28. Дифференциальное уравнение задачи. Речь идет о тоЙ вторичной задаче баллистики, которая была сформулирована под рубрикой 3) в п. 23. Тогда же мы видели, что для приближенной характеристики движения снаряда, с учетом не только основных сил (силы тяжести и сопротивления воздуха), но и эффекта вращения Земли, нужно обратиться к системе дифференциальных уравнений
\[
\begin{array}{c}
\dot{\eta}=
u_{2}, \\
\dot{v}=-h
u+\left\{h_{1} \boldsymbol{v} \cdot
u+h_{2} \eta\right\} v-2 \omega \times \boldsymbol{v},
\end{array}
\]

где через $\omega$ обозначена угловая скорость Земли, а через $\boldsymbol{\theta}$-скорость снаряда, вычисленная в предположении, что Земля не вращается. Скорость $\boldsymbol{\eta}$ и скалярные величины $h, h_{1}, h_{2}$, определяемые формулами (43), представляют собой известные функции времени в силу того, что движение, не возмущенное вращением Земли, предполагается известным (интеграл основной задачи). Неизвестный вектор $
u$ дает возмущение скорости $\boldsymbol{\eta}$ и, следовательно, интегралы
\[
\begin{array}{l}
\xi=\delta x=\int_{0}^{t} v_{1} d t, \\
\eta=\delta y=\int_{0}^{t} v_{2} d t, \\
\zeta=\delta z=\int_{0}^{t} v_{3} d t
\end{array}
\]

от составляющих $
u_{1},
u_{3},
u_{3}$ вектора $
u$ дают возмущения координат снаряда. Так как оси выбраны таким образом, что плоскость $x y$ представляет собой плоскость выстрела (или вертикальную пло-

скость, проходящую через начальную скорость), то, в частности, 6 в любой момент измеряет отклонение снаряда от этой плоскости или, как мы будем говорить, деривацию, происходящую от вращения Земли. В сочинениях по баллистике обыкновенно сохраняют специфическое название „деривация\» (drift у англичан) для аналогичного отклонения, которому подвергается снаряд вследствие очень быстрого вращения около оси, сообщаемого снаряду внутренней нарезкой современных орудий. Но этой деривацией в собственном смысле, которая существенно зависит от трения скольжения между снарядом и воздухом, мы здесь не будем заниматься.

Для того чтобы охарактеризовать деривацию $\zeta$ посредством ее производной $\dot{\zeta}=
u_{3}$, достаточно спроектировать уравнение (42′) на ось $z$, являющуюся нормалью к плоскости выстрела и (в силу соглашения п. 14) направленную влево от наблюдателя, который стоит в месте выстрела и смотрит в ту сторону, куда направлен выстрел.

Принимая во внимание, что вектор $\boldsymbol{g}$ постоянно лежит в плоскости выстрела и, следовательно, перпендикулярен к оси $z$ и, обозначая через $p, q, r$ составляющие вектора $\omega$ по принятым здесь осям $x, y, z$ (их не надо смешивать с компонентами п. 26 предыдущего параграфа, которые соответствовали плоскости выстрела, совпадающей с плоскостью меридиана), мы получим для деривации $\zeta$ линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка
\[
\ddot{\zeta}=-h^{\dot{\zeta}}-2(p \dot{y}-q \dot{x}) ;
\]

соответствующее однородное уравнение приводится к виду
\[
\ddot{\zeta}=-h \dot{\zeta} .
\]

При интегрировании уравнения (52) полезно вспомнить о соглашении, установленном в п. 23, относительно начальных условий возмущенного движения; в силу этого соглашения необходимо предположить, что в начальный момент должны равняться нулю как $\zeta=\delta z$, так и $\zeta=
u_{3}$.

29. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ДЕРИВАЦИИ. Согласно замечанию п. 23, мы заранее знаем, что общий интеграл уравнения (52) можно определить просто (посредством дифференцирования и квадратур), если известен общий интеграл соответствующей основной задачи. Здесь можно непосредственно подтвердить возможность такого перехода. Из уравнения
\[
a=g-\frac{1}{v} f v
\]

основной задачи, проектируя его на ось $x$ и вспоминая выражение для $h$, даваемое первым из равенств (43), выводим
\[
\ddot{x}=-h \dot{x} \text {, }
\]

откуда непосредственно следует, что общий интеграл однородного уравнения (53) тождественен с абсциссой $x(t)$ снаряда в невозмущенном движении.

