54. Дифференииальные уравнения движения неголономных систем (т: I, гл. VI, § 2) также можно привести к общей типичной форме, которая заслуживает того, чтобы на ней остановиться, хотя она и далека от структурной простоты уравнений Лагранжа, имеюших место для голономных систем, и вывод ее значительно более сложен.

Предпошлем здесь некоторые вспомогательные рассуждения. Чтобы охарактеризовать самым общим образом систему $S$ с двусторонними (возможно, также и неголономными) связями, отнесем ее сначала к некоторому определенному числу $n$ лагранжевых координат $q_{h}(h=1,2, \ldots, n)$, выбранных таким образом, чтобы были

учтены все голономные связи системы или только часть их, в силу чего будем иметь (уравнения (32))
\[
P_{i}=P_{i}\left(q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n} \mid t\right) \quad(i=1,2, \ldots, N) .
\]

После этого выразим остальные связи (которые, если исключить случай голономной системы, будут или все чисто кинематическими (неголономными), или частью голономными и частью кинематическими (неголономными), накладывая на координаты $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}$ некоторое число $s$ условий в виде линейно независимых уравнений вида (т. 1, гл. VI, П. 10, 17)
\[
\sum_{h=1}^{n} b_{j h} d q_{h}+b_{i 0} d t=0 ; \quad(j=1,2, \ldots, s),
\]

или же в конечной форме
\[
\sum_{h=1}^{n} b_{j h} \dot{q}_{h}+b_{j 0}=0 \quad(j=1,2, \ldots, s),
\]

где коэффициенты $b_{j h}$ являются функциями от $q$ и $t$, за исключением случая, когда эти $s$ связей не зависят явно от времени; в последнем случае коэффициенты $b_{j h}$ при $h>0$ зависят только от $q$, а $b_{j 0}$ тождественно равны нулю $\left[{ }^{2}\right]$. Необходимо отметить, что если материальная система $S$ является неголономной, то система уравнений Пфаффа (76) не может быть вполне интегрируемой, т. е. уравнения (76) не могут получиться посредством полного дифференцирования из $s$ конечных независимых соотношений между $q$ и $t$.

Мы можем всегда разрешить $s$ линейных независимых уравнений $\left(76^{\prime}\right)$ относительно $s$ лагранжевых скоростей $\dot{q}_{h}$ или, для большей симметрии, обратиться к параметрическому представлению, выражая все лагранжевы скорости $\dot{q}$, удовлетворяющие уравнениям $\left(76^{\prime}\right.$ ), в виде линейных функций (вообще говоря, неоднородных) от некоторых $
u=n-s$ произвольных параметров $e_{1}, \ldots, e_{
u}$. Тем самым мы придадим уравнениям, выражающим кинематические связи, следующий вид:
\[
\dot{q}_{h}=\sum_{\alpha=1}^{
u} \eta_{i h \alpha} e_{\alpha}+\eta_{h 0} \quad(h=1,2, \ldots, n),
\]

где при связях, зависящих от времени, коэффициенты $\eta$ будут определенными функциями от $q$ и $t$, в случае же связей, не зависящих от времени, величины $\eta_{h \alpha}$ при $\alpha>0$ будут функциями только от $q$, а $\eta_{h 0}$ будут тождественно равны нулю.

Произвольные параметры $e$, введенные таким образом, мы будем называть кинематическими характеристиками системы в координатах $q$ для данного момента и соответствующей ему конфигурации.

Это название оправдывается тем соображением, что если задаются момент времени $t_{0}$ и конфигурация с координатами $q^{0}$, то формулы (77), в которых надо положить $t=t_{0}, q_{h}=q_{h}^{0}$, дадут соответственно $\infty^{*}$ возможных выборов значений параметров $e_{\alpha}$, все $r$ значений, совместимых со связями лагранжевых скоростей $\dot{q}_{h}$, или, в более сжатой форме, всевозможные состояния движения, которые, в этот момент и в этой конфигурации, система фактически может принять, в согласии со своими связями.

Естественно, что все предыдущее сохраняет свое значение также и в частном случае, когда все связи системы будут голономными, не исключая и того случая, когда эти связи выражаются дифференциальными уравнениями Пфаффа (76), которые должны поэтому представлять собой интегрируемую систему. Но в этом предположении кинематические характеристики можно выбрать некоторым частным образом, который необходимо разъяснить. Так как связи, наложенные на лагранжевы координаты $q$ (если число координат превышает число степеней свободы), являются голономными, то конфигурацию системы в любой момент можно определиті, выражая $q$ в функциях от других , независимых лагранжевых параметров $r_{\alpha}(\alpha=1,2, \ldots,
u)$ в виде
\[
q_{h}=q_{h}\left(r_{1}, r_{2}, \ldots, r_{
u} \mid t\right) \quad(h=1,2, \ldots, n) ;
\]

чтобы определить состояния движения, возможные для системы начиная с какого-нибудь момента времени $t$ и с любой начальной конфигурации, возможной в этот момент, достаточно взять производные по времени от предыдущих уравнений, в результате чего получим равенства
\[
\dot{q}_{h}=\sum_{\alpha=1}^{y} \frac{\partial q_{h}}{\partial r_{\alpha}} \dot{r}_{\alpha}+\frac{\partial q_{h}}{\partial t} \quad(h=1,2, \ldots, n),
\]

которые и представляют собой уравнения (77), относящиеся к рассматриваемому здесь случаю. Таким образом, мы имеем здесь
\[
\eta_{h \alpha}=\frac{\partial q_{h}}{\partial r_{\alpha}}, \quad \eta_{h 0}=\frac{\partial q_{h}}{\partial t} \quad(h=1,2, \ldots, n ; a=1,2, \ldots,
u),
\]
a кинематические характеристики выражаются лагранжевыми скоростями $\dot{r}_{a}$.

