12. Количество движения системы. Количество движения (или также импульсом) системы в любой момент называется векторная сумма
\[
\boldsymbol{Q}=\sum_{i=1}^{N} m_{i} \boldsymbol{v}_{i}
\]

количеств движения, которые имеют в рассматриваемый момент отдельные точки $P_{i}$ системы.

Если возьмем производную по времени от векторного равенства, определяющего положение центра тяжести $G$ системы относительно некоторой неподвижной точки $O$ (т. I, гл. X, п. 8)
\[
m \overrightarrow{O G}=\sum_{i=1}^{N} m_{i} \overrightarrow{O P}_{i},
\]

то, обозначая через $\boldsymbol{v}_{G}$ скорость точки $G$, получим
\[
m \boldsymbol{v}_{G}=\sum_{i=1}^{N} m_{i} \boldsymbol{v}_{i}
\]

или же в силу определения (23)
\[
\boldsymbol{Q}=m \boldsymbol{v}_{G} .
\]

Поэтому имеем теорему:
Количество движения какой угодно материальной системы в любой момент равно количеству движения центра тяжести систем в этот момент, если бы он был такой материальной точкой, в которой сосредоточена вся масса системы.
13. Момент количеств движения системы. Моментом количеств движения (или кинетическим моментом) относительно какой-нибудь точки $O$ какой угодно материальной системы $S$ в любое мгновение называется результирующий момент относительно $O$ всех количеств движения отдельных точек $P_{i}$ системы (приложенных в соответствующих точках), т. е. векторная величина
\[
\boldsymbol{K}=\sum_{i=1}^{N} \overrightarrow{O P}_{i} \times m_{i} \boldsymbol{v}_{i} .
\]

Кинетической парой системы иногда называется всякая пара с моментом $\boldsymbol{K}$ (ср. т. I, гл. I, п. 48 ).

Так как количество движения $\boldsymbol{Q}$ и момент количеств движения $\boldsymbol{K}$ суть не что иное, как результирующая и результирующий момент

относительно любой точки $O$ системы векторов $m_{i} \boldsymbol{v}_{i}$, каждый из которых приложен в соответствующей точке $P_{i}$, то момент $\boldsymbol{K}$ количеств движения относительно какой-нибудь другой точки $O^{\prime}$ определится равенством (т. I, гл. I, п. 33)
\[
\boldsymbol{K}^{\prime}=\boldsymbol{K}+\overrightarrow{\mathrm{O}^{\prime} O} \times \boldsymbol{Q} \text {. }
\]

К другому результату, который не только интересен сам по ссбе, но и будет использован в дальнейшем (гл. V, п. 10), мы придем, если за центр приведения моментов возьмем центр тяжести О системы.

Если введем скорости $\boldsymbol{\gamma}_{i}^{(r)}$ движения точек системы относительно $G$, то (согласно п. 7) будем имет’s
\[
\boldsymbol{v}_{i}=\boldsymbol{v}_{G}+\boldsymbol{v}_{i}^{(r)} \quad(i=1,2, \ldots, N) .
\]

Если теперь примем во внимание, что по самому определению центра тяжести
\[
\sum_{i=1}^{N} m_{i} \overrightarrow{G P}_{i}=0
\]

то, принимая за центр приведения центр тяжести, получим из формулы (25)
\[
K=\prod_{i=1}^{N} \bar{G} \vec{P}_{i} \times m_{i} \boldsymbol{v}_{i}^{(r)}
\]

Так как в правой части стоит результирующий момент относительно точки $G$ относительных количеств движения $m_{i} \boldsymbol{v}_{i}^{(r)}$ отдельных точек системы, то заключаем, что как бы система ни двигалась, момент (абсолютный) количеств движения относительно центра тяжести совпадает с аналогичным относительным моментом количеств движения по отношению к самому центру тяжести.
14. ПРОИЗВОДНАЯ ПО ВРЕМЕНИ От МОМЕНТА КОЛИЧЕСТВ ДВИЖЕНИЯ системы. Для последующего важно иметь явное выражение производной по времени от момента количеств движения $\boldsymbol{K}$. Если через $\boldsymbol{v}^{\prime}$ обозначить скорость точки $O$ и через $a_{i}$ – ускорение точки $P_{i}$, то из равенства (25) следует, что
\[
\begin{aligned}
d \mathrm{~K} & =\sum_{i=1}^{N} \overrightarrow{O P}_{i} \times m_{i} a_{i}-\sum_{i=1}^{N}\left(\boldsymbol{v}_{i}-\boldsymbol{v}^{\prime}\right) \times m_{i} \boldsymbol{v}_{i}== \\
& =\sum_{i=1}^{N} \overrightarrow{O P}_{i} \times m_{i} a_{i}+\sum_{i=1}^{N} m_{i} \boldsymbol{v}_{i} \times \boldsymbol{v}_{i}-\boldsymbol{v}^{\prime} \times \sum_{i=1}^{N} m_{i} \boldsymbol{v}_{i}
\end{aligned}
\]

