1. Точка, масса которой равна $m$, движется в плоскости $O x y$ нод действием силы с составляющими $X=\frac{\partial V}{\partial y}, Y=\frac{\partial V}{\partial x}$, где $V$-какая-нибудь функция от $x, y$. Доказать, что уравнения движения допускают первый интеграл вида $m \dot{x} \dot{y}-V=$ const.
2. Материальная точка $P$, масса которой равна $m$, движется под действием двух сил, направленных к двум неподвижным точкам $O$ и $O_{1}$, с величинами $m \mu r$ и $m \mu_{1} r_{1}$, где $r=O P, r_{1}=O_{1} P$, а $\mu, \mu_{1}$ суть постоянные. Доказать, что уравнения движения допускают первый интеграл
\[
\mu r^{2} \dot{\theta}+\mu_{1} r_{1}^{2} \dot{\theta}=\text { const, }
\]

где $6, G_{1}$ означают углы радиусов-векторов $O P, O_{1} P$ с $O O_{1}$.
3. Свободная материальғая точка движется под действием силы $\boldsymbol{F}$ (отнесенной к единице массы), зависяней только от положения. Фиксируем одно из движений, возможных в этих условиях, и пусть $c$ есть дуга соответствующей траектории. Показать, что эта дуга $c$ может также рассматриваться как конфигурация равновесия гибкой и нерастяжимой нити, закрепленной на конtах и находящейся под действием единичной силы $-F$, в предположении, что линейная плотность нити в любом месте обратно пропорпиональна скорости точки в рассматриваемом решении динамической задачи.
4. Из соотношения $\boldsymbol{m} \boldsymbol{a}=\boldsymbol{F}$ в случае силы, зависящей только от положения, путем дифференцирования выводится
\[
m \frac{d \boldsymbol{a}}{d t}=\frac{\partial \boldsymbol{F}}{\partial x} \dot{x}+\frac{\partial F}{\partial y} \dot{y}+\frac{\partial \boldsymbol{F}}{\partial z} \dot{z} .
\]

Дифферениируя дальше, доказать, что разложения в ряд Тэйлора декартовых координат $x, y, z$ движущейся точки из состояния покоя и с момента $t=0$ будут тина
\[
x=X \tau+\frac{1}{6}\left(\frac{\partial X}{\partial x} X+\frac{\partial X}{\partial y} Y+\frac{\partial X}{\partial z} Z\right) \tau^{2}+\ldots
\]

и аналогично для $y$ и $z$, где $X, Y, Z$ суть составляющие силы $F, \tau=\frac{t^{2}}{2}$, а опущенные члены – по крайней мере шестого порядка по отношению к $t$.
5. Точка движется в плоскости под действием силы, являюуейся производной от потенциала $U(x, y)$. Доказать, что совокупность (пучок) траекторий, соответствуюших одному и тсму же значению $E$ псстоянной энергии, определяется дифференшиальным уравнением
\[
y^{\prime \prime}+\left(1+y^{\prime 2}\right)\left(-\frac{\partial \lambda}{\partial y}-y^{\prime} \frac{\partial x}{\partial x}\right)=0,
\]

где $x, y$ обозначают декартовы координаты и
\[
y^{\prime}=\frac{d y}{d x}, y^{\prime \prime}=\frac{d^{2} y}{d x^{9}}, \quad .=\ln \sqrt{2(U+E)} .
\]

Для доказательства достаточно прирапнять нулю выражение $R_{n}$, указанное в упражнении 8 гл. I, вспоминая, что направляющие косинусы нормали к крявой $y=y(x)$, направленной в стэрону вогнутости, суть
\[
\mp y^{\prime} / \sqrt{1+y^{\prime \prime}}, \pm 1 / \sqrt{1+y^{\prime \prime}} \text {, }
\]