Вернемся теперь к общему случаю, т. е. к уравнениям (77). Имея в виду следствия, которые мы из них получим, рассмотрим здесь наряду с состояниями движения, возможными для системы, также и ее виртуальные перемещения, лагранжевы составляющие которых $\delta q$ определяются, как мы знаем, из уравнений, получающихся из уравнений (76) путем отбрасывания в них (если свяви
\[

зависят от времени) членов $b_{j 0} d t$ (т. I, гл. VI, п. 17), т. е. из уравнений
\[
\sum_{h=1}^{n} b_{j h} \delta q_{h}=0 \quad(j=1,2, \ldots, s) .
\]

Отсюда следует, что общие параметрические выражения $\delta q_{h}$ будут получаться из правых частей уравнений (77) путем отбрасывания в них, если они не равны нулю, величин $r_{i n 0}$ и подстановки вместо кинематических характеристик $e_{\alpha}$ стольких же бесконечно малых произвольных параметров $\delta \varepsilon_{\alpha}$. Таким образом, лагранжевы составляющие всех виртуальных перемещений системы, начиная с некоторого момента и любой конфигурации, будут определяться равенствами
\[
\delta q_{h}=\sum_{\alpha=1}^{
u} \eta_{i h \alpha} \delta \varepsilon_{\alpha}=\sum_{\alpha=1}^{
u} \frac{\partial \dot{q}_{k}}{\partial e_{\alpha}} \delta \varepsilon_{\alpha} \quad(h=1,2, \ldots, n)
\]

соответственно возможным выборам $
u$ бесконечно малых произвольных параметров $\delta \varepsilon_{a}$.

Из уравнений (78) можно быпо бы тотчас же получить геометрическое выражение наиболее общего виртуального перемещения нашей материальной системы. Для этого нужно было бы подставить в равенства
\[
\delta P_{i}=\sum_{h=1}^{n} \frac{\partial P_{i}}{\partial q_{h}} \delta q_{h} \quad(i=1,2, \ldots, N)
\]

которые непосредственно следуют из уравнений (32), вместо $\delta q_{h}$ их выражения через $q$ и $\delta \varepsilon_{\alpha}$ ( $v$, возможно, через $t$ ) по формулам (78). В дальнейшем мы не будем, однако, иметь случая применить те формулы, к которым мы пришли бы таким путем.
55. Уравнения маджи. Предположим теперь, что система $S$ подчинена идеальным связям и находится под пействием заданной системы сил $F_{i}$; составим уравнения движения системы.

Как и в случае голономных систем (п. 32), мы и здесь будем исходить из общего уравнения динамики; так как это уравнение удовлетворяется для всех виртуальных перемещений системы, то оно и здесь будет определять движение. Отделяя кинетические члены (содержащие ускорения) от динамических (содержащих силы), напишем его еще в виде уравнения (35) п. 36
\[
\sum_{i=1}^{N} m_{i} a_{i} \cdot \delta P_{i}=\sum_{i=1}^{N} \dot{F_{i}} \delta P_{i}
\]

После этого, вводя и в этом случае составляющие
\[
Q_{h}=\sum_{i=1}^{N} F_{i} \cdot \frac{\partial P_{i}}{\partial q_{h}} \quad(h=1,2, \ldots, n)
\]

активных сил по лагранжевым координатам $q_{h}$ (здесь уже не независимым, а подчиненным кинеиатическим связям (76)) и полагая
\[
\tau_{h}=\sum_{i=1}^{N} m_{i} a_{i} \cdot \frac{\partial P_{i}}{\partial q_{h}} \quad(h=1,2, \ldots, n),
\]

мы сможем придать уравнению (35), как и в п. 36 , вид
\[
\sum_{h=1}^{n} \tau_{h} \delta q_{h}=\sum_{h=1}^{n} Q_{h} \delta q_{h} .
\]

Но в то время как в случае голономной системы (с $n$ степенями свободы) все $\delta q_{h}$ были произвольными (и независимыми), здесь они связаны между собой так, что могут принимать только значения, удовлетворяющие равенствам (78), сообразно с выбором $
u$ произвольных $\delta \varepsilon_{\alpha}$. Таким образом, годставляя вместо $\delta q_{h}$ их выражения (78) и принимая во внимание произвольность $\delta \varepsilon_{\alpha}$, мы заключаем, что общее уравнение (35) равносильно системе $\vee$ уравнений
\[
\sum_{h=1}^{n} r_{i h} \tau_{h}=\sum_{h=1}^{n} \eta_{h \alpha} Q_{h} \quad(\alpha=1,2, \ldots,
u) .
\]

Эти уравнения, совершенно аналогичные уравнениям (40) для голономных систем (п. 36), представляют собой уравнения движения нашей системы $\mathcal{S}$. Их можно обычным путем преобразовать и дальше, если воспользоваться приеком, с помощью которого мы пришли к уравнениям Лагранжа (п. 36-37).

Прежде всего полную виртуальную работу прямо приложенных сил
\[
\delta L=\sum_{h=1}^{n} Q_{h} \delta q_{h},
\]

если принять во внимание уравнения (78), можно написать в форме
\[
\delta L=\sum_{\alpha=1}^{
u} \delta \varepsilon_{\alpha} \sum_{h=1}^{n} \eta_{h \alpha} Q_{h},
\]

откуда мы видим, что правые части уравнений (80) представляют собой коэффициенты при различных $\delta \varepsilon_{\alpha}$ в выражении виртуальной работы $\delta L$.

