29. Теорема живых сил. Прежде чем выводить другие следствия из общего уравнения динамики, удобно установить здесь еще одну общую теорему о движении системы, формулировка которой не зависит от подразделения сил на внешние и внутренние или активные и реакции связей.

Обозначим поэтому через $F_{i}$ полную силу, действующую на любую точку $P_{i}(i=1,2, \ldots, N)$ движущейся системы, т. е. равнодействующую всех сил (внутренних и внешних, активных и реакций), действующих на эту точку. Мы знаем уже, что во время движения системы приращение, получаемое в любой элемент времени живой силой точки $P_{i}$, равно работе, совершенной силой $F_{i}$ за тот же самый элементарный промежуток времени (т. I, гл. VII, п. 9); положив
\[
T_{i}=\frac{m_{i} v_{i}^{8}}{2}, \quad d L_{i}=F_{i} \cdot v_{i} d t \quad(i=1,2, \ldots, N)
\]

будем иметь в любой элемент времени в течение движения
\[
d T_{i}=d L_{i} \quad(i=1,2, \ldots, N) .
\]

Суммируя починно эти $N$ уравнений, получим
\[
d T=d L,
\]

где через $T$ обозначена живая сила системы (предыдущая глава, п. 6) и через $d L$ – полная элементарная работа всех сил системы за рассматриваемый элемент времени $d t$ (там же, п. 2), т. е.
\[
T=\frac{1}{2} \sum_{i=1}^{N} m_{i} v_{i}^{2}, \quad d L=\sum_{i=1}^{N} F_{i} \cdot v_{i} d t .
\]

Мы получили таким образом теорему живых сил в дифференциал ной форме: во время движения материальной системы с какими угодно связями и под действием каких угодно сил приращение, которое получает живая сила системы за какой-нибудь элемент времени, равно полной работе, совершаемый за тот же салый элемент времени всеми силами, действующими на систему (внешними и внутренними, активными и реакциями).

Теперь обратим внимание на следующее: в виде основной предпосылки наших механических взглядов все причины, влияющие на движение какой угодно материальной системы, схематически рассматриваются нами как некоторые силы, и, следовательно, всякая форма энергии, которая участвует в движении, рассматривается схематически в виде сообщаемой системе работы, совершаемой силами. Поэтому если, в частности, речь идет об элементе времени $d t$, то полная элементарная работа $d L$, так же как и в случае одной материальной точки (т. I, гл. VIII, п.9), представится как полное приращение энергии, сообщаемое системе обстоятельствами, определяющими ее движение. Уравнение (22) представляет, следовательно, в типичной механической форме основной физический принцип сохранения энергии. Оно выражает, что вся энергия, сообщаемая в любой элемент времени системе теми весьма разнообразными о́сстоятельствами, которые каким бы то ни было образом влияют на ее движение, обнаруживается полностью в той же системе в форме приращения $d T$ ее кинетической энергии.
30. Теорема живых сил, вследствие ее большой общности, находит в механике чрезвычайно разнообразные применения.

Необходимо, однако, отметить, что теорема живых сил в ее общей форме (22) не всегда может быть использована, поскольку она включает в себя выражение элементарной работы, выполняемой (вместе с другими силами) и неизвестными реакциями. Поэтому теорема эта имеет большое значение и оказывается более полезной в тех случаях, когда благодаря каким-нибудь предположениям о природе системы или о свойствах действующих сил удается упростить выражение элементарной работы само но себе и уточнить это выражение с механической точки зрения.

Чтобы дать два примера, в некотором роде типичных, рассмотрим сначала случай твёрдого тела. В этом предположении за любой элемент времени работа внутренних сил (предыдущая глава, п. 3) Будет равна нулю, так что уравнение (22) приведется к виду
\[
d T=d L^{(e)},
\]

где $d L^{\{e\}}$ обозначает полную элементарную работу всех внешних сил, т. е. имеем: при движении твердого тела с какими угодно связями ит под действием каких угодно сия за любой элемент времени приращение живой силы твердого тела равно элементарной работе, одновременно выполняемой всеми внешними силами.

