58. В виде приложения теории, развитой в $\S 4$ и 5 , рассмотрим движение по заданной траектории материальной точки $P$ с массой $m$, находящейся под действием восстанавливающей силы- $\lambda s$ и пассивного сопротивления вязкого трения – $b \dot{S}^{\mathbf{1}}$ ).
Дифференциальное уравнение движения в этом случае имеет вид
\[
m \ddot{s}=-b \dot{s}-\lambda s,
\]

где $b$ и $\lambda$ обозначают две положительные постоянные; достаточно положить
\[
\frac{b}{m}=2 h, \frac{\lambda}{m}=k,
\]

чтобы привести его к виду
\[
\ddot{s}+2 h \dot{s}+k s=0 .
\]

Таким образом мы снова нашли дифференциальное уравнение (линейное, с постоянными коэффициентами), исчерпывающим образом разобранное в отношении определяемых им движений в кинематике (т. I, г.л. II, п. 41-43). Вспоминся установленные там результаты, мы можем прямо утверждать, что точка $P$ при указанных выше условиях совершает или затухающие колебания около точки $O$, или же апериодическое движение (самое большее с одним обращением направления и с асимптотической точкой на конечном расстоянии или в бесконечности).

Наиболее интересным случаем, которым мы здесь и ограничимся, является случай затухающих колебаний; он, как мы знаем, характеризуется условием $k>h^{2}$. Если положим тогда $k=h^{2}+\omega^{2}$, то уравнение (40) примет известную уже форму
\[
s+2 \hbar \dot{s}+\left(h^{2}+\omega^{2}\right) s=0 ;
\]

здесь $\omega$ определяет постоянную частоты колебаний и $h$-постоянную затухания; тогда закон движения (общий интеграл уравнения ( $40^{\prime}$ )) принимает вид
\[
s=r e^{-h t} \cos \left(\omega t+\theta_{0}\right)_{i}
\]

где $r$ и $\theta_{0}$ суть две произвольные постоянные.
Первым примером движений этого типа, реализуемым физически, является пример колебаний простого маятника в вязкой среде (п. 41). Не менее наглядным и интересннм является случай свободных колебаний камертона, когда камертон, после возбуждения в нем колебаний, предоставлен самому себє в спокойном воздухе.

В этом случае конец одной из ножек можно рассматривать как материальную точку, которая колеблется, описывая линию, очень мало отличающуюся от прямой. Его связь с ножкой определяет восстанавлливающую силу и пассивные сопротивления (трение, несовершенную упругость и т. п.), к которым присоединяется пассивное сопротивление воздуха. Эти пассивные сопротивления в первсм приближении можно свести к простому вязкому сопротивлению, так что приблизительно будут осуществлены условия действия силы, предположенные в самом начале. Тогда, если обозначим через $s$ дугу, описываемую концом ножки и отсчитываемую от положения равновесия (положительную в одном направлении и отрицательную в другом), то движение определится как раз уравнением типа (40). Так как, далее, результирующее (касательное) пассивное сопротивление крайне мало по сравнению с упругой силой, то с большим избытком выполнится условие $k>h^{2}$, обеспечивающее для движения характер затухающего колебания.

То обстоятельство, что в предположенных усповиях период $T=2 \pi / \omega$ не зависит от начальных условий (способа возбуждения), а зависит только от $h$ и $k$, т. е. только от внутренних свойств камертона, оправдывает его назначение как инструмента, служащего для получения звука определенной высоты.

59. Вынужденныв колевания. Обыкновенно так называют те колебания, которые возбуждаются заданной периодической силой, действующей вместе с силами уже рассмотренного типа (восстанавливающая сила и вязкое сопротивление).

Обозначая через $Q$ касательную составляющую этой силы в направлении возрастания $s$, деленную на $m$, т. е. отнесенную к единице массы движущейся точки, и через $E$ (s) – дифференциальное выражение в левой части равенства (40), получим уравнение движения в виде
\[
E(s)=Q .
\]

Периодическая сила $Q$ в любой момент предполагается численно определенной и, следовательно, рассматривается как функция только одного $t$ с некоторым заданным периодом $T_{1}=2 \pi / \omega_{1}$.

