40. Перейдем теперь к некоторым задачам динамики точки в двух измерениях или с двумя степенями свободы.

Наиболее простым является случай материальной точки $P$, которая под действием активных сил с результирующей $\boldsymbol{F}$ вынуждена двигаться по поверхности $\circ$ без трения. Пусть уравнение поверхности $~$ имеет вид
\[
f(x, y z \mid t)=0,
\]

где аргумент $t$ входит явно, если поверхность изменяется с течением времени.

Функции $x(t), y(t), z(t)$, определяющие движение точки $P$, должны тождественно удовлетворять уравнению (78), откуда следует, что они будут удовлетворять также и равенству
\[
\frac{\partial f}{\partial x} \dot{x}+\frac{\partial f}{\partial y} \dot{y}+\frac{\partial f}{\partial z} \dot{z}+\frac{\partial f}{\partial t}=0 .
\]

Может случиться, что точка $P$, будучи свободной, движется по поверхности о вследствие самой природы активной силы $F$. Но, вообще говоря, это произойдет лиіь тогда, когда точка $P$ удерживается на поверхности $\sigma$ связью, осуществленной каким-либо способом.

Тогда наряду с активной силой $F$ (закон деніствия которой по предположению является заданным) мы будем иметь неизвестную реакцию $\boldsymbol{R}$, источником которой является связь, а потому резульугодио, которая будет тоже биномом вида $n_{1} \alpha_{1}+n_{2} \alpha_{2}$, по абсолютной величине будет меньше, чем є.

Заметив это, возьмем теперь снова заданное число $p$ и, выбрав на осповании только что сказанного бином $n_{1}^{*} \alpha_{1}+n_{2}^{*} \bar{x}_{2}=q$, для которого $|q|<\varepsilon$, обозначим через $N$ целую часть дроби $|p / q|$ так, чтобы было
\[
\left|\frac{p}{q}\right|=N+r
\]

при $r<1$. Отсюда следует
\[
|p|=N|q|+r|q| \text {, }
\]

а так как $r|q|$ меньше $|q|$ и, следовательно, меньше $\varepsilon$, то мы зак.тючаем, что $N q$ или – $N q$, которое во в̈сяком случае является биномом типа $n_{1} a_{1}+$ $+n_{2} \alpha_{3}$, отличается от $p$ по абсолютной величине на значение, меньшее чем $\varepsilon$.

тирующая сила, действующая на точку, будет состоять не только из силы $\boldsymbol{F}$, а из суммы $\boldsymbol{F}+\boldsymbol{R}$, так что уравнение движения будет иметь вид
\[
m a=F+R,
\]

где $m$ обозначает массу точки $P$ и $\boldsymbol{a}$-ее ускорение. Как для действительного интегрирования уравнения, так и для истолкования физического смысла задачи важно заметить следующее. Ecли точка движется по некоторой неподвижной поверхности без трения, то для нее будет ижеть место теорема эивых сил.

Действительно, если мы умножим скалярно обе части равенства (80) на $v d t=d P$ и вспомним, что $m a \cdot$ odt есть дифференциал живой силы $T=\frac{m v^{2}}{2}$ точки, а $F \cdot d P$ есть элементарная работа $d L$ активной силы, то получим
\[
d T=d L+R \cdot d P .
\]

Но в силу предноложения об отсутствии трения реакция $R$ нормальна к поверхности о. С другой стороны, так как уравнение поверхности по предположению не зависит от времени, то перемецение $d P$ от пюбой точки поверхности $\sigma$ до точки, бесконечно близкой к ней на той же поверхности, лежит в касательной плоскости. Отсюда следует, что $\boldsymbol{R}$ и $d P$ в любой момент ортогональны, а потому в течение всего движения будет существовать равенство-
\[
d T=d L \text {, }
\]

которое, как и в случае свободной точки, выражает теорему живых сил (т. I, гл. VIII, п. 9).

Отметим еще, что если речь идет о неподвижной поверхности, то произведение $\boldsymbol{R} \cdot d P$ можно рассматривать также (т. I, гл. VI, н. 13 ; гл. XV, п. 3) как виртуальную работу реакции, а потому из общего принципа виртуальнои работы прямо следует, что она обрацается в нуль.
41. Так же как и в случае свободной точки, если действующая: сила консервативна и $U$ есть ее потенциал, то равенство (81) принимает внд
\[
d T=d U,
\]

откуда, интегрируя, получим
\[
\frac{m v^{2}}{2}=U+E,
\]

где через $E$ обозначена постоянная интеграции, или, иначе,
\[
\frac{m v^{2}}{2}-U=E,
\]

т. е. полная энергия движущейся почки не изменяется во время движения.

