24. В предыдущем параграфе (так же как и при изучении движения тяжелого тела, рассматривавшегося с кинематической точки зрения в $\$ 6$ гл. II т. I) совершенно не принималось во внимание движение Земли, и основное уравнение динамики относилось к осям, связанным с Землей. Постановка задачи, таким образом, была приближенная: смысл и пределы законности такого приближения были выяснены в общих рассуждениях, развитых в § 7 гл. VII т. 1.

Чтобы достигнуть дальнейшего приближения, необходимо снова рассмотреть задачу, учитывая при этом и вращение Земли. Как раз этим мы и намерены здесь заняться, рассматривая, кроме того, тяжелое тело как движущееся в пустоте, т. е. оставляя в стороне сопротивление воздуха.

В следующем параграфе мы увидим, в каких пределах оказывается допустимой такая приближенная постановка задачи.

Отвлечемся поэтому от сопротивления воздуха и рассмотрим движение относительно Земли тяжелого тела (точнее, материальной точки) $P$, брошенного как угодно и предоставленного самому себе вблизи от поверхности Земли. При принятом выше предположении сила, действующая на $P$, сводится к притяжению Земли, которое мы обозначим через $\boldsymbol{G}$, предполагая, что за единицу массы принята масса точки $P$, и пользуясь обозначениями § 7 гл. XVI т. 1. При этом, хотя это нам и не необходимо, полезно вспомнить, что притяжение $\boldsymbol{G}$ направлено всегда к центру $O$ Земли и имеет (для точки $P$ с единичной массой) величину $\frac{f M}{r^{2}}$, где $M$ обозначает

массу Земли, $r$ – расстояние $O P$ и $f$ – известную постоянную притяжения. При этом предполагается, что Земля представляет собой сферу, состоящую из однородных концентрических слоев.

Относительно абсолютной (или связанной с неподвижными звёздами) системы отсчета ускорение $a$ точки $P$ определяется векторным равенством
\[
a=G,
\]

но здесь нас интересует относительное движение точки $P$ по отношению к Земле, или, точнее, относительное ускорение ее $\boldsymbol{a}_{r}$. Так как оно связано с ускорением $a$ известным соотношением Кориолиса (т. I, гл. IV, п. 3)
\[
a=a_{r}+a_{\tau}+2 a_{c},
\]
сложное центробежное ускорение \”), то достаточно на основании этого соотношения исключить $a$ у. равенства (44) для того, чтобы получить векторное уравнение нашей задачи в виде
\[
\boldsymbol{a}_{r}=\boldsymbol{G}-\boldsymbol{a}_{\tau}-2 \boldsymbol{a}_{c} .
\]

В этом динамическом уравнении, относящемся к точке $P$ с единичной массой, два члена – $\boldsymbol{a}_{\tau}$ и – $2 \boldsymbol{a}_{c}$, входящие в правую часть вместе с притяжением Земли $\boldsymbol{G}$, надо истолковывать как две (фиктивные) силы, отнесенные, как и $\boldsymbol{G}$, к единичной массе. В силе – $\boldsymbol{a}_{\tau}$ мы узнаем ту силу $X$, которую в гл. XVI т. I мы назвали (единичной) силой инерции переносного движения Земли. Аналогично сила – $2 \boldsymbol{a}_{c}$ называется сложной центробежной силой, тоже отнесенной к единичной массе.

Возвращаясь еще раз к тому, что говорилось в § 7 гл. XVIт. I, вспомним, что $\boldsymbol{G}-\boldsymbol{a}_{\tau}=\boldsymbol{G}+\boldsymbol{\chi}$ есть не что иное, ка́к вес тяжелого тела $P$, т. е. сила $g$, которую статически можно определить как прямо противоположную той силе, которую нужно было бы приложить к телу, чтобы удержать его от падения. Кроме того, обратим внимание на то, что из двух движений, которые совершает Земля, т. е. равномерного суточного вращения и переносного движения годичного обращения, второе, при достаточно малых промежутках времени по сравнению с годичным периодом, можно рассматривать как равномерное и прямолинейное. Поэтому сила инерции $\mathrm{X}=-\boldsymbol{\alpha}_{\mathrm{\tau}}$ не увеличится заметно от этого последнего движения и сведется к центробежной силе, происходящей от суточного движения, угловая скорость которого $\omega$ направлена по полярной оси ПП’ Земли с юга на север (так как