Установив это, мы придем к интегрированию уравнения (52), применяя прямо метод варьирования постоянных, т. е. полагая $\dot{\zeta}=\lambda \dot{x}$, где $\lambda$ обозначает неизвестную функцию от $t$ и $\dot{x}$ — какое-нибудь частное решение уравнения (53′), не равное тождественно нулю, т. е. не соответствующее вертикальному выстрелу. Таким образом, из уравнения (52) получим
\[
\dot{\lambda} \dot{x}=-2(p \dot{y}-q \dot{x}) .
\]

Если теперь принять во внимание, имея в виду выстрел с наклоном к горизонту, что $\dot{x}$ никогда не будет равно нулю, то обе части этого равенства можно будет разделить на $\dot{x}$. Если при этом вспомним, как находился наклон $\varphi$ для невозмущенного движения, то предыдущее уравнение можно написать в виде
\[
\dot{\lambda}=2 q-2 p \operatorname{tg} \varphi \text {. }
\]

Приняв за начальный момент $t=0$, проинтегрируем это уравнение от 0 до любого $t$. Так как $p$ и $q$ суть постоянные и производная $\dot{\zeta}=\lambda \dot{x}$ должна обратиться в нуль при $t=0$, то будем иметь
\[
\dot{\zeta}=2 q t \dot{x}-2 p \dot{x} \int_{0}^{t} \operatorname{tg} \varphi d t .
\]

Для большей ясности обозначим через $t$ любой момент, для которого желательно вычислить деривацию $\zeta$, и через $t_{1}$ и $t_{2}$ — две переменные интеграции. Поэтому, написав предыдущее уравнение в виде
\[
\dot{\zeta}\left(t_{1}\right)=2 q t_{1} \dot{x}\left(t_{1}\right)-2 p \dot{x}\left(t_{1}\right) \int_{0}^{t_{1}} \operatorname{tg} \varphi\left(t_{2}\right) d t_{2},
\]

проинтегрируем от 0 до $t$, имея в виду, что $\zeta(0)=0$. Применяя интегрирование по частям и принимая за неопределенный интеграл от $\dot{x}\left(t_{1}\right)$ выражение $x\left(t_{1}\right)-x(t)$, мы получим для деривации $\zeta$ следующее окончательное выражение:
\[
\zeta(t)=-2 q \int_{0}^{t}\left[x\left(t_{1}\right)-x(t)\right] d t_{1}-2 p \int_{0}^{t}\left[x\left(t_{1}\right)-x(t)\right] \operatorname{tg} \varphi\left(t_{1}\right) d t_{1} .
\]

30. В дополнение к предыдущему удобно указать выражение постоянных $p, q, r$ в функции от данных задачи, т. е. от модуля $\omega$ угловой скорости Земли, от географической широты $\gamma$, от места выстрела и от азимута $A$ плоскости выстрела (угол нашей оси $x$

с касательной к меридиану, направленной к северу). С этой целью возьмем снова формулы (47) п. 26 и обозначим через $x^{\prime}, y^{\prime}, z^{\prime}$ принятые там оси, а через $p^{\prime}, q^{\prime}, r^{\prime}$-соответствующие проекции вектора $\omega$, тогда эти формулы примут вид
\[
p^{\prime}=\omega \cos \gamma, \quad q^{\prime}=0, \quad r^{\prime}=-\omega \sin \gamma .
\]

В п. 26 вертикалью, направленной вниз, была ось $z^{\prime}$, а оси $x^{\prime}, y^{\prime}$ были соответственно направлены на север и на восток; теперь вертикалью, направленной вниз, является ось $y$, а ось $x$ будет составлять угол $A$ с касательной к меридиану, направленной к северу; этот угол есть угол поворота около вертикали, направленной вниз. Поэтому переход от системы $x^{\prime}, y^{\prime}, z^{\prime}$ к системе $x, y, z$ совершается путем поворота на $\pi / 2$ около оси $x^{\prime}$ и последующего вращения $A$ около нисходящей вертикали (с которой мы условились совместить $y^{\prime}$ ). Отсюда вытекает, что
\[
x=x^{\prime} \cos A-y^{\prime} \sin A, \quad y=z^{\prime}, \quad z=-x^{\prime} \sin A-y^{\prime} \cos A,
\]

