2. Динамическое истолкование законов Кеплера, данное выше, естественно приводит к задаче: определить движение материальной точки $P$, притягиваемой неподвижным центром $S$ с сплой, величина которой обратно пропорциональна квадрату расстояния.

Эта задача как частный случай входит в более общую задачу, рассмотренную в $\mathrm{\$}2$ предыдущей главы. Поэтому мы сразу же можем сказать, что речь идет о плоском движении, для которого существуют одновременно чнтеграл живы сил и интеграл площадей относительно центра силы $S$ (г.т. II, п. 3).

Приведя здесь эти результатн, полученные из общей теории $\mathrm{\S }2$, мы дадим далее независимую аналитическую трактовку частной задаче, сформулированной выше, как ввиду важности самой задачи, так и ввиду дальнейших исследований, которые мы намерены с ней связать; при этом мы буцем возвращаться к общей теории всякий раз, когда для этого предетавится удобный случай.
3. Условимся принимать за единицу массы массу движущейся точки $P$ и обозначим через $k$ величину силы притажения, действующей на массу, равную единице и находящуюся на расстоянии, равном единице, от центра силы. Тогда составляющая $\phi (r)$ силы лритяжения единичнон масы на расстоянии $r$ по направлению прямон $SP$ будет иметь вид
$$\phi (r)=-\frac{k}{r^3}.$$

Если определить аддигивную постоянную так, чтобы потенииал в бесконечности равнялся нулю, то он определится равенством
$$U(r)=\frac{k}{r}.$$

Тогда оба первых интеграла: интеграл живых сил и интеграл площадей, выраженные, в полярных координатах $r,6$ с полюсом в центре силы, примут вид
$$\begin{array}{rl}\frac{1}{2}({\dot{r}}^2+r^2{\dot{\theta }}^2)& =\frac{k}{r}+E,\\ r^2\dot{\theta }& =c,\end{array}\}$$

где, как обычно, $E$ и $c$ обознәчают соответственно постоянную энергии и постоянную площадей.

Определение движения тем самым сведено к интегрированию системы первого порядка (6) (которое, как мы знаем из общей теории, выполняется в квадратурах).

С качественной точки зрения голезно отметить в соответствии с общими замечаниями п. 4 предыдущей главы, что из интеграла живых сил, т. е. из первого из уравнений (6), вытекает неравенство
$$\frac{k}{r}⩾-E\text{. }$$

Из этого неравенства следует, что, если полная энергия отрицательна, то во время движения радиус-вектор всегда остается меньше или, самое большее, равен — $k/E$; этим ограничивается область, внутри котоғой должна располага́ться орбита.
4. Круговые орьиты. Исследоеание случая, когда орбита оказывается круговой ( $r=$ const), исчерпывается прямыми и элементарными рассуждениями. В этом случае из закона площадей следует постоянство скорости на орбите, так что движение будет равномерным.

Если теперь через $a$ обозначим радиус орбиты и через $n$ (постоянную) угловую скорость радиуса, то скорость на орбите $v$ будет равна an, а ускорение (целиком центростремительное) будет равно
$$\stackrel{v^2}{a}=a{n}^2.$$

Сравнивая это значение с абсолютной величиной силы притяжения $\phi (r)=-\frac{k}{r^2}$, при $r=a$, получим
$$\frac{k}{a^2}=a{n}^2.$$

Отсюда заключаем, что для заданной действующей силы круговое движение оказывается возможным на некотором расстоянии $a$ от центра силы, лишь бы угловая скорость имела одно из двух значений, определяемых равенством (7).

Из последних двух равенств спедует
$$v^2=\frac{k}{a},$$

откуда заключаем, что кинетическая энергия $v^2/2$ единичной массы равна половине соответствующей величины $k/a$ потенциала; та и другая остаются постоянными в течение всего движения.

Мы придем к тем же выводам, если рассмотрим этот вопрос как задачу об относительном равновесии. Действительно, материальную точку, движущуюся по окружности радиуса $a$ с угловой скоростью $n$, можно рассматривать как находящуюся в покое относительно осей, вращающихся с той же угловой скоростью. Поэтому активная сила притяжения (центростремительного радиального) $k/a^2$ и центробежная радиальная сила $n^{2}a$ должны находиться в равновесии (т. I, гл. XVI, п. 6), т. е. мы приходим как раз к равенству (7).

