24. В предыдущем параграфе (так же как и при изучении движения тяжелого тела, рассматривавшегося с кинематической точки зрения в $\mathrm{\$}6$ гл. II т. I) совершенно не принималось во внимание движение Земли, и основное уравнение динамики относилось к осям, связанным с Землей. Постановка задачи, таким образом, была приближенная: смысл и пределы законности такого приближения были выяснены в общих рассуждениях, развитых в § 7 гл. VII т. 1.

Чтобы достигнуть дальнейшего приближения, необходимо снова рассмотреть задачу, учитывая при этом и вращение Земли. Как раз этим мы и намерены здесь заняться, рассматривая, кроме того, тяжелое тело как движущееся в пустоте, т. е. оставляя в стороне сопротивление воздуха.

В следующем параграфе мы увидим, в каких пределах оказывается допустимой такая приближенная постановка задачи.

Отвлечемся поэтому от сопротивления воздуха и рассмотрим движение относительно Земли тяжелого тела (точнее, материальной точки) $P$, брошенного как угодно и предоставленного самому себе вблизи от поверхности Земли. При принятом выше предположении сила, действующая на $P$, сводится к притяжению Земли, которое мы обозначим через $\mathit{G}$, предполагая, что за единицу массы принята масса точки $P$, и пользуясь обозначениями § 7 гл. XVI т. 1. При этом, хотя это нам и не необходимо, полезно вспомнить, что притяжение $\mathit{G}$ направлено всегда к центру $O$ Земли и имеет (для точки $P$ с единичной массой) величину $\frac{fM}{r^2}$, где $M$ обозначает

массу Земли, $r$ — расстояние $OP$ и $f$ — известную постоянную притяжения. При этом предполагается, что Земля представляет собой сферу, состоящую из однородных концентрических слоев.

Относительно абсолютной (или связанной с неподвижными звёздами) системы отсчета ускорение $a$ точки $P$ определяется векторным равенством
$$a=G,$$

но здесь нас интересует относительное движение точки $P$ по отношению к Земле, или, точнее, относительное ускорение ее ${\mathit{a}}_r$. Так как оно связано с ускорением $a$ известным соотношением Кориолиса (т. I, гл. IV, п. 3)
$$a=a_r+a_{\tau }+2a_c,$$
сложное центробежное ускорение \»), то достаточно на основании этого соотношения исключить $a$ у. равенства (44) для того, чтобы получить векторное уравнение нашей задачи в виде
$${\mathit{a}}_r=\mathit{G}-{\mathit{a}}_{\tau }-2{\mathit{a}}_c.$$

В этом динамическом уравнении, относящемся к точке $P$ с единичной массой, два члена — ${\mathit{a}}_{\tau }$ и — $2{\mathit{a}}_c$, входящие в правую часть вместе с притяжением Земли $\mathit{G}$, надо истолковывать как две (фиктивные) силы, отнесенные, как и $\mathit{G}$, к единичной массе. В силе — ${\mathit{a}}_{\tau }$ мы узнаем ту силу $X$, которую в гл. XVI т. I мы назвали (единичной) силой инерции переносного движения Земли. Аналогично сила — $2{\mathit{a}}_c$ называется сложной центробежной силой, тоже отнесенной к единичной массе.

Возвращаясь еще раз к тому, что говорилось в § 7 гл. XVIт. I, вспомним, что $\mathit{G}-{\mathit{a}}_{\tau }=\mathit{G}+\mathit{\chi }$ есть не что иное, ка́к вес тяжелого тела $P$, т. е. сила $g$, которую статически можно определить как прямо противоположную той силе, которую нужно было бы приложить к телу, чтобы удержать его от падения. Кроме того, обратим внимание на то, что из двух движений, которые совершает Земля, т. е. равномерного суточного вращения и переносного движения годичного обращения, второе, при достаточно малых промежутках времени по сравнению с годичным периодом, можно рассматривать как равномерное и прямолинейное. Поэтому сила инерции $\mathrm{X}=-{\mathit{\alpha }}_{\tau }$ не увеличится заметно от этого последнего движения и сведется к центробежной силе, происходящей от суточного движения, угловая скорость которого $\omega$ направлена по полярной оси ПП’ Земли с юга на север (так как

