac{2\left(H^{\prime}-p^{2} \mu\right)}{\left(b_{1}^{2}-\mu\right)\left(b_{2}^{2}-\mu\right)\left(b_{3}^{2}-\mu\right)}=0,
\]

так что $2 p^{2}=u^{2}+v^{2}+w^{2}$ (используя обозначения из I.3), а $2 H^{\prime}=$ $=b_{1}^{2} u^{2}+b_{2}^{2} v^{2}+b_{3}^{2} w^{2}$. Функция $H^{\prime}$ может быть представлена в виде линейной комбинации $H$ и $K=p^{2}$; это мы оставляем читателю в качестве упражнения.

Род кривой $X$ равен 1 , и она является двулистным накрытием над $\mathbf{P}^{1}$ (оно определяется функцией $\mu$ ), разветвленным в точках $b_{i}^{2}$ и $H^{\prime} / p^{2}$. Пусть $P_{i}=\left(b_{i}^{2}, \infty\right)$. Заметим, что все точки ветвления вещественны и, следовательно, вещественная часть $X_{\mathbf{R}}$ состоит из двух компонент связности.
2.2. Отображение собственных векторов
По-прежнему будем использовать обозначение $\beta_{i}=b_{i}^{2}-\mu$. Вектор
\[
W(\mu, \lambda)=\left(\begin{array}{c}
\frac{-\lambda \beta_{2} v+u w}{\lambda^{2} \beta_{1} \beta_{2}+w^{2}} \\
\frac{\lambda \beta_{1} u+v w}{\lambda^{2} \beta_{1} \beta_{2}+w^{2}} \\
1
\end{array}\right)
\]

является собственным вектором матрицы Лакса $M+J^{2} \lambda$ (проверяется непосредственным вычислением), т. е. мероморфным сечением расслоения собственных векторов над $X$ (см. Приложение 3). Этот вектор на кривой $X$ нигде не обращается в нуль, однако он, конечно, имеет полюсы. Его дивизор полюсов представляет собой элемент группы Пикара $\operatorname{Pic}(X)$, который соответствует (сопряженному) расслоению собственных векторов.

Предложение 2.2.1. Дивизор полюсов вектора $W$ равен $P_{1}+P_{2}+A \in$ $\operatorname{Div}^{3}(X)$, где $A$ — точка кривой $X$ с координатами
\[
\left(\mu=\frac{b_{1}^{2} u^{2}+b_{2}^{2} v^{2}}{u^{2}+v^{2}}, \lambda=-\frac{u w}{\left(b_{2}^{2}-y\right) v}\right) .
\]

Доказательство.
Найдем полюсы первой координаты вектора $W$, т. е. полюсы мероморфной функции $\left(-\lambda \beta_{2} v+u w\right) /\left(\lambda^{2} \beta_{1} \beta_{2}+w^{2}\right)$.

Рассмотрим сначала бесконечно удаленные точки $P_{1}, P_{2}$ и $P_{3}$ на $X$. В точке $P_{1}$ числитель обращается в бесконечность, а знаменатель конечен, так что $P_{1}$ является полюсом. В точке $P_{2}$ числитель обращается в нуль, а в точке $P_{3}$ он стремится к бесконечности, однако частное конечно. Найдем теперь «конечные» полюсы, т. е. точки, в которых знаменатель обращается в нуль, а числитель ненулевой. Имеем: $\lambda^{2} \beta_{1} \beta_{2}+w^{2}=0$ тогда и только тогда, когда $u^{2} \beta_{1}+v^{2} \beta_{2}=0$, что дает одно значение $\mu$ из предложения, которое соответствует двум точкам кривой $X$, т. е. двум противоположным значениям $\lambda$. В одной из этих точек числитель также обращается в нуль:
\[
0=\lambda^{2} \beta_{1} \beta_{2}+w^{2}=-\lambda^{2} \beta_{2}^{2} \frac{v^{2}}{u^{2}}+w^{2}=\left(-\lambda \beta_{2} \frac{v}{u}+w\right)\left(\lambda \beta_{2} \frac{v}{u}+w\right),
\]

так как $\beta_{1} u^{2}+\beta_{2} v^{2}=0$. Мы получаем точку $A$.
Аналогичные вычисления показывают, что эта точка является также полюсом второй координаты
\[
\frac{\beta_{1} u+v w}{\lambda^{2} \beta_{1} \beta_{2}+w^{2}} .
\]

Вторая координата также имеет полюс в точке $P_{2}$. Кроме того, вычисления показывают, что все эти полюсы являются простыми. Что и требовалось доказать.