60. При интегрировании уравнения (41) (линейное неоднородное уравнение) все сводится, как известно, к определению частного интеграла $J(t)$, так как из него далее сразу же выводится общий интеграл, если положить
\[
s=J+\sigma,
\]

где $\sigma$ обозначает общий интеграл уравнения без правой части $E(s)=0$, т. е. (п. 58 )
\[
\sigma=r e^{-h t} \cos \left(\omega t+\theta_{0}\right), \omega=\sqrt{k-h^{2}}
\]

с двумя произвольными постоянныии интеграции $r$ и $\theta_{0}$.
Что сумма $J+\circ$ действительно представляет собой общий интеграл уравнения (41) – очевидно. Прежде всего, складывая оба уравнения, которым по определению удовлетворяют $J$ и $\sigma$,
\[
E(J)=Q, E(\sigma)=0,
\]

получим
\[
E(J)+E(\sigma)=E(J+\sigma)=Q,
\]

и, следовательно, $J+\sigma$ удовлетворяет уравнению (41). Кроме того, эта сумма содержит (как и $\sigma$ ) две независимые произвольные постоянные.

Из выражения общего интеграла (42), приняв во внимание то обстоятельство, что $\sigma$ стремится к нулю при бесконечном возрастании $t$ (или практически становится равным нулю через сравнительно небольшой промежуток времени), мы получим важнейший критерий для конкретных приложений. Именно, чтобы характеризовать режим вынужденных колебаный (режим, который устанавливается тем быстрее, чем больше затухание $h$ ), достаточно рассмотреть частный интеграл $J$.

61. Постоянная довавочная сила. Рассмотрим прежде всего простейший случай постоянной добавочной силы (которая является пределом периодически изменяющейся силы, когда стремится к нулю период, в конце которого восстанавливаются те же условия). Частный интеграл $J$ уравнения $E(s)=Q$ при постоянном $Q$ определяется, естественно, значением, тоже постоянным, $s=Q / k$, соответствующим состоянию вынужденного равновесия; положение вынужденного равновесия несколько смещено от положения естественного равновесия $(s=0$ ).

Добавочное возбуждение является статическим, статическим же будет и соответствующее ему состояние. Что же касается общего интеграла $s=J+\sigma$, то он представляет собой (как это легко видеть, принимая положение $s=J$ за начало дуг) затухающие колебания, тождественные с теми, которне имели бы место при отсутствии $Q$, за исключением лишь того, что центр колебания оказывается смещенным и находится в новом положении равновесия.

62. Синусоидальная возмущающая сила. Явное выражение $J$ легко может быть получено еще в одном особенно важном случае, когда периодическая функция $Q$ является синусоидальной, т. е. выражается функцией вида
\[
q \sin \left(\omega_{1} t+a\right),
\]

где $q, \alpha$ (и $\omega_{1}$ ) суть какие-нибудь заданные постоянные. Заметим, что если мы хотим иметь косинус вместо синуса, то можно заменить $\alpha$ на $\alpha+\pi / 2$; с другой стороны, смещая начало отсчета времени, всегда можно сделать $\alpha=0, q>0$.
Положим
\[
Q=q \sin \omega_{1} t, \quad(q>0)
\]

и покажем, что дифференциальное уравнение (41) допускает частный интеграл вида
\[
J(t)=p \sin \left(\omega_{1} t-\varphi\right),
\]

где постоянные $p$ и $\varphi$, разумеется, должны быть выбраны надлежащим образом.
и С этой целью будем исходить из тождества
\[
\begin{array}{c}
E(J)=\ddot{J}+2 h \dot{J}+k J=p\left\{2 h \omega_{1} \cos \left(\omega_{1} t-\varphi\right)+\right. \\
\left.+\left[k-\omega_{1}^{2}\right] \sin \left(\omega_{1} t-\varphi\right)\right\}
\end{array}
\]

и заметим, что для того, чтобы сделать $E(J)$ тождественным с
\[
\begin{aligned}
Q & =q \sin \omega_{1} t=q \sin \left[\varphi+\left(\omega_{1} t-\varphi\right)\right]= \\
& =q\left\{\sin \varphi \cos \left(\omega_{1} t-\varphi\right)+\cos \varphi \sin \left(\omega_{1} t-\varphi\right)\right\},
\end{aligned}
\]

достаточно в обоих выражениях приравнять коэффициенты при
\[
\cos \left(\omega_{1} t-\varphi\right) \text { и } \sin \left(\omega_{1} t-\varphi\right) .
\]