Укажем, наконец, еще значения, которые в этом частном случае принимают обе постоянные — полной энергии и площадей:
$$\begin{array}{c}E=\frac{v^2}{2}-U=-\frac{1}{2}\frac{k}{a},\\ c=a^2\dot{v}=a^{2}n=\pm \sqrt{ka}.\end{array}$$

Из первой формулы, если принять во внимание раввенство (8), следует, что в случае круговой орбиты полная энераня отрицапельна и равна живой силе, взятой с обратным знаком.
5. Вырожденные орьиты. В качестве второго частного случая рассмотрим тот, когда обращается в нуль ностоянная $c$ площадей.

Исключая возможный случай постоянного совпадения точки $P$ с центром силы $S$ (т. е. случай, когда $r$ все время равно 0 ), найдем на основании закона площадей $\dot{\theta }=0$, или же $\theta =$ const, так «о движение будет происходить по прямой, проходящей через $S$, и закон изменения радиуса $r$ как функции времени на этой прямой определяется интегралом живых сил, который здесь сводится к уравнению
$$\frac{1}{2}{\dot{r}}^2=\frac{k}{r}+E\text{. }$$

Мы пришли к простейшему ураннению известного вида (8′) гл. I, $\mathrm{\$}6$, поэтому можем применить здесь результаты, полученные там для общего случая. C этой целью мы будем различать два случая в зависимости от знака постоянной энергии $E$ :
a) $E<0$. Так как правая часть равенства (9) не должна быть отрицательной, то постоянно будем иметь $r⩽-k/E$, так что движение будет происходить полностью на конечном расстоянии.

Если начальная скорость ${\dot{r}}_0$ направлена к центру или равна нулю (последний случай может представиться только при $r_0=-\frac{k}{E}$ ), то движущаяся точка, не изменяя направления на обратное, достигнет центра сил $S$ в конечное время, а скорость по величине будет возрастать беспредельно (гл. I, п. 27).

C астрономической точки зрения такую возможность можно истолковать как катастрофическое столкновение двух небесных тел $P$ и $S$, после которого нет смысла следить за явлением, отыскивая поведение $r$ при последующем возрастании $t^1$ ).

Если, наоборот, ${\dot{r}}_0>0$, то движущаяся точка сначала удаляется от $S$ на расстояние $2a$, определяемое равенством
$$2a=-\frac{k}{E}$$
(единственный нуль функции в правой части равенства (9)), а затем возвращается обратно и дзижется к $\mathcal{S}$, как было описано выше.
б) $E⩾0$. В этом предположении правгя часть равенства (9) при $r>0$ уже не исчезает и остается всегда положительной, так что движение не может изменить своего направления (гл. 1, п. 27).

Если начальная скорость направлена к центру ( ${\dot{r}}_0<0$ ), то движущаяся точка за конечное время достигнет центра силы, как и в случае а).

Если же, наоборот, ${\dot{r}}_0>0$, то из равенства (9), принимая во внимание предположение $\mathcal{E}⫆0$, видим, что в течение всего движения будет
$$\dot{r}\ge \sqrt{\frac{2k}{r}},$$

а так как
$$\dot{r},r=\frac{2}{3}\frac{d}{dt}\left(r^{3/2}\right),$$

то из неравенства следует
$$\frac{d}{dt}\left(r^{s/2}\right)\ge 3\sqrt{\overline{k}}.$$

Поэтому величина $r^{3/2}$, а вместе с ней и сам радиус-вектор $r$ возрастает беспредельно вместе $ct$, а движущаяся точка будет беспредельно удаляться от центра по своей прямолинейной траектории.
6. Орьиты общего вида. Предполагая теперь $ceq0$, из второго из равенств (6) (интеграл площадей) получим, что $\theta$ есть монотон- $$

ная и, следовательно, однозначно обратимая функция времени, так что в первом из равенств (6) (интеграл живых сил) за независимую переменную можно принять вместо $t$ угол $\theta$. Чтобы выполнить эту замену переменного, достаточно по обыкновению рассматривать в нем $r$ как сложную функцию от $t$ через посредство $\theta$ и исключить $\dot{\theta }$ при помощи интеграла площадей. Таким образом, мы придем к дифференциальному уравнению
$${\left(\frac{d\frac{1}{r}}{d\ominus }\right)}^2=\frac{2E}{c^2}+\frac{2k}{c^2}\frac{1}{r}-\frac{1}{r^2},$$

определяющему полярное уравнение $r=r(\theta )$ орбиты общего вида рассматриваемого движения; оно представляет собой вместе с тем частный случай основного уравнения (10) предыдущей главы, так как справедливо только для определенного закона действия силы.