и, следовательно,
\[
p=\omega \cos \gamma \cos A, \quad q=-\omega \sin \gamma, \quad r=-\omega \cos \gamma \sin A .
\]
31. ЧАСТНЫЙ СЛУЧАЙ ВЕРТИКАЛЬНОГО ПАДЕНИЯ ПРИ КВАДРАТИЧНОМ законов сопротивления. Очевидно, постановка общей задачи о деривации, данная в п. 28 , остается в силе также и тогда, когда требуется оценить деривацию при вертикальном (прямолинейном) выстреле или, в частности, при падении тяжелого тела, предоставленного самому себе без начальной скорости. В этом случае остается неопределенной только вертикальная плоскость $x y$ выстрела. Если за плоскость $x y$ примем для определенности плоскость меридиана и направим ось $x$ к северу (и, следовательно, ось $z$ к западу), то в формулах (54) мы должны положить $A=0$, вследствие чего получим
\[
p=\omega \cos \gamma, \quad q=-\omega \sin \gamma, \quad r=0 .
\]

С другой стороны, основываясь на выводах п. 28 , мы получаем здесь в качестве основного дифференциального уравнения для деривации уравнение (52)
\[
\ddot{\zeta}=-h \dot{\zeta}-2(p \dot{y}-q \dot{x}),
\]

для которого вспомогательное однородное уравнение (53) имеет вид
\[
\ddot{\zeta}=-h \dot{\zeta} \text {. }
\]

Но в настоящем случае нужно непосредственно интегрировать это последнее уравнение, так как здесь общий интеграл однородного уравнения (53) уже не определяется горизонтальной

составляющей $\dot{x}$ скорости в невозмущенном движении (эта составляющая здесь тождественно равна нулю).

Ограничимся в наших рассуждениях случаем, когда интенсивность $f$ сопротивления воздуха не зависит от высоты $y$ снаряда и оказывается пропорциональной квадрату скорости $v$. Как мы это видели в п. 52 гл. I, в этом предположении можно положить
\[
f=\frac{g v^{9}}{V^{2}},
\]

где $V$ есть постоянная величина (предельная скорость), так что в силу первого из уравнений (43) имеем
\[
h=\frac{1}{v} f=\frac{g v}{V^{2}},
\]

причем $h$ здесь рассматривается как известная функция времени, поскольку $v$ обозначает скорость снаряда при невозмущенном движении, которое предполагается уже известным. Эта скорость $\boldsymbol{v}$ в случае закона сопротивления (55) нами уже определена в п. 54 гл. I, где было получено
\[
\frac{v}{V}=\frac{e^{\tau}-e^{-\tau}}{e^{\tau}+e^{-\tau}}=\frac{d}{d \tau} \ln \left(e^{\tau}+e^{-\tau}\right) ;
\]

здесь $\tau$ обозначает некоторый параметр, связанный с временем $t$ соотношением
\[
\tau=\frac{g t}{V}
\]

причем предполагается, что в начальный момент $t=0$.
Теперь равенство (53), если рассматривать в нем $\dot{\zeta}$ как неизвестную функцию и на основании соотношения (57) положить
\[
\ddot{\zeta}=\frac{d \dot{\zeta}}{d t}=\frac{g}{V} \frac{d \dot{\zeta}}{d t},
\]

можно будет написать в виде
\[
\frac{d \dot{\zeta}}{d \tau}=-\frac{v}{V} \dot{\zeta}
\]

поэтому достаточно принять во внимание равенство (56), чтобы заключить, что
\[
\dot{\zeta}=\frac{\lambda}{e^{\tau}+e^{-\tau}},
\]

