23. Приближенная устойчивость первого порядка, или линейная. Вернемся к общим рассуждениям пп. 16,18 , чтобы по возможности быстрее перейти затем к рассмотрению дальнейших замечательных исследований.

Мы уже говорили (п. 21), что на конкретных примерах доказана недостаточность, в общем случае, необходимого условия устойчивости статического решения, найденного Ляпуновым [11].

Следует, однако, заметить, что всякий раз, как оно выполняется, т. е. всякий раз, как все характеристические показатели статического решения – чисто мнимые, удается показать, что отклонение решений $\bar{\sigma}$ и $\sigma$ друг от друга, вначале весьма малое, хотя и не остается неопределенно долго бесконечно малым, но обнаруживается только после более длительного промежутка времени, чем во всех других случаях, т. е. мы имеем в этом случае устойчивость в первом приближении, которую можно назвать линейной, поскольку принимается во внимание только линейная часть дифференциальных уравнений, о которых идет речь.

Когда имеет место эта линейная устойчивость, решения $\sigma$, близкие вначале к рассматриваемому решению $\bar{\sigma}$, называются по прежнему малыми колебания ми около о.

Далее, иногда при схематической постановке конкретных задач оказывается возможным считать удовлетворительным такое приближенное представление явлений, которое сохраняет свое значение если не на все время, то по крайней мере в течение конечного, но достаточно длительного промежутка времени. Это и является основанием того, что в конкретных приложениях, если не удается прийти к устойчивости в строгом смысле, удовлетворяется лишь решением вопроса: оказывается ли данное статическое решение строго неустойчивым, или же оно устойчиво в. только что рассмотренном линейном смысле. А для этой цели достаточно применить так называемый метод малых колебаний (т. е. решение уравнений в вариациях) и критерий, даваемый рассмотрением характеристических показателей.

В дальнейшем нам придется часто рассматривать вопрос об устойчивости или в строгом смысле, когда задача допускает это, или ограничиваясь первым приближением, на основе исследования характеристических показателей. Здесь же, продолжая следовать дальше в развитии идей общего порядка, мы покажем, как сама физическая реальность во многих случаях подсказывает рассмотрение линейной устойчивости в будущем. малых колебаний около них. Рассмотрим динамическую систему с голономными связями, не зависящими от времени, на которую действуют консервативные силы, и предположим, что циклический характер некоторых лагранжевых координат допускает приложение метода игнорирования этих координат (предыдущая глава, п. 45).

Обозначая через $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}$ неигнорируемые координаты, сделаем дальнейшее предположение, что соответствующая пpиведённая лагранжева система допускает статическое решение $q_{h}=q_{h}^{0}(h=1,2, \ldots, n)$. В действительности, движение системы, соответствующее такому решению, может называться статическим только частично, т. е. только по отношению к неигнорируемым координатам, потому что остальные координаты, вообще говоря, не будут постоянными, а будут изменяться с временем. Такое движение называется меростатическим (т. е. частично статическим); ири этом следует заметить, что в конкретных задачах как раз для этого типа движений чаще всего и интересуются вопросом об устойчивости.

Вспомним, что (приведенная) лагранжева функция, которая здесь не будет зависеть от времени, содержит члены второй, первой и нулевой степени относительно $\dot{q}_{k}$ (предыдущая глава, п. 46), тақ что, обозначая ее через $\mathfrak{R}$, мы можем, при обычном значении символов, положить
\[
\mathfrak{R}=T_{2}+T_{1}+T_{0}+U,
\]

где, как мы знаем, члены $T_{1}$, линейные относительно $\dot{q}_{h}$, имеют гиростатический характер.

Представим себе теперь, что вместо $q$ введены $n$ соответствующих нормальных координат, т. е. $n$ таких линейных независимых между собой форм $x_{i}$ от $q_{h}-q_{h}^{0}$, что в окрестности значений $x_{i}=0$, соответствующих меростатическому движению, квадратичная часть $T_{2}$ живой силы и функция $T_{0}+U$ имеют соответственно вид
\[
\frac{1}{2} \sum_{i=1}^{n} \dot{x}_{i}^{2}, \quad \frac{1}{2} \sum_{i=1}^{n} \rho_{i} x_{i}^{2},
\]

который в п. 13 мы придали живой силе и потенциалу, независимо от какого-либо игнорирования координат.

Что касается части $T_{1}$ гиростатического характера, то она после замены переменных, естественно, представится в виде линейной функции относительно $\dot{x}$, а коэффициент при любом $\dot{x}_{i}$, разложенный в ряд в окрестности решения, о котором идет речь, будет иметь вид
\[
b_{i}+\sum_{k=1}^{n} b_{i k} x_{k}+\cdots
\]

Если перейдем теперь к составлению уравнений Лагранжа для малых колебаний, то тотчас же увидим, что в них не войдут ни известные члены $b_{i}$, ни члены, опущенные в разложении (29); эти уравнения принимают в рассматриваемом случае вид
\[
\ddot{x}_{i}-p_{i} x_{i}+\sum_{k=1}^{n} e_{i k} \dot{x}_{k}=0 \quad(i=1,2, \ldots, n),
\]

где для простоты положено
\[
e_{i k}=b_{i k}-b_{k i} \quad(i, k=1,2, \ldots, n) .
\]

Таким образом, мы видим, что благодаря членам гиростатической природы в функции Лагранжа в уравнениях малых колебаний появляются линейные члены относительно лагранжевых нормальных скоростей с антисижметричными (постоянными) коэффициентами.