Земля вращается с запада на восток) и имеет величину (т. I, гл. VII, п. 19).
$$\omega =\frac{2\pi }{83164}\frac{1}{ce\kappa },$$

если время измеряется в единицах среднего солнечного времени.
Отметим, наконец, что, обозначая через ${\mathit{g}}_r$ относительную скорость точки $P$, будем, как известно, иметь
$$a_c=\omega \times {\mathit{v}}_r.$$

Таким образом, векторному уравнению (45) движения точки $P$ относительно Земли можно придать окончательно вид
$$a_r=g-2\omega \times {\mathit{v}}_r.$$
25. Чтобы продолжить наше исследование, надо прибегнуть прежде всего к дальнейшей схематизации. Сила тяжести
$$\mathit{g}=\mathit{G}+\mathit{\chi }$$

на самом деле меняется по величине и направлению от точки к точке; но в радиусе нескольких километров или, лучше сказать, в том ограниченном пространстве, в котором производятся наши наблюдения, вполне допустимо, как мы это знаем (т. I, гл. II, п. 27 и гл. XVI, пп. 39, 40), считать силу тяжести постоянной как по величине, так и по направлению.

Теперь, имея в виду приближенное интегрирование уравнения (45′), необходимо уточнить, какими членами, зависящими оr $\omega$, можно пренебречь по сравнению с $g$ и какими пренебречь нельзя. Хотя величина $\omega$ сама по себе мала, однако нельзя пренебречь по сравнению с $g$ членами, имеющими порядок величины ${\omega }^{2}R/g$, где $R$ — радиус Земли (это отношение равно отношению переносного ускорения у поверхности Земли к $g$ ). То же самое можно сказать и о членах вида $\omega V/g$, где через $V$ обозначен максимум относительной скорости, достигаемый тяжелым телом в поле наблюдения, и, наконец, обозначая через $\delta$ максимальный размер поля наблюдения, о членах порядка $\frac{\delta }{R}$. Таким образом, количества, которые окажутся того же порядка, что и одно из трех отвлеченных чисел
$$\frac{{\omega }^{2}R}{g},\frac{\omega V}{g},\frac{\hat{\sigma }}{R},$$

мы будем рассматривать, как величины первого порядка, и будем пренебрегать их квадратными или попарными произведениями. Так, например, мы будем пренебрегать членом типа $\frac{{\omega }^2}{g}$, который может быть написан в виде $\frac{{\omega }^{2}R}{g}\frac{\delta }{R}$ и, следовательно, представляет собой член второго порядка. В частности, по сравнению с $g$ можно пренебрегать членами ${\omega }^{2}x,{\omega }^{2}y,{\omega }^{2}z$, где

$x,y,z$ обозначают координаты любой точки поля наблюдения относительно какой-нибудь системы осей, начало которой принадлежит этому полю.

Заметим, наконец, что в пределах продолжительности изучаемого явления и $\omega t$ можно рассматривать как величину (отвлеченное число) первого порядка, так что членами типа ${\omega }^2{t}^2$ можно пренебрегать.
26. Предположим теперь, что движение происходит в северном полушарии, и за систему координат, связанную с Землей, примем систему, которая получится, если:
a) начало возьмем в точке $O$, неизменно связанной с Землей, вблизи того места, где происходит движение;
б) ось $z$ направим по линии действия силы тяжести в точке $O$ (вертикаль места) вниз;
в) ось $x$ направим в плоскости меридиана точки $O$ к северу.
Ось $y$, которая тем самым определяется однозначно, будет перпендикулярна к плоскости меридиана точки $O$ и направлена к востоку.