Другой пример, с некоторой точки зрения более общий, ми имеем, когда речь идет о материальной системе со связями, независящими от времени, без трения и двусторонними. В силу первого предположения всякое из элементарных перемещений, которые испытывает система во время ее движения, является виртуальным перемещением (т. I, гл. VI, II. 13), так что благодаря второму

предположению к каждому из этих элементарных перемещений можно применить принцип виртуальных работ (т: I, гл. XV, п. 2); принимая во внимание третье предположение, заключаем, что за любой элемент времени элементарная работа реакций будет тождественно равна нулю. Поэтому уравнение (22) принимает вид
\[
d T=d L^{(a)},
\]

где $d L^{(a)}$ обозначает элементарную работу всех активных сил, т. е. если система со связями; не зависящими от времени, двусторонними и без трения движется под действием каких-либо сил, то приращение, получаемое за любой элемент времени живой силой системы, равно элементарной работе, совершаемой за то же самое время всеми активными силами.

Далее, если предполагается, что связи системы двусторонние, без трения и не зависят от времени и что, кроме того, они допускают бесконечно малые поступательные перемещения всей системы в целом в каком-нибудь направлении (п. 25), то будет иметь место теорема живых сил для движения относительно центра тяжести, т. е. будет существовать уравнение
\[
d T^{(r)}=d L^{(r)},
\]

где $d T^{(r)}$ есть приращение, получаемое в течение любого элемента времени живой силой системы в ее движении относительно центра тяжести, $d L^{(r)}$ – полная работа, выполняемая активными силами в течение того же элемента времени благодаря перемещениям относительно центра тяжести.
31. Консервативные силы. Потенциал. Для того чтобы подготовить другие выводы из теоремы живых сил, нужно сделать некоторые дальнейшие пояснения понятия о консервативных силах, введенного в статике (г. I, гл. XV, п. 28). Для системы из $N$ материальных точек $P_{i}(i=\S, 2, \ldots, N)$ консервативными называются такие силы $F_{i}$, выражение для полной работы которых на каком угодно элементарном перемещении $d P_{i}$ системы равно полному дифференциалу функции $U$ от $3 N$ декартовых координат $\xi_{i}, r_{i}, \zeta_{i}$ точек $P_{i}$; при этом функция $U$ предполагается, как обычно, однозначной и правильной в рассматриваемом поле ${ }^{1}$ ).

Для избежания недоразумений отметим, что здесь, говоря о каком угодно элементарном перемещении, мы подразумеваем перемещения безус:овно произвольные, и, следовательно, дия системы

со связями даже такие, при которых не принимаются во внимание связи (т. е. ни виртуальные, ни возможные для системы).

Функция $U$, определяемая с точностью до аддитивной произвольной постоянной из равенства
\[
d L=\sum_{i=1}^{N} F_{i} \cdot d P_{i}=d U,
\]

называется потенциалом сил, которые в свою очередь являются производными от потенциала $U$.
Из равенства (23), которое в развернутой форме принимает вид
\[
\sum_{i=1}^{N}\left(X_{i} d \xi_{i}+Y_{i} d \eta_{i}+Z_{i} d \zeta_{i}\right)=\sum_{i=1}^{N}\left(\frac{\partial U}{\partial \xi_{i}} d \xi_{i}+\frac{\partial U}{\partial r_{i i}} d \eta_{i i}+\frac{\partial U}{\partial \zeta_{i}} d \zeta_{i}\right),
\]

приравнивая в обеих частях коэффициенты при составляющих (произвольных и не зависимых друг от друга) $d \xi_{i}, d \eta_{i}, d \zeta_{i}$ перемещений $d P_{i}$, получаем соотношения
\[
X_{i}=\frac{\partial U}{\partial \bar{\xi}_{i}}, \quad Y_{i}=\frac{\partial U}{\partial \eta_{i}}, \quad Z_{i}=\frac{\partial U}{\partial \gamma_{i}} \quad(i=1,2, \ldots, N) .
\]

Если система, на которую действуют силы, является голономной, определяемой в лагранжевых независимых координатах $q_{1}, q_{n}, \ldots, q_{n}$ уравнениями
\[
P_{i}=P_{i}\left(q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n} t\right) \quad(i=1,2, \ldots, N),
\]

то из этих уравнений или, лучше, из эквивалентных им уравнений
\[
\begin{aligned}
\xi_{i} & =\xi_{i}\left(q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n} \mid t\right), \\
\eta_{i} & =\eta_{i}\left(q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n} \mid t\right), \quad(i=1,2, \ldots N) \\
c_{i} & =r_{i}\left(q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n} \mid t\right)
\end{aligned}
\]

можно видеть, что потенциал $U$, вообще говоря, зависит не только от $q$, но также и от $t$, поэтому если связи системы не зависят от времени, то потенциал зависит иск.исключительно от лагранжевых координат.