Если обозначим через $\boldsymbol{v}_{0}, U_{0}$ значения скорости и потенциала в любом положении $P_{0}$, то предыдущее уравнение можно будет написать в виде
\[
\frac{m}{2}\left(v^{2}-v_{0}^{2}\right)=U-U_{0} .
\]

Это равенство может быть истолковано аналогично тому, как это делалось в случае движения точки по заданной кривой (гл. I, II. 14). Из него, между прочим, следует, что если две материальные точки с одинаковой массой выходят из положения $P_{0}$ с равными скоростями и находятся под действием одной и той же консервативной силы, то даже если одна из них свободна, а другая связана с поверхностью, по ксторой она может двигаться без трения, они будут приходить в точки, в которых потенциал имеет одно и то же значение, с одинаковыми скоростями. Так, например, если две материальные точки с равной массой, выходя из одного и того же положения и из состояния покоя, движутся в пустоте под действием силы тяжести, причем одна из них свободно падает, а другая остается на заданной поверхности без трения, то на одинаковых высотах они будут иметь одинаковые скорости.
42. Реакция $\boldsymbol{R}$, как мы уже упоминали, неизвестна; предполагая, что поверхность o гладкая, найдем, что реакция $\boldsymbol{R}$ должна быть нормальной к поверхности – (точнее, к той конфигурации, которую поверхность $\sigma$ принимает в любое заданное мгновение, если эта поверхность изменяется с течением времени). Отсюда следует, что направляющие косинусы реакции $\boldsymbol{R}$ пропорциональны частным производным $\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}, \frac{\partial f}{\partial z}$, а ее составляющие будут иметь вид
\[
\lambda \frac{\partial f}{\partial x}, \lambda \frac{\partial f}{\partial y}, \lambda \frac{\partial f}{\partial z}
\]

где $\lambda$ обозначает множитель пропорциональности, заранее неизвстный (жножитель Лагражжа) и связанный с величиной $R$ соотношением
\[
R^{2}=\lambda^{2}\left\{\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)^{2}+\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)^{2}+\left(\frac{\partial f}{\partial z}\right)^{2}\right\} \text {. }
\]

Здесь трехчлен, стоящий в скобках, естественно, зависит в силу уравнения (78) от положения, которое занимает движущаяся точка на новерхности в любое рассматриваемое мгновение.

Проектируя теперь уравнение (80) на оси, мы получим три уравнения:
\[
\left.\begin{array}{c}
m \ddot{x}=X+\lambda \frac{\partial f}{\partial x}, \\
m \ddot{y}=Y+\lambda \frac{\partial f}{\partial y}, \\
m \ddot{z}=Z+\lambda \frac{\partial f}{\partial z},
\end{array}\right\}
\]

которые вместе с уравнением (78) образуют систему из четырех уравнений с четырьмя неизвестньми: $x, y, z$ (основными) и $\lambda$ (вспомогательной). Исключая $\lambda$ из уравнений ( $80^{\prime}$ ), получим два уравнения с основными неизвестными, которые вместе с уравнением (78) определяют эти неизвестные на основании начальных условий. Тогда движение будет полностью известно, и достаточно воспользоваться каким-нибудь одним из уравнений (80′), чтобы получить значение $\lambda$, если нужно определить величину реакции.
43. Но если движение известно, то для величины реакции $\dot{R}$ можно дать более удобную формулу.

Предположим для определенности, что поверхность в в некоторой окрестности рассматриваемой точки расположена вся по одну сторону от касательной плоскости, и обозначим через $N$ нормаль, направленную в сторону вогнутости. Обозначив через $t$ касательную к траектории, рассмотрим сечение поверхности $\sigma$ плоскостью $t N$ (нормальное сечение по касательной к траектории) и обозначим через $甲$ угол, который составляет главная нормаль к траектории (направленная к центру кривизны) с нормалью к поверхности $N$. По предположению, сделанному относительно поверхности $\sigma$, этот угол острый, а, с другой стороны, если $r$ и $r_{0}$ – радиусы кривизны траектории и нормального сечения касательной в точке касания, то по теореме Мёнье $^{1}$ ) имеем
\[
r=r_{0} \cos \varphi .
\]

Проектируя уравнение (80) на $n$, получим
\[
m \frac{v^{2}}{r}=F_{n}+R_{n},
\]

или на основании предыдущей формуль
\[
m \frac{v^{9}}{r_{0}}=\left(F_{n}+R_{n}\right) \cos \varphi .
\]