В общей теории мы полагали $r=\frac{1}{u}$, но в настоящем случае мы можем достигнуть еще большей формальной простоты, если вместо $r$ примем за новую независимую переменную
$$\chi =\frac{1}{r}-\frac{k}{c^2},$$

вследствие чего уравнение (11) примет вид
$${\left(\frac{d\gamma }{d\theta }\right)}^2=\frac{2E}{c^2}+\frac{k^2}{c^4}-{\chi }^2.$$

Постоянная
$$\frac{2E}{c^2}+\frac{k^2}{c^4}$$

в силу того же равенства (11′) есть сумма квадратов и необходимо будет положительной, за исключением лишь того случая, когда $\chi$ тождественно обращается в нуль, что в силу зависимости (12) может случиться только при $r=c^2/k$, т. е. в случае круговой орбиты, разобранном в п. 4.
Следовательно, можно положить
$$\frac{2E}{c^2}+\frac{k^2}{c^4}=q^2$$

при $q>0$ и написать дифференшиальное уравнение орбиты в окончательном виде
$${\left(\frac{d\chi }{d\theta }\right)}^2=q^2-{\chi }^2$$

Его общий интеграл, как это можно подтвердить и непосредственно путем разделения переменных, есть
$$\chi =q\cos (\theta -{\theta }_0),$$

где ${\dot{\theta }}_0$ есть постоянная интеграции; поэтому, подставляя вместо $\chi$ его выражение (12), мы получим для орбиты уравнение в полярных координатах
$$\frac{1}{r}=\frac{k}{c^2}+q\cos (\theta -{\theta }_0)$$

или же
$$r=\frac{\frac{c^2}{k}}{1+\frac{c^{2}q}{k}\cos (\theta -{\theta }_0)}.$$

Это есть полярное уравнение конического сечения, имеющего фокус в центре силы, с осью, наклоненной под углом ${\theta }_0$ к полярной оси, с параметром
$$p=\frac{c^2}{k}$$

и с эксцентриситетом
$$e=\frac{c^{2}q}{k}$$

принимая во внимание равенство (13), найдем
$$e=\sqrt{1-\frac{2E{c}^2}{k^2}}\text{. }$$

Припоминая выражения, найденные в п. 4 для постоянных $E$ и $c$, в предположении, что орбита есть окружность (оно соответствует также предположению $ceq0$ ), и принимая во внимание, что для окружности параметр равен радиусу, а эксцентриситет равен нулю, мы видим, что формулы (14) и (15) остаются в силе также и для этого случая.

Поэтому заключаем, что при дзижении точки, находящейся под действием центральной силы, обратно пропорциональной квад рату расстояния (за исключением случая прямолинейного движения, характеризуемого обращением в нуль постоянной площадей), орбита всегда представляет собой коническое сечение. Между механиескими постоянными интегрирования $E$ и с (полная энергия и удвоенная секторная скорость) и между элементами, геометрически характеризующими орбипу, т. е. $e,p$ (эксцентриситет и параметр), существуют соотношения (14) и (15).
7. КРитЕРиЙ для устанОвления вида орьиты. Из равенства (15) следует, что вид конического сечения, описываемого движущейся точкой, зависит исключительно от знака полной энергии $E$. Если предполсжим $ceq0$, то из уравнения (15) найдем, что эксцентриситет $e$

будет меньше, равен, или больше единицы, в зависимости от того, будет ли полная энергия $E$ отрицательна, равна нулю или положительна. Таким образом, орбита будет эллиптической, параболической или гиперболической (подразумевается одна ветвь гиперболы) в зависимости от того, будет лы полная энергия отрицательной, равной нулю или положительной.

Здесь необходимо указать, что этот критерий применим даже и в том случае, когда $c=0$, если этот случай рассматривать как предельный. Действительно, при $c\to 0$ параметр орбиты стремится в силу равенства (14) к нулю, а эксцентриситет в силу равенства (15) — к 1 ; геометрически это означает, что орбита стремится к совпадению со своей осью.

Если $E<0$, то эллиптическая орбита вырождается в сдвоенный отрезок, концы которого с геометрической точки зрения суть в одно и то же время фокусы и вершины выродившегося эллипса, а динамически один есть центр силы, другой-афелий. Как это следует из п. 5, движущаяся точка в зависимости от направления начального движения упадет в центр силы или сразу, или, пройдя через афелий.

