2. Общее выражение. Рассмотрим систему $S$ какой угодно природы из $N$ материальных точек $P_{i}(i=1,2, \ldots, N)$, на которые наложены связи. Пусть эта система движется под действием определенных заданных сил. Сосредоточив внимание на всех силах (прямо приложенных и реакциях), действующих на систему, или же только

на какой-нибудь части сил, механически вполне определенной (например, на действующих силах, или реакциях, или внешних силах и т. д.), обозначим через $F_{i}$ равнодействующую сил рассматриваемого вида, действующих на одну из точек $P_{i}$.

Если в какой-нибудь момент $t$ вектор $\boldsymbol{\eta}_{i}$ есть скорость точки $P_{i}$, так что $d P_{i}=\boldsymbol{v}_{i} d t$ есть перемещение, которое она испытывает за время $d t$, непосредственно следующее за этим моментом $t$, то элементарная работа, совершенная силой $\boldsymbol{F}_{i}$ за это время, будет рӓвна $F_{i} \cdot d P_{i}=F_{i} \cdot v_{i} d t$ (т. I, гл. VIII, п. 3 ).

Далее, полной элементарной работой системы сил $F_{i}$ от момента времени $t$ до момента $t+d t$ называется сумма элементарных работ
\[
d L=\sum_{i=1}^{N} F_{i} \cdot d P_{i}=\sum_{i=1}^{N} F_{i} \cdot \boldsymbol{\gamma}_{i} d t .
\]

Заметим еще, что так как перемещение системы зависит от принятой системы отсчета, то этот относительный характер перемещения отразится и на элементарной работе.
3. Случай твердого тела. а) Свободное твердое тело. К этому определению элементарной работы в общем случае мы не можем пока ничего добавить; но если система $S$ представляет собой твердое тело, то скорости $\boldsymbol{v}_{i}$, а следовательно, и элементарные перемещения $d P_{i}$ отдельных точек $P_{i}$ можно выразить в любой момент посредством двух характеристических векторов, т. е. посредством скорости $\boldsymbol{v}_{0}$ какой-нибудь точки $O$, неизменно связанной с системой, и мгновенной угловой скорости $\omega$ самой системы. Таким образом, мы будем иметь (т. I, гл. III, п. 22)
\[
\begin{aligned}
\boldsymbol{v}_{i} & =\boldsymbol{v}_{0}+\boldsymbol{\omega} \times \overrightarrow{O P}_{i}, \\
d P_{i} & =d O+\omega d t \times \overrightarrow{O P}_{i} \quad(i=1,2, \ldots, N) .
\end{aligned}
\]

Подставляя в равенство (1) и принимая во внимание векторное тождество
\[
F_{i} \cdot\left[\omega \times \overrightarrow{O P}_{i}\right]=\omega \cdot\left[\overrightarrow{O P}_{i} \times F_{i}\right],
\]

получим
\[
d L=d O \cdot \sum_{i=1}^{N} F_{i}+\omega d t \cdot \sum_{i=1}^{N} \overrightarrow{O P} \times F_{i} .
\]

Две векторные суммы в правой части суть результирующая $\boldsymbol{R}$ (главный вектор) и результирующий момент (главный момент) $\boldsymbol{M}$ относительно точки $O$ системы сил $F_{i}$; таким образом мы получаем ьесьма замечательную формулу
\[
d L=\boldsymbol{R} \cdot d O+\boldsymbol{M} \cdot \boldsymbol{\omega} d t=\left(\boldsymbol{R} \cdot \boldsymbol{v}_{0}+\boldsymbol{M} \cdot \boldsymbol{\omega}\right) d t .
\]

Если бы тело двигалось поступательно ( $\omega=0$ ), то выражение элементарной работы имело бы такой же вид, как и для одной силы $R$, приложенной в точке $O$.

Далее, если речь будет итти о работе только всех внутренних сил, которые в силу своей природы составляют (т. I, гл. XII, п. 3) систему, векторно эквивалентную нулю ( $\boldsymbol{R}=\boldsymbol{M}=0$ ), то, очевидно, можно сказать, что во время движения твердого тела при каких угодно связях и действующих силах сумма элементарных работ внутренних сил за любой элемент времени тождественно равна нулю.
б) Твердое тело, имеющее неподвижную точку или ось. Если твердое тело закреплено в какой-нибудь точке и эта точка выбирается за центр приведения, то имеем $\boldsymbol{v}_{0}=0$, так что формула (2) сведется к равенству
\[
d L=\boldsymbol{M} \cdot \boldsymbol{\omega} d t,
\]