где $\lambda$ обозначает постоянную интеграции.
Возьмем теперь снова основное дифференциальное уравнение для деривации (52) и проинтегрируем его для случая тяжелого тела, предоставленного самому себе без начальной скорости. В этом случае горизонтальная составляющая $\dot{x}$ скорости снаряда в невозмущенном движении обратится тождественно в нуль, а аналогичная вертикальная определяемой равенством (56); поэтому уравнение (52), если за неизвестную функцию примем $\dot{\zeta}$, а за независимое переменное $\tau$, приведется к виду
\[
\frac{d \dot{\zeta}}{d \tau}=-\frac{v}{V} \dot{\zeta}-2 p \frac{V}{g} v .
\]

Применяя к этому уравнению метод вариации произвольной постоянной $\lambda$ в интеграле (58) соответствующего однородного уравнения и принимая во внимание, что при $\tau=0$ (или $t=0$ ) должно быть $\dot{\zeta}=0$, получим
\[
\lambda=-2 p \frac{V^{2}}{g}\left(e^{\tau}+e^{-\tau}-2\right) .
\]

Следовательно,
\[
\dot{\zeta}=\frac{g}{V} \frac{d \zeta}{d \tau}=-2 p \frac{V^{9}}{g}\left(1-\frac{2}{e^{\tau}+e^{-\tau}}\right) ;
\]

после этого, интегрируя от 0 до $\tau$ и вспоминая, что при $\tau=0$ должно быть $\zeta=0$, найдем, что деривация определяется равенством
\[
\zeta=-2 p \frac{V^{8}}{g^{2}}\left(\tau-2 \operatorname{arctg} e^{\tau}+\frac{\pi}{2}\right) .
\]
Закон изменения деривации (60) в зависимости от времени или, что одно и то же, в зависимости от пропорционального ему аргумента прямо следует из того, что скорость $\dot{\zeta}$, вначале равная нулю, на основании соотношения (59) остается всегда отрицательной, так что деривация $\zeta$ постоянно убывает, а так как при $\tau=0$ деривация тоже равна нулю, то она остается всегда отрицательной при $\tau>0$. Если при этом мы вспомним, что ось $z$ здесь направлена к западу (предыдущий пункт), то увидим, что — ц дает как раз ту восточную девиацию падающего тяжелого тела, которая происходит от вращения Земли и для которой в п. 26 мы уже получили первое приближенное значение, не принимая во внимание сопротивление воздуха. Уравнение (60), наоборот, учитывает также и это важное физическое обстоятельство. Интересно количественно оценить эффект этого сопротивления воздуха, сравнивая восточную девиацию $\delta=-\zeta$, получаемую из уравнения (60), с аналогичной девиацией $\delta_{0}$ в пустоте.

Эта последняя определяется вторым из уравнений (51) п. 26 , которое на основании тождества $p=\omega \cos \gamma$ можно написать в виде
\[
\delta_{0}=\frac{1}{3} p g t^{3},
\]

после чего $\delta=-\zeta$ может быть выражена на основании (60) и (57) формулой
\[
\delta=\delta_{0} \frac{64}{v^{3}},
\]

где для простоты положено
\[
\psi(\tau)=\tau-2 \operatorname{arctg} e^{\tau}+\frac{\pi}{2} .
\]

Для оценки порядка величины полученных значений, по крайней мере при достаточно малом $\tau$, функции $\frac{6 \psi}{\tau^{3}}$, которая дает отношение $\delta / \delta_{0}$, удобно вычислить первые члены разложения $\psi$ по степеням $\tau$. С этой целью, условившись обозначать штрихами производные по $\tau$, заметим прежде всего, что из сравнения соотношений (59), (60) и (63) (или прямо из непосредственного дифференцирования соотношения (63)). вытекает, что
\[
\psi^{\prime}=1-\frac{2}{e^{\tau}+e^{-\tau}},
\]

и, следовательно,
\[
\psi^{\prime \prime}=2 \frac{e^{\tau}-e^{-\tau}}{\left(e^{\tau}+e^{-\tau}\right)^{2}} .
\]

Поэтому, если введем функцию
\[
\chi=\ln \frac{e^{\tau}+e^{-\tau}}{2}=\ln \operatorname{ch} \tau,
\]

