1. Показать, что если в любой момент движение твердого тела является винтовым, то элементарная работа центробежных сил (отнесенных к мгновенной винтовой оси) равна нулю.
2. Диск произвольного вида (т. е. ограниченный произвольной кривой) движется в своей плоскости, катясь без скольжения по прямой $l$. Пусть є есть угловая скорость диска в любой момент и $v$-абсолютная величина скорости центра тяжести $G$. Показать, что, обозначая через $p$ расстояние от центра тяжести $G$ диска до точки $P$ касания диска с прямой $l$ и через $\delta$ радиус инерции диска относительно оси, перпендикулярной к его плоскости и проходящей через центр тяжести, будем иметь
\[
v^{2}=\frac{\rho^{2}}{\delta^{2}+\rho^{2}} \omega^{2}
\]

Достаточно приравнять два выражения, которые получатся для живой силы диска, когда за центр приведения берется точка касания или центр тяжести.

3. Определить структурные условия, при которых твердое тело, закрепленное в его точке $O$, при движении около этой точки имеет живую силу, пропорциональную квадрату угловой скорости.

Прежде всего заметим, что кинетическое условие того, что отношение $T / \omega^{2}$ не должно зависеть от величины угловой скорости и направления мгновенной оси тела, означает, что эллипсоид инерции относительно точки $O$ сводится к шару. Таким образом, мы прямо переходим к вопросу чистой геометрии масс. Для того чтобы существовала такая точка, необходимо и достаточно, чтобы центральный эллипсоид инерции был сплюснутым эллипсоидом вращения. В этом случае существуют две точки $O$, обе лежащие на оси симметрии эллипсоида на расстоянии $c$ от центра тяжести, связанном с полной массой $m$ и с главными моментами инерции (экваториальным и полярным) $A$ и $C$ соотношением
\[
A+m \imath^{2}=C .
\]
4. Показать, что всякое твердое тело с двумя плоскостями симметрии есть гироскоп.
5. Когда мгновенная винтовая ось и центральная ось $q$ количеств движения совпадают?

Эти оси соответственно параллельны (при обозначениях пп. 9 и 10) векторам $\boldsymbol{\omega}$ и $\boldsymbol{Q}=m \boldsymbol{v}_{G}$, так что прежде всего вектор $\boldsymbol{v}_{G}$ должен быть параллелен вектору ө. Это показывает, что при допущенном предположении мгновенная винтовая ось и, следовательно, центральная ось $q$ проходят через центр тяжести $G$. После этого необходимо и достаточно, чтобы результирующий момент $K$ количеств движения относительно центра тяжести $G$, взятого А для этого необходимо и достаточно, чтобы три главных центральных момента инерции были равны между собой.
6. Три материальные точки: $P, P_{1}, P_{2}$ с массами $m, m_{1}, m_{2}$ движутся по плоскости; точки $P_{1}$ и $P_{2}$ связаны с точкой $P$ двумя твердыми стержнями, могущими свободно вращаться вокруг $P$, длиной $l_{1}, l_{2}$. Мы имеем здесь, очевидно, голономную систему с четырьмя степенями свободы. Определить живую силу системы $T$, пренебрегая массой стержней и принимая за параметры Лагранжа координаты $x$, $y$ точки $P$ относительно какой-нибудь декартовой системы $O x y$ в плоскости движения и углы $\theta_{1}, \theta_{2}$, образованные прямыми $P P_{1}$ и $P P_{2}$ с осью $O x$.
Ответ:
\[
2 T=m\left(\dot{x}^{2}+\dot{y}^{2}\right)+\sum_{i=1}^{2} m_{i}\left\{\left(\dot{x}-l_{i} \sin \theta_{i} \dot{\theta}_{i}\right)^{2}+\left(\dot{y}+l_{i} \cos \theta_{i} \dot{\theta}_{i}\right)^{2}\right\} .
\]
7. Если характеристикам $u, v, w, p, q, r$ состояния движения твердого тела придадим бесконечно малые приращения о $u$, $\delta v, \ldots, \delta r$, то живая сила $T$ получит приращение, которое по теореме о полном дифференциале определится равенством
\[
\delta T=\frac{\partial T}{\partial u} \hat{\delta} u+\frac{\partial T}{\partial v} \hat{\delta} v+\frac{\partial T}{\partial w} \hat{\delta} w+\frac{\partial T}{\partial p} \hat{\delta} p+\frac{\partial T}{\partial q} \hat{\delta} q+\frac{\partial T}{\partial r} \hat{\jmath} .
\]

С другой стороны, обозначив через ол $\boldsymbol{v}_{0}$ и бө соответствующие приращения двух характеристических векторов $\boldsymbol{v}_{0}$ и $\omega$, для скорости любой точки $P_{i}$ твердого тела будем иметь
\[
\delta v_{i}=\hat{\delta} v_{0}+\hat{\omega} \omega \times \overrightarrow{O P}_{i} \quad(i=1,2, \ldots, N) .
\]

После этого, отправляясь от выражения
\[
T=\frac{1}{2} \sum_{i=1}^{N} m_{i} \boldsymbol{v}_{i}{ }^{2}
\]

и принимая во внимание определение векторов $\boldsymbol{Q}$ и $\boldsymbol{K}$, вычислить выражение приращения $\delta$. Сравнение с предыдущим приведет к формулам (29), (30) п. 15.
8. Рассматривая квадратичную форму $T$, выражающую живую силу твердого тела через характеристики $u, v, w, p, q, r$, обозначим через ( $T$ ) взаимную форму, т. е. квадратичную форму, получающуюся из $T$, если вместо шести указанных выше аргументов вводятся шесть их линейных комбинаций:
\[
Q_{x}=\frac{\partial T}{\partial u}, \quad Q_{y}=\frac{\partial T}{\partial v}, Q_{z}=\frac{\partial T}{\partial w}, \quad K_{x}=\frac{\partial T}{\partial p}, \quad K_{y}=\frac{\partial T}{\partial q}, \quad K_{z}=\frac{\partial T}{\partial r} .
\]

Предполагается, что эти линейные комбинации независимы. Проверить прежде всего, что это условие достаточно и что поэтому произвольным приращениям $\delta$, $\delta v, \ldots$, соответствуют вполне определенные приращения $\delta Q_{\star}$ $\delta Q_{y}, \ldots, \delta K_{z}$, и обратно. По теореме Эйлера об однородных функциях имеем
\[
2 T=\boldsymbol{Q} \cdot \boldsymbol{v}_{0}+\boldsymbol{K} \cdot \boldsymbol{\omega} .
\]

Отсюда и из соотношения $\delta(T)=\delta T$ получим
\[
\delta(T)=\boldsymbol{v}_{0} \cdot \dot{Q}+\boldsymbol{\omega} \cdot \delta \boldsymbol{K},
\]

а также выражения для кинетических характеристик $a, v, \ldots r$, которые являются производными от ( $T$ ).