При проектировании векторного уравнения (45′) на оси координат заметим, что относительно только что выбранных осей вектор $\mathit{g}$, который теперь мы будем рассматривать как постоянный, будет иметь составляющие
$$0,0,g\text{. }$$

Если $\mathit{\gamma }$ есть острый угол, образованный вектором $\mathit{g}$ с экваториальной плоскостью (географическая широта), то составляющие вектора $\omega$, направленного по ПП’ от П’ к II, определятся равенствами
$$p=\omega \cos \gamma ,q=0,r=-\omega \sin \gamma .$$

Поэтому из уравнения (45′) получим:
$$\begin{array}{l}\ddot{x}=-2\dot{y}\omega \sin \gamma ,\\ \ddot{y}=2\omega (\dot{x}\sin \gamma +\dot{z}\cos \gamma ),\\ \ddot{z}=g-2\dot{y}\omega \cos \gamma .\end{array}\}$$

Если в этих равенствах пренебречь сложной центробежной силой $-2\omega \times {\mathit{u}}_r$, то мы опять придем, что вполне естественно, к уравнениям движения тяжелого тела в пустоте, составленным без учета вращения Земли. Эти уравнения мы изучали в кинематике ( $\mathrm{\S }6$, гл. II, т. I). Перейдем теперь к интегрированию уравнений ( ${45}^{\prime \prime })$, придерживаясь порядка приближения, установленного в предыдущем пункте. Если для определенности предположить, что при $t=0$ тяжелое тело находится в начале $O$ и имеет скорость ${\mathit{\vartheta }}_0$ с компонентами ${\dot{x}}_0,{\dot{y}}_6,{\dot{z}}_0$, то, интегрируя второе из уравнений (45\»), найдем прежде всего
$$\dot{y}={\dot{y}}_{\theta }+2\omega (x\sin \gamma +z\cos \gamma ),$$

откуда, подставляя $\dot{y}$ в остальные два и пренебрегая по сравнению с $g$ членами ${\omega }^{2}x,{\omega }^{2}y,{\omega }^{2}z$, получим два уравнения:
$$\ddot{x}=-2\omega {\dot{y}}_0\sin \gamma ,\ddot{z}=g-2\omega {\dot{y}}_0\cos \gamma .$$

Интегрируя их и принимая во внимание начальные условия, найдем
$$\begin{array}{c}x=-\omega {\dot{y}}_0\sin \gamma \cdot t^2+{\dot{x}}_{0}t,\\ z=\frac{1}{2}(g-2\omega {\dot{y}}_0\cos \gamma )t^2+{\dot{z}}_{0}t.\end{array}$$

Если внесем эти выражения $x,z$ в уравнение (48), отбросим члены с ${\omega }^2{t}^2$ и проинтегрируем его, то придем к уравнению
$$y={\dot{y}}_{0}t+\omega ({\dot{x}}_0\sin \gamma +{\dot{z}}_0\cos \gamma )t^2+\frac{1}{3}\omega g\cos \gamma \cdot t^3,$$

которое вместе с уравнениями (49) даст уравнения движения тяжелого тела $P$ относительно Земли.

Если, в частности, предполагается, что начальная скорость ${\mathit{v}}_0$ равна нулю, т. е. что тяжелое тело предоставлено самому себе в положении $O$, то уравнения движения будут
$$x=0,y=\frac{1}{3}\omega g\cos \gamma t^3,z=\frac{1}{2}g{t}^2.$$

Движение, следовательно, будет происходить в плоскости, проходящей через местную вертикаль и нормальной к меридиану, а траектория будет полукубической параболой, как это следует из ее уравнения
$$y^2=\frac{8}{9}\frac{{\omega }^2{\cos }^2\gamma }{g}{z}^3,$$

которое получается исключением $t$ из второго и третьего уравнений (51).

