Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике 28. Дифференциальное уравнение задачи. Речь идет о тоЙ вторичной задаче баллистики, которая была сформулирована под рубрикой 3) в п. 23. Тогда же мы видели, что для приближенной характеристики движения снаряда, с учетом не только основных сил (силы тяжести и сопротивления воздуха), но и эффекта вращения Земли, нужно обратиться к системе дифференциальных уравнений где через $\omega$ обозначена угловая скорость Земли, а через $\boldsymbol{\theta}$-скорость снаряда, вычисленная в предположении, что Земля не вращается. Скорость $\boldsymbol{\eta}$ и скалярные величины $h, h_{1}, h_{2}$, определяемые формулами (43), представляют собой известные функции времени в силу того, что движение, не возмущенное вращением Земли, предполагается известным (интеграл основной задачи). Неизвестный вектор $ от составляющих $ скость, проходящую через начальную скорость), то, в частности, 6 в любой момент измеряет отклонение снаряда от этой плоскости или, как мы будем говорить, деривацию, происходящую от вращения Земли. В сочинениях по баллистике обыкновенно сохраняют специфическое название „деривация\” (drift у англичан) для аналогичного отклонения, которому подвергается снаряд вследствие очень быстрого вращения около оси, сообщаемого снаряду внутренней нарезкой современных орудий. Но этой деривацией в собственном смысле, которая существенно зависит от трения скольжения между снарядом и воздухом, мы здесь не будем заниматься. Для того чтобы охарактеризовать деривацию $\zeta$ посредством ее производной $\dot{\zeta}= Принимая во внимание, что вектор $\boldsymbol{g}$ постоянно лежит в плоскости выстрела и, следовательно, перпендикулярен к оси $z$ и, обозначая через $p, q, r$ составляющие вектора $\omega$ по принятым здесь осям $x, y, z$ (их не надо смешивать с компонентами п. 26 предыдущего параграфа, которые соответствовали плоскости выстрела, совпадающей с плоскостью меридиана), мы получим для деривации $\zeta$ линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка соответствующее однородное уравнение приводится к виду При интегрировании уравнения (52) полезно вспомнить о соглашении, установленном в п. 23, относительно начальных условий возмущенного движения; в силу этого соглашения необходимо предположить, что в начальный момент должны равняться нулю как $\zeta=\delta z$, так и $\zeta= 29. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ДЕРИВАЦИИ. Согласно замечанию п. 23, мы заранее знаем, что общий интеграл уравнения (52) можно определить просто (посредством дифференцирования и квадратур), если известен общий интеграл соответствующей основной задачи. Здесь можно непосредственно подтвердить возможность такого перехода. Из уравнения основной задачи, проектируя его на ось $x$ и вспоминая выражение для $h$, даваемое первым из равенств (43), выводим откуда непосредственно следует, что общий интеграл однородного уравнения (53) тождественен с абсциссой $x(t)$ снаряда в невозмущенном движении. Установив это, мы придем к интегрированию уравнения (52), применяя прямо метод варьирования постоянных, т. е. полагая $\dot{\zeta}=\lambda \dot{x}$, где $\lambda$ обозначает неизвестную функцию от $t$ и $\dot{x}$ – какое-нибудь частное решение уравнения (53′), не равное тождественно нулю, т. е. не соответствующее вертикальному выстрелу. Таким образом, из уравнения (52) получим Если теперь принять во внимание, имея в виду выстрел с наклоном к горизонту, что $\dot{x}$ никогда не будет равно нулю, то обе части этого равенства можно будет разделить на $\dot{x}$. Если при этом вспомним, как находился наклон $\varphi$ для невозмущенного движения, то предыдущее уравнение можно написать в виде Приняв за начальный момент $t=0$, проинтегрируем это уравнение от 0 до любого $t$. Так как $p$ и $q$ суть постоянные и производная $\dot{\zeta}=\lambda \dot{x}$ должна обратиться в нуль при $t=0$, то будем иметь Для большей ясности обозначим через $t$ любой момент, для которого желательно вычислить деривацию $\zeta$, и через $t_{1}$ и $t_{2}$ – две переменные интеграции. Поэтому, написав предыдущее уравнение в виде проинтегрируем от 0 до $t$, имея в виду, что $\zeta(0)=0$. Применяя интегрирование по частям и принимая за неопределенный интеграл от $\dot{x}\left(t_{1}\right)$ выражение $x\left(t_{1}\right)-x(t)$, мы получим для деривации $\zeta$ следующее окончательное выражение: 30. В дополнение к предыдущему удобно указать выражение постоянных $p, q, r$ в функции от данных задачи, т. е. от модуля $\omega$ угловой скорости Земли, от географической широты $\gamma$, от места выстрела и от азимута $A$ плоскости выстрела (угол нашей оси $x$ с касательной к меридиану, направленной к северу). С этой целью возьмем снова формулы (47) п. 26 и обозначим через $x^{\prime}, y^{\prime}, z^{\prime}$ принятые там оси, а через $p^{\prime}, q^{\prime}, r^{\prime}$-соответствующие проекции вектора $\omega$, тогда эти формулы примут вид В п. 26 вертикалью, направленной вниз, была ось $z^{\prime}$, а оси $x^{\prime}, y^{\prime}$ были соответственно направлены на север и на восток; теперь вертикалью, направленной вниз, является ось $y$, а ось $x$ будет составлять угол $A$ с касательной к меридиану, направленной к северу; этот угол есть угол поворота около вертикали, направленной вниз. Поэтому переход от системы $x^{\prime}, y^{\prime}, z^{\prime}$ к системе $x, y, z$ совершается путем поворота на $\pi / 2$ около оси $x^{\prime}$ и последующего вращения $A$ около нисходящей вертикали (с которой мы условились совместить $y^{\prime}$ ). Отсюда вытекает, что и, следовательно, С другой стороны, основываясь на выводах п. 28 , мы получаем здесь в качестве основного дифференциального уравнения для деривации уравнение (52) для которого вспомогательное однородное уравнение (53) имеет вид Но в настоящем случае нужно непосредственно интегрировать это последнее уравнение, так как здесь общий интеграл однородного уравнения (53) уже не определяется горизонтальной составляющей $\dot{x}$ скорости в невозмущенном движении (эта составляющая здесь тождественно равна нулю). Ограничимся в наших рассуждениях случаем, когда интенсивность $f$ сопротивления воздуха не зависит от высоты $y$ снаряда и оказывается пропорциональной квадрату скорости $v$. Как мы это видели в п. 52 гл. I, в этом предположении можно положить где $V$ есть постоянная величина (предельная скорость), так что в силу первого из уравнений (43) имеем причем $h$ здесь рассматривается как известная функция времени, поскольку $v$ обозначает скорость снаряда при невозмущенном движении, которое предполагается уже известным. Эта скорость $\boldsymbol{v}$ в случае закона сопротивления (55) нами уже определена в п. 54 гл. I, где было получено здесь $\tau$ обозначает некоторый параметр, связанный с временем $t$ соотношением причем предполагается, что в начальный момент $t=0$. можно будет написать в виде поэтому достаточно принять во внимание равенство (56), чтобы заключить, что где $\lambda$ обозначает постоянную интеграции. Применяя к этому уравнению метод вариации произвольной постоянной $\lambda$ в интеграле (58) соответствующего однородного уравнения и принимая во внимание, что при $\tau=0$ (или $t=0$ ) должно быть $\dot{\zeta}=0$, получим Следовательно, после этого, интегрируя от 0 до $\tau$ и вспоминая, что при $\tau=0$ должно быть $\zeta=0$, найдем, что деривация определяется равенством Эта последняя определяется вторым из уравнений (51) п. 26 , которое на основании