Воспользуемся уравнением Манакова, чтобы дать другое доказательство результатов I.3. В старых обозначениях для $J$ и $\mathbf{J}$ заметим, что условия $0<{\lambda }_1<{\lambda }_2<{\lambda }_3$, или $0<a_3<a_2<a_1$, из Главы I дают $b_1<b_2<b_3$. Кроме того, как и в I.1, предположим, что $a_1<a_2+a_3$, поэтому $b_1>0$ и $0<b_1^2<b_2^2<b_3^2$.
Замечание. Насколько нам известно, это единственное место в книге, где условие на матрицу $\mathbf{J}$, полученное из физических соображений, используется (достаточно слабо) в математической постановке задачи.
${}^1$ Здесь $G=SL(n,\mathbf{R}),K=SO(n)$, а $\sigma$ — инволюция Картана.

2.1. Спектральная кривая

Найдем характеристический полином матрицы $M+J^2\lambda$. Пусть собственное значение этой матрицы равно $\lambda \mu$. Поскольку матрица $J^2$ диагональна, то $J^2-\mu \mathrm{Id}$ также диагональна с элементами ${\beta }_i=b_i^2-\mu$, а искомый характеристический полином равен
$$\det (M+\lambda (J^2-\mu \mathrm{Id}))=\lambda ({\beta }_1{\beta }_2{\beta }_3{\lambda }^2+{\beta }_1{u}^2+{\beta }_2{v}^2+{\beta }_3{w}^2).$$

Рассмотрим спектральную кривую $X$, заданную уравнением
$${\lambda }^2+\frac{u^2}{(b_2^2-\mu )(b_3^2-\mu )}+\frac{v^2}{(b_3^2-\mu )(b_1^2-\mu )}+\frac{w^2}{(b_1^2-\mu )(b_2^2-\mu )}=0,$$

которое можно также переписать в виде
$${\lambda }^2+\frac{2(H^{\prime }-p^2\mu )}{(b_1^2-\mu )(b_2^2-\mu )(b_3^2-\mu )}=0,$$

так что $2p^2=u^2+v^2+w^2$ (используя обозначения из I.3), а $2H^{\prime }=$ $=b_1^2{u}^2+b_2^2{v}^2+b_3^2{w}^2$. Функция $H^{\prime }$ может быть представлена в виде линейной комбинации $H$ и $K=p^2$; это мы оставляем читателю в качестве упражнения.

Род кривой $X$ равен 1 , и она является двулистным накрытием над ${\mathbf{P}}^1$ (оно определяется функцией $\mu$ ), разветвленным в точках $b_i^2$ и $H^{\prime }/p^2$. Пусть $P_i=(b_i^2,\mathrm{\infty })$. Заметим, что все точки ветвления вещественны и, следовательно, вещественная часть $X_{\mathbf{R}}$ состоит из двух компонент связности.
2.2. Отображение собственных векторов
По-прежнему будем использовать обозначение ${\beta }_i=b_i^2-\mu$. Вектор
$$W(\mu ,\lambda )=\left(\begin{array}{c}\frac{-\lambda {\beta }_{2}v+uw}{{\lambda }^2{\beta }_1{\beta }_2+w^2}\\ \frac{\lambda {\beta }_{1}u+vw}{{\lambda }^2{\beta }_1{\beta }_2+w^2}\\ 1\end{array}\right)$$

является собственным вектором матрицы Лакса $M+J^2\lambda$ (проверяется непосредственным вычислением), т. е. мероморфным сечением расслоения собственных векторов над $X$ (см. Приложение 3). Этот вектор на кривой $X$ нигде не обращается в нуль, однако он, конечно, имеет полюсы. Его дивизор полюсов представляет собой элемент группы Пикара $\mathrm{Pic}(X)$, который соответствует (сопряженному) расслоению собственных векторов.

Предложение 2.2.1. Дивизор полюсов вектора $W$ равен $P_1+P_2+A\in$ ${\mathrm{Div}}^3(X)$, где $A$ — точка кривой $X$ с координатами
$$(\mu =\frac{b_1^2{u}^2+b_2^2{v}^2}{u^2+v^2},\lambda =-\frac{uw}{(b_2^2-y)v}).$$

Доказательство.
Найдем полюсы первой координаты вектора $W$, т. е. полюсы мероморфной функции $(-\lambda {\beta }_{2}v+uw)/({\lambda }^2{\beta }_1{\beta }_2+w^2)$.