Перенесем всю конструкцию на постоянный дивизор $-P_{1}-P_{2}$ и получим следующее отображение в $\operatorname{Pic}^{1}(X)=X$ :
\[
\begin{aligned}
V & \xrightarrow{\varphi} X \\
M & \longmapsto(M) .
\end{aligned}
\]

Напомним (см. I.3), что через $V$ мы обозначили пополнение совместной поверхности уровня интегралов $H$ и $K$, которое по доказанному является кривой рода 1 как пересечение двух квадрик. В слегка переформулированном виде следующее предложение принадлежит Хайне [39].
Предложение 2.2.2. Кривые $V$ и $X$ рода 1 изоморфны, а отображение $\varphi$ является стандартным накрытием со слоем $\mathbf{Z} / 2 \times \mathbf{Z} / 2$.

Замечание. Между прочим, этот результат показывает, что кривые $X$ и $V$ являются гладкими одновременно.

Доказательство.
Отображение $\varphi$ определено корректно: числитель и знаменатель не могут одновременно обращаться в нуль ${ }^{2}$, если $(u, v, w)$ удовлетворяют уравнениям кривой $V$. Таким образом, мы имеем алгебраическое отображение из аффинной части $V_{0} \subset \mathbf{C}^{3} \subset \mathbf{P}^{3}(\mathbf{C})$ в кривую, заданную уравнением (2) в $\mathbf{P}^{1} \times \mathbf{P}^{1}$. Это определяет алгебраическое отображение $V \rightarrow X$.

Очевидно, что можно выразить $u^{2}, v^{2}$ и $w^{2}$ через $y$, используя уравнения для $V$. Зная $\lambda$, можно определить знак $u w / v$, так что $\varphi$ имеет степень 4. Прообраз любой точки кривой $X$ состоит из точек
\[
\left(\begin{array}{c}
\varepsilon u \\
\eta v \\
\varepsilon \eta w
\end{array}\right) \quad \varepsilon, \eta= \pm 1 .
\]

Можно утверждать больше: эти четыре точки всегда различны, в противном случае две из координат $u, v, w$ обращались бы в нуль
${ }^{2}$ Если $b_{1}
eq b_{2}$, что предполагается по условию.

одновременно, что, как мы уже заметили, невозможно. Следовательно, мы имеем стандартное четырехлистное накрытие с группой $\mathbf{Z} / 2 \times \mathbf{Z} / 2$.

Благодаря последнему факту, кривые $V$ и $X$ изоморфны: обе кривые $V$ и $X$ фактически являются группами (абелевыми многообразиями), и алгебраическое отображение $\varphi$ должно быть групповым гомоморфизмом (с точностью до трансляций) с ядром, изоморфным $\mathbf{Z} / 2 \times \mathbf{Z} / 2$. Отсюда можно вывести, что $V$ действительно изоморфно $X$, а $\varphi$ является (с точностью до трансляции) умножением на 2. Дадим подробное доказательство этого факта. Начнем с того, что сформулируем и докажем достаточно общую лемму о жесткости, взятую из книги Мамфорда но абелевым многобразиям [64].
Лемма 2.2.3. Пусть $V$ и $X$ — два абелевых многообразия, $и$ пусть $\varphi: V \rightarrow X$ — морфизм многообразий. Тогда существует элемент $a \in X$, такой что $\varphi=f+a$, где $f: V \rightarrow X$ — групповой морфизм.
Доказательство.
Положим $f(x)=\varphi(x)-\varphi(0)$, так что $f(0)=0$. Мы хотим показать, что $f$ является морфизмом групп, другими словами, что отображение
\[
\begin{aligned}
g: V \times V & \longrightarrow X \\
(x, y) & \longmapsto f(x+y)-f(x)-f(y)
\end{aligned}
\]

постоянно (равно нулю). Заметим, что $g(x, 0)=g(0, y)=0 \forall x, y \in V$. Пусть $U$ — аффинная карта в окрестности точки $0 \in X$, и пусть $F=X-U$ — ее дополнение. Множество $g^{-1}(\boldsymbol{F})$ замкнуто, как и его проекция $G$ на второй сомножитель $V$ : проекция замкнута, поскольку $V$ компактно. По определению, 0 не принадлежит $G$, поэтому дополнение $V-G$ представляет собой непустое открытое подмножество $\Omega$ многообразия $V$. Пусть $y \in \Omega$. Тогда $\left.g\right|_{V \times\{y\}}$ есть морфизм из компактного многообразия $V$ в открытое аффинное множество $U$. Он постоянен и равен нулю. Таким образом, мы показали, что $g$ является постоянным на непустом открытом подмножестве $V \times \Omega \subset V \times V$ и, следовательно, постоянным всюду.

