Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике 54. Дифференииальные уравнения движения неголономных систем (т: I, гл. VI, § 2) также можно привести к общей типичной форме, которая заслуживает того, чтобы на ней остановиться, хотя она и далека от структурной простоты уравнений Лагранжа, имеюших место для голономных систем, и вывод ее значительно более сложен. Предпошлем здесь некоторые вспомогательные рассуждения. Чтобы охарактеризовать самым общим образом систему $S$ с двусторонними (возможно, также и неголономными) связями, отнесем ее сначала к некоторому определенному числу $n$ лагранжевых координат $q_{h}(h=1,2, \ldots, n)$, выбранных таким образом, чтобы были учтены все голономные связи системы или только часть их, в силу чего будем иметь (уравнения (32)) После этого выразим остальные связи (которые, если исключить случай голономной системы, будут или все чисто кинематическими (неголономными), или частью голономными и частью кинематическими (неголономными), накладывая на координаты $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}$ некоторое число $s$ условий в виде линейно независимых уравнений вида (т. 1, гл. VI, П. 10, 17) или же в конечной форме где коэффициенты $b_{j h}$ являются функциями от $q$ и $t$, за исключением случая, когда эти $s$ связей не зависят явно от времени; в последнем случае коэффициенты $b_{j h}$ при $h>0$ зависят только от $q$, а $b_{j 0}$ тождественно равны нулю $\left[{ }^{2}\right]$. Необходимо отметить, что если материальная система $S$ является неголономной, то система уравнений Пфаффа (76) не может быть вполне интегрируемой, т. е. уравнения (76) не могут получиться посредством полного дифференцирования из $s$ конечных независимых соотношений между $q$ и $t$. Мы можем всегда разрешить $s$ линейных независимых уравнений $\left(76^{\prime}\right)$ относительно $s$ лагранжевых скоростей $\dot{q}_{h}$ или, для большей симметрии, обратиться к параметрическому представлению, выражая все лагранжевы скорости $\dot{q}$, удовлетворяющие уравнениям $\left(76^{\prime}\right.$ ), в виде линейных функций (вообще говоря, неоднородных) от некоторых $ где при связях, зависящих от времени, коэффициенты $\eta$ будут определенными функциями от $q$ и $t$, в случае же связей, не зависящих от времени, величины $\eta_{h \alpha}$ при $\alpha>0$ будут функциями только от $q$, а $\eta_{h 0}$ будут тождественно равны нулю. Произвольные параметры $e$, введенные таким образом, мы будем называть кинематическими характеристиками системы в координатах $q$ для данного момента и соответствующей ему конфигурации. Это название оправдывается тем соображением, что если задаются момент времени $t_{0}$ и конфигурация с координатами $q^{0}$, то формулы (77), в которых надо положить $t=t_{0}, q_{h}=q_{h}^{0}$, дадут соответственно $\infty^{*}$ возможных выборов значений параметров $e_{\alpha}$, все $r$ значений, совместимых со связями лагранжевых скоростей $\dot{q}_{h}$, или, в более сжатой форме, всевозможные состояния движения, которые, в этот момент и в этой конфигурации, система фактически может принять, в согласии со своими связями. Естественно, что все предыдущее сохраняет свое значение также и в частном случае, когда все связи системы будут голономными, не исключая и того случая, когда эти связи выражаются дифференциальными уравнениями Пфаффа (76), которые должны поэтому представлять собой интегрируемую систему. Но в этом предположении кинематические характеристики можно выбрать некоторым частным образом, который необходимо разъяснить. Так как связи, наложенные на лагранжевы координаты $q$ (если число координат превышает число степеней свободы), являются голономными, то конфигурацию системы в любой момент можно определиті, выражая $q$ в функциях от других , независимых лагранжевых параметров $r_{\alpha}(\alpha=1,2, \ldots, чтобы определить состояния движения, возможные для системы начиная с какого-нибудь момента времени $t$ и с любой