Отсюда, замечая, что $\boldsymbol{v}_{i} \times \boldsymbol{v}_{i}$ тождественно равно нулю и принимая во внимание равенство (24), получим
\[
\frac{d K}{d t}=\sum_{i=1}^{N} \overrightarrow{O P}_{i} \times m_{i} a_{i}-\boldsymbol{v}^{i} \times \boldsymbol{Q} .
\]

Это и есть искомая формула.
Если центр приведения неподвижен ( $\boldsymbol{v}^{\prime}=0$ ), то формула (26) упрощается и принимает вид
\[
\frac{d K}{d \bar{t}}=\sum_{i=1}^{N} \overrightarrow{O P}_{i} \times m_{i} \boldsymbol{a}_{i} .
\]

Здесь особенно важно заметить, что формула (27) сохраняет свое значение даже и тогда, когда центр приведения $O$ (не будучи, вообще говоря, неподвижным) в любой момент совпадает с центром тяжести системы. Действительно, в этом случае член $\boldsymbol{v}^{\prime} \times \boldsymbol{Q}$, появляющийся в общей формуле (26), будет тождественно равен нулю, потому что скорость $\boldsymbol{v}^{\prime}$ центра приведения совпадает со скоростью $\boldsymbol{v}_{a}$ центра тяжести и вектор количества движения $\boldsymbol{Q}$ на основании формулы (24) коллинеарен с вектором $\boldsymbol{\eta}^{\prime}$. твл. Если движущаяся система $S$ представляет собой твердое тело и за центр приведения $O$ принимается точка, неизменно связанная с системой, то два вектора $\boldsymbol{Q}$ и $\boldsymbol{K}$ очень просто выражаются через характеристики $u, v, w, p, q, r$ состояния движения системы, относящиеся к каким-нибудь подвижным (неизменно связанным с телом) осям Oxуz. Точнее можно сказать, проекции векторов $\boldsymbol{Q}$ и $\boldsymbol{K} \boldsymbol{\text { н }}$ оси Охуz равны частным производным от живой силы $T$ твердого тела по переменным $u, v$, w и $p, q, r$ соответственно.
Действительно, возьмем равенство
\[
T=\frac{1}{2} \sum_{i=1}^{N} m_{i} v_{i}^{2}=\frac{1}{2} \sum_{i=1}^{N} m_{i}\left(\left.v_{i}^{2}\right|_{x}+v_{i_{y}}^{2}+\left.v_{i}^{2}\right|_{z}\right)
\]

и примем во внимание соотношения
\[
\left.\begin{array}{l}
\left.v_{i}\right|_{x}=u+q z_{i}-r y_{i}, \\
v_{i}=v+r x_{i}-p z_{i}, \\
v_{i}=w+p y_{i}-q x_{i},
\end{array}\right\}
\]

которые получаются путем проектирования на оси векторного равенства $
abla_{i}=
abla_{0}+\omega \times \overrightarrow{O P}_{i}$. Рассматривая теперь $T$ как функцию от $u, v, w, p, q, r$, составляющуюся при помощи выражений (28), возьмем от нее частную производную сначала по $u$. Так как согласно формулам (28) от $\boldsymbol{u}$ зависит только $v_{i}$ и $_{z}$ мы имеем
\[
\frac{\left.\partial v_{i}\right|_{x}}{\partial u}=1 \text {, }
\]

то получим тождество
\[
\frac{\partial T}{\partial a}=\left.\sum_{i=1}^{N} m_{i} v_{i}\right|_{x},
\]

