21. Относительный характер живой силы, уже отмеченный в п. 6 , приводит к рассмотрению некоторого особого класса систем отсчета для любой материальной системы.

Предположим, что движение некоторой системы $S$ определено относительно осей $Q \xi \eta$, которые для простоты назовем неподвижными, и поставим себе задачу определить такую систему отсчета, относительно которой живая сила системы будет наименьшей.

Заметим теперь же, что если некоторый триэдр обладает этим свойством, то то же будет иметь место и для всякого другого триэдра, неподвижного относительно первого, так что все сводится к выяснению того, каким должно быть движение искомой системы отсчета $O x y z$ относительно неподвижной системы Qฑү. Для этой цели достаточно указать характеристические векторы $\boldsymbol{v}_{0}=d_{a} O / d t$ и $\omega$ движения осей $O x y z$, где $d_{a} / d t$ обозначает (абсолютно) производную, относящуюся к осям $Q \xi_{i}$.

Теорема Кёнига позволяет непосредственно заключить, что должно быть
\[
\frac{d_{a} O}{d t}=\frac{d_{a} G}{d t},
\]

где $G$, как обычно, обозначает центр тяжести системы. Действительно, в силу этой теоремы живая сила системы $S$ относительно системы осей Oxyz состоит из живой силы относительно центра тяжести, увеличенной на существенно положительное слагаемое
\[
\frac{1}{2} m\left[\frac{d_{a} \overrightarrow{O G}}{d t}\right]^{2},
\]

где $m$ обозначает полную массу системы $S$, так что искомая система отсчета должна иметь начало $O$ неподвижным относительно центра тяжести $G$, или, несколько точнее, относительно системы $G \xi$; с началом в $G$ и с неизменными направлениями осей.

Условимся называть абсолютными кинематические величины, которые относятся к этим последним осям, и относительными кинематические величины, относящиеся к неизвестной системе осей, обладающей указанным выше свойством.

Относительную скорость какой нибудь точки $P_{i}(i=1,2, \ldots, N)$ системы можно представить в виде $\boldsymbol{v}_{\boldsymbol{i}}-\boldsymbol{w}_{i}$, где $\boldsymbol{v}_{i}$ есть аналогичная абсолютная скорость, которую мы можем считать известной, а
\[
\boldsymbol{w}_{i}=\omega \times \overrightarrow{G P}_{i} \quad(i=1,2, \ldots, N)
\]

есть соответствующая переносная скорость. Отсюда для относительной живой силы находим выражение
\[
T=\frac{1}{2} \sum_{i=1}^{N} m_{i}\left(\boldsymbol{v}_{i}-w_{i}\right)^{2} .
\]

Далее, из анализа известно, что для того, чтобы $T$, рассматриваемая как функция угловой скорости $\omega$ (или соответствующих абсолютных ее составляющих $\pi, \%, p$ ), имела минимум- при данном значении $\omega$, необходимо, чтобы при любом бесконечно малом приращении $\delta \omega$ вектора $\omega$ исчезала соответствующая вариация $T$.

Так как $T$ зависит от $\omega$ только через посредство $\boldsymbol{w}_{i}$, то эта вариация определяется равенством
\[
\delta T=-\sum_{i=1}^{N} m_{i}\left(\boldsymbol{v}_{i}-w_{i}\right) \cdot \delta w_{i},
\]

где в силу соотношения (39)
\[
\delta w_{i}=\delta \omega \times \overrightarrow{G P}_{i} \quad(i=1,2, \ldots, N) ;
\]

поэтому, подставляя эти выражения вместо $\delta w_{i}$ и переставляя множители смешанного произведения, получим
\[
\delta T=-\delta \omega \cdot \sum_{i=1}^{N} \overrightarrow{G P} \times m_{i}\left(\boldsymbol{v}_{i}-\boldsymbol{w}_{i}\right) .
\]

Полученная вариация $\delta T$ будет равна нулю при любом значении
в том и только в том случае, если выполняется равенство
\[
\sum_{i=1}^{N} \overrightarrow{G P}_{i} \times m_{i}\left(\boldsymbol{v}_{i}-\boldsymbol{w}_{i}\right)=0 .
\]

Отсюда заключаем, что искомая система осей должна быть такой, чтобы в движении по отношению $к$ ней кинетический момент материальной системы относительно центра тяжести был равен ну. $\left.\iota{ }^{1}\right)$.

Следует заметить, что равенство (40) в силу соотношения (39) приводит к трем линейным уравнениям относительно трех неизвестных проекций $\pi, \chi, p$ угловой скорости $\boldsymbol{\omega}$, которые определяются из этих уравнений однозначно. Это можно видеть и не производа вычислений, если мысленно спроектировать уравнение (40) на. главныө оси инерции $G_{\xi}^{\eta}$, проходящие через центр тяжести.