Таким образом получим систему
\[
\begin{array}{c}
2 h p \omega_{1}=q \sin \varphi, \\
p\left(k-\omega_{1}^{2}\right)=q \cos \varphi,
\end{array}
\]

однозначно определяющую обе постоянные $p$ и $\varphi$, если примем $p>0$ и $0 \leqslant \varphi \leqslant \pi$. Действительно, возводя в квадрат последние два равенства, складывая их и извлекая квадратный корень, получим
\[
p=\frac{q}{\sqrt{\left(k-\omega_{1}^{2}\right)^{2}+4 h^{2} \omega_{1}^{2}}},
\]

где согласно принятому условию радикал надо понимать в арифметическом смысле. С другой стороны, если эти равенства разделих одно на другое, то получим соотношение
\[
\operatorname{tg} \varphi=\frac{2 h \omega_{1}}{k-\omega_{1}^{2}},
\]

которым в согласии с условием $0 \leqslant \varphi<\pi$ п определяется угол $\varphi$.

Частное решение (43), определенное таким образом, является, очевидно, периодическим с периодом $T_{1}=2 \pi / \omega_{1}$ возмущающей силы $Q=q \sin \omega_{1} t ;$ в нем $p$ есть амплитуда вынужденных колебаний, а $\varphi$ можно истолковать как разность фаз или запаздывание фазы между силой и перемещением. Из равенства (45) следует, что $\operatorname{tg} \varphi$ будет положительным или отрицательным и, следовательно, $\varphi$ меньше или больше $\pi / 2$ (т. е. четверти периода ${ }^{1}$ )) в зависимости от того, будет ли $\omega_{1}^{2}$ меньше или больше $k$.
63. Случай СлаБого затухания. Если предположим, что постоянная затухания $h$ очень мала (как это, в частности, имеет место для камертона) и если, следовательно, величиной $h^{2}$ можно пренебречь по сравнению с $k$, то можно отождествить $k$ с $k-h^{2}=\omega^{2}$ (квадрат постоянной частоты свободных колебаний). Тогда установленному выше критерию различения $\omega_{1}^{2} \lessgtr k$ можно придать вид $\omega_{1}^{2} \lessgtr \omega^{2}$ или
\[
\left(\frac{\omega_{1}}{2 \pi}\right)^{2} \lessgtr\left(\frac{\omega}{2 \pi}\right)^{2} .
\]

Отсюда приходим к заключению, что при очень слабом затухании запаздывание фазы будет меньше четверти периода ( $\varphi<\pi / 2$ ) всякий раз, когда частота (величина, обратная периоду) внешней (возмущающей) силы будет меньше частоты свободных колебаний; в противном случае запаздывание фазы будет больше четверти периода.

Полезно, кроме того, заметить, что при вычислении амплитуды $p$ нельзя пренебречь в знаменателе (44) слагаемым $4 h^{2} \omega_{1}^{2}$ по сравнению с $\left(k-\omega_{1}^{2}\right)^{2}$, если известно только, что $h^{2}$ мало по сравнению с $k$. Этого, конечно, нельзя делать, если $\omega_{1}^{2}$ и $k$ (или $\omega^{2}$ ) близки по величине. В этом случае надо придерживаться точной формулы (44). Но если при очень малом $h$ частота $\omega_{1}$ возмущающей силы не очень близка к частоте $\omega$ свободных колебаний системы, то вместо формулы (44) можно будет воспользоваться приближенной формулой
\[
p=\frac{q}{k-\omega_{1}^{2}}
\]

или, если угодно,
\[
p=\frac{q}{\omega^{2}-\omega_{1}^{2}} .
\]

Далее, если, помимо допущениых до сих пор предположений, имеет место также и то обстоятельство, что величина $\omega_{1}$ очень мала, так что ею можно пренебречь по сравнению с $\omega$ (или, что одно и то же, по сравнению с $k$ ), то из равенства (45) следует, что

приближенно $\varphi=0$. В этом случае можно сказать, что следствие (перемещение) находится в одной фазе с причиной (сила). Амплитуду $p$ можно положить на основании формулы (44′) приближенно равной $q / k$, т. е. статическому смещению, которое было бы вызвано постоянной силой, по величине равной максимальному значению $\boldsymbol{g}$ периодической возмущающей силы.