Если, наоборот, $E⩾0$, то орбита (при $ceq0$ ветвь гиперболы или парабола) геометрически выродится в сдвоенную полупрямую, конец которой, будучи вершиной и фокусом орбиты, совпадает с центром силы: движущаяся точка (п. 5) уходит в бесконечность или падает в центр в зависимости от направления начальной скорости.
8. В качестве дальнейшего применения критерия, установленного в предыдущем пункте, можно указать на известное общее выражение постоянной $E$ энергии. Из формулы (15), принимая во внимание равенство (14), получим
$$E=-\frac{k}{2p}(1-e^2).$$

С другой стороны, если на время отвлечемся от случая параболической и выродившейся орбит, то параметр, как известно, определится равенством
$$p=\pm a(1-e^2),$$

в котором верхний знак берется в случае эллиптической, а нижний — в случае гиперболической орбиты и а представляет собой большую полуось эллипса или действительную полуось гиперболы.

Комбинируя обе предыдущие формулы, мы и получим названное выше выражение для постоянной $E$ энергии:
$$E=\mp \frac{k}{2a}.$$
Легко проверить, что оно остается верным также и в случаях, исключенных ранее. Действительно, для параболической орбиты имеем $E=0$, а $a=\mathrm{\infty }$; для вырожденной эллиптической орбиты $2a$ представляет расстояние от центра силы до единственного афелия, так что формула (15) является не чем иным, как равенством (10) п. 5. Наконец, если речь идет о вырожденной гиперболической орбите, то на полупрямой, к которой сводится ветвь гиперболы, нельзя дать прямого геометрического истолкования полуоси $a$. Величина $a$ является предельным значением, к которому стремится при $c\to 0$ длина действительной полуоси гиперболы при каком-либо заданном значении постоянной энергии $E>0$; равенство (16) и определяет этот предел.
9. Кеплерово Движение. Рассмотрим, в частности, эллиптическое движение в собственном смысле, которое характеризуется двумя условиями: $E<0,ceq0$.

Легко видеть, что в этом случае движение точки, притягиваемой центром $S$ с силой, обратно пропорциональной квадрату расстояния, является кеплеровым движениел, т. е. движением, удовлетворяющим первым двум законам Кеплера (см. п. 1). Действительно, дви* жение является центральным по отношению к $S$, такой же, по предположению, будет и сила. Далее, орбита является эллипсом, имеющим фокус в $\mathcal{S}$; и, наконец, как и во всяком движении под действием центральной силы, справедлив закон площадей по отношению к притягивающему шентру.

Следовательно, речь идет о периодическом движении (как это, впрочем, а priori было ясно на основании двух соображений: орбита является замкнутой и секторная скорость постоянна). Вводя период (или продолжительность обращєния) $T$, можно придать хорошо известную форму основному соотношению (14) между геометрическим, кинематическим и динамическим элементами $p,c,k$. Достаточно вспомнить (п. 1), что
$$\frac{c^2}{p}=4{\pi }^2\frac{a^3}{T^3},$$

чтобы написать равенство (14) в виде
$$k=4{\pi }^2\frac{a^3}{T^2},$$

откуда имеем
$$T=2\pi \sqrt{\frac{\overline{a^3}}{k}}.$$
10. ЗАКОН ВРЕМЕНИ В КЕПЛЕРОВОМ ДВИЖЕНИИ. УРАвНЕНИЕ КЕПлЕРА. В общем случае мы заметили, что во всяком движении под действием центральной силы закон движения будет однозначно определен (интегралом площадей), если только определена орбита

(гл. II, п. 6). То же самое будет иметь место и для рассматриваемых здесь движений точки, притягиваемой центром $S$ с силой, обратно пропорциональной квадрату расстояния, откуда, естественно, возникает задача о действительном определении для таких движений аналитического выражения закона двнжения. Мы займемся здесь этой задачей исключительно для случая эллиптического движения в собственном смысле (кеплерово движение), отсылая для других случаев к специальным сочиненияи $\mathrm{\%}$ ).

Так как эллиптические движения, наиболее интересные для астрономии, совершаются по орбитам с малыми эксцентриситетами и потому, в предположении, что имеет место закон площадей, можно говорить о движениях почти равномерных, то естественно действительному эллиптическому движению точки $P$ сопоставить фиктивное движение другой точки $M$, описывающей равномерным движением и с тем же периодом $T$ окружность в плоскости орбиты точки $P$, концентрическую с орбитой и имеющую диаметром ее большую ось $2a$. Подчиним движение этой точки еще условию, что точки $P$ и $M$ проходят одновременно через два апсида, общие для обеих орбит. При заданном равенстве периодов (а следовательно, и полупериодов) последнее условле будет всегда выполняться, если это совпадение $P$ и $M$ имело место хотя бы один раз в одном из апсидов.