производная от которой имеет вид
\[
y^{\prime}=\frac{e^{\tau}-e^{-\tau}}{e^{\tau}+e^{-\tau}}=\operatorname{th} \tau,
\]

то можно будет написать
\[
\psi^{\prime \prime}=\left(1-\psi^{\prime}\right) \psi^{\prime},
\]

между тем, с другой стороны, существует известное тождество
\[
\gamma^{\prime \prime}=1-\chi^{\prime 2} .
\]

Из этих двух последних соотношений обычным рекуррентным способом получим
\[
\begin{array}{c}
\psi^{\prime \prime \prime}=\left(1-\psi^{\prime}\right)\left(1-2 \chi^{\prime 2}\right), \quad \psi^{\mathrm{V}}=-\left(1-\psi^{\prime}\right) \chi^{\prime}\left(5-6 \chi^{\prime 2}\right), \\
\zeta^{\mathrm{V}}=-\left(1-\psi^{\prime}\right)\left(1-2 \chi^{\prime 2}\right)\left(5-6 \chi^{\prime 2}\right)+12\left(1-\psi^{\prime}\right) \chi^{\prime 2}\left(1-\chi^{\prime 2}\right) .
\end{array}
\]

Таким образом, если примем во внимание, что при $\tau=0$ вместе с $\psi$ будут равны нулю также $\psi^{\prime}$ и $\chi^{\prime}$, то найдем
\[
\psi_{0}=\psi_{0}^{\prime}=\psi_{0}^{\prime \prime}=0, \quad \psi_{0}^{\prime \prime \prime}=1, \quad \psi_{0}^{\mathrm{IV}}=0, \quad \psi_{0}^{\mathrm{V}}=-5,
\]

поэтому для $\psi$ будем иметь разложение
\[
\psi(\tau)=\frac{1}{3 !} \tau^{3}-\frac{1}{4 !} \tau^{5}+\ldots
\]

и формула (62) примет вид
\[
\delta=\delta_{0}\left(1-\frac{1}{4} \tau^{2}+\cdots\right) .
\]

Таким образом, мы видим, что отношение $\delta / \delta_{0}$ при $\tau \rightarrow 0$ стремится к единице, как это можно было и прямо предвидеть, так как сопротивление воздуха сказывается тем меньше, чем меньше промежуток времени, в течение которого оно действует. Более того, мы видим, что когда эта продолжительность $t$ падения будет достаточно короткой и, следовательно, достаточно малым будет соответствующее значение (57) аргумента $\tau$, отношение $\delta / \delta_{0}$ будет отличаться от своего предельного значения, равного единице, на $\tau^{2} / 4$. Если такой поправкой можно пренебречь, то влияние сопротивления воздуха на восточную девиацию падающего тяжелого тела становится неощутимым, поэтому вполне законным будет от него отвлечься, как это и было сделано в предыдущем параграфе.
33. Критерий оценки гауссА. Точная оценка ошибки, получаемой в том случае, когда пренебрегают сопротивлением воздуха, зависит, как мы только что видели, от численной оценки параметра $\tau$. B предыдущем пункте этот параметр $\tau$ был определен, как отношение $g t / V$ между конечной скоростью $g t$ падения в пустоте продолжительностью $t$ и предельной скоростью $V$. Важно отметить, что, в то время как продолжительность падения $t$, позволяющую вычислить скорость $g t$, можно определить экспериментально с вполне достаточным приближением, численное значение предельной скорости $V$ всегда является сомнительным.

Поэтому представляет большой физический интерес показать, как, следуя критерию, указанному Гауссом ${ }^{1}$ ), можно связать численную оценку $\tau$ прямо с данными наблюдения.