64. ИДЕАЛЬНЫЙ СЛУЧАЙ, КОГДа СОПРОТИВЛЕНИЕ РАвНО НУЛЮ. ОбратимС прямо к идеальному предположению об абсолютном отсутствии всякого пассизного сопротивления ( $h=0, k=\omega^{2}$ ), и для соответствующего уравнения
\[
\ddot{s}+\omega^{2} s=q \sin \omega_{1} t
\]

будем искать периодическое решение в форме (43). При фактической подстановке придем к системе
\[
\begin{array}{c}
0=q \sin \varphi, \\
p\left(\omega^{2}-\omega_{1}^{2}\right)=q \cos \varphi,
\end{array}
\]

которая (если также и здесь принимается ограничение $0 \leqslant \varphi<\pi$ ) дает
\[
\varphi=0,
\]

и при условии
\[
\begin{array}{c}
\omega \lessgtr \omega_{1} \\
p=\frac{q}{\omega^{\underline{9}}-\omega_{1}^{2}} .
\end{array}
\]

Таким образом, в качестве точного выражения амплитуды вынужденных колебаний мы получили то, что в предыдущем пункте былю получено как приближенная величина при очень малом значении и при значении $\omega$, заметно отличающемся от $\omega_{1}$.

Если, далее, $\omega_{1}=\omega$, т. е. если период $2 \pi / \omega_{1}$ возмущающей силы равен периоду свободных колебаний системы, то, так как требуется, чтобы возмущающая периодическая сила не была постоянно равн нулю (т. е. чтобы не было $q=0$ ), система (46) становится противоречивой, т. е. в этом случае для уравнения ( $41^{\prime}$ ) не существует интеграла чисто синусоидального типа. Непосредственная подстащ новка показывает, что при $\omega_{1}=0$ уравнение (41′) допускает частный интеграл
\[
J(t)=\frac{q}{2 \omega^{a}} t \sin \omega t,
\]

который соответствует колебаниям, имеющим период $2 \pi / \omega$, общи для свободных колебаний и возмущающей силы, но обладае. тем свойством, что амплитуда колебаний возрастает до бесконечности вместе с временем.

65. Резонанс. Обращаясь к общей теории, мы будем предполагать, что постоянные $h$ и $k$ (а следовательно, $\omega$ и $T$ ), характеризующие колеблющуюся систему, остаются неизменными, равно как и максимальная величина $q$ возмущающей силы; изменяя частоту $\omega_{1}$ возмущающей силы (или же ее период $T_{1}=2 \pi / \omega_{1}$ ), мы увидим, что вместе с этим будет изменяться амплитуда $p$ соответствующих вынужденных колебаний. Мы покажем, что $p$ всегда допускает единственный максимум. Если постоянная затухания $h$, свойственная колеблющейся системе, мала, то максимум этот будет достигнут при значении $\omega_{1}$, близком (почти равном) к частоте $\omega$ свободных колебаний.

Отсюда вытекает объяснение явления резонанса (для колеблющихся систем с очень малой постоянной затухания), которое, как известно, заключается в следующем. Пусть внешняя периодическая возмущающая сила с заданной максимальной величиной $q$ при каком-либо значении частоты $\omega_{1}$ вызывает едва ощутимый эффект (очень малая амплитуда); если величина $\omega_{1}$ очень близка к собственной частоте ш колеблющейся системы, то эффект (характеризуемый величиной амплитуды $p$ ) усиливается и может сделаться значительным.

Типичным примером этого является камертон (постоянная затухания $h$ которого, как мы уже знаем, очень мала).

Предположим, что в окружающем воздухе происходят звуковые колебания, возбуждаемье каким-нибудь другим внешним телом (например, камертоном или органной трубой и т. п.). В этих условиях рассматриваемый камертон подвергается некоторому (очень слабому) периодическому и приближенно синусоидальному воздействию (см. последнее замечание п. 66), которое накладывается на действие внутренних упругих сил.

Мы имеем здесь, таким образэм, случай вынужденных колебаний. Обычно они слабы и даже незаметны. Однако, когда внешний звук имеет высоту, равную (или очень близкую) к высоте, характерной для этого камертона, то получается значительное усиление, и колебания камертона оказываются довольно заметными.

