18. К общим теоремам предыдущего параграфа мы пришли, отправляясь от разделения сил, действующих на систему, на внешние и внутренние. Здесь мы применим другой критерий классификации (п. 3) и разделим эти силы на активные (или прямо приложенные) и реакции связей. Точнее, обозначим через $F_{i}$ равнодействующую активных сил, приложенных к любой точке
\[
P_{i} \quad(i=1,2, \ldots, N),
\]

через $\boldsymbol{R}_{\boldsymbol{i}}$ — соответствующую равнодействующую реакций. Так как систему $S$ можно рассматривать как систему из $N$ свободных точек, на которые соответственно действуют $N$ сил $\boldsymbol{F}_{i}+\boldsymbol{R}_{i}$, то в течение всего времени движения (отнесенного к галилеевым осям $Q^{\circ} \eta^{\circ}$ ) останутся в силе основные уравнения
\[
m_{i} a_{i}=F_{i}+R_{i} \quad(i=1,2, \ldots, N),
\]

которые можно написать в виде
\[
F_{i}-m_{i} \boldsymbol{a}_{i}+\boldsymbol{R}_{i}=0, \quad(i=1,2, \ldots, N) .
\]

Если, подобно тому, как это делалось в теории относительного равновесия (т. I, гл. XVI, § 1 ), мы будем истолковывать каждый из векторов $-m_{i} a_{i}$ (имеющих размерность силы) как силу (фиктивную), которую назовем си.лой инерции, относящейся к точке $P_{i}$, то из уравнений ( $\left.8^{\prime}\right)$, поскольку они относятся к $N$ точкам, рассматриваемым как свободные (т. I, гл. VII, п. 16), будет следовать, что при движении материальной системы с какими угодно связями активные силы, реакции и силы инерции в любой момент находятся в равновесии.

Если же мы обратим внимание на то, что реакции в их совокупности представляют собой действие связей, то можно также сказать, что при движении материальной системы с какими угодно связями в любой момент благодаря связям, наложенным на систему, активные силы и силы инерции уравновешиваются.

Положению, которое мы здесь рассматриваем, можно дать третью эквивалентную форму, воспользовавшись следующим замечанием. Применяя тождество
\[
F_{i}=m_{i} a_{i}+\left(F_{i}-m_{i} a_{i}\right),
\]

можно любую активную силу разложить на две составляющие: $m_{i} a_{i}$ и $F_{i}-m_{i} a_{i}$. Первая из них, $m_{i} a_{i}$, одна способна сообщить точке, если бы эта точка была свободной, то же самое движение, которое точка имеет при совместном действии силы $\boldsymbol{F}_{i}$ и связей. Поэтому вторая составляющая $\boldsymbol{F}_{i}-m_{i} \boldsymbol{a}_{\boldsymbol{i}}$ (геометрическая сумма активной силы и силы инерции) представляет собой ту часть силы $F_{i}$, которая оказывается, в некотором смысле, потерянной благодаря

действию связей. Таким образом, оказывается оправданным название потерянных сил, которое обычно дается силам $F_{i}-m_{i} a_{i}$. Благодаря этому предыдущий общий результат можно высказать в более сжатой форме:

При движении материальной систем с какими угодно связями потерянные силы вследствие связей, наложенных на систему, в любой момент уравновешиваются.
19. Принцип Даламьера. Результат, полученный в предыдущем пункте, в какой-либо из трех своих эквивалентных форм носит название принципа Даламбера ${ }^{\mathbf{1}}$ ); название „принцип“ находит свое оправдание в характере интуитивной очевидности, которой обладает это положение механики. С чисто математической стороны этот принцип, по сравнению с постулатами и общими теоремами, уже ранее установленными, не дает чего-либо нового, так как по существу он сводится к номинальному истолкованию основных уравнений (8). Но с теоретической точки зрения и для исследования механических задач принцип Даламбера представляет значительный интерес, поскольку он позволяет свести постановку какого угодно динамического вопроса к статическому вопросу. Составление уравнений движения материальной системы для какой-либо динамической задачи при помощи принципа Даламбера сводится к составлению уравнений равновесия соответствующей статической задачи.

В более определенной форме из этого принципа следует, что уравнения движения можно непосредственно получить из уравнений равновесия, если в них вместо всякой активной силы $F_{i}$ (или составляющей такой силы) подставить потерянную силу $F_{i}-m_{i} \alpha_{i}$ (или соответствующую составляющую).