правая часть которого есть не что иное, как проекция $Q_{x}$ вектора $Q$ на ось $x$. Поэтому, принимая во внимание результаты, которые получатся после круговой перестановки букв $x, y, z$ и $u, v$, $w$, будем иметь:
\[
Q_{x}=\frac{\partial T}{\partial t}, Q_{y}=\frac{\partial T}{\partial v}, Q_{z}=\frac{\partial T}{\partial w} .
\]

Далее, если возьмем производную от $T$ по $p$, то так как $v_{i} L_{x}$ не зависит, а $\left.v_{i}\right|_{y}$ и $v_{i} z_{z}$ зависят от $p$, будем иметь
\[
\frac{\partial v_{i}^{\prime} y_{y}}{\partial p}=-z_{i}, \quad \frac{\partial v_{H_{2}}}{\partial p}=y_{i} .
\]

Таким образом, приходим к тождеству
\[
\begin{aligned}
\frac{\partial T}{\partial p}=\sum_{i=1}^{N} m_{i}\left(-\left.z_{i} v_{i}\right|_{y}+\left.y_{i} v_{i}\right|_{\varepsilon}\right) & = \\
& =\sum_{i=1}^{N}\left(\left.y_{i} m_{i} v_{i}\right|_{z}-\left.z_{i} m_{i} v_{i}\right|_{y}\right),
\end{aligned}
\]

в котором правая часть есть проекция $K_{x}$ вектора $K$ на ось $x$; при помощи круговой перестановки букв $x, y, z$ и $p, q, r$ подучим
\[
K_{x}=\frac{\partial T}{\partial p}, \quad K_{y}=\frac{\partial T}{\partial q}, K_{z}=\frac{\partial T}{\partial r} .
\]

Если мы не добавим никакого частного предположения ни – движении твердого тела, ни о его материальной структуре, ни о выборе подвижных осей, то для $T$ необходимо принять общее выражение, даваемое равенствами (13) и (14) п. 9, и тогда для проекции векторов $\boldsymbol{Q}$ и $\boldsymbol{K}$ получатся следующие выражения:
\[
\left.\begin{array}{c}
Q_{x}=m\left(u+z_{0} q-y_{0} r\right), \\
Q_{y}=m\left(v+x_{0} r-z_{0} p\right), \\
Q_{z}=m\left(w+y_{0} p-x_{0} q\right),
\end{array}\right\}
\]

Заметим еще, что, применяя теорему Эйлера об однородных функциях к выражению живой силы $T$, рассматриваемому, как квадратичная форма от шести величин, характеризующих кинематическое состояние тела, и принимая во внимание уравнения (29), (30), мы получим для живой силы замечательное выражение
\[
T=\frac{1}{2} \boldsymbol{v}_{0} \cdot \boldsymbol{Q}+\frac{1}{2} \boldsymbol{\omega} \cdot \boldsymbol{K} .
\]

Если полюс $O$ совпадает с ценгром тяжести $\left(\boldsymbol{Q}=\boldsymbol{m} \boldsymbol{v}_{0}\right)$, то это выражение можно написать в виде
\[
T=\frac{1}{2}-m v_{G}^{2}+\frac{1}{2} \omega K .
\]
16. КАНОНИЧеСКИЕ ФОРмы Для НРОЕКЦИи векТОРОВ $\boldsymbol{Q}$ и $\boldsymbol{K}$. ТВЁРДОЕ ТЕЛО С ЗАКРЕПЛЕННОЙ ТОЧКОЙ ИЛИ ОТНЕСЕННОЕ $К$ СИСТЕМЕ ОСЕЙ С НАчАлом в центре тяжести. Если за центр $O$ приведения моментов (и начала подвижных осей) возьмем центр тяжести твердого тела, так что одновременно исчезнут $x_{0}, y_{0}, z_{0}$, то формулы (29) приведутся к каноническому виду
\[
Q_{x}=m u, \quad Q_{y}=m v, Q=m v
\]

и будут выражать уже известное тождество вектора $\boldsymbol{Q}$ с количеством движения, которое имел бы центр тяжести, если бы в нем была сосредоточена вся масса $m$ твердого тела (п. 12).