Этот критерий состоит в определении порядка величины $\tau$ уже не на основании формулы (57), а на основании сравнения между высотой $H_{0}$ падения в пустоте и высотой $H$ действительного падения равной продолжительности в воздухе. Эта высота $H$ в отличие от предельной скорости $V$ может быть определена удовлетворительно из опыта наравне с продолжительностью падения $t$. В то время как для высоты падения в пустоте мы имеем выражение
\[
H_{0}=\frac{g t^{2}}{2},
\]

высота действительного падения равной продолжительности $t$ определяется равенством
\[
H=\int_{0}^{t} v d t
\]

или же на основании формулы (57) равенством
\[
H=\frac{V^{2}}{g} \int_{0}^{\tau} \frac{v}{V} d \tau
\]

поэтому, принимая во внимание формулу (56), получим
\[
H=\frac{V^{2}}{g} \ln \frac{e^{\tau}+e^{-\tau}}{2} .
\]

Если затем ввести высоту падения $H_{0}$, принимая во внимание формулы (57) и (64) предыдущего пункта, то получим
\[
H=H_{0} \frac{2 \chi}{\tau^{2}} \text {. }
\]

Так как $\chi$ представляет собой, очевидно, четную функцию от $\tau$, то формула (65) дает соотношение между $\tau^{2}$ и отношением $H / H_{\theta}$. Таким образом, дело сводится к тому, чтобы выразить это отношение явно через $\tau^{2}$ в окрестности $\tau=0$; отсюда можно получить порядок величины $\tau^{2}$, если известен порядок величины $H / H_{0}$.

С этой целью прежде всего заметим, что формулу (65), если ввести относительную разность между $H_{\theta}$ и $H$, можно написать в виде
\[
\frac{H_{0}-H}{H_{0}}=\frac{2}{\tau^{2}}(2-\chi(\tau)) .
\]

С другой стороны, взяв производную от $\%$ получим
\[
\chi^{\prime}=\frac{e^{\tau}-e^{-\tau}}{e^{\tau}+e^{-\tau}}=1-\frac{2}{1+e^{2 \tau}} ;
\]

но, как мы уже видели в предыдущем пункте,
\[
\chi^{\prime \prime}=1-\chi^{\prime 2} \text {, }
\]

откуда тотчас следует
\[
\chi^{\prime \prime \prime}=-2 \chi^{\prime}\left(1-\chi^{\prime 2}\right), \quad \chi^{\mathrm{IV}}=-2\left(1-\chi^{\prime 2}\right)\left(1-3 \chi^{\prime 2}\right) .
\]

Таким образом, находим для $:=0$
\[
\chi_{0}=\chi_{0}^{\prime}=0, \quad \chi_{0}^{\prime \prime}=1, \quad \chi_{0}^{\prime \prime \prime}=0, \quad \chi_{0}^{\mathrm{V}}=-2 ;
\]

поэтому разложение $\chi$ в ряд Маклорена, ограниченное членом четвертого порядка с остаточным членом в форме Лагранжа, представится в виде
\[
\chi(\tau)=\frac{\tau^{2}}{2}+\frac{\tau^{4}}{4 !} \chi^{\mathrm{IV}}\left(\tau_{1}\right)
\]

при $\tau_{1}$, заключенном между 0 и $\tau$; теперь равенство (65′) сведется к следующему:
\[
\frac{H_{0}-H}{H_{0}}=-\frac{\tau^{2}}{12} \chi^{\mathrm{IV}}\left(\tau_{1}\right) .
\]

Обращаясь снова к формуле (65′), легко убедиться, что, как бы ни изменялось $\tau$ от 0 до $\infty$, функция в правой части не будет отрицательной. Действительно, это очевидно для первого множителя $2 / \tau^{2}$. Что же касается второго, то заметим прежде всего, что ‘го первая производная функция $\tau$ — $\chi$ ‘ не может убывать, так как производная от функции $\tau-\chi^{\prime}$, равная $1-\chi^{\prime \prime}=\chi^{\prime 2}$, всегда больше ияи равна нулю; так как, кроме того, при $\tau=0$ функция $\tau-\chi^{\prime}$. исчезает, то она будет всегда больше или равна нулю. По тем же соображениям заключаем, что и функция $\tau^{2} / 2-\chi(\tau)$, равная нулю при $\tau=0$ и никогда не убывающая, будет всегда больше или равна нулю.