смотря по тому, булет пи $y^{\prime \prime}>0$ или $y^{\prime \prime}<0$ (радикалы подразумеваются взятыми в арифметическом смысле).
6. В виде непосредственного притожения уравнения (11) или эквивалентного ему уравнения (11) п. 7 этой главы доказать, что:
a) если точка описывает круговую орбиту в центратьном движении, центр которого $O$ нахолится на окружности, то сила, действующая на движуцуюся точку, обратно пропорциональна пятой степени расстояния от $O$;
б) если элпипс описывается под действием центральной силы, центр которой совпадает с ґентром эллипса, то сила обратно пропорциональна расстоянию;
в) логарифмическая спирать $r=a e^{-b 9}$ ( $a$ и $b$ – постоянные) и лемниската $r^{2}=c^{2} \sin 2 \theta$ ( $c$-постоянная) могут быгь описаны под действием центральной силы, действующей из начала координат и обратно пропорциональной в первом случае кубу, во втором – седьмой стенени расстояния.
7. Точка $P$ описывает этипс под действием двух центральных сил, жаправленных к двум фокусам $F, F^{\prime}$. Полагая $F P=r, F^{\prime} P=r^{\prime}$, показать, что если радиальная составляющая первой силы есть $\mu r$, то радиальная составляющая второй силы есть $\mu r^{\prime} \div \frac{
u}{r^{\prime \prime}}$ ( $\mu,
u$ – постоянные).
8. Показать, что величина центральной силы, которая заставляет материальную точку описывать заданную кривую согласно закону птощадей, пропорциональна $\frac{v^{3} r}{p}$, где $v$ обозначает величину скорости движущейся точки, $r$-ее расстояние от центра ситы, $\rho$ – радиус кривизны заданнои траектории.
9. Если радиальная составляющая центральной силы имеет выражение $\vartheta(r)=\frac{\mu}{r^{2}}+\frac{
u}{r^{3}}$ ( $\mu$ и $
u-$ постоянные), то дифференциальное уравнение траектории [(11′), п. 7)] интегрированием может быть приведено к виду
\[
r=\frac{p}{1+e \cdot \cos k \theta},
\]

где
\[
k^{2}=1+\frac{
u}{c^{2}}, \quad \frac{1}{p}=-\frac{\mu}{c^{2}+y} ;
\]

через $c$ обозначена постоянная плошадей, $e$ есть постоянная интеграции, у которой можно предположить тот же самый знак, что и у $p$, заменяя при случае भ через $8+\pi$; вторая постоянная интеграции не входит явно, так как она включена в ๆ (которая заменяет $\vartheta-\vartheta_{0}$ ). Заметим, что указанная форма интеграла предполагает $k^{2}>0$ или же $c^{\sharp}>-$. Как надо изменить ее, если $c^{2} \leqslant-
u$ ?

Если примем $k>0$, то орбита, очевидно, будет иметь апсидальный угол $\theta=\frac{\pi}{k}$.

При $u=0$ получим $k=1$; орбита будет коническим сечением с фокусом в центре силы, а при $\mu<0$ будем ииеть классический случай ньютонианского притяжения, которому посвящена следующая глава.

Здесь мы хотим добавить еще одно замечание общего характера, которое восходит к Ньютону.

Если движущаяся точка $P$ описывает какую-нибудь траекторию, а траектория вращается с угловой скоростью $\omega$, изменяющейся как-либо с течением времени, то абсолютная угловая скорость вектора $P$ определится равенством
\[
\dot{\vartheta}=\dot{\vartheta}_{1}+\omega,
\]

где $\vartheta$ есть угол вектора $P$ с какой-либо неподвижной осью, $\vartheta_{1}$ – угол вектора $P$ с осью, неизменно связанной с вращающейся орбитой. Ничто не мешает предположить, в частности, что $\vartheta_{1}=k \vartheta$ при постоянном, наперед задаином $k$, так как достаточно в случае необходимости принять
\[
\omega=(1-k) \dot{\vartheta} \text {. }
\]