Что же касается проекций (30) вектора $\boldsymbol{K}$, то очевидно, что в каждой из них последние члены сведутся к нулю как в том случае, когда центр приведения $O$ совпадает с центром тяжести ( $x_{0}=y_{0}=z_{0}=0$ ), так и в том случае, когда точка $O$ тела закреплена в пространстве ( $u=v=w=0$ ). Как в том, так и в другом случае равенства ( $30^{\prime}$ ) принимают вид
\[
\left.\begin{array}{l}
K_{x}=A p-C^{\prime} q-B^{\prime} r \\
K_{y}=-C^{\prime} p+B q-A^{\prime} r \\
K_{z}=-B^{\prime} p-A^{\prime} q+C r ;
\end{array}\right\}
\]

достаточно принять за подвижные оси три главные оси инерции относительно точки $O$ (центр тяжести или закрепленная точка, неизменно связанная с телом), чтобы привести, наконец, проекции момента количеств движения к канонической форме:
\[
K_{x}=A p, \quad K_{y}=B q, \quad K_{z}=C r,
\]

где $A, B, C$ обозначают главные моменты инерции.
формулы (30\”) и (29\”) будуг справедливы всякий раз, когда центр приведения совпадает с центром тяжести, но не в том случае, когда точка $O$ будет закреплена в пространстве, так как

тогда наряду с формулами (30\”t) для составляющих $\boldsymbol{Q}$ получатся выражения
\[
Q_{x}=z_{0} q-x_{0} r, Q_{y}=x_{0} r-z_{0} p, Q_{z}=y_{0 p}-x_{0} q .
\]

Важно отметить, что в этом последнем предположении (центр приведения закреплен) живая сила может быть представлена в виде
\[
T=\frac{1}{2} \boldsymbol{\omega} \cdot \boldsymbol{K}
\]

тогда как в том случае, когда центр приведения совпадает с центром тяжести, это выражение дасг живую силу $T^{\prime \prime}$ твердого тела, движущегося относительно своего центра тяжести.
17. ТВЕРДОЕ ТЕЛО ГИРОСКОПИЧЕСКОЙ СТРУКТУРЫ ОТНОСИТЕЛЬНО какой-либо его точки и гироскопы. В динамике твердых тел мы часто будем иметь случай обращаться к таким телам, для которых существует некоторая точка $O$, относительно которой эллипсоид инерции будет эллипсоидом вращения. Всякое такое твердое тело мы будем называть телом с гироскопической структурой относительно точки $O$, а ось симметрии соответствующего эллипсоида инерции будет называться гироскопической осью.

Если такое твердое тело отнесем к системе Oxyz, ось $z$ которой совпадает с гироскопической осью, и обозначим, как обычно, через $A, B, C$ (главные) моменты инерции твердого тела относительно осей $x, y, z$, то характеристическое условие гироскопической структуры определится равенством
\[
A=B ;
\]

отсюда, если введем моменты инерции относительно трех (главных) плоскостей:
\[
y z, z x, x y,
\]
т. е. суммы
\[
s_{1}=\sum_{i=1}^{N} m_{i} x_{i}^{2}, \quad s_{2}=\sum_{i=1}^{N} m_{i} y_{i}^{2}, \quad s_{3}=\sum_{i=1}^{N} m_{i} z_{i}^{2},
\]

следует, что
\[
s_{1}=s_{2}=\frac{1}{2} C, \quad s_{3}=A-\frac{1}{2} C .
\]

Предположим теперь, в частности, что точка $O$, относительно которой твердое тело имеет гироскопическую структуру, совпадает с его центром тяжести. Если на гироскопической оси $z$ возьмем какую-нибудь другую точку $O_{1}$, для которой будет $O O_{1}=z_{0}$, и рассмотрим систему $O_{1} x_{1} y_{1} z$, в которой оси $x_{1}, y_{1}$ параллельны и одинаково направлены с осями $x, y$, то моменты инерции $A_{1}, B_{1}$,

$C_{1}$ твердого тела относительно новых осей в силу теоремы Гюйгенса (т. I, гл. Х, п. 21) определятся равенствами
\[
A_{1}=A+m z_{0}^{2}, \quad B_{1}=B+m z_{0}^{2}, \quad C_{1}=C,
\]

где $m$ обозначает полную массу тела, так что мы будем иметь
\[
A_{1}=B_{1} \text {. }
\]

