21. Относительный характер живой силы, уже отмеченный в п. 6 , приводит к рассмотрению некоторого особого класса систем отсчета для любой материальной системы.

Предположим, что движение некоторой системы $S$ определено относительно осей $Q\xi \eta$, которые для простоты назовем неподвижными, и поставим себе задачу определить такую систему отсчета, относительно которой живая сила системы будет наименьшей.

Заметим теперь же, что если некоторый триэдр обладает этим свойством, то то же будет иметь место и для всякого другого триэдра, неподвижного относительно первого, так что все сводится к выяснению того, каким должно быть движение искомой системы отсчета $Oxyz$ относительно неподвижной системы Qฑү. Для этой цели достаточно указать характеристические векторы ${\mathit{v}}_0=d_{a}O/dt$ и $\omega$ движения осей $Oxyz$, где $d_a/dt$ обозначает (абсолютно) производную, относящуюся к осям $Q{\xi }_i$.

Теорема Кёнига позволяет непосредственно заключить, что должно быть
$$\frac{d_{a}O}{dt}=\frac{d_{a}G}{dt},$$

где $G$, как обычно, обозначает центр тяжести системы. Действительно, в силу этой теоремы живая сила системы $S$ относительно системы осей Oxyz состоит из живой силы относительно центра тяжести, увеличенной на существенно положительное слагаемое
$$\frac{1}{2}m{\left[\frac{d_a\overrightarrow{OG}}{dt}\right]}^2,$$

где $m$ обозначает полную массу системы $S$, так что искомая система отсчета должна иметь начало $O$ неподвижным относительно центра тяжести $G$, или, несколько точнее, относительно системы $G\xi$; с началом в $G$ и с неизменными направлениями осей.

Условимся называть абсолютными кинематические величины, которые относятся к этим последним осям, и относительными кинематические величины, относящиеся к неизвестной системе осей, обладающей указанным выше свойством.

Относительную скорость какой нибудь точки $P_i(i=1,2,\dots ,N)$ системы можно представить в виде ${\mathit{v}}_{\mathit{i}}-{\mathit{w}}_i$, где ${\mathit{v}}_i$ есть аналогичная абсолютная скорость, которую мы можем считать известной, а
$${\mathit{w}}_i=\omega \times {\overrightarrow{GP}}_i(i=1,2,\dots ,N)$$

есть соответствующая переносная скорость. Отсюда для относительной живой силы находим выражение
$$T=\frac{1}{2}\sum _{i=1}^N{m}_i{({\mathit{v}}_i-w_i)}^2.$$

Далее, из анализа известно, что для того, чтобы $T$, рассматриваемая как функция угловой скорости $\omega$ (или соответствующих абсолютных ее составляющих $\pi ,\mathrm{\%},p$ ), имела минимум- при данном значении $\omega$, необходимо, чтобы при любом бесконечно малом приращении $\delta \omega$ вектора $\omega$ исчезала соответствующая вариация $T$.

Так как $T$ зависит от $\omega$ только через посредство ${\mathit{w}}_i$, то эта вариация определяется равенством
$$\delta T=-\sum _{i=1}^N{m}_i({\mathit{v}}_i-w_i)\cdot \delta w_i,$$

где в силу соотношения (39)
$$\delta w_i=\delta \omega \times {\overrightarrow{GP}}_i(i=1,2,\dots ,N);$$

поэтому, подставляя эти выражения вместо $\delta w_i$ и переставляя множители смешанного произведения, получим
$$\delta T=-\delta \omega \cdot \sum _{i=1}^N\overrightarrow{GP}\times m_i({\mathit{v}}_i-{\mathit{w}}_i).$$

Полученная вариация $\delta T$ будет равна нулю при любом значении
в том и только в том случае, если выполняется равенство
$$\sum _{i=1}^N{\overrightarrow{GP}}_i\times m_i({\mathit{v}}_i-{\mathit{w}}_i)=0.$$

Отсюда заключаем, что искомая система осей должна быть такой, чтобы в движении по отношению $к$ ней кинетический момент материальной системы относительно центра тяжести был равен ну. $\iota {}^1)$.

Следует заметить, что равенство (40) в силу соотношения (39) приводит к трем линейным уравнениям относительно трех неизвестных проекций $\pi ,\chi ,p$ угловой скорости $\mathit{\omega }$, которые определяются из этих уравнений однозначно. Это можно видеть и не производа вычислений, если мысленно спроектировать уравнение (40) на. главныө оси инерции $G_{\xi }^{\eta }$, проходящие через центр тяжести.