14. Обратимся снова к рассуждениям, изложенным в п. 1. Обозначим через $P_{1}, P_{2}, \ldots$ различные планеты и условимся обозначать одним и тем же индексом $i$ все соответствующие отдельной планете $P_{i}$ элементы: геометрические, кинематические и механические (расстояние от Солнца $r_{i}$, большая полуось орбиты $a_{i}$, период $T_{i}$, масса $m_{i}$ и т. д.).

Мы знаем, в качестве первого приближения, из законов Кеплера, что различные планеты движутся так, как если бы каждая из них притягивалась силой (центральной), по величине соответственно равной
\[
\frac{k m_{1}}{r_{1}^{2}}, \frac{k m_{2}}{r_{2}^{2}}, \ldots
\]

где коэффициент
\[
k=\frac{c_{1}^{2}}{p_{1}}=4 \pi^{2} \frac{a_{1}^{3}}{T_{1}^{2}}=\frac{c_{2}^{2}}{p_{2}}=4 \pi^{2} \frac{a_{2}^{3}}{T_{2}^{2}}=\ldots
\]

имеет одно и то же значение для всех планет.
Это приводит к более общему выводу: физические свойства пространства вокруг Солнца таковы, что какая-нибудь масса $m$, помещенная на некотором расстоянии $r$ от Солнца, испытывает с его стороны действие притягивающей силы (центральной), по величине равной
\[
\frac{k m}{r^{\mathrm{e}}},
\]

где коэффициент $k$ оказывается таким же, как и в случае планет.

Теперь общеизвестно, что различные планеты имеют по одному и более спутников (Земля, Нептун, Марс, Юпитер, Сатурн, Уран); Ньютон впервые (для известных тогда спутников) прямыми наблюдениями установил, что также и для движения всякого спутника вокруг соответствующей планеты приблизительно выполняются законы Кеплера. Допустим, что в первом приближении движение спутника вокруг своей планеты можно рассматривать как абсолютное (в обычном смысле, приписываемом этому слову в механике).

Кроме того, можно отвлечься от того, что планета и спутник притягиваются Солнцем. Если законы Кеплера сохраняют свое значение для движения спугника и планеты, как и в случае планеты и Солнца, то можно принять, что любая планета $P_{i}$ притягивает спутника с массой $m^{\prime}$, находящегося на расстоянии $r^{\prime}$, с силой
\[
\frac{k_{i} m^{\prime}}{r^{\prime 2}},
\]

где $k_{i}$ обозначает некоторый коэффициент, который в силу третьего закона Кеплера остается одним и тем же в случае, если планета $P_{i}$ имеет несколько спутников.

Но законы Кеплера ничего не говорят относительно соотношений между различными коэффициентами $k, k_{i}$, которые входят в определенные таким образом выражения для притяжения планет Солнцем и спутников соответствующими планетами.

Чтобы итти дальше, обратимся к Земле, которую примем за планету $P_{1}$ (с массой $m_{1}$ на расстоянии $r_{1}$ от Солнца); она притягивает Луну, масса которой пусть будет $m^{\prime}$ и расстояние от Земли $r$, с силой
\[
\frac{k_{1} m^{\prime}}{r^{12}} .
\]

С другой стороны, она притягивается Солнцем с силой
\[
\frac{k m_{1}}{r_{1}^{2}} \text {. }
\]

Но по третьему закону Ньютона этой силе притяжения Солнцем Земли соответствует равная ей по величине сила притяжения Солнца Землеи;; а так как решительно нет никаких оснований рассматривать эту силу отличной по природе от силы (35), с которой Земля притягивает Луну, то нам приходигся принять, что если мы через $m_{0}$ эбозначим массу Солнца, то ве.ичина этого притяжения Солнца Землей будет
\[
\frac{k_{1} m_{0}}{r_{1}^{2}} .
\]

Если мы приравняем эту величину величине (36) прямо противоположной силы, то получим
\[
k m_{1}=k_{1} m_{0}
\]

или же
\[
\frac{k}{m_{0}}=\frac{k_{1}}{m_{1}} \text {; }
\]

