30. Заметим, наконец, что формальный способ составления уравнений в вариациях можно также приложить к системам уравнений (16), правые части которых зависят от $t$, и по отношению к какому угодно решению $\vec{\sigma}$ (будет ли оно статическим или нет, будет оно устойчивым или неустойчивым). Мы придем, таким образом, к системе дифференциальных уравнений (18); которые все еще линейны относительно $\xi$, но, вообще говоря, содержат в коэффициентах ярно переменную $t$. Даже и в этих случаях можно сказать, что эти уравнения определяют малые колебания около рассматриваемого решения $\bar{\sigma}$, но при этом подразумевается та оговорка, что если

решение $\bar{\circ}$ не является устойчивым, то приближенное представление, которое таким образом получается для $\sigma$, вначале близкого к $\bar{\sigma}$, сохраняет свое значение только внутри интервала времени, ограниченного подходящим образом. Так, из изучения уравнений в вариациях здесь можно получить критерии устойчивости или неустойчивости в первом приближении, но им нельзя дать простую исчерпывающую алгебраическую форму, как в случае статических решений систем, правые части которых не зависят от $t$. В частности, заслуживает упоминания случай периодических решений, т. е. случай, когда при $X(x \mid t)$, являющихся периодическими функциями от $t$ с одинаковыми периодами $T$ (или, в частности, не зависящих от $t$ ), в качестве решения $\bar{\sigma}$ принимается решение, для которого функции $x(t)$ сами будут периодическими функциями, имеющими тот же период $T$. Для таких случаев существует теория характеристических показателей, вполне аналогичная теории, действительной для статических решений, с той лишь разницей, что для составления характеристического уравнения недостаточно алгебраических средств; оно требует аналитических приемов более высокого порядка $\left[{ }^{12}\right]$.

Хотя эта теория представляет болышой интерес для приложений механики и, в частности, для небесной механики, однако мы здесь не можем заниматься ею, не выходя из рамок этой книги.