После этого предыдущее можно сделать более наглядным, указав, что для всякой центральной силы вида $\frac{\mu}{r^{2}}+\frac{
u}{r^{3}}$ в предположении $c^{2}>-v$ opбита будет коническим сечением, вращающимся вокруг фокуса (центра ческому сечению будет происходить с постоянной секторной скоростью $k c$, следовательно, будет кеплеровым, если речь идет об эллипсе.
10. Показать, что задачу о движении точки, находяшейся под действием силы, проходншей всегда через начило и имеющей радиальую состівляющую вида $\frac{\psi(\theta)}{r^{2}(a t+b)}$, где при очевидном значении символов $t, r$ и $\theta$ буквы $a$ и $b$ обозначают постоянные, а $\psi$ есть любая функшия от одного только аргумента $\theta$, можно свести к квадратурам. При $a=0$ будем иметь теорему Якоби, при $\psi=$ const – тесрему Менерского. Cм. G. Armellini, Sopra P’integrabilità delie equazioni differentiali della Meccanica Rend. Lincei, т. XXI, 1912, стр. 177-182, 2-й семестр. Для решения достаточно отправиться от урсвнений (3) приведеннсй заметки, выражаюших равенство между радиальной и трағсверсальнсй составляющими ускорения и единичной силы.
11. Радиальная составляюшая уентральной силы есть $\varphi(r)=
u+\mu r$ ( $\mu$ и v- постоянные). Показать, что если $\omega$ есть постоянная угловая скорость, с которсй будет описываться круговая орбита, то эта орбита будет устойчивой, если $3 \omega^{2}>\mu$. В этом случае соседние орбиты имеют апсидальный угол
\[
\theta=\frac{\pi \omega}{\sqrt{3 \omega^{9}-\mu}} .
\]
12. В случае вертикатьного движения снаряда уравнение (28) п. 14 этой главы принимает вид
\[
\frac{d v}{d t}= \pm g-f(v)
\]

знак плюс берется в случае нисходящего движения и минус-в случае восходящего. Приняв функцию сопротивления $f(v)$ удовлетворяющей качественным условиям II. 13 , изучить качественно нисходящее движение, аналогично тому, как это было сделано в § 9 гл. I для функции, выражающей квадратичный закон сопротивления. Необходимо при этом различать трін

случая $v_{0} \gtreqless v_{1}$, где $v_{0}$ означает начальную скорость и $v_{1}$ – предельную ско рость, определяемую формулой (27) п. 13.

Если $s$ есть расстояние, пройденное вдоль вертикали от начального положения, то интеграл задачи можно представить в виде
\[
t=-\frac{1}{g} \int_{v_{0}}^{v} \frac{d v}{f(v)-1}, \quad s=-\frac{1}{g} \int_{v_{0}}^{v} \frac{v d v}{\frac{f(v)}{g}-1} .
\]

Для восходящего движения имеем наоборот
\[
t=-\frac{1}{g} \int_{v_{0}}^{v} \frac{d v}{\frac{f(v)}{g}+1}, \quad s=-\frac{1}{g} \int_{v_{0}}^{v} \frac{v d v}{\frac{f(v)}{g}+1} .
\]

Изучить, в частности, случай сопротивления, пропорционального $n$-ой степени скорости, $f(v)=a v^{n}$ ( $a$ – постоянная), и показать, что если за переменное интеграции принимается $\rho=\frac{v}{v_{1}}$, то правые части выразятся посредством интегралов вида
\[
\int_{\rho_{0}}^{\rho} \frac{d \rho}{1 \mp \rho^{n}}, \quad \int_{\rho_{0}}^{\rho} \frac{\rho d \rho}{1 \mp \rho^{n}},
\]

где $\rho_{0}=\frac{v_{0}}{v_{1}}$. Если $n>1$, то как бы ни была велика скорость $v_{0}$, с которои снаряд бросается кверху, он уже не пэднимается выше, чем на высоту
\[
h=\frac{v_{1}^{2}}{g} \int_{0}^{\infty} \frac{\rho d \rho}{1+\rho^{n}},
\]