Постоянная угловая скорость $n$ фиктивной точки $M$ называется средним движением точки $P$ (этот термин не вполне удовлетворителен, но он общепринят). Среднее движение, очевидно, определяется равенством
$$n=\frac{2\pi }{T}$$

поэтому равенству (18) можно придать вид
$$n^2=\frac{k}{a^3}\text{. }$$

С другой стороны, если мы введем также и малую полуось $b$ эллиптической орбиты точки $P$ и примем во внимание очевидное тождество (уже употреблявшееся в кинематике: т. I, гл. II, п. 51)
$$\pi ab=\frac{cT}{2},$$

то для среднего движения получим выражение
$$n=\frac{c}{ab}\text{. }$$

Рассмотрим теперь в плоскости две системы прямоугольных осей (фиг. 13): 1) систему $xy$ с началом в центре силы $\mathcal{S}$, причем ось $x$ возьмем вдоль большой оси орбиты и направим ее к перигелию, а ось $у$ ориентируем таким образом, чтобы положительное направление от $x$ к $y$ совпадало с направлением движения точки $P$ (и $M);2$ ) систему $\xi {\eta }_{\text{с }}$ началом в центре $O$, общем для орбит точек $P$ и $M$, получающуюся из системы $xy$ путем поступательного перенесения.
Так как половина расстояния между фокусами $OS$ равна $ae$, то имеем
$$x=\xi -ae,y=r_{\mathrm{i}}.$$

С другой стороны, известно, что если $P$ есть любая точка эллипса и $P_1$ — та точка окружности, которая имеет ту же абсциссу, что и $P$ и лежит с той же стороны относительно большой оси, то эксцентрической аномалией точки $P$ называется угол $и$ между радиусом $O{P}_1$ и полярной осью $O{\xi }^1$ ).

Параметрические уравнения эллипса в функциях от аномалии имеют вид
$$\xi =a\cos u,\eta =b\sin u.$$

В течение кеплерова движения точки $P$ аномалия $u$ будет вполне определенной функцией времени; эту функцию мы и намерены определить аналитически.

С этой целью возьмем снова интеграл площадей (относительно центра $S$ )
$$x\dot{y}-y\dot{x}=c$$

и подставим в него вместо $x$ и $y$ их выражения (20), а в полученный таким образом результат вместо $\xi$ и $\eta$-их выражения (21). Таким путем мы получим уравнение
$$c={\xi }_{{\eta }_1}-{\dot{\xi }}_{{\eta }_1}-ae{\dot{\eta }}_1=ab\dot{u}(1-e\cos u),$$

которое, принимая во внимание (19), можно написать в виде
$$\frac{d}{dt}(u-e\sin t)=n.$$

Интегрируя от некоторого момента $t_0$, когда точки $P$ и $M$ вместе проходят через перигелий (здесь имеем $u=0$ ), придем к уравнению
$$u-e\sin u=l,$$

где положено
$$l=n(t-t_0).$$

Эта переменная $l$, линейная относительно времени, равна, очевидно, углу, который составляет с полярной осью $O\xi$ в момент времени $t$ радиус-вектор $OM$, идущий в фиктивную точку $M$, и называется средней аномалией точки $P$. Уравнение (22) и есть нзвестное уравнение Кеплера, которое в эллиптическом движении в любой момент связывает эксцентрическую аномалию и среднюю аномалию $l$ и которое на основании равенства (23) в неявной форме определяет $u$ в функции от времени ${}^1$ ).
11. Орьиты Эйнштвйна. Прервем на время последовательный ход наших выводов, чтобы очень коротко указать на те применения, которые нашла предыдущая теория в двух основных направлениях современной физики: в теории относительности Эйнштейна и в учении Бора о структуре атома.