Но так как обе нормали $N$ и $n$ ортогональны к касательной $t$, а вектор $\boldsymbol{F}+\boldsymbol{R}$ лежит в соприкасающейся плоскости $t n$ траектории и может быть разложен по направлениям $t$ и $n$, то имеем
\[
F_{N}+R_{N}=\left(F_{n}+R_{n}\right) \cos \varphi .
\]

Из этого и из предыдущего равенств, имея в виду, что $R_{N}$ по своей абсолютной величине дает величину $R$ реакции, мы получим формулу
\[
R_{N}= \pm R=\frac{m v^{2}}{r_{0}}-F_{N} .
\]
44. Движение по инерции *). Если предположим, что ажтивные сълы равны нулю, т. е. что движение точки $P$ по поверхности $\sigma$ происходит благодаря начальной скорости (и реакции поверхности), то мраекторией движуцейся точки будет геодезичесая линия, описьваемая с постоянной скоростью.

Действительно, ускорение, как мы знаем, находится в соприкасающейся плоскости траектории, в ней же будет лежать и сила. Так как эта последняя сводится к реакции, которая в силу предположения об отсутствии трения будет всегда нормальной к поверхности, то траектория необходимо должна быть геодезической линией.

Кроме того, так как сила, а вместе с ней и ускорение, всегда направлены по главной нормали к траектории, то отсюда следует, что касательная составляющая $\ddot{s}$ ускорения постоянно равна нулю и, следовательно, движение является равномерным.

То же самое следует и из теоремы (81) живых сил, которая вследствие того, что активная сила равна нулю, сводится здесь к равенству $d T=0$, откуда следует, что $T$, а потому и скорость $v$ постоянны.

45. Предположим, в частности, что поверхность $\sigma$ есть поверхность вращения; тогда всякая нормаль к ней пересекает ось, и в случае отсутствия активных сил, сила, сводящаяся здесь только к нормальной реакции, подходит к типу б) п. 2. В этом случае, следовательно, помимо интеграла живых сил (дающего постоянство скорости), будет иметь место также и интеграл площадей на плоскости, нормальной к оси вращения (относительно центра соответствующей параллели).

В следующем пункте мы покажем, какие выгоды получаются при интегрировании уравнений движения, если оба упомянутых первых интеграла существуют одновременно; здесь же мы выведем из них только известное геометрическое свойство геодезических линий поверхностей вращения.

Если за ось $z$ возьмем ось вращения, то интеграл площадей примет известную форму
\[
x \dot{y}-y \dot{x}=\mathrm{const}
\]

так как скорость $v$ остается постоянной, то вдоль геодезической линии будем иметь
\[
x \frac{\dot{y}}{v}-y \frac{\dot{x}}{y}=\text { const. }
\]

С другой стороны, если, опустив из точки $P(x, y, z)$ геодезической линии перпендикуляр $P Q$ на ось, обозначим через $r$ радиус $Q P$ параллели, проходящей через $P$, то направляющие косинусы вектора $\overrightarrow{Q P}$ будут равны
\[
\frac{x}{r}, \frac{y}{r}, 0,
\]

в то время как для касательной к параллели в точке $P$ (ортогональной к $Q P$ и к оси $z$ ) эти направляющие косинусы будут равны
\[
\mp \frac{y}{r}, \pm \frac{x}{r}, 0
\]

где выбор знака зависит от того, какое из двух направлений на касательной принимается за положительное. А так как равенство (82). можно написать в виде
\[
r\left(-\frac{\dot{x}}{v} \frac{y}{r}+\frac{\dot{y}^{\prime}}{v} \cdot \frac{x}{r}\right)=\mathrm{const},
\]

то произведение радиуса $r$ параллели на косинус угла, который геодезическая линия образует с параллелью, не изменяется вдоль одной и той же геодезической линии. Называя азимутом геодезической линии в любой ее точке угол, который она там составляет

с меридианом (дополнительный для угла с параллелью), имеем: вдоль геодезической линии произведение из радиуса параллели на синус азимута есть величина постоянная (формула Клеро ${ }^{1}$ ).

46. Возьмем снова два первых интеграла:
\[
\left.\begin{array}{c}
v^{2}=v_{0}^{2}, \\
x \dot{y}-y \dot{x}=c,
\end{array}\right\}
\]

определенных ранее для движения точки $P$ по поверхности вращения о без трения и при отсутствии активных сил. Мы увидим, что благодаря наличию этих интегралов мы придем к интегрированию уравнений движения (и, следовательно, в частности, к определению геодезических линий поверхности вращения о) посредством одной квадратуры, как мы это уже видели при аналогичных обстоятельствах для задачи о движении свободной точки под действием центральной силы (п. 8). Кроме того, так как требующееся здесь аналитическое исследование совершенно аналогично исследованию, которое было выполнено в случае центрального движения, мы можем несколько сократить изложение.