Для последующего важно вспомнить, что как в том, так и в другом случае производные ои потенциала, т. е. $\frac{\partial U}{\partial q_{n}}$, дают составляющие действующих сил по лагранжевым координатам $q_{h}$, п. е. количества
\[
Q_{h}=\sum_{i=1}^{N} F_{i} \cdot \frac{\partial P_{i}}{\partial q_{h}} \quad(h=1,2, \ldots, n) .
\]

Это вытекает непосредственно из самого определения консервативных сил, которое для виртуального перемещения дает тождество
\[
i L=\delta U,
\]
где $\partial U$ обозначает полный дифференциал от потенциала, вычисляемый при постоянном значении $t$, если $U$ зависит явно от $t$; приравнивая в обеих частях коэффициенты прн отдельных $\partial q_{h}$ (произвольных и независимых), мы получим для составляющих $Q_{h}$ выражения
\[
Q_{h}=\frac{\partial U}{\partial q_{h}} \quad(h=1,2, \ldots, n) .
\]

Из тождества (23), характерного для консервативных сил, как и в случае одной точки, находящейся под действием таких сил (т. I, гл. VIII, п. 6), мы получим после интегрирования
\[
L=U-U_{0} \text {, }
\]
т. е. как бы ни двига.гась материальная система от одной своей конфигурации к другой, работа, совершаемая консервативными силами, равна разности значении соответствующего потенциала в начальной и конечной конфигурациях.
32. Чтобы дать простой пример консервативной силы, рассмотрим действие силы тяжести на систему из $N$ материальных точек $P_{i}$ с массами $m_{i}$, отнесенную к осям, связанным с Землей. В этом случае, если за ось $\zeta$ выбирается направленная вниз вертикаль, для силы веса, действующей на любую точку $P_{i}$, мы будем иметь составляющие
\[
X_{i}=0, Y_{i}=0, Z_{i}=m_{i s} g \quad(i=1,2, \ldots, N) \text {. }
\]

откуда видно, что потенциал определяется (с точностью до аддитивной произвольной постоянной) равенством
\[
U=g \sum_{i=1}^{N} m_{i}{ }^{\prime},
\]

или, еще проще, если : есть высота центра тяжести и $m$ – полная масса системы, равенством
\[
U=m g_{0} .
\]

Он совпадает, следовательно, с потенциалом силы тяжести, приложенной в центре тяжести, как если бы в нем была сосредоточена вся масса системы.

Другим, более общим примером консервативных си. являются ньютонианские силы взаимного притяжения между материальными точками или элементами массы.

Сосредоточим внимание на задаче $n+1$ тел, обращаясь к п. 22 гл. III. Если обозначим через $\Delta_{i j}$ расстояние между двумя любыми точками $P_{i}, P_{j}(i, j=0,1,2, \ldots, n)$, то, как известно (т. I, г.т. XI, п. 4), выражение
\[
\frac{f m_{i} m_{j}}{\Delta_{i j}}
\]

представляет собой потенциал кан силы $m_{i} m_{j} \boldsymbol{A}_{i j}$ (если $P_{i}$ рассматривается как притягиваемая точка), с которой $P_{j}$ действует на $P_{i}$, гак и силы (прямо противоположной) $m_{i} m_{j} \boldsymbol{A}_{j i}$ (если, наоборот, $P_{j}$ рассматривается как притягиваемая точка), которую $P_{j}$ испытывает со стороны $P_{i}$. Отсюда следует (ср. формулу (46) гл. III), что полное действие, испытываемое точкой $P_{i}$ системы, является производным от потенциала
\[
U_{i}=f m_{i} \sum_{j=0}^{n} \frac{{ }^{(i)}}{\Delta_{j}} .
\]

Рассмотрим теперь функцию (всех взаимных расстояний точек) повторений индексов $h, j$, которым приписываются все значения от 11 до $n$.

