52. В виде приложения теории, изложенной в $\S 4$, рассмотрим простой случай свободного падения тяжелого тела, принимая во внимание сопротивление воздуха.

Предположим, что падение происходит по вертикали и сопротивление воздуха может быть представлено силой, пропорциональной квадрату скорости.

Условимся отсчитывать расстояния $s$ от начального положения вниз; тогда будем иметь $\dot{s}=v, \ddot{s}=\frac{d v}{d t}$,
\[
F_{t}=m g-K A \alpha v^{2} .
\]

Если для краткости введем положительную постоянную $V$, определяемую равенством
\[
V^{2}=\frac{m g}{K A a},
\]

то уравнение движения примет вид
\[
\frac{d v}{d t}=g\left(1-v^{\mathfrak{v}}\right) .
\]

Это уравнение показывает, что если скорость $v$ меньше $V$, то ускорение $\frac{d v}{d t}$ положительно и, следовательно, движение будет ускоренным; если, наоборот, скорость $v$ больше $V$, движение будет замедленным.

Отметим, что одно из частных решений определяется равенством $
u=V$, т. е. мы имеем равномерное движение с критической скоростью $V$. Чтобы составить себе представление о порядке величины $V$, положим в равенстве (36) $\alpha=1$ и $K=0,08$ (п. 22), в силу этого $1 / \sqrt{K}$ будет немного меньше 3 .
Тогда $V$ приблизительно будет равно утроенному значению корня
При весе в $100 \kappa 2$ парашюта с радиусом в 5 или $6 \boldsymbol{\mu}$ (т. е. с площадью наибольшего сечения около $100 \boldsymbol{\mu}^{2}$ ) можно предполагать для $V$ значение около 3 м/сек; такая скорость сама по себе не опасна.

Как увидим немного ниже, $V$ представляет собой асимптотическое значение скорости падения.

53. Формальное интегрирование уравнения (37) непосредственно выполняется путем разделения переменных. Прежде чем выполнять это интегрирование, отметим, что если в какой-нибудь момент скорость тела меньше критической скорости $V$, то она, постоянно возрастая, никогда не будет превосходить $V$ и будет асимптотически стремиться к $V$ при $t \rightarrow \infty$. Равным образом, если в какой-нибудь момент скорость превосходит $V$, то она будет постоянно оставаться больше $V$ и, убывая, будет асимптотически стремиться к $V$ при бесконечном возрастании $t$.

В обоих случаях доказательства совершенно аналогичны. Рассмотрим, например, первый случай и покажем, что, допустив противное, мы придем к противоречию.

Допустим, следовательно, что скорость может превзойти $V$. Так как речь идет о непрерывной функции, то она должна, по крайней мере один раз, принять значение $V$. Пусть $t_{1}$ будет момент времени, когда это произойдет в первый раз; пусть, далее, $t^{\prime}$ и $t^{\prime \prime}>t^{\prime}$ будут два какие-нибудь момента времени, предшествующие $t_{1}, v^{\prime}$ и $v^{\prime \prime}$ (причем $v^{\prime \prime}>v^{\prime}$, в силу того, что скорость возрастает вместе с $t$ ) соответствующие значения $v$.

Разделяя переменные в уравнении (37) и интегрируя от $t^{\prime}$ до $t^{\prime \prime}$ (при этом заметим, что при возрастании $t$ от $t^{\prime}$ до $t^{\prime \prime} v$ изменяется, все время возрастая, от $v^{\prime}$ до $v^{\prime \prime}$ ), получим
\[
\int_{v^{\prime}}^{v^{\prime \prime}} \frac{d v}{1-\frac{v^{\mathfrak{2}}}{V^{\mathrm{a}}}}=g\left(t^{\prime \prime}-t^{\prime}\right)
\]

Противоречие, о котором было сказано выше, можно увидеть из эгой формулы, если заставить $t^{\prime \prime}$ приближаться к $t_{1}^{\prime}$. Действительно. в то время как правая часть стремится к конечному пределу $g\left(t_{1}-t^{\prime}\right)$, левая часть ( $v^{\prime \prime}$ стремится к $V$, когда $t^{\prime \prime}$ стремится к $t_{1}$ ) имеет пределом бесконечность, так как функция под знаком интеграла при $v=V$ имеет бесконечность первого порядка.