Однако при этом следует всегда помнить, что все применения этого правила основаны на предположении, что состояние движения не изменяет поведения действующих сил и реакций связей.
20. ОБщЕе СООТНОШЕНИЕ И ОБщЕЕ УРАВНЕНИЕ ДИНАМИКИ. С ТОЛЬКО что указанной точки зрения типичным является случай систем со

связями без трения, для которых на основании принципа виртуальных работ в его наиболее общей принятой нами форме (т. I, гл. XV, п. 2) сумма элементарных работ реакций $\boldsymbol{R}_{i}$, независимо от того, имеется ли равновесие или нет, при всяком виртуальном перемещении положительна или равна нулю, т. е.
\[
\delta \Lambda \equiv \sum_{i=1}^{N} R_{i} \cdot \delta P_{i} \geqslant 0 .
\]

Имея это в виду, можно условия равновесия при отсутствии трения коротко написать в виде символического соотношения (т. I. гл. XV, п. 7)
\[
\delta L \equiv \sum_{i=1}^{N} F_{i} \cdot \delta P_{i} \leqslant 0 .
\]

Заменяя в этом выражении на основании принципа Даламбера активные силы $F_{i}$ потерянными силами $F_{i}-m_{i} a_{i}$, мы непосредственно придем к определению движения системы при помощи соотношения
\[
\sum_{i=1}^{N}\left(F_{i}-m_{i} a_{i}\right) \cdot \delta P_{i} \leqslant 0 .
\]

Это соотношение остается в силе для всех виртуальных и только виртуальных перемещений, которые можно сообщить точками при данной конфигурации системы.

В дальнейшем мы увидим всю важность этого соотношения. А пока заметим, что здесь оно получено как следствие из принципа Даламбера и общего соотношения статики (или принципа виртуальных скоростей в его первоначальной форме, данной Лагранжем).
Важно отметить, что если рассматривать уравнения (8) в форме
\[
R_{i}=-\left(F_{i}-m_{i} a_{i}\right) \quad(i=1,2, \ldots, N)
\]
(эти уравнения в сущности коротко выражают основной закон динамики точки и постулат о реакциях связей), то каждое из соотношений (9) и (10) будет непосредственным следствием другого.

Наконец, мы видим, что, допустив постулаты механики, коротко выражаемые уравнениями (8), мы будем иметь совершенную логическую эквивалентность между принципом виртуальных работ в его наиболее общей форме, с одной стороны, и совокупностью общего соотношения статики и принципа Даламбера — с другой.

Это заключение в случае систем со связями без трения объясняет и уточняет замечание, сделанное в общей форме в конце предыдущего пункта. Действительно, мы видим, что с математической стороны замена принципа виртуальных работ совокупностью общего соотношения статики и принципа Даламбера не дает никакого преимущества. Однако если принять во внимание, что вся

аналитическая статика (для систем с идеальными связями) основывается на общем соотношении статики, то с точки зрения механики указанная выше замена соответствует разделению принципа виртуальных работ на две части, причем в общем соотношении выражена та часть его содержания, которая необходима и достаточна для развития статики, а принцип Даламбера позволяет рассматривать любую задачу динамики, как задачу статики.

Соотношение (10), поскольку оно характеризует в любой момент состояние движения всякой системы (со связями без трения) по отношению к прямо приложенным силам $F_{i}$ и к соответствующим виртуальным перемещениям, носит название общего соотношения динамики, а когда речь идет о системе со связями только неосвобождающими или двусторонними (т. е. с обратимыми виртуальными перемещениями), оно заменяется соответствующим уравнением
\[
\sum_{i=1}^{N}\left(F_{i}-m_{i} a_{i}\right) \cdot \delta P_{i}=0,
\]

которое по аналогии называется общим уравнением динамики.
21. Общее соотношение динамики установлено при явном предположении, что система находится исключительно под действием заданных активных сил $F_{i}$ и заданных связей без трения, т. е. реакций, удовлетворяющих принципу виртуальных работ. Но может случиться (и это будет даже более общим случаем), что наряду с этими реакциями действуют другие (в виде пассивных сопротивлений или, в частности, трения, происходящего от шероховатых связей, и т. п.), которые не подчиняются принципу виртуальных работ. В этом предположении способ, посредством которого приходят к общему соотношению динамики, можно повторить с единственным изменением, что в числе сил, прямо приложенных к точке $\boldsymbol{P}_{i}$, наряду с результирующей $\boldsymbol{F}_{i}$ активных сил в собственном смысле рассматривается и результирующая $\Phi_{i}$ указанных выше действий, которые не упоминаются в принципе виртуальных работ. Таким способом приходят к символическому соотношению
\[
\sum_{i=1}^{N}\left(F_{i}+\Phi_{i}-m_{i} a_{i}\right) \cdot \delta P_{i} \leqslant 0,
\]

которое нужно рассматривать как соотношение, сохраняющее свое значение для всех виртуальных и только для виртуальных перемещений, допускаемых системой со связями без трения.

Не следует забывать, что в общем случае силы $\Phi_{i}$, по крайней мере некоторые из них, являются неизвестными, так как самое большее бывают известны только физические условия или механические приспособления, порождающие их; поэтому соотношение (12)

далеко от того, чтобы обладать тем свойством краткости и вместе с тем определенности, которым отличается общее соотношение динамики (10) и которое, как это лучше будет видно в ближайших параграфах, составляет его выдающееся и отличительное достоинство. Однако в постановке механических задач даже и наиболее общее символическое соотношение (12) может иногда оказаться полезным; мы дадим один конкретный пример этого в п 53 настоящей главы.