и достигнет своей максимальной высоты за конечное время, не превосходящее величины
\[
\tau=\frac{v_{1}}{g} \int_{0}^{\infty} \frac{d \rho}{1+\rho^{n}} .
\]

Проверить, что аналогичные обстоятельства представятся при $f(v)=A e^{\text {mv }}$ ( $A$ и $m$ – постоянные) и что в этом с.учае будем иметь
\[
\tau=\frac{1}{m g} \ln \left(1+\frac{g}{A}\right) .
\]
13. Показать, что в случае сопротивления, пропорционального скорости баллистический годограф, определяемый уравнением (30) п. 14, есть прямая в плоскости $v, \varphi$ ( $v$-радиус-вектор, а $\varphi$ – апомалия (угол наклона)).
14. Из формулы (26) п. 13 мы заем, что если $f(v)$ есть сопротивление дпя заданного спаряда $P$, то сопротив тение для подобного же снаряда $P_{1}$, соответствующее скорости $v_{1}$, есть $c f\left(v_{1}\right)$, где $c$ обозначает постоянную.
Годографы, относящиеся к движениям $P$ и $P_{1}$, называются подобными, если скорости, соответствующие одному и тому же углу наклона $\varphi$, находятся в постоянном отношении $k$. В таком случае то же относится и к углам, заключенным между любыми двумя наклонами, и к соответствующим промежут кам времени; следовательн, и траектории будут подобными.
Показать, что подобие возможно гогда и только тогда, когда сопротивление пропорционально некоторой степени скорости. Если $\boldsymbol{n}$ есть показатель этой степепи, то имеем $\frac{v_{1}}{v}=k=\sqrt[n]{c}$. CM. F. Siacci, Balistica, 2-е изд. Torino, 1888, ч. I, гл. VIII, стр. 112.
15. Уравнение (30) п. 14 непосредственно приводится к уравнению Бернулли и, следовательно, к квадратурсм при $f(v) / g=a+b v^{n}(a, b, n$ – постоянпые). Если принять в нем за негзвестное $\ln v$, то в случае
\[
\frac{f(v)}{g}=a+b \ln v
\]

оно становится линейным. Это случаи, указанные Даламбером в 1744 г., как 6 ыло указано в п. 15.

Даламбер, кроме того, заметил, что если постоянные $a, b, r$ связаны юодходяцим соотношением, то и два цругие закона:
\[
\frac{1}{s} f(v)=a v^{n}+r+b v^{-n}, \frac{1}{g} f(v)=a \ln ^{2} v+r \ln v+b
\]

приводят к случаям интегрируемости в квадратурах. Найти этот результат, замечая сначала, что если $x=\sin \varphi$ принимается за независимую переменную и $y \equiv v^{n+1}$ или соответственно $y=\ln v-3$ неизвестную функцию, то мы придем к уравнению Риккати. Тогда достаточно будет исследовать, при каких условиях (для $a, b, r$ ) это уравнение допускает решение вида $\alpha x+\beta$ ( $\alpha$ и $\beta-$ ностоянные).
16. В п. 20 доказаны различные геометрические свойства траектории спаряда. Аналогичными рассуждениями доказать следующее кипематическое предложение:

Всякая восходящая дуга будет пробегаться за меньшее время, чем соответствующая нисходящая дуга. (Соответствующими называются две дуги, заключенные между вершиной и точками с равными высотами.)
17. Принимая во внимание вращепие Земли, убедиться, что гяжелое тело, брошенное вертикально вверх соскоростью $v$, при возвращении на высоту бросания дает отклонение к заладу, равное ири обозначениях п. 26 $\frac{4 \omega v^{2} \cos \gamma}{3 g^{2}}$ (формула Лапласа).
18. Уравнение $\left(45^{\prime \prime}\right)$ п. 26 движения тяжелого тела при условии, что принимается во внимание вращение Земли, можно строго проинтегрировать хорошо известным способом, поскольку речь идет о линейных уравнениях. В предположении, что тело предоставлено самому себе без пачальной скорости, получим после первого интегрирования:
\[
\begin{array}{l}
\dot{x}=-2 \omega y \sin \gamma, \\
\dot{y}=2 \omega(x \sin \gamma+z \cos \gamma), \\
\dot{z}=g t-2 \omega y \cos \gamma .
\end{array}
\]
$\mathrm{M}_{\mathrm{H}}$ пришли к системе первого порядка, линейной относительно $x, y, z$. Не обращаясь к общей теории, достаточно в этом случае взять производную
от второго уравнения и подставить в полученное уравпение вместо $\dot{x}, \dot{z}$ выражения, даваемые двумя другими. Мь придем, таким образом, к уравнению с одним только $y$, интеграл которого легко будет указать, и т. д.
19. Наэлектризованная частица $P$ с массой $m$ и зарядом $e$ движется в электрическом и магнитном полях (статических). Их папряжениости оредедены в каждой точке векторами $E$ и $M$ соответственно.

Если предположить, что движение чистицы не изменяет силового поля, то оно (движение) согласно теории электромагнитного поля совершается no закону *)
\[
m a=e(E+\boldsymbol{v} \times M),
\]

где $\boldsymbol{v}$ и $\boldsymbol{a}$ обозначают скорость и ускорение движунейся частицы.
Если электрическая напряженность $E$ является производной от потенциала $U(x, y, z)$, то мы сразу же видим, что уравнение (1) допускает интеграл живых сил
\[
\frac{m v^{2}}{2}-e U=\text { const. }
\]

Уравнение (1), между прочим, даег теорию северного сияния, поскольку это явление рассматривается как происходяцее вследствие видимости траекторий наэлектризованных частиц в поле земного магнетизма ( $E=0, M$ соответствует однородно намагниченной сфере). С этой целью см. работы Штермера (C. Störmer) *\%).

В случае, когда $\boldsymbol{M}$ происходит от одного едипственного полюса при $\boldsymbol{E}$ все еще равном нулю, равенство (1) важно для изучения катодных лучей $z$ было проинтегрировано и иллюстрировано Пуанкаре

Изучить в виде уиражнения случай, когда $E$ и $M$ иостоянны. Принимак. ось $O z$ параллельной $M$ и плоскость $O x z$ параллепьной $E$, показать, что $z$ есть квадратичпая функция времени и что $x$ опрсделяется уравнением вида $\ddot{x}+\omega^{2} x=$ const ( $\omega$ – ностояная), которое интегрируется непосредственно, нак в п. 61 гл. І.

Если, далее, считая все еще $\boldsymbol{M}$ постояным, предположить, что сила $E$ является центральной, то легко можно изучить движение, которое будет происходить в плоскости, нормальной к $M$ и проходящей через центр $O$ силы $E$. Достаточно обратиться к осям Оху этой плоскости, вращающимся с угловой скоростью- $\frac{e M}{2 m}$ вокруг точни $O$. Действительно, обозначая черсз $\boldsymbol{b}$ ускорение точки $P$ относительно этих осей (относительно которых неподвижные оси вращаются с угловой скоротью $\frac{e M}{2 m}$ ), но теореме Кориолиса будем иметь
\[
\boldsymbol{b}=\boldsymbol{a}+\frac{e}{m} M \times \boldsymbol{v}+\boldsymbol{a}_{7}=\boldsymbol{a}+\frac{e}{m} M \times \boldsymbol{v}-\frac{e^{2} M^{2}}{4 m^{2}} \bar{O} \dot{P},
\]

откуда, в силу урависния (1),
\[
b=\frac{e}{m} E-\frac{e^{2} M^{2}}{4 m^{2}} \overrightarrow{O P} .
\]