Чтобы исследовать изменение $p$ в зависимости от изменения $\omega_{1}$, возьмем снова равенство (44) и положим
\[
\frac{\omega_{1}^{2}}{k}=x, \quad \frac{4 h^{2}}{k}=\varepsilon^{2},
\]

благодаря чему переменная $x$, заменяющая частоту $\omega_{1}$, получается существенно положительной, а при предполагаемой малости $h$ величина $\varepsilon$ будет правильной и даже очень малой дробью. В силу этого уравнение (44) можно написать в виде
\[
p=\frac{q}{k} \frac{1}{\sqrt{(1-x)^{3}+s^{2} x}} .
\]

Функцня $(1-x)^{2}+\varepsilon^{2} x$ имеет первую производную, равную $-2(1-x)+\varepsilon^{9}$, и вторую производную, равную постоянной 2 , так что она допускает минимум (и притом только один) при $x=1-\varepsilon^{2} / 2$. Отсюда следует, что $p$ при изменении $\omega_{1}$ имеет максимум (и только один), который соответствует частоте $\omega_{1}$, определяемой равенством
\[
\omega_{1}^{2}=k\left(1-\frac{1}{2} \varepsilon^{2}\right)=k-2 h^{2}=\omega^{2}-h^{2} .
\]

Этот максимум, как легко проверить, полагая в формуле (44)
\[
k-\omega_{1}^{2}=2 h^{2}, \quad \omega_{1}^{2}=\omega^{2}-h^{2},
\]

равен
\[
\frac{q}{2 h \omega}=\frac{\omega}{2 h} \cdot \frac{q}{\omega^{2}} .
\]

Из равенств (47) и (48) непосредственно следует, что при очень малых по сравнению с $\omega$ значениях $h$ максимум $p$ получится в том случае, когда частота $\omega_{1}$ близка к $\omega$; этот максимум будет иметь очень большую величину по сравнению с величиной $q / \omega^{2}$ или, что то же самое, по сравнению с величиной $q / k$, которая на основании формулы (44\”) представляет собой значение $p$ при $x=0$, или же при $\omega_{1}=0$.
Чтобы получить более отчетливое представление о характере максимума при указанных выше условиях, достаточно обратить внимание на то, что если бы можно было вполне пренебречь величиной $h$ по
Фиг. 9. сразнению с $\omega$ и, следовательно, тем более величиной $h^{2}$ по сравнению с
$k$, т. е. величиной $\varepsilon^{2}$ по сравнению с единицей, то максимум величины
\[
\frac{1}{\sqrt{(1-x)^{2}+s^{2} x}}
\]

был бы просто равен бесконечности (при $x=1$ ). Но и при небольших значениях $\varepsilon$ (например, не гревышающих $1 / 5$ ) мы будем иметь при $x=1-\varepsilon^{2} / 2$ резко выраженный максимум. Кривая (см. фиг. 9)
\[
y=\frac{1}{\sqrt{(1-x)^{2}}+\varepsilon^{2} \bar{x}}
\]

очень быстро падает с той и другой стороны от вершины.

Мы подробно рассмотрели свойства интеграла $J$ в частном предположении, что периодическая сила $Q$ является синусоидальной, т. е. приводится к виду $q \sin \omega_{1} t$.

Важное значение, которое мы придаем этому специальному виду возмущающей силы, вполне оправдывается следующими соображениями.
Прежде всего, если в уравнении (41)
\[
E(s)=Q(t)
\]

функция $Q(t)$ является суммой двух или нескольких других функций $Q_{1}, Q_{2}, \ldots$, для каждой из которых мы умеем определить частные интегралы $J_{1}, J_{2} \ldots$ уравнений $E(s)=Q_{1}, E(s)=Q_{2}, \ldots$, то, очевидно, достаточно положить
\[
J=J_{1}+J_{2}+\ldots .
\]

чтобы иметь интеграл уравнения (41).
Таким образом, если $Q$ есть сумма членов вида
\[
q \sin \left(\omega_{1} t+\alpha\right)
\]

при постоянных $q, \omega_{1}, \boldsymbol{a}$, выбираемых как угодно для каждого члена, то тотчас же можно будет определить частный интеграл $J$ уравнения (41) в виде суммы стольких же членов типа (43) (плюс возможная постоянная, если среди значений $\omega_{1}$ имеется и нуль (п. 61)).