тождества $p=\omega \cos \gamma$ можно написать в виде после чего $\delta=-\zeta$ может быть выражена на основании (60) и (57) формулой где для простоты положено Для оценки порядка величины полученных значений, по крайней мере при достаточно малом $\tau$, функции $\frac{6 \psi}{\tau^{3}}$, которая дает отношение $\delta / \delta_{0}$, удобно вычислить первые члены разложения $\psi$ по степеням $\tau$. С этой целью, условившись обозначать штрихами производные по $\tau$, заметим прежде всего, что из сравнения соотношений (59), (60) и (63) (или прямо из непосредственного дифференцирования соотношения (63)). вытекает, что и, следовательно, Поэтому, если введем функцию производная от которой имеет вид то можно будет написать между тем, с другой стороны, существует известное тождество Из этих двух последних соотношений обычным рекуррентным способом получим Таким образом, если примем во внимание, что при $\tau=0$ вместе с $\psi$ будут равны нулю также $\psi^{\prime}$ и $\chi^{\prime}$, то найдем поэтому для $\psi$ будем иметь разложение и формула (62) примет вид Таким образом, мы видим, что отношение $\delta / \delta_{0}$ при $\tau \rightarrow 0$ стремится к единице, как это можно было и прямо предвидеть, так как сопротивление воздуха сказывается тем меньше, чем меньше промежуток времени, в течение которого оно действует. Более того, мы видим, что когда эта продолжительность $t$ падения будет достаточно короткой и, следовательно, достаточно малым будет соответствующее значение (57) аргумента $\tau$, отношение $\delta / \delta_{0}$ будет отличаться от своего предельного значения, равного единице, на $\tau^{2} / 4$. Если такой поправкой можно пренебречь, то влияние сопротивления воздуха на восточную девиацию падающего тяжелого тела становится неощутимым, поэтому вполне законным будет от него отвлечься, как это и было сделано в предыдущем параграфе. Поэтому представляет большой физический интерес показать, как, следуя критерию, указанному Гауссом ${ }^{1}$ ), можно связать численную оценку $\tau$ прямо с данными наблюдения. Этот критерий состоит в определении порядка величины $\tau$ уже не на основании формулы (57), а на основании сравнения между высотой $H_{0}$ падения в пустоте и высотой $H$ действительного падения равной продолжительности в воздухе. Эта высота $H$ в отличие от предельной скорости $V$ может быть определена удовлетворительно из опыта наравне с продолжительностью падения $t$. В то время как для высоты падения в пустоте мы имеем выражение высота действительного падения равной продолжительности $t$ определяется равенством или же на основании формулы (57) равенством поэтому, принимая во внимание формулу (56), получим Если затем ввести высоту падения $H_{0}$, принимая во внимание формулы (57) и (64) предыдущего пункта, то получим Так как $\chi$ представляет собой, очевидно, четную функцию от $\tau$, то формула (65) дает соотношение между $\tau^{2}$ и отношением $H / H_{\theta}$. Таким образом, дело сводится к тому, чтобы выразить это отношение явно через $\tau^{2}$ в окрестности $\tau=0$; отсюда можно получить порядок величины $\tau^{2}$, если известен порядок величины $H / H_{0}$. С этой целью прежде всего заметим, что формулу (65), если ввести относительную разность между $H_{\theta}$ и $H$, можно написать в виде С другой стороны, взяв производную от $\%$ получим но, как мы уже видели в предыдущем пункте, откуда тотчас следует Таким образом, находим для $:=0$ поэтому разложение $\chi$ в ряд Маклорена, ограниченное членом четвертого порядка с остаточным членом в форме Лагранжа, представится в виде при $\tau_{1}$, заключенном между 0 и $\tau$; теперь равенство (65′) сведется к следующему: Обращаясь снова к формуле (65′), легко убедиться, что, как