Рассмотрим сначала бесконечно удаленные точки $P_1,P_2$ и $P_3$ на $X$. В точке $P_1$ числитель обращается в бесконечность, а знаменатель конечен, так что $P_1$ является полюсом. В точке $P_2$ числитель обращается в нуль, а в точке $P_3$ он стремится к бесконечности, однако частное конечно. Найдем теперь «конечные» полюсы, т. е. точки, в которых знаменатель обращается в нуль, а числитель ненулевой. Имеем: ${\lambda }^2{\beta }_1{\beta }_2+w^2=0$ тогда и только тогда, когда $u^2{\beta }_1+v^2{\beta }_2=0$, что дает одно значение $\mu$ из предложения, которое соответствует двум точкам кривой $X$, т. е. двум противоположным значениям $\lambda$. В одной из этих точек числитель также обращается в нуль:
$$0={\lambda }^2{\beta }_1{\beta }_2+w^2=-{\lambda }^2{\beta }_2^2\frac{v^2}{u^2}+w^2=(-\lambda {\beta }_2\frac{v}{u}+w)(\lambda {\beta }_2\frac{v}{u}+w),$$

так как ${\beta }_1{u}^2+{\beta }_2{v}^2=0$. Мы получаем точку $A$.
Аналогичные вычисления показывают, что эта точка является также полюсом второй координаты
$$\frac{{\beta }_{1}u+vw}{{\lambda }^2{\beta }_1{\beta }_2+w^2}.$$

Вторая координата также имеет полюс в точке $P_2$. Кроме того, вычисления показывают, что все эти полюсы являются простыми. Что и требовалось доказать.

Перенесем всю конструкцию на постоянный дивизор $-P_1-P_2$ и получим следующее отображение в ${\mathrm{Pic}}^1(X)=X$ :
$$\begin{array}{rl}V& \stackrel{\phi }{\to }X\\ M& ⟼(M).\end{array}$$

Напомним (см. I.3), что через $V$ мы обозначили пополнение совместной поверхности уровня интегралов $H$ и $K$, которое по доказанному является кривой рода 1 как пересечение двух квадрик. В слегка переформулированном виде следующее предложение принадлежит Хайне [39].
Предложение 2.2.2. Кривые $V$ и $X$ рода 1 изоморфны, а отображение $\phi$ является стандартным накрытием со слоем $\mathbf{Z}/2\times \mathbf{Z}/2$.

Замечание. Между прочим, этот результат показывает, что кривые $X$ и $V$ являются гладкими одновременно.

Доказательство.
Отображение $\phi$ определено корректно: числитель и знаменатель не могут одновременно обращаться в нуль ${}^2$, если $(u,v,w)$ удовлетворяют уравнениям кривой $V$. Таким образом, мы имеем алгебраическое отображение из аффинной части $V_0\subset {\mathbf{C}}^3\subset {\mathbf{P}}^3(\mathbf{C})$ в кривую, заданную уравнением (2) в ${\mathbf{P}}^1\times {\mathbf{P}}^1$. Это определяет алгебраическое отображение $V\to X$.

Очевидно, что можно выразить $u^2,v^2$ и $w^2$ через $y$, используя уравнения для $V$. Зная $\lambda$, можно определить знак $uw/v$, так что $\phi$ имеет степень 4. Прообраз любой точки кривой $X$ состоит из точек
$$\left(\begin{array}{c}\epsilon u\\ \eta v\\ \epsilon \eta w\end{array}\right)\epsilon ,\eta =\pm 1.$$

Можно утверждать больше: эти четыре точки всегда различны, в противном случае две из координат $u,v,w$ обращались бы в нуль
${}^2$ Если $b_{1}eq{b}_2$, что предполагается по условию.

одновременно, что, как мы уже заметили, невозможно. Следовательно, мы имеем стандартное четырехлистное накрытие с группой $\mathbf{Z}/2\times \mathbf{Z}/2$.

Благодаря последнему факту, кривые $V$ и $X$ изоморфны: обе кривые $V$ и $X$ фактически являются группами (абелевыми многообразиями), и алгебраическое отображение $\phi$ должно быть групповым гомоморфизмом (с точностью до трансляций) с ядром, изоморфным $\mathbf{Z}/2\times \mathbf{Z}/2$. Отсюда можно вывести, что $V$ действительно изоморфно $X$, а $\phi$ является (с точностью до трансляции) умножением на 2. Дадим подробное доказательство этого факта. Начнем с того, что сформулируем и докажем достаточно общую лемму о жесткости, взятую из книги Мамфорда но абелевым многобразиям [64].
Лемма 2.2.3. Пусть $V$ и $X$ — два абелевых многообразия, $и$ пусть $\phi :V\to X$ — морфизм многообразий. Тогда существует элемент $a\in X$, такой что $\phi =f+a$, где $f:V\to X$ — групповой морфизм.
Доказательство.
Положим $f(x)=\phi (x)-\phi (0)$, так что $f(0)=0$. Мы хотим показать, что $f$ является морфизмом групп, другими словами, что отображение
$$\begin{array}{rl}g:V\times V& ⟶X\\ (x,y)& ⟼f(x+y)-f(x)-f(y)\end{array}$$