Функция $U$ содержит все члены, входящие в функцию $U_{j}$, а также (при $n>1$ ) многие другие, не зависящие от координат точки $P_{j}$. Поэтому можно, если угодно, рассматривать $U$ вместо $U_{i}$ как выражения потенциала силы $F_{i}$, действующей на точку $P_{i}$. Так как функция $U$ в отличие от $U_{i}$ симметрично зависит от всех $n+1$ точек, то, составляя от нее полный дифференциал, будем иметь
\[
d U=\sum_{i=0}^{n} F_{i} \cdot d P_{i},
\]
r. е. как раз равенство (23) для интересующего нас здесь случая.

Таким образом, взаимные ньютониснские притяжения скольких угодно тел $P_{0}, P_{1}, P_{2}, \ldots, P_{n}$ образуют консервативное силовое поле, потенциал которого определяется предыдущим выражением функции $U$.
33. Интеграл живых сил. После этого отступления вернемся к теореме живых сил (п. 29, 30) и рассмотрим снова основной х.яя механики случай материальной системы $S$ со связями, не завися!ими от времени, двусторонними и без трения. Если активные силы, действию которых она подвергается, являются производными от потенциала $U$, то теорема живых сил (22\”) принимает вид
\[
d T=d U,
\]

совершенно аналогичный тому, который имел место для одной свободной материальной точки, находящейся под действием консерва-

тивной силы (т. I, гл. VIII, п. 11); после интегрирования получим конечное соотношение
\[
T-U=E,
\]

где $E$ обозначает постоянную интегрирования. Это соотношение, связывающее в любой момент состояние движения системы с ее конфигурацией, как и в случае одной материальной точки, также носит название интеграла живых сил.

Уравнение (24) или эквивалентное ему (25) допускает энергетическое истолкование, данное в общем случае уравнению (22) в п. 29. Это истолкование, как и в случае одной материальной точки, можно выразить здесь в более специальной, особенно замечательной по своему внутреннему содержанию форме. Если количество – $U$, зависящее исключительно от конфигурации системы, рассматривается как форма энергии (потенциальной), которой обладает система в зависимости от своего положения, то уравнение (24) или эквивалентное ему уравнение (25) выражает, что при движении сумма $T-U$ кинетической и потенциальной энергии системы не изменяется. Следовательно, имеет место принцип сохранения энергии в наиболее узком смысле, поскольку материальная система рассматривается изолированной от всего остального мира и обладает только двумя основными формами механической энергии (кинетической и потенциальной энергией или энергией положения), которые в течение движения могут только преобразовываться одна в другую, причем исключается возможность возникновения новой или исчезновения наличной энергии. По этой причине соотношение (25) называется также интегра.ом энергии.
34. Внутренняя Энергия. Уравнение (22) живых сил приводит к заключениям, аналогичным заключениям предыдущего пункта, но более полным и общим, если только часть действующих на материальную систему сил будет иметь потенциал. Обозначая через $-\boldsymbol{Q}$ этот потенциал, можно написать уравнение (22) в этом случае в виде
\[
d T+d S=d L^{\prime},
\]

где $d L^{\prime}$ обозначает полную элементарную работу тех сил, которые действуют на систему вместе с консервативными.

Уравнение (26) становится наиболее интересным, когда силы, являющиеся производными от потенциала – $Q$, будут все внутренними. В этом предположение количество $Q$, зависящее только от конфигурации системы, называется внутренней энергией; материальные системы, для которых, каковы бы ни были активные действующие силы, внутренние силы являются производными от потенциала, называются консервативными системами.

Типичными примерами консервативных систем являются абсолютно упругие те.га и идеальные газы или сжимаемые жидкости,

если отвлечься от вязкости и других диссипативных сил (гл. I, § 5). Как доказывается в механике деформируемых тел, внутренние силы, действующие в упругом теле при всякой деформации и в идеальном газе при всяком изменении объема, являются в их совокупности производными от потенциала.

Для идеальных жидкостей, т. е. для жидкостей, строго несжимаемых и без внутреннего трения, внутренняя энергия рассматривается как величина постоянная (в частности, если угодно, равная нулю), потому что молекулярные силы, обеспечивающие несжимаемость, имеют характер реакий, происходящих от связей, и, следовательно, при всяком бесконечно малом (виртуальном) перемещении, совместимом с несжимаеностью, совершают полную работу, равную нулю, а это означает, что речь идет о силах, являющихся производными от постоянного (ияи просто равного нулю) потенциала.