Вернемся к кривым $V$ и $X$. Отождествим $V=\mathbf{C} / \Lambda_{1}$ и $X=\mathbf{C} / \Lambda_{2}$ так, чтобы $\varphi(0)=0$ (другими словами, трансляция совпадает с отождествлением). Следовательно, $\varphi$ является группой гомоморфизмов, которую можно поднять до отображения $\widetilde{\varphi}: \mathbf{C} \rightarrow \mathbf{C}$ вида $z \mapsto A z$ для некоторого $A \in \mathbf{C}$. Так как $\operatorname{Ker} \varphi=\mathbf{Z} / 2 \times \mathbf{Z} / 2$, то можно предположить, что эти две решетки совпадают и $A=2$ (детали см. в доказательстве предложения 2.2.4).

Замечание. Конечно, можно доказать, что $V$ и $X$ изоморфны, используя соотношения между $\lambda_{i}$ и $b_{i}^{2}$, однако это не очень удачный подход (честно говоря, мы нашли идею настолько непривлекательной, что никогда ею не воспользовались).

Если посмотреть более внимательно на вещественные структуры в последней части доказательства, то мы получим
Предложение 2.2.4. Кривая $X$ изоморфна якобиану кривой $V$, причем этот изоморфизм вещественный. Отображение собственных векторов $\varphi$ является накрытием со слоем $\mathbf{Z} / 2 \times \mathbf{Z} / 2$. Если $V_{\mathbf{R}}$ непусто, то оно отображается на одну компоненту связности $X_{\mathbf{R}}, a$ определяет двулистное накрытие каждой компоненты $V_{\mathbf{R}}$ над своим образом.
Доказательство.
Заметим, что $X_{\mathbf{R}}$ всегда непусто, однако это неверно для $V_{\mathbf{R}}$. Если $V_{\mathbf{R}}$ пусто, т. е. если $h / p^{2}
otin\left[\lambda_{1}, \lambda_{3}\right]$, то надо просто заменить $V$ на его якобиан и продолжить отображение $\varphi$. Таким образом, мы рассмотрим лишь случай, когда $V_{\mathbf{R}}$ непусто, так что оба указанные отождествления $V=\mathbf{C} / \Lambda_{1}$ и $X=\mathbf{C} / \Lambda_{2}$ могут быть сделаны вещественными. Поскольку обе кривые имеют вешественные части, состоящие из двух компонент, то можно предположить, что каждая решетка $\Lambda_{j}$ порождается 1 и некоторым чисто мнимым $\tau_{j}$ (см. Приложение 4). Поскольку $\varphi$ — вещественное отображение, то $A=\tilde{\varphi}(1) \in\left(\mathbf{R} \cup \mathbf{R} \cdot \frac{1}{2} \tau_{2}\right) \cap \Lambda_{2}$, т. е. $A \in \mathbf{Z}$. Конечно, если $A=n$, то в $\operatorname{Ker} \varphi$ существует элемент порядка $n$, такой что $A=2$. Имеем $\widetilde{\varphi}\left(\tau_{1}\right)=2 \tau_{1}=q \tau_{2}$ для некоторого $q \in \mathbf{Z}$. Учитывая свойства ядра, получаем $q=2$ и $\tau_{1}=\tau_{2}$.

Теперь мы все знаем совершенно точно, например, что ограничение $\varphi$ на вещественную часть кривой $V$ (если она непуста) отображает две компоненты $V_{\mathbf{R}}$ на те же компоненты $X_{\mathbf{R}}$ и что ограничение этого отображения на каждую компоненту $V_{\mathbf{R}}$ является двулистным накрытием.

Замечание. Компонента вещественной части $X_{\mathbf{R}}$ из образа содержит точку ( $\mu=H^{\prime} / p^{2}, \lambda=0$ ), полученную при $w=0$.