бы ни изменялось $\tau$ от 0 до $\infty$, функция в правой части не будет отрицательной. Действительно, это очевидно для первого множителя $2 / \tau^{2}$. Что же касается второго, то заметим прежде всего, что ‘го первая производная функция $\tau$ – $\chi$ ‘ не может убывать, так как производная от функции $\tau-\chi^{\prime}$, равная $1-\chi^{\prime \prime}=\chi^{\prime 2}$, всегда больше ияи равна нулю; так как, кроме того, при $\tau=0$ функция $\tau-\chi^{\prime}$. исчезает, то она будет всегда больше или равна нулю. По тем же соображениям заключаем, что и функция $\tau^{2} / 2-\chi(\tau)$, равная нулю при $\tau=0$ и никогда не убывающая, будет всегда больше или равна нулю. Поэтому, подставляя в правую часть формулы (65\”) выражение, даваемое равенством (65\”), и делим на $\tau^{2} / 12$, найдем или же для второго из равенств (67) Но каково бы ни было $\tau_{1}$, функция $\chi^{\prime}\left(\tau_{1}\right)$, как это следует из формулы (66), будет заключена между 0 и 1 , так что третий множитель 1 – $3 \chi^{\prime 2}\left(\tau_{1}\right)$ должен быть больше или равен нулю, а это, очевидно, означает, что этот множитель будет заключен между 0 и -1. Мы заключаем отсюда, что $0 \leqslant-\gamma^{\text {IV }}\left(\tau_{1}\right) \leqslant 2$, так что равенство (65\”) принимает окончательный вид представляет собой положительную величину, меньшую единицы, которая, как это видно из второго из равенств (67), стремится к 1 ири $\tau \rightarrow 0$. Формула (65\”) показывает, что $\tau^{2}$ будет по крайней мере порядка величины $6\left(H_{0}-H\right) / H_{0}$. Если это отношение будет равно нескольким сотым, то то же можно сказать и о $\tau^{2}$ (поскольку, следуя Гауссу, можно предположить, что величина $1 / 6$ не слишком отличается от значения 1 , которое она имеет при $t=0$ ). В таком случае, с аналогичным приближение можно отождествить 8 с. в формуле ( $62^{\prime}$ ), пренебрегая величиной $\tau^{2}$ и более высокими степенями $\tau$. Именно так получалось в опытах Гульельмини и Бенценберга, на которые опирался Гаусс. В опытах Бенценберга, производившихся в Гамбурге, имелось по определению Бенценберга $t=4^{\prime \prime}, H=76$ м (приблизительно); так как $H_{0}=78,4 \boldsymbol{\mu}$; то поправочный член $\tau^{2} / 4$ в формуле (62’) получался порядка $6 H_{0}-H / 4 H_{0}=0,045$. На основании этого численного результата Гаусс и утверждал (по крайней мере для тех данных наблюдения, которыми он располагал), что действием сопротивления воздуха на девиацию падающих тел можно пренебрегать. Но равенство ( $\left.65^{\prime \prime \prime}\right)$, в котором $\theta$ заключено между 0 и 1 , по казывает, что $\tau^{2}$ не меньше чем $6\left(H_{0}-H\right) / H_{0}$; так что, когда относительная разница между $H_{0}$ и $H$ становится ощутительной, отождествлять $\delta$ и $\delta_{0}$ при вычислении отклонения падающего тяжелого тела к востоку нельзя даже при простой оценке порядка величины, и необходимо принимать во внимание поправочный множитель $6 \psi / \tau^{3}$ в равенстве (62). Последняя строка показывает, что во всех этих опытах величиной $\tau^{2} \geqslant 6\left(H_{0}-H\right) / H_{0}$ нельзя пренебречь, так как, начиная с значении, близких к 1 , она достигает и превосходит значение 2 для наблюдавшегося падения с больших высот. Бросается в глаза несогласие между данными Бенценберга, на которые опирался Гаусс (предыдущий пункт), и вторым из наблюдений Леннона. Оба наблюдавшихся в действительности падения в 76 и 65 м происходили в течение 4 сек в спокойном воздухе; разница ясно видна при оценке верхнего предела $\tau^{2}$, который в первом случае, как мы видели, был примерно равен $4 \times 0,045=0,18$, а во втором достигал 1.
|
1 |
Оглавление
|