Прежде всего рассмотрим орбиты планет, которые получаются в результате применения к небесной механике теории относительности*). По этой теории (дающей лучшее приближение к действительному движению, чем теория, основанная на законах Кеплера) к основному выражению для притягивающей силы необходимо присоединить поправочный член, обратно пропорциональный четвертой степени расстояния и также ииеющий характер притягивающей силы. Следует заметить, что здесь мы встречаемся с известным примером так называемой теорит планетных возмущений, общую постановку которой мы дадим в § 5 .
Если обозначим, как обычно, через
$$\phi (r)=-\frac{k}{r^2}=-\frac{c^2}{p}\frac{1}{r^2}$$

радиальную составляющую силы притяжения, то в случае кеплерова движения дифференциальное уравнение второго порядка орбиты в

общей форме (11′) предыдущей главы (п. 7), т. е. уравнение
$$\frac{d^{2}u}{d{\vartheta }^2}+u=-\frac{1}{c^2{i}^2}\phi \left(\frac{1}{u}\right),u=\frac{1}{r}$$

перейдет в уравнение
$$\frac{d^{2}u}{d{\theta }^2}+u=\frac{1}{p}$$

полагая
$$\xi =au=\frac{a}{r}$$

и припоминая, что для эллипса $p=a(1-e^2)$, можем написать
$$\frac{d^2\xi }{d{\theta }^2}=-\xi +\frac{1}{1-e^2}.$$

Если присоединить к радиальной силе $\phi (r)$ возмущающую силу притяжения, обратно пропорциональную четвертой степени расстояния, т. е. поправочный член вида $-\mu /r^4=-\mu l^4$, где $\mu$ обозначает положительную постоянную, то на основании уравнения (25) к правой части равенства (26) придется добавить член
$$\frac{\mu }{c^{2}c}{\xi }^2,$$

который удобнее написать в виде
$$\frac{3}{2}\epsilon {\xi }^2,$$

где $\epsilon$ означает существенно положительную постоянную $2\mu /3c^{2}a$. При этом дифференциальное уравнение возмущенной орбиты примет вид
$$\frac{d^2\xi }{d{\theta }^2}=-\xi +\frac{1}{1-e^9}+\frac{3}{2}\epsilon {\xi }^2.$$

Если мы будем рассматривать постоянную $\epsilon$ как величину первого порядка (квадратом которої можно пренебречь), то к уравнению ( ${26}^{\prime })$ можем прийти, применяя к движению планет теорию Эйнштейна во втором приближении (тогда как в первом приближении, т. е. при $\epsilon =0$, мы снова получим уравнение (26), выражающее кеплерово движение). Необходимо добавить, что согласно этой теории постоянная $\epsilon$ определяется равенством ${}^1$ )
$$\epsilon =\frac{2k}{a{V}^2},$$

где $k$ имеет обычное значение (сила притяжения, обратно пропорциональная квадрату расстояния и действующая на единичную массу,

находящуюся на расстоянии, равном 1), а $V$ обозначает скорость света.

Уравнение (26′) интегрируется в эллиптических квадратурах, но, имея в виду получить здесь только одно частное следствие, имеющее большой астрономический интерес, мы ограничимся интегрированием его в первом приближении, т. е. по крайней мере до членов порядка выше первого огносительно ${\epsilon }^1$ ). Поэтому предположим, что начальные постоянные выбраны таким образом, что невозмущенная орбита, определенная при тех же начальных условиях из уравнения (26), к которому при $\epsilon =0$ сводится уравнение $\left({26}^{\prime }\right)$, оказывается эллиптичєской (или орбитой в кеплеровом движении).

Обозначая в этом предположении через ${\xi }_0$ интеграл уравнения (26), на основании равенства (25) и полярного уравнения эллипса имеем
$${\xi }_0=\frac{1+e\cos \theta }{1-e^2}.$$

Положив
$$\xi ={\xi }_0+\epsilon {\xi }_1,$$

получим из уравнения (26′) для неизвестной функции ${\xi }_1$, с точностью до членов по крайней мере второго порядка относительно $\epsilon$, линейное неоднородное уравненис (или уравнение в вариациях уравнения ( ${26}^{\prime })$ )
$$\frac{d^2{\xi }_1}{d{\theta }^2}+{\xi }_1=\frac{3}{2}{\xi }_0{}^2,$$

общий интеграл которого, как известно, можно вычислить посредством одной квадратуры, применяя метод вариации произвольной постоянной (множителя) $C$, появляющейся в интеграле $C\cos \theta$ однородного уравнения.