начальной конфигурации, возможной в этот момент, достаточно взять производные по времени от предыдущих уравнений, в результате чего получим равенства которые и представляют собой уравнения (77), относящиеся к рассматриваемому здесь случаю. Таким образом, мы имеем здесь Вернемся теперь к общему случаю, т. е. к уравнениям (77). Имея в виду следствия, которые мы из них получим, рассмотрим здесь наряду с состояниями движения, возможными для системы, также и ее виртуальные перемещения, лагранжевы составляющие которых $\delta q$ определяются, как мы знаем, из уравнений, получающихся из уравнений (76) путем отбрасывания в них (если свяви зависят от времени) членов $b_{j 0} d t$ (т. I, гл. VI, п. 17), т. е. из уравнений Отсюда следует, что общие параметрические выражения $\delta q_{h}$ будут получаться из правых частей уравнений (77) путем отбрасывания в них, если они не равны нулю, величин $r_{i n 0}$ и подстановки вместо кинематических характеристик $e_{\alpha}$ стольких же бесконечно малых произвольных параметров $\delta \varepsilon_{\alpha}$. Таким образом, лагранжевы составляющие всех виртуальных перемещений системы, начиная с некоторого момента и любой конфигурации, будут определяться равенствами соответственно возможным выборам $ Из уравнений (78) можно быпо бы тотчас же получить геометрическое выражение наиболее общего виртуального перемещения нашей материальной системы. Для этого нужно было бы подставить в равенства которые непосредственно следуют из уравнений (32), вместо $\delta q_{h}$ их выражения через $q$ и $\delta \varepsilon_{\alpha}$ ( $v$, возможно, через $t$ ) по формулам (78). В дальнейшем мы не будем, однако, иметь случая применить те формулы, к которым мы пришли бы таким путем. Как и в случае голономных систем (п. 32), мы и здесь будем исходить из общего уравнения динамики; так как это уравнение удовлетворяется для всех виртуальных перемещений системы, то оно и здесь будет определять движение. Отделяя кинетические члены (содержащие ускорения) от динамических (содержащих силы), напишем его еще в виде уравнения (35) п. 36 После этого, вводя и в этом случае составляющие активных сил по лагранжевым координатам $q_{h}$ (здесь уже не независимым, а подчиненным кинеиатическим связям (76)) и полагая мы сможем придать уравнению (35), как и в п. 36 , вид Но в то время как в случае голономной системы (с $n$ степенями свободы) все $\delta q_{h}$ были произвольными (и независимыми), здесь они связаны между собой так, что могут принимать только значения, удовлетворяющие равенствам (78), сообразно с выбором $ Эти уравнения, совершенно аналогичные уравнениям (40) для голономных систем (п. 36), представляют собой уравнения движения нашей системы $\mathcal{S}$. Их можно обычным путем преобразовать и дальше, если воспользоваться приеком, с помощью которого мы пришли к уравнениям Лагранжа (п. 36-37). Прежде всего полную виртуальную работу прямо приложенных сил если принять во внимание уравнения (78), можно написать в форме откуда мы видим, что правые части уравнений (80) представляют собой коэффициенты при различных $\delta \varepsilon_{\alpha}$ в выражении виртуальной работы $\delta L$. Полагая и вспоминая, что если вводится живая сила $T$ системы, выраженная через $q, \dot{q}$, то существуют (независимо от того факта, что все $\dot{q}$ будут здесь подчинены кинематическим связям (76)) тождества (42) (п. 37 ) уравнениям (80) можно придать вид Это и будут уравнения Маджи [3]. Они вместе с уравнениями (77) с аналитической точки зрения дают в дифференциальной форме полную постановку задачи о движении для системы $S$ с двусторонними идеальными (в том числе и неголономными) связями. Действительно, если представим себе, что в уравнения (82) вместо величин $\dot{q}$ подставлены их выражения (77) через $q$, $e$ и $t$ и выполнено дифференцирование по $t$, то будет очевидно, что после выполнения всех преобразований в уравнениях останутся, помимо $q, e, t$, только $ Однако, принимая во внимание важность результата, не бесполезно показать прямым путем, как это соотношение формально получается из уравнений Маджи (82). Для этой цели заметим прежде всего, что когда все связи (голономные и неголономные) не зависят от времени, то живая сила $T$ принимает вид где $a_{h k}$ суть функции только от $q$, правые же части уравнений (77) не будут содержать членов $\eta_{h 0}$, а величины $\eta_{h \alpha}$ при $\alpha>0$ не будут зависеть от $t$; так что, в частности, для любого действительного перемещения системы будет иметь место выражение (тождественное выражению любого виртуального перемещения, за исключением лишь подстановки $e_{\alpha} d t$, вместо $\delta \varepsilon_{\alpha}$ ) Умножая каждое из уравнений (82) на соответствующее $e_{\alpha} d t$ и складывая почленно, мы получим, принимая во внимание соотношения (78), уравнение в котором левая часть тождественна с приращением $d T$ живой силы за элемент времени $d t$ (п. 39), а правая часть дает элементарную работу $d L$, совершаемую активными силами за этот же самый элемент времени, если принять во внимание, что в силу независимости связей от времени равенства (83) оказываются справедливыми для действительных бесконечно малых перемещений. Чтобы сделать возможным такое преобразование уравнений (82), мы предпошлем несколько замечаний о кинематических связях системы, которые мы будем предполагать заданными в параметрической форме (77). Изменения лагранжевых координат $q$ за элемент времени $d t$ (начиная от любого момента и любой конфигурации), совместимые с этими связями, выразятся равенствами (77′) где через $d \varepsilon_{\alpha}$ обозначены бесконечно малые произвольные количества $e_{\alpha} d t$. Как мы уже знаем, если связи не зависят от времени, то количества $n_{h^{\alpha}}$ при $\alpha>0$ будут функциями только от $q$, а все $\eta_{h 0}$ тождественно обратятся в нуль; наоборот, если связи зависят от времени, все $r_{h \alpha}$ вместе с $r_{h 0}$ будут функциями от $q$ и $t$. В этом последнем предположении, для однообразия обозначений, удобно переменную $t$ обозначить через $q_{0}$, а изменение времени $d t$ – через $d \varepsilon_{0}$, поэтому к уравнениям ( $77^{\prime}$ ) мы присоединим $(n+1)$-е уравнение или, что одно и то же, будем рассматривать уравнения (77′) coхраняющими значение также и при индексе $h=0$, при условии, что все $\eta_{0 \alpha}$ будут тождественно равны нулю, за исключением $\eta_{00}=1$. Таким образом, вместо уравнений (77′) мы будем иметь уравнения при этом важно иметь в виду, что если мы выполняем вычисления для связей, не зависящих от времени, то индекс $h$ нужно изменять от 1 до $n$, а не от 0 до $n$, и индекс $\alpha$ – от 1 до v. а не от 0 до v. Выберем теперь две произвольные системы: $d^{\prime} \varepsilon_{\alpha}, d^{\prime \prime} \varepsilon_{\alpha}(\alpha=0,1$, $2, \ldots$, v) бесконечно малых количеств. Обозначив через $d^{\prime}$ и $d^{\prime \prime}$ соответствующие операции варьирования, будем иметь на основании уравнений ( $\left.77^{\prime \prime}\right)$ или же, принимая во внимание те же равенства ( $77^{\prime \prime}$ ), Отсюда, меняя порядок варьирования $d^{\prime}$ и $d^{\prime \prime}$ и принимая во внимание, что для независимых переменных $\varepsilon_{\alpha}$ имеем получим при $h=0$, естественно, тождество, а при $h=1,2, \ldots, n$ будем иметь $n$ уравнений: где положено Эти функции $\eta_{h \mid \alpha \beta}$ от $q_{0}, q_{1}, \ldots, q_{n}$, в силу их определения, удовлетворяют тождествам Эти коварианты, в силу их знакопеременного характера относительно двух рядов переменных, $d^{\prime} \varepsilon_{\alpha}, d^{\prime \prime} \varepsilon_{z}$, будут исчезать всякий раз, когда будут совпадать вариации $d^{\prime}, d^{\prime \prime}$, и они будут обращаться в нуль тождественно, т. е. при всяком выборе $d^{\prime}$ и $d^{\prime \prime}$, если связи окажутся исключительно голономными (т. е., по существу, если