С другой стороны, если мы примем во внимание, что точка $O$ есть центр тяжести, и, следовательно, статические моменты
\[
\sum_{i=1}^{N} m_{i} x_{i}, \quad \sum_{i=1}^{N} m_{i} y_{i}, \quad \sum_{i=1}^{N} m_{i} z_{i}
\]

твердого тела относительно плоскостей $y z, z x, x y$ равны нулю, то немедленно убедимся в том, что будут также равны нулю вместе с произведениями инерции $A^{\prime}, B^{\prime}, C^{\prime}$ относительно осей $x, y, z$ аналогичные произведения $A_{1}^{\prime}, B_{1}^{\prime}, C_{1}^{\prime *}$ ) относительно осей $x_{1}, y_{1}$ $z_{1}$. Таким образом, мы видим, что $x_{1}, y_{1}, z$ суть главные оси инерции твердого тела, которое на основании равенства (31′) имеет поэтому гироскопическую структуру не только относительно центра тяжести, но также и относительно всякой другой точки $O_{1}$ его оси.

Иначе говоря, если центральный эллипсоид инерции есть эллипсоид вращения, то эллипсоиды инерции относительно всякой другой точки на его оси симметрии будут также эллипсоидами вращения.

И наоборот, достаточно, чтобы твердое тело имело гироскопическую структуру относительно какой-нибудь точки и чтобы ось симметрии соответствующего эллипсоида инерции проходила через центр тяжести, для того чтобы и центральный эллипсоид был эллипсоидом вращения.

Всякое тело, центральный эллипсоид инерции которого есть эллипсоид вращения, мы будем называть гироскопом.

Гироскопом, конечно, будет однородное тело вращения или вообще твердое тело, представляющее полную симметрию относительно некоторой оси, не только геометрическую, но и материальную. Ради краткости мы будем говорить в этих случаях, что речь идет о „гироскопах в узком смысле\”.

Вернемся к предположению, что твердое тело имеет гироскопическую структуру относительно одной своей точки $O$. Если эта

точка неподвижна (или совпадает с центром тяжести), то уравнения (30′) на основании условия $A=B$ приведутся к следующим:
\[
K_{x}=A p, K_{y}=A q, K_{z}=C r,
\]

так что если обозначим через $\boldsymbol{e}$ и $\boldsymbol{H}$ экваториальные составляющие векторов $\boldsymbol{\omega}$ и $\boldsymbol{K}$, т. е. их составляющие в плоскости, перпендикулярной к гироскопической оси, то эти формулы можно будет заменить двумя равенствами (первое из которых векторное, второескалярное):
\[
\boldsymbol{H}=\boldsymbol{A} \boldsymbol{e}, \quad \boldsymbol{K}_{z}=\mathrm{Cr} .
\]

Далее, если обозначим через $\boldsymbol{k}$ единичный вектор гироскопической оси $z$ (направленной в сторону, которая выбирается произвольно при выборе осей $O x y z$ ), то для векторов $\boldsymbol{\omega}$ и $\boldsymbol{K}$ будем иметь выражения
\[
\omega=e+r k, \quad K=A e+C r k,
\]

а отсюда, после исключения экваториальной составляющей $e$ вектора $\boldsymbol{\omega}$, получатся два эквивалентных друг другу равенства, каждое из которых выражает один из двух векторов $\boldsymbol{\omega}$ и $\boldsymbol{K}$ в функции от другого (и единичного вектора $\boldsymbol{k}$ гироскопической оси):
\[
\omega=\frac{1}{A} K+\frac{A-C}{A} r \boldsymbol{k}, K=A \omega+(C-A) r \boldsymbol{k} .
\]

Полученными выше формулами для какого угодно твердого тела гироскопической структуры мы будем неоднократно пользоваться в динамике твердого тела (гл. VII, VIII, IX). Важно отметить, что на основании того обстоятельства, что всякая пара взаимно перпендикулярных прямых, расположенных в экваториальной плоскости, вместе с гироскопической осью составляет тройку главных осей инерции, все эти формулы останутся в силе даже тогда, когда вместо осей $O x y z$, неизменно связанных с твердым телом, будут выбраны оси $O x_{1} y_{1} z$, вращающиеся по какому-нибудь закону вокруг гироскопической оси $z$ (стереокинетическая система отсчета для тела с гироскопической структурой).
18. Геометрическое соответствие между векторами $\boldsymbol{\omega}$ и $\boldsymbol{K}$. Обращаясь теперь к какому угодно твердому телу, отнесенному к одной из троек главных осей инерции Oxyz, возьмем снова скалярное произведение
\[
\frac{1}{2} \omega \cdot K=\frac{1}{2}\left(A p^{2}+B q^{2}+C r^{2}\right),
\]