Полагая
\[
\Phi_{\alpha}=\sum_{h=1}^{n} r_{i h \alpha} Q_{h} \quad(\alpha=1,2, \ldots,
u)
\]

и вспоминая, что если вводится живая сила $T$ системы, выраженная через $q, \dot{q}$, то существуют (независимо от того факта, что все $\dot{q}$ будут здесь подчинены кинематическим связям (76)) тождества (42) (п. 37 )
\[
\tau_{h}=\frac{d}{d t} \frac{\partial T}{\partial \dot{q}_{h}}-\frac{\partial T}{\partial q_{h}} \quad(h=1,2, \ldots, n) ;
\]

уравнениям (80) можно придать вид
\[
\sum_{h=1}^{n} \eta_{h \alpha}\left(\frac{d}{d t} \frac{\partial T}{\partial \dot{q}_{h}}-\frac{\partial T}{\partial q_{h}}\right)=\Phi_{\alpha} \quad(\alpha=1,2, \ldots,
u) .
\]

Это и будут уравнения Маджи [3]. Они вместе с уравнениями (77) с аналитической точки зрения дают в дифференциальной форме полную постановку задачи о движении для системы $S$ с двусторонними идеальными (в том числе и неголономными) связями. Действительно, если представим себе, что в уравнения (82) вместо величин $\dot{q}$ подставлены их выражения (77) через $q$, $e$ и $t$ и выполнено дифференцирование по $t$, то будет очевидно, что после выполнения всех преобразований в уравнениях останутся, помимо $q, e, t$, только $
u$ производных $\dot{e}$ от $e$, которые войдут в них линейно. Замечания, совершенно аналогичные тем, которые были сделаны в п. 36, приводят к выводу, что полученные таким образом из системы (82) v уравнений разрешимы относительно этих $
u$ производных $\dot{e}$, так что мы заключаем, что уравнения (77) и (82) вместе составляют диф. ференциальную систему уравнений первого порядка, приводимую к нормальному виду относительно $n+
u$ неизвестных функций времени $q$ и $e$. Если конфигурация и состояние движения материальной системы в начальный момент заданы, т. е. указаны произвольные численные начальные значения $q$ (позиционных координат) и $e$ (кинетических характеристик), то движение неголономной системы будет однозначно определено.
56. Так как уравнения (77) и (82) в их совокупности вполне определяют движение системы, то мы заранее можем быть уверены, что в случае связей, не зависящих от времени, эти уравнения должны содержать в себе уравнение живых сил
\[
\dot{d} T=d L \text {. }
\]

Однако, принимая во внимание важность результата, не бесполезно показать прямым путем, как это соотношение формально получается из уравнений Маджи (82).

Для этой цели заметим прежде всего, что когда все связи (голономные и неголономные) не зависят от времени, то живая сила $T$ принимает вид
\[
T=\sum_{\substack{h=1 \\ k=1}}^{n} a_{h k} \dot{q}_{h} \dot{q}_{k},
\]

где $a_{h k}$ суть функции только от $q$, правые же части уравнений (77) не будут содержать членов $\eta_{h 0}$, а величины $\eta_{h \alpha}$ при $\alpha>0$ не будут зависеть от $t$; так что, в частности, для любого действительного перемещения системы будет иметь место выражение (тождественное выражению любого виртуального перемещения, за исключением лишь подстановки $e_{\alpha} d t$, вместо $\delta \varepsilon_{\alpha}$ )
\[
d q_{h}=\dot{q}_{h} d t=d t \sum_{\alpha=1}^{
u} \eta_{h \alpha} e_{\alpha} \quad(h=1,2, \ldots, n) .
\]

Умножая каждое из уравнений (82) на соответствующее $e_{\alpha} d t$ и складывая почленно, мы получим, принимая во внимание соотношения (78), уравнение
\[
\sum_{h=1}^{r}\left(\frac{d}{d t} \frac{\partial T}{\partial \dot{q}_{h}}-\frac{\partial T}{\partial q_{h}}\right) d q_{h}=d t \sum_{\alpha=1}^{
u} \Phi_{\alpha} e_{\alpha}
\]

в котором левая часть тождественна с приращением $d T$ живой силы за элемент времени $d t$ (п. 39), а правая часть дает элементарную работу $d L$, совершаемую активными силами за этот же самый элемент времени, если принять во внимание, что в силу независимости связей от времени равенства (83) оказываются справедливыми для действительных бесконечно малых перемещений.
57. ЗамЕчАния оБ уравнения кинЕматичвских связЕй. Уравнениям (82) можно придать более выразительный вид, разбивая в каждом из них левую часть на два слагаемых, из которых одно характеризует неголономность связей (оно тождественно исчезает при исключительно голономных связях), а другое, если отнести систему к голономным характеристикам, сведется к соответствующим лагранжевым биномам.

Чтобы сделать возможным такое преобразование уравнений (82), мы предпошлем несколько замечаний о кинематических связях системы, которые мы будем предполагать заданными в параметрической форме (77). Изменения лагранжевых координат $q$ за элемент времени $d t$ (начиная от любого момента и любой конфигурации), совместимые с этими связями, выразятся равенствами (77′)
\[
d q_{h}=\sum_{\alpha=1}^{
u} \eta_{h \alpha} d \varepsilon_{\alpha}+\eta_{h \hbar 0} d t \quad(h=1,2, \ldots, n),
\]

где через $d \varepsilon_{\alpha}$ обозначены бесконечно малые произвольные количества $e_{\alpha} d t$. Как мы уже знаем, если связи не зависят от времени, то количества $n_{h^{\alpha}}$ при $\alpha>0$ будут функциями только от $q$, а все $\eta_{h 0}$ тождественно обратятся в нуль; наоборот, если связи зависят от времени, все $r_{h \alpha}$ вместе с $r_{h 0}$ будут функциями от $q$ и $t$.