Земля вращается с запада на восток) и имеет величину (т. I, гл. VII, п. 19).
\[
\omega=\frac{2 \pi}{83164} \frac{1}{c e \kappa},
\]

если время измеряется в единицах среднего солнечного времени.
Отметим, наконец, что, обозначая через $\boldsymbol{g}_{r}$ относительную скорость точки $P$, будем, как известно, иметь
\[
a_{c}=\omega \times \boldsymbol{v}_{r} .
\]

Таким образом, векторному уравнению (45) движения точки $P$ относительно Земли можно придать окончательно вид
\[
a_{r}=g-2 \omega \times \boldsymbol{v}_{r} .
\]
25. Чтобы продолжить наше исследование, надо прибегнуть прежде всего к дальнейшей схематизации. Сила тяжести
\[
\boldsymbol{g}=\boldsymbol{G}+\boldsymbol{\chi}
\]

на самом деле меняется по величине и направлению от точки к точке; но в радиусе нескольких километров или, лучше сказать, в том ограниченном пространстве, в котором производятся наши наблюдения, вполне допустимо, как мы это знаем (т. I, гл. II, п. 27 и гл. XVI, пп. 39, 40), считать силу тяжести постоянной как по величине, так и по направлению.

Теперь, имея в виду приближенное интегрирование уравнения (45′), необходимо уточнить, какими членами, зависящими оr $\omega$, можно пренебречь по сравнению с $g$ и какими пренебречь нельзя. Хотя величина $\omega$ сама по себе мала, однако нельзя пренебречь по сравнению с $g$ членами, имеющими порядок величины $\omega^{2} R / g$, где $R$ – радиус Земли (это отношение равно отношению переносного ускорения у поверхности Земли к $g$ ). То же самое можно сказать и о членах вида $\omega V / g$, где через $V$ обозначен максимум относительной скорости, достигаемый тяжелым телом в поле наблюдения, и, наконец, обозначая через $\delta$ максимальный размер поля наблюдения, о членах порядка $\frac{\delta}{R}$. Таким образом, количества, которые окажутся того же порядка, что и одно из трех отвлеченных чисел
\[
\frac{\omega^{2} R}{g}, \frac{\omega V}{g}, \frac{\hat{\sigma}}{R},
\]

мы будем рассматривать, как величины первого порядка, и будем пренебрегать их квадратными или попарными произведениями. Так, например, мы будем пренебрегать членом типа $\frac{\omega^{2}}{g}$, который может быть написан в виде $\frac{\omega^{2} R}{g} \frac{\delta}{R}$ и, следовательно, представляет собой член второго порядка. В частности, по сравнению с $g$ можно пренебрегать членами $\omega^{2} x, \omega^{2} y, \omega^{2} z$, где

$x, y, z$ обозначают координаты любой точки поля наблюдения относительно какой-нибудь системы осей, начало которой принадлежит этому полю.

Заметим, наконец, что в пределах продолжительности изучаемого явления и $\omega t$ можно рассматривать как величину (отвлеченное число) первого порядка, так что членами типа $\omega^{2} t^{2}$ можно пренебрегать.
26. Предположим теперь, что движение происходит в северном полушарии, и за систему координат, связанную с Землей, примем систему, которая получится, если:
a) начало возьмем в точке $O$, неизменно связанной с Землей, вблизи того места, где происходит движение;
б) ось $z$ направим по линии действия силы тяжести в точке $O$ (вертикаль места) вниз;
в) ось $x$ направим в плоскости меридиана точки $O$ к северу.
Ось $y$, которая тем самым определяется однозначно, будет перпендикулярна к плоскости меридиана точки $O$ и направлена к востоку.