которое, как мы знаем, дает живую силу твердого тела в его абсолютном движении или в его движении относительно центра тяжести, смотря по тому, будет ли центр $O$ приведения моментов количеств движения закрепленной точкой (неизменно связанной с

твердым телом), или центром тяжести твердого тела (п. 16). Обозначая эту живую силу в обоих случаях через $T$ (в п. 9 во втором случае мы ее обозначали через $T^{\prime \prime}$ ) и принимая во внимание, что она по отношению к величинам $p, q, r$ является определенной положительной формой, заключаем, что (кроме возможных моментов, когда исчезает $\omega$ и, следовательно, в силу формул ( $30^{\prime \prime}$ ), исчезает также и $\boldsymbol{K}$ ) угол между двумя векторами $\boldsymbol{\text { и }} \boldsymbol{K}$ будет всегда острым. Но наряду с этим чисто качественным результатом легко можно найти геометрическое построение, позволяющее определить направление одного из двух векторов и $\boldsymbol{K}$, когда известно направление другого.

С этой целью рассмотрим эллипсоид инерции твердого тела относительно точки $O$ и заметим, что в соответствующем уравнении (отнесенном к главным осям инерции)
\[
A x^{2}+B y^{2}+C z^{2}=1,
\]

левая часть даст удвоенную живую силу $2 T$, если вместо величин $x, y, z$ подставить величины $p, q, r$.

Если величины $p, q, r$ рассматривать как однородные координаты (пропорциональные направляющим косинусам) прямой, параллельной вектору $\boldsymbol{\omega}$, и принять во внимание полярные свойства эллипсоида инерции, то из соотношений (30)
\[
K_{x}=\frac{\partial T}{\partial p}, \quad K_{y}=\frac{\partial T}{\partial q}, \quad K_{z}=\frac{\partial T}{\partial r}
\]

будет видно, что проекции вектора $K$ на оси $x, y, z$ являются коэффициентами при $x, y, z$ в уравнении диаметральной плоскости, сопряженной с направлением $\omega$, или, другими словами, угловыми коэффициентами (пропорциональными направляющим косинусам) нормали к этой плоскости.

Поэтому можно сказать, что кинетический момент $\boldsymbol{K}$ всегда перпендикулярен $к$ диаметральной плоскости эллипсоида инерции, сопряженной с направлением угловой скорости ().

Если вспомним, что касательная плоскость к эллипсоиду (так же как и к какой угодно поверхности второго порядка) в любой точке сопряжена с диаметром, проходящим через точку касания, то можно сказать также, что момент $\boldsymbol{K}$ перпендикулярен $\boldsymbol{к}$ двум касательным плоскостям (друг другу параллельным) к эллипсоиду инерции в двух точках, в которых эллипсоид пересекается с диаметром, параллельным вектору ш.

Отсюда, в частности, следует, что векторы $\boldsymbol{K}$ и $\boldsymbol{\omega}$ будут параллельны тогда и только тогда, когда оба они имеют направление одной из главных осей или, в другом выражении, когда мгновенное вращение с угловой скоростью $\omega$ происходит вокруг одной из главных осей инерции.

Установленное выше геометрическое свойство и качественная оценка, произведенная вначале, позволяют всегда определить направление и сторону какого-нибудь одного из двух векторов $\boldsymbol{K}$ и $\boldsymbol{\omega}$, если известны направление и сторона другого. Для того чтобы иметь линию действия (ориентированную) вектора $\boldsymbol{K}$, достаточно рассмотреть касательную плоскость к эллипсоиду инерции в какой-нибудь одной из двух точек, в которых он пересекается линией действия вектора $\omega$ (приложенного в точке $O$ ) и провести из точки $O$ перпендикуляр к этой плоскости в ту сторону, которая с $\omega$ образует острый угол. И обратно, мы получим линию действия вектора $\boldsymbol{\omega}$, если возьмем какую-нибудь одну из касательных плоскостей к эллипсоиду, перпендикулярных к вектору $\boldsymbol{K}$, и направим прямую, соединяющую $O$ с точкой касания в ту сторону, которая составляет с $\boldsymbol{K}$ острый угол.