В этом последнем предположении, для однообразия обозначений, удобно переменную $t$ обозначить через $q_{0}$, а изменение времени $d t$ — через $d \varepsilon_{0}$, поэтому к уравнениям ( $77^{\prime}$ ) мы присоединим $(n+1)$-е уравнение
\[
d q_{0}=d \varepsilon_{0}
\]

или, что одно и то же, будем рассматривать уравнения (77′) coхраняющими значение также и при индексе $h=0$, при условии, что все $\eta_{0 \alpha}$ будут тождественно равны нулю, за исключением $\eta_{00}=1$. Таким образом, вместо уравнений (77′) мы будем иметь уравнения
\[
d q_{h}=\sum_{\alpha=0}^{
u} \eta_{h \alpha} d^{\prime} \varepsilon_{\alpha} \quad(h=0,1,2, \ldots, n) ;
\]

при этом важно иметь в виду, что если мы выполняем вычисления для связей, не зависящих от времени, то индекс $h$ нужно изменять от 1 до $n$, а не от 0 до $n$, и индекс $\alpha$ — от 1 до v. а не от 0 до v. Выберем теперь две произвольные системы: $d^{\prime} \varepsilon_{\alpha}, d^{\prime \prime} \varepsilon_{\alpha}(\alpha=0,1$, $2, \ldots$, v) бесконечно малых количеств. Обозначив через $d^{\prime}$ и $d^{\prime \prime}$ соответствующие операции варьирования, будем иметь на основании уравнений ( $\left.77^{\prime \prime}\right)$
\[
d^{\prime \prime} d^{\prime} q_{h}=\sum_{a=0} \sum_{\gamma=0}^{n} \frac{\partial \eta_{h, \alpha}}{\partial q_{\gamma}} d^{\prime} \varepsilon_{\alpha} d^{\prime \prime} q_{\zeta}+\sum_{\alpha=0}^{
u} \eta_{h \alpha} d^{\prime \prime} d^{\prime} \varepsilon_{\alpha}
\]

или же, принимая во внимание те же равенства ( $77^{\prime \prime}$ ),
\[
d^{\prime \prime} d^{\prime} q_{h}=\sum_{\substack{\alpha=0 \\ \beta=0}}^{
u} \sum_{\gamma=0}^{n} r_{i \gamma \beta}^{\beta} \frac{\partial \eta_{h \alpha}}{\partial q_{\gamma}} d^{\prime} \varepsilon_{\alpha} d^{\prime \prime} \varepsilon_{\beta}+\sum_{\alpha=0}^{
u} \eta_{h \alpha} d^{\prime \prime} d^{\prime} \varepsilon_{\alpha} .
\]

Отсюда, меняя порядок варьирования $d^{\prime}$ и $d^{\prime \prime}$ и принимая во внимание, что для независимых переменных $\varepsilon_{\alpha}$ имеем
\[
d^{\prime} d^{\prime \prime} \varepsilon_{\alpha}=d^{\prime \prime} d^{\prime} \varepsilon \quad(\alpha=0,1,2, \ldots,
u),
\]

получим при $h=0$, естественно, тождество, а при $h=1,2, \ldots, n$ будем иметь $n$ уравнений:
\[
d^{\prime \prime} d^{\prime} q_{h}-d^{\prime} d^{\prime \prime} q_{h}=\sum_{\substack{\alpha=0 \\ j=0}}^{
u} \eta_{i h_{j} \alpha_{\beta}} d^{\prime} \varepsilon_{\alpha} d^{\prime \prime} \varepsilon_{\beta} \quad(h=1,2, \ldots, n),
\]

где положено
\[
\begin{aligned}
\eta_{h, \alpha \beta} & =\sum_{\gamma=0}^{n}\left(\eta_{\gamma \beta} \frac{\partial \eta_{h \alpha}}{\partial q_{Y}}-\eta_{\gamma \alpha} \frac{\partial \eta_{h \beta}}{\partial q_{Y}}\right) \\
& (h=1,2, \ldots, n ; \quad \alpha, \beta=0,1, \ldots,
u) .
\end{aligned}
\]

Эти функции $\eta_{h \mid \alpha \beta}$ от $q_{0}, q_{1}, \ldots, q_{n}$, в силу их определения, удовлетворяют тождествам
\[
n_{h \mid \alpha \beta}+n_{h \mid \beta \alpha}=0,
\]
т. е. при всяком индексе $h$ составляют кососимметричную систему (относительно индексов $\alpha$ и $\beta$ ); знакопеременные билинейные формы (84) представляют собой так называемые билинейные козарианты пфаффианов, стоящих в правых частях уравнений (77\») при $h=1,2, \ldots, n$. Очевидно, что название ковариантов они нолучили бла́годаря тому обстоятельству, что при всякой замене независимых переменных преобразованные выражения этих форм будут точно совпадать с теми билинейными знакопеременными формами, которые получились бы, если бы определяющие первоначальные формы уравнения (84) были приложены к преобразованным выражениям исходных пфаффианов ${ }^{1}$ ).