Если $U_{1}(z)$ есть потенциал центральной силы $E$ (при $r=O P$ ), то движепие точки $P$ от посительно подвижных осей происходит под действием силы,

тоже центральной, являющейся производной от потенцила, отнесенного к единице массы,
\[
U(r)=\frac{e}{m} U_{1}(r)-\frac{e^{2} M^{2}}{8 m^{2}} r^{2} .
\]
20. Точка $P$ притягивается к двум неподвижным центрам $O_{1}, O_{2}$ центральными силами, возрастающими вместе с расстоянием и исчезающими вместе с ним, с единичными радиальными составляющими – $\varphi_{1}\left(r_{1}\right)$, – $\varphi_{2}\left(r_{2}\right)$, rде попожено
\[
r_{1}=O_{1} P, r_{2}=O_{2} P .
\]

Ha отрезке $\mathrm{O}_{1} \mathrm{O}_{2}$, очевидно, находится одно положепие $O$ равновесия, в котором $\varphi_{1}\left(r_{1}\right)=\psi_{2}\left(r_{2}\right)$. Доказать, что еспи речь идет об устойчивом равновесии и если линия центров принимается за ось, то при обозначениях п. 38 будем иметь
\[
\omega_{1}^{2}=\varphi_{1}^{\prime}+r_{2}^{\prime}, \quad \omega_{2}^{2}=\omega_{3}^{2}=\frac{\varphi_{1}}{r_{1}}+\frac{\varphi_{2}}{r_{2}},
\]

где подразумевается, что значения $r$ и и их производных относятся к точке $O$. Если притяжения следуют каким угодно законам и если на отрезке $O_{1} O_{2}$ существует положсние равновесия $O$, то равновесие будет устойчивым, лишь бы было $\varphi_{1}^{\prime}+\varphi_{2}^{\prime}>0$.
21. Пусть оси $O x y z$ вращаются вокруг $O z$ с постоянной угловой скоростью $\omega$ и $F$ – сила, являющаяся производной от потенциала $U(x, y, z)$, который не зивисит от времени, если относится к указанным осям.

Показать, что движение свободной точки с массой $m$, находящейся под действием силы $F$, допускает иптеграл
\[
\frac{m v^{2}}{2}-\left\{U+m \frac{\omega^{9}}{2}\left(x^{2}+y^{2}\right)\right\}=\text { const. }
\]

Распространить теорему Дирихле на устойчивость относительпого равноьесия в указанных условиях.
22. Из элементов дифференциальной геометрии известно, что цилиндры и конусы суть развертывающиеся поверхпости, т. е. могут быть развернуты на плоскость без изменения длин и углов. Показать на основании уравнения (80) п. 40 (спроектированого на касательную плоскость), что при $\boldsymbol{F} \equiv 0$ геодезические линии цилиндров и конусов развертываются в прямые.
23. Доказать, что траектория точки, движущейся по поверхности, будет геодезической линией, даже если принимается во внимание трение скольжеиия или вообще пассивное сопротивление, прямо противоположное паправлению движения.
24. Показать, что тяжелая точка, движущаяся по совершенно гладкой гилиндрической поверхности с вертикальными образующими (и с любым нормальным сечением), описывает траекторию, превращающуюся при разнертывании цилинда на плоскость в параболу (см. п. 40, после проектирования уравнения (80) на вертикаль и на касательную нормального сечения).
25. Тяжелая точка движется по совершенно гладкой плоскости, равномерно вращающейся вокруг лежащей в ней вертикальной оси. Показать, что уравнение проекции траектории на горизонтальную плоскость есть $r=a e^{\theta}+$ $+b e^{-\theta}$ ( $r$ и $\theta$ – полярные координаты па горизонтальной плоскости с полюсом на оси, $a$ и $b$ – постоянныс).
26. Точка может двигаться по совершенно гладкой поверхности параболоида вращения с вертикальной осью и с вогнутостью, обращенной кверху. Она находится под действием собственного веса и брошена с горизонтальной скоростью $v_{0}$ из некоторой точки на параллели радиуса $r_{0}$.