уравнения Пфаффа (77′) получаются путем полного дифференцирования стольких же конечных уравнений между переменными). Действительно, в этом случае все $q_{h}$ являются функциями от $ Поэтому будем иметь и достаточно прямо вычислить любой билинейный ковариант $d^{\prime \prime} d^{\prime} q_{h}$ – $d^{\prime} d^{\prime \prime} q_{h}$, чтобы убедиться, что он тождественно равен нулю. Возвращаясь к общему случаю, когда связи не все голономны, рассмотрим тот случай, когда из двух операций дифференцирования $d^{\prime}, d^{\prime \prime}$ одна соответствует любому действительному перемещению материальной системы, а другая – любому виртуальному перемещению. Обозначая через $\chi_{h}(h=1,2, \ldots, n)$ соответствующие билинейные коварианты при этом выборе $d^{\prime}, d^{\prime \prime}$, получим или также (при перестановке двух индексов $\alpha, \beta$ ) где для краткости положено можно написать эти уравнения в форме Как было сказано в начале предыдущего пункта, речь идет о том, чтобы показать, что мы можем разбить в каждом из этих уравнений левую часть на два слагаемых, одно из которых можно назвать неголономным, а другое-голономным, в том смысле, что когда все связи являются голономными, первое слагаемое тождественно исчезает, а второе для голономных характеристик приводится к соответствующему лагранжеву биному. Напомним, что в уравнениях (82′) живая сила $T$ рассматривается как функция от $q, \dot{q}$ и, возможно, от $t$. Если на основании уравнений (77) мы представим себе живую силу выраженной через $q$, $e$ и, возможно, также через $t$, и обозначим ее через $T^{*}$, то будем иметь отсюда, составляя линейные комбинации первых из этих равенств и дифференцируя полным образом по $t$ вторые, получим, очевидно, тождества Вычитая первое тождество из второго, найдем где положено На основании тождеств (88) уравнения (82′) могут быть написаны, в виде теперь можно показать, что $\mathrm{A}_{\alpha}$ педставляют собой члены неголономности, а $Q_{\alpha}$ – члены голономности. C этой целью умножим обе чгсти (89) на $d t \delta \varepsilon_{\alpha}$ и просуммируем от $\alpha=1$ до $\alpha=\gamma$. Таким образом, получим тождество Принимая во внимание уравнения (78) п. 54 можно написать последнее тождество в виде или, замечая, что $\dot{q}_{h} d t=d q_{h}$, и обозначая, как в предыдущем пункте, через $\chi_{h}$ билинейный ковариант $\delta d q_{h}-d \delta q_{h}$, в виде Так как в случае исключительно голономных связей билинейные коварианты $\chi_{h}$ тождественно исчезают (предыдущий пункт), мы заключаем, что при таком предположении из этого тождества сле. дует при любом выборе $\delta \varepsilon_{\alpha}$; а это как раз равносильно тождественному исчезанию отдельных членов $\mathrm{A}_{\alpha}$, характер неголономности которых таким образом обнаружен. Теперь, прежде чем перейти і членам $Q_{\alpha}$, укажем попутно на крайне сжатую форму, которая в общем случае, т. е. когда не все связи голономны, получается для членов неголономности $\mathbf{A}_{\alpha}$ из соотношения (92). Достаточно вместо $\chi_{h}$ подставить их выражения (86) и приравнять в обеих частях коэффдциенты при произвольных величинах $\delta \varepsilon_{\alpha}$, чтобы получить равенства где $\varphi_{h \alpha}$ определяются равенствами (87). таким образом, на основании формуп (90), в этом случае, т. е. в случае, когда $T^{*}$ обозначает живую силу, выраженную через $r, \dot{r}$ и, возможно, через $t$, получим Заметим, что впервые выделил в уравнениях неголономных систем члены неголономности Вольтерра ${ }^{1 *}$ ), который применял для этой цели способ, существенно отличный от способа, характеризующегося систематическим применением пфаффианов и их билинейных ковариантов ${ }^{2}$ ). Вольтерра же принадлежит одно важное замечание относительно интегрирования неголономных систем, которым мы займемся в следующем пункте. С другой стороны, в этом случае виртуальные перемещения не будут отличаться