Эти коварианты, в силу их знакопеременного характера относительно двух рядов переменных, $d^{\prime} \varepsilon_{\alpha}, d^{\prime \prime} \varepsilon_{z}$, будут исчезать всякий раз, когда будут совпадать вариации $d^{\prime}, d^{\prime \prime}$, и они будут обращаться в нуль тождественно, т. е. при всяком выборе $d^{\prime}$ и $d^{\prime \prime}$, если связи окажутся исключительно голономными (т. е., по существу, если уравнения Пфаффа (77′) получаются путем полного дифференцирования стольких же конечных уравнений между переменными). Действительно, в этом случае все $q_{h}$ являются функциями от $
u$ лагранжевых независимых параметров $r_{2}$, а кроме того, возможно, и времени, которое здесь, в согласии с тем, как это было сделано раньше, мы обозначим через $r_{0}$. Принимая за кинематические характеристики $\dot{r}_{\alpha}(\alpha=1,2, \ldots,
u)$, мы должны будем рассматривать вместо уравнений $\left(77^{\prime \prime}\right.$ при $h=i, 2, \ldots, n$ равенства
\[
d q_{h}=\sum_{\alpha=0}^{y} \frac{\partial q_{h}}{\partial r_{\alpha}} d r_{\alpha} \quad(h=1,2, \ldots, n) .
\]

Поэтому будем иметь
\[
\eta_{h^{\alpha}}=\frac{\partial q_{h}}{\partial r \alpha},
\]

и достаточно прямо вычислить любой билинейный ковариант $d^{\prime \prime} d^{\prime} q_{h}$ — $d^{\prime} d^{\prime \prime} q_{h}$, чтобы убедиться, что он тождественно равен нулю.

Возвращаясь к общему случаю, когда связи не все голономны, рассмотрим тот случай, когда из двух операций дифференцирования $d^{\prime}, d^{\prime \prime}$ одна соответствует любому действительному перемещению материальной системы, а другая — любому виртуальному перемещению.
Положим
\[
\begin{array}{ll}
d^{\prime} \varepsilon_{0}=d t, & d^{\prime} \varepsilon_{\alpha}=e_{\alpha} d t \\
d^{\prime \prime} \varepsilon_{0}=0, & d^{\prime \prime} \varepsilon_{\alpha}=\delta \varepsilon_{\alpha}
\end{array} \quad(\alpha=1,2, \ldots,
u),
\]

Обозначая через $\chi_{h}(h=1,2, \ldots, n)$ соответствующие билинейные коварианты при этом выборе $d^{\prime}, d^{\prime \prime}$, получим
\[
\chi_{h}=\delta d q_{h}-d \delta q_{h}=d t \sum_{\beta=1}^{
u}\left(\eta_{h i 0 \beta}+\sum_{\alpha=1}^{
u} \eta_{h ; \alpha \beta} e_{\alpha}\right) \delta \varepsilon_{\beta}
\]

или также (при перестановке двух индексов $\alpha, \beta$ )
\[
\chi_{h}=d t \sum_{\alpha=1}^{
u} o_{h x} \varepsilon \varepsilon_{\alpha} \quad(h=1,2, \ldots,
u),
\]

где для краткости положено
\[
\varphi_{h \alpha}=\eta_{h \mid 0 \alpha}+\sum_{\beta=1}^{
u} \eta_{h \mid \beta \alpha} e_{\beta} \quad(h=1,2, \ldots, n ; \alpha=1,2, \ldots, v) .
\]
58. Члены неголономности. После этих предпосылок вернемся снова к уравнениям (82) движения системы, связи которой не все голономны (п. 55); вспоминая, что на основании уравнений (78) 11. 54 имеем
\[
\eta_{h \alpha}=\frac{\partial \dot{q}_{h}}{\partial e_{\alpha}} \quad(h=1,2, \ldots, n ; \alpha=1,2, \ldots,
u),
\]

можно написать эти уравнения в форме
\[
\sum_{h=1}^{n} \frac{\partial \dot{q}_{h}}{\partial e_{\alpha}}\left(\frac{d}{d t} \frac{\partial T}{\partial \dot{q}_{h}}-\frac{\partial T}{\partial q_{h}}\right)=\Phi_{a} \quad(\alpha=1,2, \ldots,
u) .
\]

Как было сказано в начале предыдущего пункта, речь идет о том, чтобы показать, что мы можем разбить в каждом из этих уравнений левую часть на два слагаемых, одно из которых можно назвать неголономным, а другое-голономным, в том смысле, что когда все связи являются голономными, первое слагаемое

тождественно исчезает, а второе для голономных характеристик приводится к соответствующему лагранжеву биному.

Напомним, что в уравнениях (82′) живая сила $T$ рассматривается как функция от $q, \dot{q}$ и, возможно, от $t$. Если на основании уравнений (77) мы представим себе живую силу выраженной через $q$, $e$ и, возможно, также через $t$, и обозначим ее через $T^{*}$, то будем иметь
\[
\begin{aligned}
\frac{\partial T^{*}}{\partial q_{h}}=\frac{\partial T}{\partial q_{h}}+\sum_{j=1}^{n} \frac{\partial T}{\partial \dot{q}_{j}} \frac{\partial \dot{q}_{j}}{\partial q_{h}}, \frac{\partial T^{*}}{\partial e_{\alpha}}=\sum_{h=1}^{n} \frac{\partial T}{\partial \dot{q}_{h}} \frac{\partial \dot{q}_{h}}{\partial e_{\alpha}} \\
(h=1,2, \ldots, n ; \alpha=1,2, \ldots,
u) ;
\end{aligned}
\]