представляющему собой точную формальную аналогию с выражением элементарной работы одной только силы, причем роль силы играет результирующий момент рассматриваемых сил относительно закрепленной точки, а роль скорости выполняет угловая скорость твердого тела.
Далее, если твердое тело вращается около закрепленной оси а (фиг. 18), то достаточно выбрать полюс $O$ в какой-нибудь точке этой оси, как тотчас же будет применима формула (3), а так как мгновенная ось вращения постоянно совпадает с $a$, то вектор $\omega$, изменяясь, вообще говоря, по величине в зависимости от времени, будет постоянно направлен по прямой $a$. Отсюда следует, что если эта ось ориентирована в ту сторону, которая в рассматриваемый момент указывается направлением вектора $\boldsymbol{\omega}$, то вместо скалярного произведения $\boldsymbol{M} \cdot \boldsymbol{\omega}$ можно подставить алгебраическое произведение величины а угловой скорости на проекцию $M_{a}$ момента $\boldsymbol{M}$ на ось (результирующий момент сил $F_{i}$ относительно оси а).
Формула
\[
d L=M_{a} \omega d t,
\]

которая получается таким образом, очень важна для приложений. Она позволяет, например, вычислить мощность (или работу в единицу времени, т. I, гл. VIII, п. 12) вала двигателя, когда известно преодолеваемое сопротивление (а следовательно, и результирующий момент $M_{a}$ относительно геометрической оси вала) и число $n$ оборотов в единицу времени. Так как тогда угол поворота, пробега-
емый в единицу времени, т. е. $\omega$, есть $2 \pi n$, то из равенства (4) следует, что мощность вала измеряется числом $2 \pi n M_{a}$.

К равенству (4) можно прийти, между прочим, еще проще. Элементарное перемещение любой точки $P_{i}$, расстояние которой от оси вращения $a$ есть $\delta_{i}$, перпендикулярно к плоскости $P_{i} a$ и измеряется произведением $\hat{\delta}_{i} \omega d t$ поэтому, если $F_{i}^{\prime}$ есть составляющая силы $F_{i}$, приложенной в точке $P_{i}$, по направлению $d P_{i}$, то элементарная работа силы $F_{i}$ будет равна $F_{i}^{\prime} \hat{\delta}_{i} \omega d t$. Но $F_{i}^{\prime \delta_{i}}$ есть как раз момент $\left.M_{i}\right|_{a}$ силы $F_{i}$ относительно оси $a$. Действительно, если разложим силу $F_{i}$ на две составляющие, из которых одна $F_{i}^{\prime}$ направлена по $d P_{i}$, а другая $F_{i}^{\prime \prime}$ есть проекция этой силы на плоскость $P_{i} a$, то увидим, с одной стороны, что момент силы $F_{i}^{\prime \prime}$ относительно оси а (компланарной с $F_{i}^{\prime \prime}$ ) равен нулю. С другой стороны, момент силы $\boldsymbol{F}_{i}^{\prime}$ есть көк раз $F_{i}^{\prime} \hat{\delta}_{i}$, потому что $\boldsymbol{F}_{i}^{\prime}$ перпендикулярна к плоскости $P_{i} a$, а $\delta_{i}$ измеряет кратчайшие расстояние линии действия силы $F_{i}^{\prime}$ от оси $a$ и, кроме того, $F_{i}^{\prime}$ будет положительной или отрицательной в зависимости от того, будет ли сила проектироваться в направлении перемещения или в противоположном, или же, если ось $a$ ориентирована в направлении вектора $\omega$, в зависимости от того, будет ли сила $F_{i}$ правовращающей или левовращающей относительно $a$. Отсюда на основании теоремы Вариньона (т. I, гл. I, п. 31) заключаем, что $F_{i}^{\prime} \delta_{i}$ есть момент $\left.M_{i}\right|_{a}$ силы $F_{i}$ относительно оси $a$, так что элементарную работу силы $F_{i}$ можно выразить в виде
\[
M_{i} a^{\omega} d t
\]

после этого достаточно просуммировать по всем точкам системы, чтобы вновь получить формулу (4).
4. Голономныв систвмы. Для дальнейшего изложения необходимо вывести уже встречавшееся в аналитической статике для виртуальных перемещений (т. I, гл. XV, § 6) выражение элементарной работы системы сил $F_{i}(i=1,2, \ldots, N)$, приложенных к $N$ материальным точкам $P_{i}$ голономной системы. Если эта система имеет $n$ степеней свободы и положения ее точек определяются $N$ параметрическими уравнениями
\[
P_{i}=P_{i}\left(q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n} \mid t\right) \quad(i=1,2, \ldots, N),(5)
\]