Показать, что если в некоторый момент скорость точки $\boldsymbol{v}$ опять будет направлена горизонтально, то абсолютная величина этой скорости будет равна $r_{0} \sqrt{\frac{2 g}{p}}$, где $p$ есть параметр меридианной параболы. Как увидим, это абсолютное значение не зависит от начальной скорости $v_{0}$.
27. Пусть ось $O z$ будет вертикальна и направлена вверх. Начало координат есть положение равновесия для тяжелой точки $P$, удерживаемой на совершенно гладком параболоиде
\[
z=\frac{a x^{5}+b y^{9}}{2} .
\]

Из двух первых уравнений (80\”) п. 42 исключить множитель $\lambda$ посредством третьего уравнения и $z$ шосредством уравнения параболоида. Таким образом, получатся два уравнения движения точки $P$ в координатах $x$ и $y$.

На основании интеграла живых сил и теоремы Дирихле (отнесенной к параболоиду, т. е. к двум независимым переменным $x, y$ ) показать, что равновесие будет устойчивым, если коэффициенты $a$ и $b$ положительны. Малые колебания определяются уравнениямиј
\[
\ddot{x}=-a x, \quad \ddot{y}=-b y .
\]

Аналогичное рассуждение будет иметь силу для произвольной поверхности, для тех ее точек, где касательная плоскость будет горизонтальной, так как всякая поверхность в непосредственной близости от какой-нибудь из своих неособых точек может быть уподоблена параболоиду.
28. Пусть $\rho, \theta, z$ суть цилиндрические координаты, как в п. 46, и, кроме того, ось $O z$ вертикальна и направлена вверх. Если положим $u=1 / \rho$ и примем уравнение меридианной кривой на поверхности вращения вокруг оси $\mathrm{Oz}$ в форме $z=\varphi(u)$, то дифференциальное уравнение между $u$ и $\theta$, определяющее траекторию тяжелой точки, движущейся по поверхности без трения (или, если угодно, проекцию траектории на горизонтальную плоскость), представится в виде
\[
\left(\frac{d u}{d \theta}\right)^{2}\left\{1+u^{4} \varphi^{\prime 2}(u)\right\}+u^{2}+\frac{2 g}{c^{2}} \varphi(u)=\text { const, }
\]

где $c$ есть постоянная площадей.
29. На основании уравнений (87) п. 47, определяющих движение тяжелой точки по поверхности вращения с вертикальной осью и без трения, исследовать возможность движения вдоль параллелей и показать, что речь идет о равномерном движении по параллели с угловой скоростью $\sqrt{g \operatorname{ctg} \gamma}$, где обозначает широту (угол нормали к поверхности вдоль параллели с горизонтальной плоскостью).
30. Исследовать малые колебания сферического маятника, принимая во внимание сопротивление воздуха. Сопротивление предполагается вязким, потому что речь идет о медленном движении (гл. I, п. 21); сообразно этому лостаточно ввести в левые части уравнений ( $65^{\prime}$ ) п. 52 два члена вида $2 h \dot{x}$, $2 h \dot{y}$ ( $h$ – положительная постоянная).
Например, полагая $x=e^{-h t_{\ddagger}^{*}}, y=-e^{-h t_{\eta}}$, примем, что при достаточно малом $h$ (точнее, при $h^{\sharp}<g / l$ ) цвижение маятника (отождествляемое с его горизонтальной проекцией) можно рассматривать как эллиптическое, так же как при $h=0$, с той, однако, разницей, что эллипс стягивается по показательному закону при возрастании времени, оставаясь гомотетичным *) своему начальному положению. Действительная траектория будет иметь вид эллиптической спирали, которая обратится в логарифмическую спираль (т. I, гл. II, п. 37), если эллипс сведется к окружности.