Остается показать, что когда известна величина $\omega$ угловой скорости, можно вычислить величину $K$ кинетического момента и обратно.

Если задана угловая скорость $\boldsymbol{\omega}$, а следовательно, также и живая сила $T$, и требуется вычислить $K$, то достаточно обратиться к формуле (32), чтобы получить
\[
K \omega \cos x=2 T,
\]

где острый угол $\alpha$ считается известным на основании изложенных выше геометрических соображений.

Далее, если, предполагая известным $\boldsymbol{K}$, мы желаем найти величину а угловой скорости, то можно прежде всего определить путем геометрического построения (ориентированную) линию действия вектора $\boldsymbol{\omega}$ и, следовательно, величину а (острого) угла между векторами $\boldsymbol{\omega}$ и $\boldsymbol{K}$. Если, обозначая через $Q$ точку, в которой эта линия действия в своем положительном направлении пересекает эллипсоид инерции, мы положим $p=O Q$ и примем во внимание, что направляющие косинусы вектора $\boldsymbol{\omega}$ определяются отношениями $\frac{p}{\omega}, \frac{q}{\omega}, \frac{r}{\omega}$, то для координат точки $Q$ получим выражения
\[
\rho \frac{p}{\omega}, p \frac{q}{\omega}, \rho \frac{r}{\omega},
\]

а отсюда, учитывая, что эти величины удовлетворяют уравнению (33) эллипсоида инерции, придем к соотношению
\[
\frac{\omega^{2}}{\rho^{2}}=2 T \text {. }
\]

Исключив из равенств (32′) и (34) живую силу $T$, получим искомое выражение для $\omega$ :
\[
\omega=K p^{2} \cos \alpha .
\]

Здесь, наконец, имея в виду будущие приложения, полезно также вычислить расстояние $\delta$ от центра $O$ эллипсоида до его касательной плоскости в точке $Q$. Очевидно, имеем
\[
\delta=\rho \cos \alpha ;
\]

исключая $p$ посредством равенства (34) и принимая во внимание равенство (32′), получим
\[
\delta=\frac{\sqrt{2 T}}{K} .
\]
19. Векторная гомография инерции. Соотве́тствие между двумя векторами $\boldsymbol{\omega}$ и $\boldsymbol{K}$, которое мы голько что изучали с геометрической точки зрения и которое пс отношению к любым подвижным осям аналитически представляется равенствами ( $30^{\prime \prime}$ ), а по отношению к главным осям инерции относительно точки $O$-равенствами $\left(30^{\prime \prime \prime}\right)$, является первым примером тех взаимно однозначных соответствий между (переменными) векторами, которые по отношению к какой-нибудь системе отсчета устанавливаются путем определения составляющих одного из двух векторов в виде линейных функций от составляющих другого. Это так называемые векторные гомографии (или афинные преобразования); это название дал им Бурали-Форти, а Марколонго в последние годы развил их теорию ${ }^{1}$ ).

Векторные гомографии мы рассмотрим несколько подробнее в III томе, но уже теперь для удобства изложения условимся называть рассматриваемое здесь соответствие между векторами $\boldsymbol{\omega}$ и $\boldsymbol{K}$ (векторной) гомографией инериии твердого тела относительно его точки $O$, выбранной за центр приведения. Векторную гомографию инерции, если рассматривать ее как однозначную операцию, которая, будучи приложена к вектору $\boldsymbol{\omega}$, даст в результате вектор $\boldsymbol{K}$, удобно выразить символом $\sigma$, полагая
\[
K=\sigma(\omega) .
\]

Обратная операция, которая, будучи приложена к вектору $\boldsymbol{K}$, дает вектор $\boldsymbol{\omega}$, так же как и операция $\sigma$, однозначна, как мы видели в предыдущем пункте, и может быть выражена символом $\sigma^{-1}$, именно
\[
\omega=\sigma^{-1}(K) .
\]

Оба предыдущих символических уравнения выражают в краткой форме, с одной стороны, уравнения ( $30^{\prime \prime}$ ), относящиеся к любым подвижным осям, связанным с твердым телом, и уравнения, получающиеся в результате их решения, а с другой стороны, уравнения ( $30^{\prime \prime \prime}$ ), относящиеся к главным осям инерции в точке $O$, и соответственно уравнения, представляющие собой решения уравнений ( $30^{\prime \prime \prime}$ ).