54. Перейдем теперь к интегрированию уравнения (37) в предположении, что движущееся тело предоставлено самому себе без начатьной скорости, или в более общем случае, что оно брошено вниз со скоростью $v_{0}<V$. Как мь уже видели, $v$ все время меньше $V$, поэтому, если написать уравнение (37) с разделенными переменными в виде
\[
\frac{2 g d t}{V}=\frac{2}{V} \frac{d v}{1-v^{2}}=\left\{\frac{1}{1+\frac{v}{V}}+\frac{1}{1-\frac{v}{V}}\right\} \frac{d v}{V},
\]

то в правой части знаменатепи всегда будут положительными. Отсюда, интегрируя, получим
\[
\frac{2 g}{V} t=\ln \frac{1+\frac{v}{V}}{1-\frac{v}{V}}+\text { const }
\]

где постоянную интегрирования можно обозначить через $\frac{2 g}{V} t^{*}$ мы определим ее исходя из условия, что $v=v_{0}$ при $t=0$, что, в частности, дает $t^{*}=0$, когда начальная скорость $v_{0}=0^{1}$ ).

Если перейдем от логарифмов к числам, разрешим уравнение относительно $v$ и положим д.ля краткости $\tau=g \frac{t-t}{V}$, то найдем
\[
\frac{v}{V}=\frac{e^{i}-e^{-\tau}}{e^{i}+e^{-\tau}}
\]

или
\[
v=V-\frac{2 V}{e^{2 \tau}+1} .
\]

Последнее соотношение, в котором $v$ явно выражено через $\tau$, а потому и через $t$ подтверждает тот факт, что скорость всегда меньше $V$ и стремится к $V$ при безграничном возрастании $t$.
55. Пройденное пространство $s$ можно вычислить посредством новой квадратуры. Действительно, так как $d s=v d t$, то на основании соотношения между $t$ и $\tau$ можно написать
\[
d s=-\frac{V}{g} v d \tau
\]
и. следовательно, в силу уравнения (38)

Отсюда, интегрируя и принимая $s=0$ при $t=0$, т. е. при $\tau=-\frac{g t^{3}}{V}=\tau_{0}$, получим искомое выражение для $s$
\[
s=\frac{V^{2}}{g} \ln \frac{e^{\tau}+e^{-x}}{e^{\tau_{0}}+e^{-\tau_{0}}} .
\]

K тому же результату, но в другой форме можно прийти, если взять уравнение (37) и рассматривать (как в п. 48) $v=\frac{d s}{d t}$ как сложную функцию от $t$ через посредство $s$. В силу этого будем иметь
\[
\frac{d v}{d t}=\frac{d v}{d s} \frac{d s}{d t}=\frac{d v}{d s} v=\frac{1}{2} \frac{d\left(v^{2}\right)}{d s}
\]

и уравнению (37) можно придать вид
\[
\frac{2 g}{V^{2}} d s=\frac{1}{V^{2}} \frac{d\left(v^{2}\right)}{1-\frac{v^{2}}{V^{2}}} .
\]

Интегрируя и замечая, что при $v=v_{0}$ должно быть $s=0$, придем к равенству
\[
s=\frac{V^{2}}{2 g} \ln \frac{V^{2}-v_{0}^{2}}{V^{2}-v^{2}},
\]

которое вместе с равенством (38) даст выражение $s$ через $\tau$. Эквивалентность выражений (39′) и (39) можно установить, принимая во внимание равенство (38) и его выражение в начальный момент
\[
\frac{v_{0}}{V}=\frac{e^{\tau_{0}}-e^{-\tau_{0}}}{e^{\tau_{0}}+e^{-\tau_{0}}} .
\]
56. Равенством (39′) можно воспользоваться для установления соотношения между высотой падения и энергией, потерянной вследствие сопротивления воздуха. В ююбой момент полная энергия (сумма кинетической и потенциальной энергий) равна
\[
m\left(\frac{v^{2}}{2}-g s\right) .
\]