постоянно (равно нулю). Заметим, что $g(x,0)=g(0,y)=0\mathrm{\forall }x,y\in V$. Пусть $U$ — аффинная карта в окрестности точки $0\in X$, и пусть $F=X-U$ — ее дополнение. Множество $g^{-1}(\mathit{F})$ замкнуто, как и его проекция $G$ на второй сомножитель $V$ : проекция замкнута, поскольку $V$ компактно. По определению, 0 не принадлежит $G$, поэтому дополнение $V-G$ представляет собой непустое открытое подмножество $\mathrm{\Omega }$ многообразия $V$. Пусть $y\in \mathrm{\Omega }$. Тогда ${g|}_{V\times \{y\}}$ есть морфизм из компактного многообразия $V$ в открытое аффинное множество $U$. Он постоянен и равен нулю. Таким образом, мы показали, что $g$ является постоянным на непустом открытом подмножестве $V\times \mathrm{\Omega }\subset V\times V$ и, следовательно, постоянным всюду.

Вернемся к кривым $V$ и $X$. Отождествим $V=\mathbf{C}/{\mathrm{\Lambda }}_1$ и $X=\mathbf{C}/{\mathrm{\Lambda }}_2$ так, чтобы $\phi (0)=0$ (другими словами, трансляция совпадает с отождествлением). Следовательно, $\phi$ является группой гомоморфизмов, которую можно поднять до отображения $\tilde{\phi }:\mathbf{C}\to \mathbf{C}$ вида $z\mapsto Az$ для некоторого $A\in \mathbf{C}$. Так как $\mathrm{Ker}\phi =\mathbf{Z}/2\times \mathbf{Z}/2$, то можно предположить, что эти две решетки совпадают и $A=2$ (детали см. в доказательстве предложения 2.2.4).

Замечание. Конечно, можно доказать, что $V$ и $X$ изоморфны, используя соотношения между ${\lambda }_i$ и $b_i^2$, однако это не очень удачный подход (честно говоря, мы нашли идею настолько непривлекательной, что никогда ею не воспользовались).

Если посмотреть более внимательно на вещественные структуры в последней части доказательства, то мы получим
Предложение 2.2.4. Кривая $X$ изоморфна якобиану кривой $V$, причем этот изоморфизм вещественный. Отображение собственных векторов $\phi$ является накрытием со слоем $\mathbf{Z}/2\times \mathbf{Z}/2$. Если $V_{\mathbf{R}}$ непусто, то оно отображается на одну компоненту связности $X_{\mathbf{R}},a$ определяет двулистное накрытие каждой компоненты $V_{\mathbf{R}}$ над своим образом.
Доказательство.
Заметим, что $X_{\mathbf{R}}$ всегда непусто, однако это неверно для $V_{\mathbf{R}}$. Если $V_{\mathbf{R}}$ пусто, т. е. если $h/p^{2}otin[{\lambda }_1,{\lambda }_3]$, то надо просто заменить $V$ на его якобиан и продолжить отображение $\phi$. Таким образом, мы рассмотрим лишь случай, когда $V_{\mathbf{R}}$ непусто, так что оба указанные отождествления $V=\mathbf{C}/{\mathrm{\Lambda }}_1$ и $X=\mathbf{C}/{\mathrm{\Lambda }}_2$ могут быть сделаны вещественными. Поскольку обе кривые имеют вешественные части, состоящие из двух компонент, то можно предположить, что каждая решетка ${\mathrm{\Lambda }}_j$ порождается 1 и некоторым чисто мнимым ${\tau }_j$ (см. Приложение 4). Поскольку $\phi$ — вещественное отображение, то $A=\tilde{\phi }(1)\in (\mathbf{R}\cup \mathbf{R}\cdot \frac{1}{2}{\tau }_2)\cap {\mathrm{\Lambda }}_2$, т. е. $A\in \mathbf{Z}$. Конечно, если $A=n$, то в $\mathrm{Ker}\phi$ существует элемент порядка $n$, такой что $A=2$. Имеем $\tilde{\phi }\left({\tau }_1\right)=2{\tau }_1=q{\tau }_2$ для некоторого $q\in \mathbf{Z}$. Учитывая свойства ядра, получаем $q=2$ и ${\tau }_1={\tau }_2$.

Теперь мы все знаем совершенно точно, например, что ограничение $\phi$ на вещественную часть кривой $V$ (если она непуста) отображает две компоненты $V_{\mathbf{R}}$ на те же компоненты $X_{\mathbf{R}}$ и что ограничение этого отображения на каждую компоненту $V_{\mathbf{R}}$ является двулистным накрытием.

Замечание. Компонента вещественной части $X_{\mathbf{R}}$ из образа содержит точку ( $\mu =H^{\prime }/p^2,\lambda =0$ ), полученную при $w=0$.