При проектировании векторного уравнения (45′) на оси координат заметим, что относительно только что выбранных осей вектор $\boldsymbol{g}$, который теперь мы будем рассматривать как постоянный, будет иметь составляющие
\[
0,0, g \text {. }
\]

Если $\boldsymbol{\gamma}$ есть острый угол, образованный вектором $\boldsymbol{g}$ с экваториальной плоскостью (географическая широта), то составляющие вектора $\omega$, направленного по ПП’ от П’ к II, определятся равенствами
\[
p=\omega \cos \gamma, \quad q=0, \quad r=-\omega \sin \gamma .
\]

Поэтому из уравнения (45′) получим:
\[
\left.\begin{array}{l}
\ddot{x}=-2 \dot{y} \omega \sin \gamma, \\
\ddot{y}=2 \omega(\dot{x} \sin \gamma+\dot{z} \cos \gamma), \\
\ddot{z}=g-2 \dot{y} \omega \cos \gamma .
\end{array}\right\}
\]

Если в этих равенствах пренебречь сложной центробежной силой $-2 \omega \times \boldsymbol{
u}_{r}$, то мы опять придем, что вполне естественно, к уравнениям движения тяжелого тела в пустоте, составленным без учета вращения Земли. Эти уравнения мы изучали в кинематике ( $\S 6$, гл. II, т. I). Перейдем теперь к интегрированию уравнений ( $\left.45^{\prime \prime}\right)$, придерживаясь порядка приближения, установленного в предыдущем пункте. Если для определенности предположить, что при $t=0$ тяжелое тело находится в начале $O$ и имеет скорость $\boldsymbol{\vartheta}_{0}$ с компонентами $\dot{x}_{0}, \dot{y}_{6}, \dot{z}_{0}$, то, интегрируя второе из уравнений (45\”), найдем прежде всего
\[
\dot{y}=\dot{y}_{\theta}+2 \omega(x \sin \gamma+z \cos \gamma),
\]

откуда, подставляя $\dot{y}$ в остальные два и пренебрегая по сравнению с $g$ членами $\omega^{2} x, \omega^{2} y, \omega^{2} z$, получим два уравнения:
\[
\ddot{x}=-2 \omega \dot{y}_{0} \sin \gamma, \quad \ddot{z}=g-2 \omega \dot{y}_{0} \cos \gamma .
\]

Интегрируя их и принимая во внимание начальные условия, найдем
\[
\begin{array}{c}
x=-\omega \dot{y}_{0} \sin \gamma \cdot t^{2}+\dot{x}_{0} t, \\
z=\frac{1}{2}\left(g-2 \omega \dot{y}_{0} \cos \gamma\right) t^{2}+\dot{z}_{0} t .
\end{array}
\]

Если внесем эти выражения $x, z$ в уравнение (48), отбросим члены с $\omega^{2} t^{2}$ и проинтегрируем его, то придем к уравнению
\[
y=\dot{y}_{0} t+\omega\left(\dot{x}_{0} \sin \gamma+\dot{z}_{0} \cos \gamma\right) t^{2}+\frac{1}{3} \omega g \cos \gamma \cdot t^{3},
\]

которое вместе с уравнениями (49) даст уравнения движения тяжелого тела $P$ относительно Земли.

Если, в частности, предполагается, что начальная скорость $\boldsymbol{v}_{0}$ равна нулю, т. е. что тяжелое тело предоставлено самому себе в положении $O$, то уравнения движения будут
\[
x=0, \quad y=\frac{1}{3} \omega g \cos \gamma t^{3}, \quad z=\frac{1}{2} g t^{2} .
\]

Движение, следовательно, будет происходить в плоскости, проходящей через местную вертикаль и нормальной к меридиану, а траектория будет полукубической параболой, как это следует из ее уравнения
\[
y^{2}=\frac{8}{9} \frac{\omega^{2} \cos ^{2} \gamma}{g} z^{3},
\]

которое получается исключением $t$ из второго и третьего уравнений (51).