где $q_{h}(h=1,2, \ldots, n)$ — независимые лагранжевы координаты $\left.{ }^{1}\right)$, то любое бесконечно малое (действительное) перемещение системы определяется равенством
\[
d P_{i}=\sum_{h=1}^{n} \frac{\partial P_{i}}{\partial q_{h}} d q_{h}+\frac{\partial P_{i}}{\partial t} d t \quad(i=1,2, \ldots, N) .
\]

Поэтому для соответствующей элементарной работы системы из $N$ сил $\boldsymbol{F}_{i}$, выраженных через обобщенные координаты $q_{h}$, лагранжевы скорости $\dot{q}_{h}$ (т. I, гл. VI, п. 10) и время, мы получим выражение
\[
d L=\sum_{h=1}^{n} d q_{h} \sum_{i=1}^{N} F_{i} \cdot \frac{\partial P_{i}}{\partial q_{h}}+d t \sum_{i=1}^{N} F_{i} \cdot \frac{\partial P_{i}}{\partial t},
\]

которое можно переписать в виде
\[
d L=\sum_{h=1}^{n} Q_{h} d q_{h}+d t \sum_{i=1}^{N} F_{i} \cdot \frac{\partial P_{i}}{\partial t},
\]

где, как и в аналитической статике, положено
\[
Q_{h}=\sum_{i=1}^{N} F_{i} \cdot \frac{\partial P_{i}}{\partial q_{h}} \quad(h=1,2, \ldots, n),
\]
т. е. через $Q_{h}$ обозначена так называемая составляющая системы сил $F_{i}$ по лагранжевой координате $q_{h}$ или, иначе, обобщенная сила, соответствующая координате $q_{h}$.

В правой части равенства (б) вторая сумма тождественно исчезает, когда голономные связи не зависят от времени ( $\partial P_{i} / \partial t=0$ ).
5. ВИРТУАЛЬНАЯ РАБОТА И НЕКОТОРЫЕ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ ТОЖДЕСТВА. ЕСЛИ вспомним, что при любом виртуальном перемещении выражения $\delta P_{i}$ отличаются от только что названных действительных перемещений $d P_{i}$ только тем, что в виртуальных перемещениях во всяком случае (т. е. зависят ли, или не зависят связи от времени) отсутствует член с $d t$, то для виртуальной элементарной работы
\[
\delta L=\sum_{i=1}^{N} F_{i} \cdot \delta P_{i} .
\]

придем к выражению
\[
\delta L=\sum_{h=1}^{n} Q_{h} \delta q_{h},
\]

уже полученному в п. 28, гл. XV, т. I.
Если, далее, силы $F_{i}$ являются производными от потенциала $U$, где $U$ есть функция декартовых координат точек системы в смысле, указанном в п. 28 гл. XV т. I, то этот потенциал, выраженный в лагранжевых координатах посредством параметрических уравнений (5), вообще говоря, будет функцией от $q$, а также и от времени, если связи зависят от времени. Во всяком случае мы знаем уже (упомянутое место), что $\delta L=\delta U$, где $\delta U$

обозначает полный дифференциал от функции $U$, рассматриваемой как функция от $q$, т. е.
\[
\delta U=\sum_{h=1}^{n} \frac{\partial U}{\partial q_{h}} \delta q_{h}
\]

поэтому, приравнивая правые части этого равенства и равенства (6) и принимая во внимание произвольность $\delta q_{h}$, мы получим следующие выражения для обобщенных сил в случае консервативной системы
\[
Q_{h}=\frac{\partial U}{\partial q_{h}} \quad(h=1,2, \ldots, n) .
\]

К этим выводам, которые будут полезны в последующем изложении, здесь можно прибавить некоторые интересные замечания, относящиеся к случаю твердого тела. Предполагая, что речь идет о свободном твердом теле, примем за его обобщенные координаты декартовы координаты $\alpha, \beta, \gamma$ какой-нибудь точки $O$, неизменно связанной с телом относительно заданных неподвижных осей $\mathbf{Q \xi}^{\digamma} \zeta$, и обычные углы Эйлера $\theta, \varphi$, $\psi$, определяющие положение тела по отношению к этим осям. Для виртуальной работы в этом случае будем иметь выражение
\[
\delta L=Q_{\alpha} \delta \alpha+Q_{\beta} \delta \beta+Q_{\gamma} \delta \gamma+Q_{\theta} \delta \theta+Q_{\varphi} \delta \varphi+Q_{\phi} \delta \psi,
\]

где обобщенные силы $Q$ имеют обычное формальное определение (предыдущий пункт) относительно принятой системы координат.