Поэтому, подставляя в правую часть формулы (65\») выражение, даваемое равенством (65\»), и делим на $\tau^{2} / 12$, найдем
\[
-\chi^{\mathrm{IV}}\left(\tau_{1}\right) \geqslant 0
\]

или же для второго из равенств (67)
\[
2\left(1-\chi^{\prime 2}\left(\tau_{1}\right)\right)\left(1-3 \chi^{\prime 8}\left(\tau_{1}\right)\right) \geqslant 0 .
\]

Но каково бы ни было $\tau_{1}$, функция $\chi^{\prime}\left(\tau_{1}\right)$, как это следует из формулы (66), будет заключена между 0 и 1 , так что третий множитель 1 — $3 \chi^{\prime 2}\left(\tau_{1}\right)$ должен быть больше или равен нулю, а это, очевидно, означает, что этот множитель будет заключен между 0 и -1. Мы заключаем отсюда, что $0 \leqslant-\gamma^{\text {IV }}\left(\tau_{1}\right) \leqslant 2$, так что равенство (65\») принимает окончательный вид
\[
\frac{H_{0}-H}{H_{0}}=\theta \frac{\tau^{2}}{6},
\]
гдe
\[
\theta=-\frac{z^{\mathrm{IV}}\left(r_{1}\right)}{2}
\]

представляет собой положительную величину, меньшую единицы, которая, как это видно из второго из равенств (67), стремится к 1 ири $\tau \rightarrow 0$. Формула (65\») показывает, что $\tau^{2}$ будет по крайней мере порядка величины $6\left(H_{0}-H\right) / H_{0}$. Если это отношение будет равно нескольким сотым, то то же можно сказать и о $\tau^{2}$ (поскольку, следуя Гауссу, можно предположить, что величина $1 / 6$ не слишком

отличается от значения 1 , которое она имеет при $t=0$ ). В таком случае, с аналогичным приближение можно отождествить 8 с. в формуле ( $62^{\prime}$ ), пренебрегая величиной $\tau^{2}$ и более высокими степенями $\tau$.

Именно так получалось в опытах Гульельмини и Бенценберга, на которые опирался Гаусс. В опытах Бенценберга, производившихся в Гамбурге, имелось по определению Бенценберга $t=4^{\prime \prime}, H=76$ м (приблизительно); так как $H_{0}=78,4 \boldsymbol{\mu}$; то поправочный член $\tau^{2} / 4$ в формуле (62’) получался порядка $6 H_{0}-H / 4 H_{0}=0,045$. На основании этого численного результата Гаусс и утверждал (по крайней мере для тех данных наблюдения, которыми он располагал), что действием сопротивления воздуха на девиацию падающих тел можно пренебрегать.

Но равенство ( $\left.65^{\prime \prime \prime}\right)$, в котором $\theta$ заключено между 0 и 1 , по казывает, что $\tau^{2}$ не меньше чем $6\left(H_{0}-H\right) / H_{0}$; так что, когда относительная разница между $H_{0}$ и $H$ становится ощутительной, отождествлять $\delta$ и $\delta_{0}$ при вычислении отклонения падающего тяжелого тела к востоку нельзя даже при простой оценке порядка величины, и необходимо принимать во внимание поправочный множитель $6 \psi / \tau^{3}$ в равенстве (62).
34. Чтобы дать представление о порядке величины $\tau^{2}$ для значительных высот падения, который получился из более поздних наблюдений, приведем здесь результаты опытов, выполненных Р. Г. Ленноном ${ }^{1}$ ) в четырех угольных шахтах Ньюкэстля в условиях спокойного воздуха. Действительные высоты падения в метрах, продолжительность $t$ в секундах, соответствующие высоты падения в пустоте и ушестеренные относительные изменения разности между $H_{0}$ и $H$ даны в таблице

Последняя строка показывает, что во всех этих опытах величиной $\tau^{2} \geqslant 6\left(H_{0}-H\right) / H_{0}$ нельзя пренебречь, так как, начиная с значении, близких к 1 , она достигает и превосходит значение 2 для

наблюдавшегося падения с больших высот. Бросается в глаза несогласие между данными Бенценберга, на которые опирался Гаусс (предыдущий пункт), и вторым из наблюдений Леннона. Оба наблюдавшихся в действительности падения в 76 и 65 м происходили в течение 4 сек в спокойном воздухе; разница ясно видна при оценке верхнего предела $\tau^{2}$, который в первом случае, как мы видели, был примерно равен $4 \times 0,045=0,18$, а во втором достигал 1.