от действительных (за исключением разве лишь того обстоятельства, не имеющего здесь значения, что в первых время остается неизменным, а во вторых и оно также испытывает приращение $d t$ ); поэтому, вспоминая что при $d^{\prime}=d^{\prime \prime}$ билинейныє коварианты исчезают, мы выводим из равенств (86) тождества Если теперь, как это делалось в п. 56 для уравнений (82), образуем и для уравнений (91) дифференциал живых сил и примем во внимание, что в силу соотношений (93) имеем тождественно то увидим на основании тождеств (94), что члены $\mathrm{A}_{\alpha}$ ничего не прибавляют к этой интегрируемой комбинации. Другими словами, члены $\mathrm{A}_{\alpha}$, происходящие исключтельно от неголономных связей, имеют гироскопический характер в смысле, разъясненном в п. 44. Это и есть упомянутое выше замечание Вольтерра. Прибавим еще, что Вольтерра назвал системами с независимыми характеристиками такие системы, для которых левые части $\mathrm{A}_{\alpha}+\mathbf{Q}_{\alpha}$ уравнений движения содержат явно только кинематические характеристики $e$ (т. е. не зависят от $q$ ). В этом случае определение так называемого спонтанного движения системы, т. е. движения при отсутствии активных сил, которое определяется уравнениями может быть разбито на две отдельные операции: определение характеристик $e$ на основе предыдущей системы и последующее определение $q$ на основе параметрических уравнений связей (77). Следует заметить, что для систем со связями, не зависящими оf времени, члены голономности $Q_{\alpha}$ можно всегда сделать не зависящими от $q$ посредством подходящего выбора характеристик $e_{\alpha}$, какова бы ни была природа связей (77). Действительно, заметим, что при допущенном предположении $T^{*}$ после вычисления будет определенной положительной квадратичной формой относительно $e_{\alpha}$ с коэффициентами, которые, естественно, в общем случае будут зависеть от $q$. Далее, как известно, можно всегда бесконечным числом способов вместо $e_{\alpha}$ подставить столько же их линейных комбинаций $e_{\alpha}^{\prime}$ с коэффициентами, зависящими от $q$, и притом так, чтобы привести $T^{*}$ к канонической форме после этого на основании формул (90) будем иметь покажем, что их левые части, как это было и в случае уравнений Лагранжа, все можно выразить посредством одной единственной функции ${ }^{1}$ ), которая, однако, будет значительно менее простой, чем живая сила $T$. Эта функция составляется из ускорений $a_{i}$ точек $P_{i}$ так же, как живая сила составляется из скоростей $\boldsymbol{v}_{i}$. Речь идет о функции (называемой также энергией ускорений системы) которую нужно рассматривать выраженной (помимо времени, если связи зависят от него) в зависимости от лагранжевых координат $q$, кинематических характеристик $e$ и их производных $\dot{e}$. Чтобы выяснить, каким образом левые части уравнений (82) могут быть выражены посредством функции $S$, будем исходить от выражений скоростей отдельных точек $P_{i}$ (33) и, рассматривая в них $\dot{q}_{h}$ выраженными посредством $q, e, t$ при помощи (77), продифференцируем их еще раз по $t$. Таким образом, получим где опущенные члены не зависят от $\ddot{q}$ или, точнее, как это следует из формул (77), зависят только от $q, e, t$. Поэтому, если возьмем частную производную от ускорения $a_{i}$ по любому $\dot{e}_{\alpha}$, то эти опущенные члены совсем не появятся в результате, и мы получим Повторяя, начиная с соотношений (77), выводы, которые привели нас от уравнений (33) к уравнениям (95), получим так что уравнениям (95) мы можем придать вид Вспоминая теперь первоначальное выражение (38) лагранжевых биномов можно левые части уравнений (82) написать в виде или же или, наконец, принимая во внимание уравнения (95′), Мы видим таким образом, что получили частные производные от $\mathcal{S}$ по $\dot{e}_{\alpha}$; уравнения (82) можно написать теперь в крайне сжато форме, принадлежащей Аппеллю,
|
1 |
Оглавление
|