Ордината $y$, определяемая вторым из этих уравнений, при $t>0$ будет всегда положительной и очень малой, продолжительность движения $t$ будет достаточно мала, как это обыкновенно имеет место при падении тяжелых тел. Так как ось $y$ направлена на восток, то мы заключаем, что свободно падающее без начальной скорости тяжелое тело не движется по вертикали места, а слегка отклоняется от вертикали $x$ востоку. Чтобы дать представление о порядке величины такого отклонения, заметим, что его величина за секунду времени, т. е. $\frac{\omega g \cos \gamma}{3}$, для Рима приблизительно равна $0,18 \boldsymbol{\mu} *$ ).

Это отклонение падающих тел к востоку, которое теоретически было предсказано еще Ньютоном, экспериментально было подтверждено Тадини (1795) и более надежным способом Райхом (1831). Оно служит одним из доказательств суточного вращения Земли. О другом более наглядном доказательстве мы будем говорить в § 8 .

27. Для тяжелого тела, предоставленного самому себе без начальной скорости в положении $O$, первое из уравнений (51) было дано в виде $x=0$; но это, разумеется, справедливо лишь для порядка приближения, принятого раньше. Если же приближенное интегрирование уравнений ( $45^{\prime \prime}$ ) продолжить дальше, учитывая также и члены второго порядка в смысле, установленном в п. 25, то мы найдем для падающего тела, помимо отклонения к востоку, другое значительно менее заметное отклонение к югу.

Чтобы показать кратчайшим путем, как это получается, мы прямо предположим начальную скорость равной нулю ( $\dot{x}_{0}=\dot{y}_{0}=$ $=\dot{z}_{0}=0$ ) и ограничимся вычислением с указанной точностью координаты $x$.

Прежде всего второе из уравнений ( $45^{\prime \prime}$ ) при точном интегрировании, как и в предыдущем пункте, дает равенство (48), в котором здесь надо положить $\dot{y}_{0}=0$, так что мы будем иметь
\[
\dot{y}=2 \omega(x \sin \gamma+z \cos \gamma) .
\]

С другой стороны, выражения (51), к которым мы пришли в предыдущем пункте, пренебрегая членами второго порядка в смысле п. 25 , дают для $x$ и $z$ в предположении нулевой начальной скорости
\[
x=0, \quad y=\frac{g t^{2}}{2} .
\]

Это означает, что неизвестные пока более точные выражения дия $x, z$ будут вида
\[
x=\delta(2), \quad z=\frac{g t^{2}}{2}(1+(2)),
\]

где $\delta$ обозначает длину, не превосходящую максимального измерения поля наблюдения, а символ (2) служит для общего обозначения отвлеченного числа по меньшей мере второго порядка, которое, естественно, не будет одним и тем же в обеих формулах. Внося эти значения $x$ и $z$ в уравнение (48′), умноженное на $\omega$, и объединяя в правой части члены с $g$, мы получим
\[
\omega \dot{y}=2 g\left\{\frac{\omega^{2} \hat{\delta} \sin \gamma}{g}(2)+\frac{\omega^{2} t^{2}}{2} \cos \gamma(1+(2))\right\} .
\]

Так как $\omega^{2} t^{2}$ и $\frac{\omega^{9} \text { oे }}{g}$ суть отвлеченные числа второго порядка, то это выражение, если только в нем пренебречь членами четвертого порядка, сведется к соотношению
\[
\omega \dot{y}=g \cos \gamma \cdot \omega^{2} t^{2} ;
\]

подставив $\dot{y}$ в первое из уравнений ( $45^{\prime \prime}$ ), получим
\[
\ddot{x}=-g \sin 2 \gamma \cdot \omega^{2} t^{2} .
\]

Из этого уравнения путем интегрирования его при начальных условиях $x=\dot{x}=0$ найдется выражение для $x$, которое будет иметь вид
\[
x=-\frac{1}{12} g \sin 2 \gamma \cdot \omega^{2} t^{4} .
\]

Так как предполагается, что ось $x$ направлена к северу, то знак этого выражения показывает, что речь идет об отклонении тяжелого тела к югу. Достаточно посмотреть на второе из равенств (51), чтобы убедиться, что эта вторая девиация будет значительно меньше восточной ${ }^{\mathbf{1}}$ ).