отсюда, составляя линейные комбинации первых из этих равенств и дифференцируя полным образом по $t$ вторые, получим, очевидно, тождества
\[
\begin{array}{c}
\sum_{h=1}^{n} \frac{\partial \dot{q}_{h}}{\partial e_{\alpha}} \frac{\partial T}{\partial q_{h}}=\sum_{h=1}^{n} \frac{\partial \dot{q}_{h}}{\partial e_{\alpha}} \frac{\partial T^{*}}{\partial q_{h}}-\sum_{\substack{h=1 \\
j=1}}^{n} \frac{\partial T}{\partial \dot{q}_{j}} \frac{\partial \dot{q}_{j}}{\partial q_{h}} \frac{\partial \dot{q}_{h}}{\partial e_{\alpha}}, \\
\sum_{h=1}^{n} \frac{\partial \dot{q}_{h}}{\partial e_{\alpha}} \cdot \frac{d}{d t} \frac{\partial T}{\partial \dot{q}_{h}}=\frac{d}{d t} \frac{\partial r^{*}}{\partial e_{\alpha}}-\sum_{h=1}^{n} \frac{\partial T}{\partial \dot{q}_{h}} \cdot \frac{d}{d t} \frac{\partial \dot{q}_{h}}{\partial e_{\alpha}} .
\end{array}
\]

Вычитая первое тождество из второго, найдем
\[
\sum_{h=1}^{n} \frac{\partial \dot{q}_{h}}{\partial e_{\alpha}}\left(\frac{d}{d t} \frac{\partial T}{\partial \dot{q}_{h}}-\frac{\partial T}{\partial \dot{q}_{h}}\right)=\mathrm{A}_{\alpha}+\mathrm{O}_{\alpha} \quad(\alpha=1,2, \ldots,
u),
\]

где положено
\[
\begin{array}{c}
\mathrm{A}_{\alpha}=\sum_{h=1}^{n} \frac{\partial T}{\partial \dot{q}_{h}}\left\{\sum_{j=1}^{n} \frac{\bar{\partial} \dot{q}_{h}}{\partial q_{j}} \frac{\partial \dot{q}_{j}}{\partial e_{\alpha}}-\frac{d}{d t} \frac{\partial \dot{q}_{h}}{\partial e_{\alpha}}\right\} \\
\quad(\alpha=1,2, \ldots,
u) \\
\mathbf{Q}_{\alpha}=\frac{d}{d t} \frac{\partial T^{*}}{\partial e_{\alpha}}-\sum_{h=1}^{n} \frac{\partial \dot{q}_{h}}{\partial e_{\alpha}} \frac{\partial T^{*}}{\partial q_{h}} .
\end{array}
\]

На основании тождеств (88) уравнения (82′) могут быть написаны, в виде
\[
\mathrm{A}_{\alpha}+\mathrm{Q}_{\mathrm{z}}=\Phi_{\alpha} \quad(\alpha=1,2, \ldots,
u) ;
\]

теперь можно показать, что $\mathrm{A}_{\alpha}$ педставляют собой члены неголономности, а $Q_{\alpha}$ — члены голономности.

C этой целью умножим обе чгсти (89) на $d t \delta \varepsilon_{\alpha}$ и просуммируем от $\alpha=1$ до $\alpha=\gamma$. Таким образом, получим тождество
\[
d t \sum_{\alpha=1}^{
u} \mathrm{A}_{\alpha} \delta \varepsilon_{\alpha}=\sum_{h=1}^{n} \frac{\partial T}{\partial \dot{q}_{h}}\left\{d t \sum_{i=1}^{n} \frac{\partial \dot{q}_{h}}{\partial q_{j}} \sum_{\alpha=1}^{n} \frac{\partial \dot{q}_{j}}{\partial e_{\alpha}} \delta \varepsilon_{\alpha}-d \sum_{\alpha=1}^{
u} \frac{\partial \dot{q}_{h}}{\partial e_{\alpha}} \hat{\delta} \varepsilon_{\alpha}\right\} .
\]

Принимая во внимание уравнения (78) п. 54
\[
\sum_{\alpha=1}^{n} \frac{\partial \dot{q}_{h}}{\partial e_{\alpha}} \delta \varepsilon_{\alpha}=\delta q_{h} \quad(h=1,2, \ldots, n),
\]

можно написать последнее тождество в виде
\[
d t \sum_{\alpha=1}^{
u} \mathrm{A}_{\alpha} \delta \varepsilon_{\alpha}=\sum_{h=1}^{n} \frac{\partial T}{\partial \dot{q}_{h}}\left\{d t \sum_{j=1}^{n} \frac{\partial \dot{q}_{h}}{\partial q_{j}} \delta q_{j}-d \delta q_{h}\right\}
\]

или, замечая, что $\dot{q}_{h} d t=d q_{h}$, и обозначая, как в предыдущем пункте, через $\chi_{h}$ билинейный ковариант $\delta d q_{h}-d \delta q_{h}$, в виде
\[
d t \sum_{\alpha=1}^{
u} \mathrm{A}_{\alpha} \delta \varepsilon_{\alpha}=\sum_{h=1}^{n} \frac{\partial T}{\partial \dot{q}_{h}} \gamma_{h} .
\]

Так как в случае исключительно голономных связей билинейные коварианты $\chi_{h}$ тождественно исчезают (предыдущий пункт), мы заключаем, что при таком предположении из этого тождества сле. дует
\[
\sum_{\alpha=1}^{
u} \mathrm{A}_{\alpha} \hat{\delta} \varepsilon_{\alpha}=0
\]

при любом выборе $\delta \varepsilon_{\alpha}$; а это как раз равносильно тождественному исчезанию отдельных членов $\mathrm{A}_{\alpha}$, характер неголономности которых таким образом обнаружен.