поэтому если обозначить через $f$ общую величину этих двух отношений, то можно паписать
\[
k=f m_{0}, k_{1}=f m_{1} .
\]

Имея в виду равенства (35) и (36) и применяя третий закон Ньютона также и к паре Земля – Луна, мы видим, что Солнце и Земля взаимно притягиваются с силой (направленной по соединяющей их прямой)

а Земля и Луна с силой
\[
\begin{array}{l}
f \frac{m_{0} m_{1}}{r_{1}^{2}}, \\
f \frac{m_{1} m^{\prime}}{r^{\prime 2}} .
\end{array}
\]

Подобные рассуждения можно повторить и для любой другой планеты, имеющей спутника; распространяя путем обычной индукции этот результат также и на планеты без спутников и вообще на все небесные тела, заключаем: два каких угодно небесных тела, рассматриваемые как материальные точки, взаимно притягиваются с силой, направленной по соединяющей их прямой, по величине прямо пропорциональной их массам $m, m^{\prime}$ и обратно пропорциональной квадрату расстояния между ними $r, m$. $е$. с силой
\[
f \frac{m m^{\prime}}{r^{2}}
\]

где $f$ обозначает постоянную всемирного тяготения.

Таким образом, в отношении небесных тел, рассматриваемых как материальные точки, мы приходим к тому закону действия силы, который под названием ньютонианского припяжения мы приняли в виде априорной гипотезы в гл. XI т. I.
15. В процессе индукции Ньютона остается сделать последнии, может быть, еще более смелый шаг, тот самый, о котором народное предание сохранило память в известном анекдоте из жизни Ньютона.

Возвращаясь к притяжению Землей Луны и сопоставляя с ним силу тяжести, которая в пределах наших прямых опытов проявляется в виде притяжения Землей всякого тела, как бы оно ни было мало, естественно будет принять, что притяжение, которым, так сказать, Земля удерживает Луну на ее орбите, является не чем иным, как земной силой тяжести, ослабленной для единицы массы вследствие большого расстояния, но способной к столь большому действию вследствие значительной величины лунной массы по сравнению с массой тел, над которыми мы можем непосредственно производить опыты.

Отсюда и название тяготенія, которое обыкновенно дают ньютонианскому притяжению.

С другой стороны, так как частица $P$ притягивается Землей, как бы она мала ни была, то в свою очередь в силу третьего закона Ньютона она должна притягивать Землю с силой, прямо противоположной.

Отсюда естественно сделать вывод, что ньютонианское притяжение не является исключительно свойством больших небесных масс, а представляет собой естественное и элементарное свойство материи. Здесь приходят на помощь математические выкладки только что упоминавшейся гл. XI т. I. Действительно, там мы видели, что если допустить для всякой пары материальных элементов существование взаимного ньютонианского притяжения, то небесное тело, имеющее форму огромного материального шара, состоящего из однородных концентрических с.оев, притягивает всякую внешнюю материальную точку с силой, с которой притягивала бы ту же самую материальную точку масса сферы, целиком помещенная в ее центре.

Таким образом, оказывается оправданным распространение закона действия силы (37) на любую возможную пару материальных точек.

В заключение предыдущих индуктивных выводов можно сформулировать следующий закон, известный под названием закона Ньютона, или закона всемирного тяготения: всякие две материальные точки во Вселенной взаимно притягиваются с силой, направленной по прямой, их соединяющей, прямо пропорцональной их массам $m$, $m^{\prime}$ и обратно пропорциональной квадрату рас-

стояния между ними $r$ (37):
\[
f \frac{m m^{\prime}}{r^{2}} \text {. }
\]

Как уже упоминалось раньше (т. I, гл. XI, п. 3), постоянную $f$ тяготения (или постоянную Гаусса), измеряющую взаимное притяжение двух единичных масс на единичном расстоянии, впервые определил лабораторным путем Кэвендиш (1797). Впоследствии было выполнено много других определений этой величины все более точными способами, и все они в согласии друг с другом ариводят к одному и тому же численному значению $f$ в единицах CGS, paвному $6,7 \cdot 10^{-8}$ (уже упоминавшееся место из п. 3).