Это замечание имеет большую важность, если его связать с одним результатом анализа, известным под названием теоремы фурье ${ }^{1}$ ), в силу которой какая угодно функция $Q(t)$, конечная, непрерывная и с заданным периодом $T_{1}=\frac{2 \pi}{\omega_{1}}$ (при любом $t$ ), может быть представлена рядом (абсолютно и равномерно сходящимся) вида
\[
q_{0}+\sum_{n=1}^{\infty} q_{n} \sin \left(n \omega_{1} t+\alpha_{n}\right),
\]

где $q_{n}$ и $\alpha_{n}$ суть надлежащим образом выбранные постоянные.

Разложение определенной функции $Q(t)$ в ряд указанного вида представляет задачу так называемого гармонического анализа.

Теорема фурье вместе с предыдущим замечанием позволяет непосредственно определить (в виде суммы ряда, сходимость которого легко может быть доказана) чєстный интеграл $J$ уравнения (41) при любом законе действия периодической возмущающей силы.

Заметим еще, что в большинстве практических случаев первый отличный от постоянного член ряда (49) (основной тон в акустике) значительно превосходит последующие (высшие гармоники), так что частный интеграл $J$ (если отвлечься от несущественной постоянной) приблизительно приводится к типичной форме (43).
67. Энергия, поглощавмАя колеБлющейся систЕмой. Сделаем последнее замечание, касающееся энергии, которая при вынужденных колебаниях сообщается (или отнимается, если окажется представленной отрицательным числом) колеблющейся системе действием возмущающей силы $Q$. В любой промежуток времени $d t$, которому соответствует перемещение $d s$ движущейся точки, рассматриваемая энергия будет не чем иным, как элеменгарной работой силы, и, следовательно, поскольку $Q$ относится к единице массы, мы имеем (п. 59)
\[
m Q d s=m Q \dot{s} d t .
\]

Энергия, сообщенная в течение целого периода $T_{1}$, может быть, таким образом, выражена в виде
\[
e=m \int_{t}^{t+T_{1}} Q \dot{s} d t .
\]

Если примем во внимание, что движение определяется уравнением $E(s)=Q$ и что, следовательно, имеем тождественно
\[
Q \dot{s}=E(s) \dot{s}=\ddot{s} \dot{s}+2 h \dot{s}^{2}+k s \dot{s}=\frac{1}{2} \frac{d \dot{s}^{2}}{d \vec{t}}+2 h \dot{s}^{2}+\frac{k}{2} \frac{d s^{2}}{d t},
\]

то равенству (50) можно будет придать вид
\[
e=\frac{m}{2}\left[\dot{s}^{2}+k s^{2}\right]_{t}^{t+T_{1}}+2 h m \int_{t}^{t+T_{1}} \dot{s}^{2} d t .
\]

Замечая, что $s$ в рассматриваемом случае имеет вид $J+\sigma$ и что при достаточно большом $t$ слагаемым $\sigma$ можно пренебречь, мы найдем, что при установившемся режиме проинтегрированная часть равна нулю, так как (предыдущий пункт) функция $J$ и, следовательно, $j^{2}+k J^{2}$, так же как и $Q$, имеет период $T_{1}$. Остается, следовательно

только интеграл, в котором вмєсто $\dot{s}$ можно также подставить $J$, так что
\[
e=2 h m \int_{t}^{+T_{1}} j^{2} d t .
\]

Эта формула показывает, что энергия $e$ получается существенно положительной, т. е. чтобы поддерживать вынужденные колебания, необходимо сообщать энергию колеблющейся системе.

Следует заметить, что энергия $e$ не зависит от $t$, т. е. что при установившемся режиме затрата энергии, соответствующая интервалу в один период, является всегда одной и той же, каков бы ни был момент $t$ начала интервала. Чтобы это показать, достаточно взять производную по $t$ от предыдущего выражения $e$; так как определенный интеграл зависит от $t$ только через посредство двух пределов, верхнего и нижнего, это даст
\[
\frac{d e}{d t}=2 h m\left\{\dot{J}^{2}\left(t+T_{1}\right)-\dot{J}^{2}(t)\right\} .
\]

Правая часть равна нулю в силу периодичности функции $J$.
Ввиду независимости величины $e$ от $t$ можно условиться выражать затрату энергии в течение одного периода npt ycmaновивиемся режиме в виде
\[
e=2 h m \int_{0}^{T_{1}} \dot{J}^{2} d t .
\]