Теперь, прежде чем перейти і членам $Q_{\alpha}$, укажем попутно на крайне сжатую форму, которая в общем случае, т. е. когда не все связи голономны, получается для членов неголономности $\mathbf{A}_{\alpha}$ из соотношения (92). Достаточно вместо $\chi_{h}$ подставить их выражения (86) и приравнять в обеих частях коэффдциенты при произвольных величинах $\delta \varepsilon_{\alpha}$, чтобы получить равенства
\[
\mathrm{A}_{\alpha}=\sum_{h=1}^{n} \frac{\partial T}{\partial \dot{q}_{h}} \varphi_{h \alpha},
\]

где $\varphi_{h \alpha}$ определяются равенствами (87).
Переходя затем к членам $Q_{\alpha}$, определяемым равенствами (90), вспомним, что если связи окажутся все голономными и если $r_{\alpha}(\alpha=1,2, \ldots, y)$ представляют собой $
u$ независимых лагранжевых координат, позволяющих выразить первоначальные координаты $q$, число которых превышает чис.о степеней свободы, то будем иметь (п. 54)
\[
\eta_{h \theta}=\frac{\partial q_{h}}{\partial t}, \eta_{h \alpha}=\frac{\partial q_{h}}{\partial r_{\alpha}}, e_{\alpha}=\dot{r}_{\alpha}, \frac{\partial \dot{q}_{h}}{\partial e_{\alpha}}=\frac{\partial q_{h}}{\partial r_{\alpha}}
\]

таким образом, на основании формуп (90), в этом случае, т. е. в случае, когда $T^{*}$ обозначает живую силу, выраженную через $r, \dot{r}$ и, возможно, через $t$, получим
\[
\mathbf{Q}_{\alpha}=\frac{d}{d t} \frac{\partial T^{*}}{\partial \dot{r}_{\alpha}}-\sum_{h=1}^{n} \frac{\partial T^{*}}{\partial q_{h}} \frac{\partial q_{h}}{\partial r_{\alpha}},
\]
т. е. как раз
\[
\mathbf{\Omega}_{\alpha}=\frac{d}{d t} \frac{\partial T^{*}}{\partial \dot{r}^{*}}-\frac{\partial T^{*}}{\partial r_{\alpha}} \quad(\alpha=1,2, \ldots, \gamma)
\]

Заметим, что впервые выделил в уравнениях неголономных систем члены неголономности Вольтерра ${ }^{1 *}$ ), который применял для этой цели способ, существенно отличный от способа, характеризующегося систематическим применением пфаффианов и их билинейных ковариантов ${ }^{2}$ ).

Вольтерра же принадлежит одно важное замечание относительно интегрирования неголономных систем, которым мы займемся в следующем пункте.
59. ГИРОСТАТИЧЕСКИЙ ХАРАКТЕР ЧЛЕНОВ НЕГОЛОНОМНОСТИ. СИСТЕМЫ С НЕЗАВИСИМЫМИ ХАРАКТЕРИСТИКАМИ ПО ВОЛЬТЕРРА. ПредПОЛОЖИМ, что связи, среди которых обягательно есть неголономные, не зависят от времени. В этом предположении $r_{h 0}$ будут тождественно равны нулю, и, следовательно, в силу соотношений (85) будут равны нулю и все $\eta_{h i 0 \alpha}$, так что формулы (87) примут вид
\[
\varphi_{h \alpha}=\sum_{\beta=1}^{
u} \eta_{h \mid \beta \alpha} e_{\beta} \quad(h=1,2 \ldots, n ; \alpha=1,2, \ldots,
u) .
\]

С другой стороны, в этом случае виртуальные перемещения не будут отличаться от действительных (за исключением разве лишь того обстоятельства, не имеющего здесь значения, что в первых время остается неизменным, а во вторых и оно также испытывает приращение $d t$ ); поэтому, вспоминая что при $d^{\prime}=d^{\prime \prime}$ билинейныє коварианты исчезают, мы выводим из равенств (86) тождества
\[
\sum_{\alpha=1}^{
u} \varphi_{h \alpha} e_{\alpha}=0 .
\]

Если теперь, как это делалось в п. 56 для уравнений (82), образуем и для уравнений (91) дифференциал живых сил
\[
d L=d t \sum_{\alpha=1}^{
u} \Phi_{\alpha} e_{\alpha}=d t \sum_{\alpha=1}^{
u}\left(\mathrm{A}_{\alpha}+\mathrm{O}_{\alpha}\right) e_{\alpha}
\]

и примем во внимание, что в силу соотношений (93) имеем тождественно
\[
d t \sum_{\alpha=1}^{
u} \mathrm{A}_{\alpha} e_{\alpha}=d t \sum_{h=1}^{n} \frac{\partial T}{\partial \dot{q}_{h}} \sum_{\alpha=1}^{
u} \varphi_{h \alpha} e_{\alpha},
\]

то увидим на основании тождеств (94), что члены $\mathrm{A}_{\alpha}$ ничего не прибавляют к этой интегрируемой комбинации. Другими словами, члены $\mathrm{A}_{\alpha}$, происходящие исключтельно от неголономных связей, имеют гироскопический характер в смысле, разъясненном в п. 44. Это и есть упомянутое выше замечание Вольтерра.

Прибавим еще, что Вольтерра назвал системами с независимыми характеристиками такие системы, для которых левые части $\mathrm{A}_{\alpha}+\mathbf{Q}_{\alpha}$ уравнений движения содержат явно только кинематические характеристики $e$ (т. е. не зависят от $q$ ).

В этом случае определение так называемого спонтанного движения системы, т. е. движения при отсутствии активных сил, которое определяется уравнениями
\[
\mathrm{A}_{\alpha}+\mathrm{g}_{\alpha}=0,
\]

может быть разбито на две отдельные операции: определение характеристик $e$ на основе предыдущей системы и последующее определение $q$ на основе параметрических уравнений связей (77).