Возьмем цилиндрическую систему координат $\rho, \theta, z$, где $p$ есть существенно положительное расстояние любой точки $P$ от оси вращения $z, \theta$ есть угол полуплоскости $z P$, отсчитываемый как положительный при правом вращении относительно ориентированной оси $z$ и $z$ – обычная третья декартова координата точки $P$. Уравнение поверхности вращения в этих координатах имеет вид
\[
p=f(z) \text {. }
\]

IІринимая во внимание тождества
\[
\left.\begin{array}{c}
v^{2}=\dot{x}^{2}+\dot{y}^{2}+\dot{z}^{2}=\dot{p}^{2}+p^{2} \dot{\theta}^{2}+\dot{z}^{2}=\dot{z}^{2}\left(1+f^{2}\right)+f^{2} \dot{\theta}^{2}, \\
x \dot{y}-y \dot{x}=p^{2} \dot{\theta}=f^{2} \dot{\theta}
\end{array}\right\}
\]

оба первых интеграла (83) можно будет написать в виде
\[
\left.\begin{array}{c}
\dot{z}^{2}\left(1+f^{\prime 2}\right)+f^{2} \dot{\theta}^{2}=v_{0}^{2}, \\
f^{2} \dot{\theta}=c .
\end{array}\right\}
\]

Здесь мы положили $d f / d z=f^{\prime}$. Если постоянная площадей $c$ равна нулю и $p$ тоже постоянно равно нулю (для чего требуется, чтобы координата $z$ была и оставалась нулем функции $f(z)$ ), то из первого из уравнений (85) будем иметь $v_{0}=0$, и движущаяся точка $P$ будет оставаться в равновесии в одной из точек пересечения поверхности вращения со своей осью.

Если, далее, $c=0$, но $\rho$ не постоянно равно нулю, то из интеграла площадей найдем $\dot{b}=0$ и, следовательно, $\theta=$ const. Это значит, что точка $P$ движется по одному из меридианов с постоянной по модулю скоростью $v_{0}$.

Если предположим теперь, что $c
eq 0$, то из интеграла площадей, как и в п. 6 , найдем, что угол 0 будет монотонной функцией времени. При этом всегда можно выбрать положительное направление отсчета угла $\theta$ вокруг оси $z$ таким образом, чтобы $\theta$ была возрастающей (или по крайней мере никогда не убывающей) функцией от $t$, или, что в сущности то же, предположить, что $c>0$.

Вследствие однозначной обратимости функции $\theta(t)$ можно также и здесь принять за независимую леременную $\theta$ вместо $t$; если траектория определена, например путем выражения $z$ в функции от $\theta$, то закон движения можно получить посредством одной квадратуры из интеграла площадей.

Для определения траектории (геодезической линии на поверхности врацения) возьмем снова интеграл живых сил и, рассматривая в нем $z$ как сложную функцию от $t$ через $\theta$ : исключим $\dot{\theta}$ при помощи интеграла площадей. Для функции $z(\theta)$, которая определяет траекторию на поверхности, мы получим таким образом дифференциальное уравнение
\[
\left(\frac{d z}{d \vartheta}\right)^{2}=\frac{f^{2}\left(v_{0}^{2} f^{2}-c^{2}\right)}{c^{3}\left(1+f^{\prime 2}\right)},
\]

являющееся уравнением обычного типа, интегрируемым посредством одной квадратуры; уравнение такого вида рассматривалось нами в $\S 6$ гл. I.

Следовательно, к настоящему частному случаю применимы все выводы, к которым мы пришли в общем случае. Остановимся на истолковании для поверхности вращения результата, относящегося к наиболее интересному случаю, когда начальное значение $z_{0}$ координаты $z$ заключено между двумя простыми нулями $z_{1}$ и $z_{2}$ функции $\Phi(z)$, представляемой правой частью уравнения (86), и функция $\Phi(z)$ остается между $z_{1}$ и $z_{2}$ положительной. Геодезическая линия, траектория точки, располагается в этом случае на поверхности вращения, между двумя параллелями с координатами $z_{1}$ и $z_{2}$, попеременно касаясь то одной, то другой параллели в точках, отстоящих друг от друга на один и тот же угол (апсидальный угол проекции траектории на плоскость $z=0$ ).

Если, далее, начальное значение $z_{0}$ является кратным нулем функции $\Phi(z)$, то $z$ будет оставється постоянным, как бы ни изменялось 6, т. е. траектория движуцейся точки на поверхности сводится к параллели.