Ордината $y$, определяемая вторым из этих уравнений, при $t>0$ будет всегда положительной и очень малой, продолжительность движения $t$ будет достаточно мала, как это обыкновенно имеет место при падении тяжелых тел. Так как ось $y$ направлена на восток, то мы заключаем, что свободно падающее без начальной скорости тяжелое тело не движется по вертикали места, а слегка отклоняется от вертикали $x$ востоку. Чтобы дать представление о порядке величины такого отклонения, заметим, что его величина за секунду времени, т. е. $\frac{\omega g\cos \gamma }{3}$, для Рима приблизительно равна $0,18\mathit{\mu }\ast$ ).

Это отклонение падающих тел к востоку, которое теоретически было предсказано еще Ньютоном, экспериментально было подтверждено Тадини (1795) и более надежным способом Райхом (1831). Оно служит одним из доказательств суточного вращения Земли. О другом более наглядном доказательстве мы будем говорить в § 8 .

27. Для тяжелого тела, предоставленного самому себе без начальной скорости в положении $O$, первое из уравнений (51) было дано в виде $x=0$; но это, разумеется, справедливо лишь для порядка приближения, принятого раньше. Если же приближенное интегрирование уравнений ( ${45}^{\prime \prime }$ ) продолжить дальше, учитывая также и члены второго порядка в смысле, установленном в п. 25, то мы найдем для падающего тела, помимо отклонения к востоку, другое значительно менее заметное отклонение к югу.

Чтобы показать кратчайшим путем, как это получается, мы прямо предположим начальную скорость равной нулю ( ${\dot{x}}_0={\dot{y}}_0=$ $={\dot{z}}_0=0$ ) и ограничимся вычислением с указанной точностью координаты $x$.

Прежде всего второе из уравнений ( ${45}^{\prime \prime }$ ) при точном интегрировании, как и в предыдущем пункте, дает равенство (48), в котором здесь надо положить ${\dot{y}}_0=0$, так что мы будем иметь
$$\dot{y}=2\omega (x\sin \gamma +z\cos \gamma ).$$

С другой стороны, выражения (51), к которым мы пришли в предыдущем пункте, пренебрегая членами второго порядка в смысле п. 25 , дают для $x$ и $z$ в предположении нулевой начальной скорости
$$x=0,y=\frac{g{t}^2}{2}.$$

Это означает, что неизвестные пока более точные выражения дия $x,z$ будут вида
$$x=\delta (2),z=\frac{g{t}^2}{2}(1+(2)),$$

где $\delta$ обозначает длину, не превосходящую максимального измерения поля наблюдения, а символ (2) служит для общего обозначения отвлеченного числа по меньшей мере второго порядка, которое, естественно, не будет одним и тем же в обеих формулах. Внося эти значения $x$ и $z$ в уравнение (48′), умноженное на $\omega$, и объединяя в правой части члены с $g$, мы получим
$$\omega \dot{y}=2g\{\frac{{\omega }^2\hat{\delta }\sin \gamma }{g}(2)+\frac{{\omega }^2{t}^2}{2}\cos \gamma (1+(2))\}.$$

Так как ${\omega }^2{t}^2$ и $\frac{{\omega }^9\text{ oे }}{g}$ суть отвлеченные числа второго порядка, то это выражение, если только в нем пренебречь членами четвертого порядка, сведется к соотношению
$$\omega \dot{y}=g\cos \gamma \cdot {\omega }^2{t}^2;$$

подставив $\dot{y}$ в первое из уравнений ( ${45}^{\prime \prime }$ ), получим
$$\ddot{x}=-g\sin 2\gamma \cdot {\omega }^2{t}^2.$$

Из этого уравнения путем интегрирования его при начальных условиях $x=\dot{x}=0$ найдется выражение для $x$, которое будет иметь вид
$$x=-\frac{1}{12}g\sin 2\gamma \cdot {\omega }^2{t}^4.$$

Так как предполагается, что ось $x$ направлена к северу, то знак этого выражения показывает, что речь идет об отклонении тяжелого тела к югу. Достаточно посмотреть на второе из равенств (51), чтобы убедиться, что эта вторая девиация будет значительно меньше восточной ${}^{\mathbf{1}}$ ).