Следует заметить, что для систем со связями, не зависящими оf времени, члены голономности $Q_{\alpha}$ можно всегда сделать не зависящими от $q$ посредством подходящего выбора характеристик $e_{\alpha}$, какова бы ни была природа связей (77). Действительно, заметим, что при допущенном предположении $T^{*}$ после вычисления будет определенной положительной квадратичной формой относительно $e_{\alpha}$ с коэффициентами, которые, естественно, в общем случае будут зависеть от $q$. Далее, как известно, можно всегда бесконечным

числом способов вместо $e_{\alpha}$ подставить столько же их линейных комбинаций $e_{\alpha}^{\prime}$ с коэффициентами, зависящими от $q$, и притом так, чтобы привести $T^{*}$ к канонической форме
\[
T^{*}=\frac{1}{2} \sum_{\alpha=1}^{
u} e_{\alpha}^{\prime 2}
\]

после этого на основании формул (90) будем иметь
\[
Q_{\alpha}=\dot{e}_{\alpha}^{\prime} \quad(\alpha=1,2, \ldots,
u) .
\]
60. Уравнения Аппелля. Обращаясь снова $к$ уравнениям движения системы с неголономными связями (82)
\[
\sum_{h=1}^{n} \eta_{h \alpha}\left(\frac{d}{d t} \frac{\partial T}{\partial \dot{q}_{h}}-\frac{\partial T}{\partial q_{h}}\right)=\Phi_{\alpha} \quad(\alpha=1,2, \ldots,
u),
\]

покажем, что их левые части, как это было и в случае уравнений Лагранжа, все можно выразить посредством одной единственной функции ${ }^{1}$ ), которая, однако, будет значительно менее простой, чем живая сила $T$. Эта функция составляется из ускорений $a_{i}$ точек $P_{i}$ так же, как живая сила составляется из скоростей $\boldsymbol{v}_{i}$. Речь идет о функции (называемой также энергией ускорений системы)
\[
S=\frac{1}{2} \sum_{i=1}^{N} m_{i} a_{i} \cdot a_{i}
\]

которую нужно рассматривать выраженной (помимо времени, если связи зависят от него) в зависимости от лагранжевых координат $q$, кинематических характеристик $e$ и их производных $\dot{e}$.

Чтобы выяснить, каким образом левые части уравнений (82) могут быть выражены посредством функции $S$, будем исходить от выражений скоростей отдельных точек $P_{i}$ (33)
\[
\boldsymbol{v}_{i}=\sum_{h=1}^{n} \frac{\partial P_{i}}{\partial q_{h}} \dot{q}_{h}+\frac{\partial P_{i}}{\partial t} \quad(i=1,2, \ldots, N)
\]

и, рассматривая в них $\dot{q}_{h}$ выраженными посредством $q, e, t$ при помощи (77), продифференцируем их еще раз по $t$. Таким образом, получим
\[
\boldsymbol{a}_{i}=\sum_{h=1}^{n} \ddot{q}_{h} \frac{\partial P_{i}}{\partial q_{h}}+\ldots \quad(i=1,2, \ldots, N),
\]

где опущенные члены не зависят от $\ddot{q}$ или, точнее, как это следует из формул (77), зависят только от $q, e, t$. Поэтому, если возьмем частную производную от ускорения $a_{i}$ по любому $\dot{e}_{\alpha}$, то эти опущенные члены совсем не появятся в результате, и мы получим
\[
\frac{\partial a_{i}}{\partial \dot{e}_{\alpha}}=\sum_{h=1}^{n} \frac{\partial \ddot{q}_{h}}{\partial \dot{e}_{\alpha}} \frac{\partial P_{i}}{\partial q_{h}} \quad(i=1,2, \ldots, N, \alpha=1,2, \ldots,
u) .
\]

Повторяя, начиная с соотношений (77), выводы, которые привели нас от уравнений (33) к уравнениям (95), получим
\[
\frac{\partial \ddot{q}_{h}}{\partial \dot{e}_{\alpha}}=\gamma_{h \alpha} \quad(h=1,2, \ldots, r ; \quad \alpha=1,2, \ldots,
u),
\]

так что уравнениям (95) мы можем придать вид
\[
\frac{\partial \boldsymbol{a}_{i}}{\partial \dot{e}_{\alpha}}=\sum_{h=1}^{n} \eta_{h \alpha} \frac{\partial P_{i}}{\partial q_{h}} \quad \begin{array}{l}
(i=1,2, \ldots, N ; \\
\alpha=1,2, \ldots,
u) .
\end{array}
\]

Вспоминая теперь первоначальное выражение (38) лагранжевых биномов
\[
\tau_{h}=\sum_{i=1}^{N} m_{i} a_{i} \cdot \frac{\partial P_{i}}{\partial q_{h}} \quad(h=1,2, \ldots, n),
\]

можно левые части уравнений (82) написать в виде
\[
\sum_{h=1}^{n} \eta_{h \alpha} \sum_{i=1}^{N} m_{i} a_{i} \cdot \frac{\partial P_{i}}{\partial q_{h}} \quad(\alpha=1,2, \ldots,
u),
\]

или же
\[
\sum_{i=1}^{N} m_{i} a_{i} \cdot \sum_{h=1}^{n} \frac{\partial P_{i}}{\partial q_{h}} \quad(\alpha=1,2, \ldots ;
u),
\]

или, наконец, принимая во внимание уравнения (95′),
\[
\sum_{i=1}^{N} m_{i} a_{i} \cdot \frac{\partial a_{i}}{\partial \dot{e}_{\alpha}} \quad(\alpha=1,2 \ldots,
u) .
\]

Мы видим таким образом, что получили частные производные от $\mathcal{S}$ по $\dot{e}_{\alpha}$; уравнения (82) можно написать теперь в крайне сжато форме, принадлежащей Аппеллю,
\[
\frac{\partial S}{\partial \dot{e}_{\alpha}}=\Phi_{\alpha} \quad(\alpha=1,2, \ldots,
u) .
\]