Уравнения ( $30^{\prime \prime \prime}$ ) вместе с их решениями
\[
p=\frac{K_{x}}{A}, q=\frac{K_{y}}{B}, r=\frac{K_{z}}{C}
\]

называются каноническими уравнениями гомографии; направления главных осей инерции, к которым относятся эти уравнения, называются иногда главными направлениями гомографии.
20. ТвердоЕ твло, имЕющЕе неподвижную ось. Если твердое тело $S$ вращается вокруг неподвижной прямой $a$, то удобно принять эту прямую, ориентированную как угодно, за одну из подвижных осей отсчета, например за ось $x$, и взять в одной из ее точек центр приведения $O$ моментов; эту точку можно затем принять за начало подвижных осей. Благодаря этому обратятся в нуль все величины, характеризующие кинематическое состояние тела, за исключением $p(u=v=w=q=r=0, \quad p
eq 0$ ), а так как при неподвижном центре приведения $O$ уравнения ( $\left.29^{\prime \prime \prime}\right)$, (30\”) п. 16 сохраняют свое значение, то для проекций количества движения $\boldsymbol{Q}$ и момента количеств движения $K$ будем иметь выражения:
\[
\begin{array}{lll}
Q_{x}=0, & Q_{y}=-z_{0} p, & Q_{z}=y_{0} p ; \\
K_{x}=A p, & K_{y}=-C^{\prime} p, & K_{z}=-B^{\prime} p .
\end{array}
\]

C точки зрения основной задачи динамики (определить движение, когда заданы активные силы) наиболее важным из этих шести элементов (как это мы увидим в гл. VII) является момент $K_{a}=K_{x}$ количеств движения относительно оси вращения. Обозначая, как обычно, через ш абсолютную величину угловой скорости, имеем $p= \pm \omega$, причем знак выбирается в зависимости от того, будет ли (в рассматриваемый момент) произвольно выбранное за положительное направление оси совпадать или не совпадать с направлением угловой скорости *).

Первое из уравнений (38) показывает, таким образом, что момент ко.ичеств движения относительно оси вращения выражается произведением $\pm \omega н а A$ (момент инерции тела относительно той же оси), где нужно взять знак плюс, если ось вращения ориентирована таким образом, что в рассматриваемый момент вращение твердого тела по отношению к ней оказывается правым.

Не лишним будет показать, как к этому выражению $K_{a}$ можно прийти элементарным путем.

Действительно, заметим, что если речь идет о вращательном движении вокруг оси $a$, то скорость точки $P_{i}$, расстояние которой от оси есть $\delta_{i}$, имеет величину $\omega \delta_{i}$ и направлена перпендикулярно к плоскости $P_{i} a$; так как $\delta_{i}$ есть кратчайшее расстояние линии

действия скорости от оси, то мсмент этой скорости относительно оси будет равен $\omega \delta_{i}^{2}$, причем не только по абсолютной величине, но и по знаку, если ось ориентирована в ту сторону, с какой вращение в рассматриваемый момент оказывается правым. В силу этого момент относительно оси $a$ количества движения материальной точки $P_{i}$ при указанном выборе направления оси равен $m_{i} \omega \delta_{i}^{2}$; сум . мируя по всем точкам системы, найдем снова формулу
\[
K_{a}=\omega \sum_{i=1}^{N} m_{i} \delta_{i}^{2}
\]

которая совпадает с ранее полученной, так как $\sum_{i=1}^{N} m_{i} \delta_{i}^{2}$ есть момент инерции твердого тела относитєльно оси вращения. Если направление этой оси меняется на обратное, то в правой части, естественно, надо будет изменить знак.

Если через $\theta$ обозначить угол, который полуплоскость, выходящая из $a$ и неизменно связанная с телом, образует с аналогичной полуплоскостью, неподвижной в пространстве (этот угол будем считать положительным при правом вращении вокруг a), то можно будет написать
\[
K_{a}=A \dot{\theta},
\]

так как, согласно определению угловой скорости $\omega$, $\dot{\theta}$ есть ее про. екция на ось $a$ (т. I, гл. III, п. 8).