Принимая во внимание выражение для ${\xi }_0(28)$, мы видим, что все члены функции ${\xi }_1$ являются периодическими с периодом $2\pi$, за исключением лишь того, который происходит от члена с $\cos \theta$ в правой части уравнения (30); точнее, имеем
$${\xi }_1={\xi }_2+\frac{3}{2}\frac{e}{{(1-e^2)}^2}\theta \sin \theta ,$$

где ${\xi }_2$ обозначает периодическую функцию с периодом $2\pi$. Отсюда, а также из равенства (29) заключаем, что
$$\xi ={\xi }_0+\epsilon {\xi }_2+\frac{3}{2}\frac{\epsilon e}{{(1-e^2)}^2}\theta \sin \theta \text{. }$$

Но из общей теории орбит точек, находящихся под действием центральных сил (гл. II, п. 8), мы знаем, что общий интеграл (31) уравнения ( ${26}^{\prime }$ ) должен быть периодическим по отношению к $\mathit{ϵ}$ с некоторым периодом $2\mathit{\theta }$, равным удвоенному значению соответствующего апсидального угла $\mathit{\theta }$, который здесь необходимо является близким апсидальному углу $\pi$ орбиты в кеплеровом движении. Если мы положим
$$\mathit{\theta }=\pi +\frac{1}{2}\sigma ,$$

то величина $\sigma$, имеющая тот же порядок, что и в, даст смещение, которое испытывает перигелий возмущенной орбиты по отношению к перигелию орбиты в кеплеровом движении при каждом обращении планеты (путь, пробегаемый между двумя последовательными прохождениями через перигелий).

Чтобы оценить теперь это смещение $\sigma$, заметим, что вследствие ожидаемой периодичности $\xi$ должно быть
$$\xi (\theta +2\theta )-\xi (\theta )=0$$

или же, принимая во внимание (31) и (32) и пренебрегая членами порядка выше первого,
$$\xi (\theta +2\pi )-\xi (\theta )-\sigma {\xi }_0{}^{\prime }=0.$$

Между тем, с другой стороны, из равенств (31) и (32) выводим
$$\xi (\theta +2\pi )-\xi (\theta )=3\pi \frac{\epsilon e}{{(1-e^2)}^2}\sin \theta ,$$

или на основании того же равенства (28)
$$\xi (\theta +2\pi )-\xi (\theta )=-3\pi \frac{\epsilon }{1-e^2}{\xi }_0^{\prime }.$$

Достаточно подставить этот результат в равенство (33), чтобы заключить, что смещение $\sigma$ перигелия планеты при одном обращении с точностью по крайней мере до членов порядка выше первого относительно $\epsilon$ определяется равенством
$$\sigma =3\pi \frac{\epsilon }{1-e^g}.$$
12. Чгобы дать понятие о порядке величины этого смещения, начнем с оценки постоянной (27)
$$\epsilon =\frac{2k}{a{V}^2}.$$

Если обозначим через $a_0$ радиус (среднић) земной орбиты, предлолагаемой приблизительно круговой, и вспомним, что в силу равен-

ства (8) п. $4,k/a$ при том же предположении равно квадрату скорости (постоянной) $v_0$ Земли, то равенство (27) можно написать в форме
$$\epsilon =\frac{2a_0}{a}{\left(\frac{v_0}{V}\right)}^2.$$

Далее, общеизвестно, что скорость $v_0$ движения Земли по орбите равна примерно 30 ж/сек, а скорость света около 300000 кж/сек. Отсюда следует, что порядок величины отношения $\frac{v_0}{V}$ равен
$$\frac{30}{300000}={10}^{-4},$$

а порядок величины ${\left(\frac{v_0}{V}\right)}^2$ равен ${10}^{-8}$. Так как средние расстояния различных планет от Солнца сравнимы между собой (если за единицу берется средний радиус $a_0$ земной орбиты, то для Меркурия имеем 0,39 и для Нептуна 30,06 ), то на основании соотношения (27′) можно сказать, что ${10}^{-8}$ дает грубо также и порядок величины постоянной $\epsilon$.

Чтобы оценить смещение о, определяемое равенством (34), необходимо принять во внимание величину среднего расстояния до рассматриваемой планеты.

Обратимся, например, к Меркурию, для которого имеем $e=0,2$ и, как только что указано, $\frac{a}{a_0}=0,39$. В таком случае, принимая во внимание равенства (34), (27) и ранее определенную величину ${\left(\frac{v_0}{V}\right)}^2$, найдем, что смещение перигелия равно
$$3\pi \frac{2}{0,39\cdot 0,96\cdot {10}^8}=3\pi \frac{2}{39\cdot 96\cdot {10}^4}.$$

Чтобы выразить это смещение в секундах (вместо радианов), только что найденное число надо умножить на $\frac{6^4\cdot {10}^3}{2\pi }$ (число секунд в одном радиане), после чего получим
$$\frac{3\cdot 6^4}{39\cdot 9b\cdot 10}=\frac{6^3}{13\cdot 16\cdot 10},$$
т. е. немного больше одной десятой секунды.