Вычитая эту величину из ее начального значения $\frac{m v_{0}^{2}}{2}$, получии меру потерянной энергии (которая преобразуется главным образом в тепловую)
\[
q=\frac{m}{2}\left(v_{0}^{2}-v^{2}+2 g s\right) .
\]

Теперь равенство ( $\left.39^{\prime}\right)$ можно написать в виде
\[
-\frac{2 g s}{V^{2}}=\ln \left\{1+\frac{v_{0}^{2}-v^{2}}{V^{2}-v_{0}^{2}}\right\} .
\]

Если перейдем теперь от логарифмов к числам, разрешим уравнение относительно $v_{0}^{2}-v^{2}$ и подставим результат в предыдущее равенство, то получим
\[
q=\frac{m}{2}\left\{\left(V^{2}-v_{0}^{2}\right)\left(e^{-\lambda}-1\right)+2 g s\right\},
\]

где для краткости положено
\[
\lambda=\frac{2 g s}{V^{2}} .
\]

Предположим, в частности, что $v_{0}=0$ и высота падения мала; точнее, рассмотрим такие значения $s$, при которых величина $\sqrt{2 g s}$, т. е. скорость, которую приобрело бы в пустоте тяжелое тело при высоте падения $s$, мала по сравнению с предельной скоростью $V$. Можно пренебречь тогда степенями отношения $\lambda=2 \mathrm{gs} / V^{2}$ выше второй и положить
\[
e^{-\lambda}=1-\lambda+\frac{\lambda^{2}}{2} \text {. }
\]
(Вместо $e^{-\lambda}$ ми берем здесь разложение этой функции в ряд Маклорена, ограничиваясь первыми тремя членами, так как четвертый и следующие члены имеют степени $\lambda$ выше второй и потому отбрасываются.) В таком случае получим
\[
q=\frac{m}{4} V^{2} \lambda^{2}=\frac{1}{2} \lambda m g s,
\]

откуда видно, что энергия, потерянная на пути $s$, есть часть работы, совершенной силой тяжести, или, если угодно, часть живой силы, которую имело бы падающее тело, падая по тому же пути в пустоте. $\left(\frac{\lambda}{2}=\frac{g s}{V^{2}}\right.$ при нашем предположении — величина малая. $)$
57. Следует добавить, что при вертикальном движении вверх имеем $F_{t}=m g+K A \alpha v^{2}$ (вертикальная сила, направленная вниз) и $\dot{s}=-v$. Принимая во внимание равенство (36), можно уравнение движения представить в виде
\[
\frac{d v}{d t}=-g\left(1+\frac{v^{2}}{V^{2}}\right) \text {. }
\]

Если вначале движущееся тело имеет скорость, направленную вверх, то надо воспользоваться уравнением (37′). Оно будет справедливым до тех пор, пока скорость тела не станет равной нулю (при этом сила тяжести и сопротивление воздуха вместе противодействуют движению). Это произойдет даже скорее, чем в пустоте (как это непосредственно ясно и как к тому же это следует из уравнения ( $\left.37^{\prime}\right)$ ). До этого моменга между $t$ и $v$ имеем соотношение
\[
\operatorname{arctg} \frac{v}{V}=-\frac{g}{V} t+\text { const, }
\]

которое получается непосредственно из уравнения (37′), если мы разделим в нем переменные и проинтегрируем его. Постоянная определяется на основании значения начальной скорости. Обозначив е

через $\frac{g \tau}{V}$ и, придав предыдущему уравнению вид
\[
v=V \operatorname{tg} \frac{g}{V}(\tau-t),
\]

мы убедимся, что $v$ убывает, начиная с момента $t=0$, и к концу промежутка времени т принимает значение, равное нулю.

При дальнейшем интегрировании уравнения (38′) можно получить выражение для пути при двнжении вверх для промежутка времени $(0, \tau)$. Начиная с этого момента, будет происходить свободное падение, определяемое уравнениеи (37).