Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
21. Относительный характер живой силы, уже отмеченный в п. 6 , приводит к рассмотрению некоторого особого класса систем отсчета для любой материальной системы. Предположим, что движение некоторой системы $S$ определено относительно осей $Q \xi \eta$, которые для простоты назовем неподвижными, и поставим себе задачу определить такую систему отсчета, относительно которой живая сила системы будет наименьшей. Заметим теперь же, что если некоторый триэдр обладает этим свойством, то то же будет иметь место и для всякого другого триэдра, неподвижного относительно первого, так что все сводится к выяснению того, каким должно быть движение искомой системы отсчета $O x y z$ относительно неподвижной системы Qฑү. Для этой цели достаточно указать характеристические векторы $\boldsymbol{v}_{0}=d_{a} O / d t$ и $\omega$ движения осей $O x y z$, где $d_{a} / d t$ обозначает (абсолютно) производную, относящуюся к осям $Q \xi_{i}$. Теорема Кёнига позволяет непосредственно заключить, что должно быть где $G$, как обычно, обозначает центр тяжести системы. Действительно, в силу этой теоремы живая сила системы $S$ относительно системы осей Oxyz состоит из живой силы относительно центра тяжести, увеличенной на существенно положительное слагаемое где $m$ обозначает полную массу системы $S$, так что искомая система отсчета должна иметь начало $O$ неподвижным относительно центра тяжести $G$, или, несколько точнее, относительно системы $G \xi$; с началом в $G$ и с неизменными направлениями осей. Условимся называть абсолютными кинематические величины, которые относятся к этим последним осям, и относительными кинематические величины, относящиеся к неизвестной системе осей, обладающей указанным выше свойством. Относительную скорость какой нибудь точки $P_{i}(i=1,2, \ldots, N)$ системы можно представить в виде $\boldsymbol{v}_{\boldsymbol{i}}-\boldsymbol{w}_{i}$, где $\boldsymbol{v}_{i}$ есть аналогичная абсолютная скорость, которую мы можем считать известной, а есть соответствующая переносная скорость. Отсюда для относительной живой силы находим выражение Далее, из анализа известно, что для того, чтобы $T$, рассматриваемая как функция угловой скорости $\omega$ (или соответствующих абсолютных ее составляющих $\pi, \%, p$ ), имела минимум- при данном значении $\omega$, необходимо, чтобы при любом бесконечно малом приращении $\delta \omega$ вектора $\omega$ исчезала соответствующая вариация $T$. Так как $T$ зависит от $\omega$ только через посредство $\boldsymbol{w}_{i}$, то эта вариация определяется равенством где в силу соотношения (39) поэтому, подставляя эти выражения вместо $\delta w_{i}$ и переставляя множители смешанного произведения, получим Полученная вариация $\delta T$ будет равна нулю при любом значении Отсюда заключаем, что искомая система осей должна быть такой, чтобы в движении по отношению $к$ ней кинетический момент материальной системы относительно центра тяжести был равен ну. $\left.\iota{ }^{1}\right)$. Следует заметить, что равенство (40) в силу соотношения (39) приводит к трем линейным уравнениям относительно трех неизвестных проекций $\pi, \chi, p$ угловой скорости $\boldsymbol{\omega}$, которые определяются из этих уравнений однозначно. Это можно видеть и не производа вычислений, если мысленно спроектировать уравнение (40) на. главныө оси инерции $G_{\xi}^{\eta}$, проходящие через центр тяжести.
|
1 |
Оглавление
|