Обобщенные силы $Q$ в рассматриваемом здесь частном случае допускают интересное механическое истолкование, к которому мы придем, сравнивая выражение (8) с другим выражением той же величины $\delta L$, которое можно получить прямо. С этой целью вспомним 13 кинематики (т. I, гл. VI, П. 15), что любое виртуальное перемещение твердого тела определяется равенством
\[
\delta P_{i}=\delta O+\omega^{\prime} \times \overrightarrow{O P}_{i} \quad(i=1,2, \ldots, N),
\]

где $\delta O$ обозначает виртуальное перемещение точки $O$ и $\omega^{\prime}$ — соответствующее виртуальное вращение. Эти выражения $\delta P_{i}$ получаются из аналогичных выражений $d P_{i}$ действительного элементарного перемещения (п. 3) путем подстановки $\delta O$ и $\omega^{\prime}$ вместо $d O$ и $w d t$, так что, выполняя эту подстановку в равенстве (2), найдем
\[
\delta L=\boldsymbol{R} \cdot \delta O+\boldsymbol{M} \cdot \boldsymbol{\omega}^{\prime},
\]

где $\boldsymbol{R}$ и $\boldsymbol{M}$ обозначают главный вектор и главный момент относительно точки $O$ сил $\boldsymbol{F}_{\boldsymbol{i}}$.

Замечая теперь, что составляющие $\delta O$ по осям $\operatorname{lin}_{\eta}$ суть $\delta \alpha, \delta \beta$, iү $_{\gamma}$ и обозначая через $R_{\xi}, R_{\eta}, R_{\zeta}$ аналогичные составляющие главного вектора $\boldsymbol{R}$, вместо первого слагаемого будем иметь выражение
\[
R \cdot \delta O=R_{\xi} \hat{\partial} \alpha+R_{\eta} \hat{\partial} \rho+R_{\varphi} \hat{\delta} \gamma .
\]

Что же касается второго слагаемого $\boldsymbol{M} \cdot \omega^{\prime}$, то вспомним из кинематики (т. I, гл. III, п. 34), что при действительном элементарном перемещении элементарное вращение $\omega d t$ определяется равенством
\[
d \theta \boldsymbol{N}+d \varphi \boldsymbol{k}+d \psi \boldsymbol{x},
\]

где $\boldsymbol{N}, \boldsymbol{k}, \boldsymbol{x}$, как обычно, обозначают единичные векторы линии узлов, оси $O z$, неизменно связанной с твердым телом, и оси $9 \zeta$ неподвижной системы координат. Поэтому элементарному виртуальному вращению можно придать вид
\[
\omega^{\prime}=\delta \theta N+\delta \varphi \boldsymbol{k}+\delta \zeta \boldsymbol{x},
\]

после чего, обозначая через $M_{N}, M_{z}, M_{\zeta}$ составляющие момента $\boldsymbol{M}$ по линии узлов и осям $O z, Q \zeta$, найдем
\[
\boldsymbol{M} \cdot \boldsymbol{\omega}^{\prime}=M_{N} \delta \theta+M_{z} \delta \varphi+M_{\varphi} \delta \psi .
\]

Таким образом, заключаем, что
\[
\delta L=R_{\xi} \delta \alpha+R_{\eta} \delta \beta+R_{\zeta} \delta \gamma+M_{N} \delta \theta+M_{z} \hat{\partial} \varphi+M_{\zeta} \hat{\delta} \psi,
\]

и достаточно отождествить это выражение с выражением (8) для $\delta L$, чтобы получить следующие шесть уравнений, дающих упоминавшееся выше механическое истолкование для обобщенных сил $Q$.
\[
\begin{array}{lll}
Q_{\alpha}=R_{\xi}, & Q_{\beta}=R_{\eta}, & Q_{\gamma}=R_{\zeta} . \\
Q_{\theta}=M_{N}, & Q_{\varphi}=M_{z}, & Q_{\psi}=M_{\zeta} .
\end{array}
\]

Если имеется в виду твердое тело с одной закрепленной (относительно $Q \xi \eta$ ) точкой, и мы выберем эту точку за полюс $O$, то останутся в силе уравнения второй тройки; в том случае, когда силы $\boldsymbol{F}_{i}$ являются производными от потенциала $U$, предыдущие равенства дадут механическое истолкование частных производных от $U$ по $\alpha, \beta, \gamma, \theta, \varphi, \psi$.