Так как в течение столетия Меркурий совершает около 420 обращений вокруг Солнца, то для перигелия этой планеты найдем таким образом вековое смещение в ${42}^{\prime \prime }$, что как раз соответствует разности между полным наблюдаемым смещением и смещением, предсказываемым небесной механикой на основе ньютоновой теории возмущений, происходящих от действия других планет. До создания теории относительности для объяснения одного этого явления,

вне всякой связи с другими явлениями, выдвигались искусственные гипотезы, которые, будучи логически развиты, в большинстве случаев, в отношении других свойств движения планет, привели бы к более существенным расхождениям с наблюдениями.
13. Понятив о строении атома согласно теории Бора. Современная электронная теория материи привела к представлению об атоме как о системе, состоящей из положительно заряженного ядра (протона) и врашающихся вокруг него отрицательно заряженных частиц (электронов), масса которых весьма мала по сравнению с массой центрального ядра.

На основании классического закона Кулона два заряда с противоположными знаками (поскольку в вопросах динамики их можно рассматривать как точки) притягивают друг друга с силой, обратно пропорциональной квадрату расстояния.

Если, в частности, мы обратимся к атому водорода, состоящему из ядра и одного только электрона с зарядом, равным и противоположным заряду ядра, то эти два заряда механически будут подобны двум материальным точкам, взаимно притягивающимся по закону Ньютона (т. I, гл. XI, § 1), с тем лишь различием, что множитель пропорциональности $k$ не будет уже более равен ${\mathrm{fmm}}_1$, как в ньютоновом случае. Отсюда следует, что изучение движения электрона вокруг ядра входит в задачу о движении двух точек, притягивающихся с силами, обратно пропорциональными квадрату расстояния. Более того, мы докажем в п. 21, что задача о движении электрона может быть сведена к задаче о движении материальной точки, притягиваемой неподвижньм центром с силой, обратно пропорциональной квадрату расстояния.

Но в то время как в абстрактном случае и в вопросах механики а priori возможны какие угодно значения для постоянных интегрирования и, в частности, для постоянной $c$ площадей, в случае электрона приходится (по соображениям, связанным с так называемой квантовой теорией, которых мы не можем здесь даже слегка коснуться) принять, что постоянная $c$ площадей может быть только кратным отношения $h/2\pi$, где $h$ есть некоторая универсальная постоянная, называемая постоянной Планка, т. е.
$$c=n\frac{h}{2\pi }$$

при целом и положительном $n$. В случае круговых орбит, у которых параметр совпадает с радиусом, из равенства (14) следует
$$c=\sqrt{\overline{k}}\sqrt{\overline{a}}$$

отсюда мы заключаем, что: 1) между возможными с точки зрения квантовой теории круговыми орбитами существует одна (та, которая

соответствует случаю $n=1$ ) с минимальным радиусом
$$a_1=\frac{h^2}{4{\pi }^{2}k};$$
2) остальные орбиты имеют радиусы
$$a_n=n^2{a}_1(n=2,3,4\dots ).$$

Согласно с этой теорией каждая спектральная линия обусловлена переходами электрона с одной орситы на другую возможную орбиту. Исходя из этого предположения, Ђор установил следующий результат ${}^1$ ). Если обозначим через $E_n$ полную энергию движения вдоль $n$-ой возможной орбиты, то, как известно (п. 4), будем иметь
$$E_n=-\frac{1}{2}\frac{k}{a_n}=-\frac{1}{2}\frac{k}{a_1}\frac{1}{n^2};$$

поэтому для другой возможной орбиты, внешней по отношению к первой ( $n^{\prime }>n)$, будем иметь (алгебраически)
$$E_{n^{\prime }}>E_{n^{\ast }}$$

Если положим
$$E_{n^{\prime }}-E_n=hu,$$

то величина $u$ даст частоту, соответствующую спектральной линии о которой идет речь.

Этот и другие выводы, полученные Бором путем присоединения подходящих квантовых гипотез к гипотезам классической физики, находятся в удивительном согласии с результатами наиболее тонких экспериментальных наблюдений.