61. Траектории. В виде дополнения к развитой в предыдущих параграфах теории дифференциальных уравнений движения какой угодно материальной системы (голономной или неголономной) добавим некоторые замечания о геометрическом представлении движения, т. е., с аналитической точки зрения, о различных обстоятельствах, которые могут представиться, когда из уравнений общего интеграла исключается время.

В простейшем случае одной материальной точки мы называли траекториями кривые, которые в физическом пространстве описывает движущаяся точка при различных движениях, определяемых динамическим уравнением $m a=F$, соответствующим рассматриваемому случаю. Речь идет о том семействе кривых, уравнения которых получатся после исключения независимого переменного $t$ из уравнений общего решения дифференциального уравнения $m a=F$
\[
\begin{array}{c}
x=x\left(t \mid c_{1}, c_{2}, \ldots, c_{6}\right), y=y\left(t \mid c_{1}, c_{2}, \ldots, c_{6}\right), \\
z=z\left(t \mid c_{1}, c_{2}, \ldots, c_{6}\right),
\end{array}
\]

где $c$ обозначают шесть произвольных постоянных интегрирования. В общем случае после исключения $t$ в уравнениях траектории остаются все эти шесть произвольных постоянных. Но при частных предположениях может случиться, что исключение $t$ повлечет за собой исчезновение какой-нибудь из постоянных. Так, например, если сила $\boldsymbol{F}$ есть ньютонианское притяжение, исходящее из некоторого неподвижного центра $\boldsymbol{O}$, то все траектории будут коническими сечениями, имеющими фокус в точке $O$ (гл. III, § 2); эти кривые зависят только от пяти существенных постоянных (две для определения плоскости орбиты, проходящей через $O$, одна для ориентации фокальной оси в этой плоскости и остальные двепараметр и эксцентриситет). Если сила равна нулю, то траектории сведутся к $\infty$ прямых (геодезические линии физического пространства).

Все эти рассуждения можно обобщить на движения, определяемые общей нормальной системой дифференциальных уравнений второго порядка
\[
\ddot{q}_{h}=\varphi_{h}(q \dot{q} \mid t) \quad(h=1,2, \ldots, n),
\]

в частности лагранжевой системой (50) с гессианом $\Delta$, отличным от нуля.

Для этой цели удобно интерпретировать $n$ лагранжевых параметров $q$ как обобщенные координаты точек абстрактного пространства $n$ измерений $\Gamma_{n}$ (пространство конфигураций). Траекториями системы в этом пространстве называются те кривые, уравнения которых получаются путем исключения $t$ из уравнений $q_{h}=q_{h}(t \mid c)$,

представляющих общее решение системы (96). Можно, если угодно. эти последние уравнения рассматривать как параметрические уравнения семейства траекторий, истолковывая $t$ как вспомогательный параметр, и сосредоточить внимание исключительно на последовдтельности точек в изображающеи пространстве $\Gamma_{n}$.

Какой бы из этих способов представления траекторий ни иметь в виду, оказывается выгодным задачу изучения траекторий поставить в дифференциальной форме; таким способом мы достигнем уточнения числа существенных постоянных, от которых зависят траектории, применяя для этого, как увидим, обычные теоремы существования интегралов систем дифференциальных уравнений.

Чтобы сделать более очевидной аналогию с элементарными случаями, приведенными выше, условимся истолковывать обобщенные координаты $q$ в пространстве $\Gamma_{n}$ как прямоугольные декартовы координаты; заметим, что при этом направление, исходящее из какойнибудь точки, характеризуется огношениями дифференциалов $d q$ от $q$, и любую кривую в пространстве $\Gamma_{n}$ можно определить, выражая $n-1$ координат произвольной ее точки как функции от $n$-й координаты.

Для наших целей удобно заменить в данной системе дифференциальных уравнений (96) время $t$ одной из координат $q$, рассматривая ее как независимую переменную, а $t$ (наравне с $n-1$ остальными $q$ ) как функцию от нее. Это, конечно, можно сделать, так как при этом будут исключены только те возможные решения системы (96), которые соответствуют покою, т. е. в которых все $q$ остаются постоянными. Исключая этот случай и изменяя, если необходимо, индексы, мы можем всегда предположить, что координата $q_{n}$ не будет постоянной, т. е. что производная $\dot{q}_{n}$ не будет тождественно равна нулю. Обращаясь к интервалу времени, в котором всегда $\dot{q}_{n}
eq 0$, условимся вместо $t$ принять за независимую переменную $q_{n}$; обозначая штрихами производные по этой новой независимой переменной, будем иметь
\[
t^{\prime}=\frac{d t}{d q_{n}},
\]

и, следовательно,
\[
\begin{array}{c}
\dot{q}_{n}=\frac{d q_{n}}{d t}=\frac{1}{t^{\prime}}, \quad \ddot{q}_{n}=-\frac{t^{\prime \prime}}{t^{\prime 3}} ; \\
\dot{q}_{h}=\frac{1}{t^{\prime}} q_{h}{ }^{\prime}, \quad \ddot{q}_{h}=\frac{1}{t^{\prime 2}} q_{h}^{\prime \prime}-\frac{t^{\prime \prime}}{t^{\prime 3}} q_{h}^{\prime} \quad(h=1,2, \ldots, n-1) .
\end{array}
\]

Возьмем теперь снова нашу нормальную систему (96)
\[
\ddot{q}_{h}=\varphi_{h}\left(q\left|\dot{q}_{1}, \ldots, \dot{q}_{n-1}, \dot{q}_{n}\right| t\right) \quad(h=1,2, \ldots, n)
\]

и исключим в правых частях $\dot{q}$ посредством (98), (99) таким образом, чтобы придать им вид
\[
\varphi_{h}\left(q\left|\frac{1}{t^{\prime}} q_{1}^{\prime}, \ldots, \frac{1}{t^{\prime}} q_{n-1}^{\prime}, \ldots, \frac{1}{t^{\prime}}\right| t\right) ;
\]

в силу этого правые части будут функциями, кроме $q$, от аргументов $q_{1}^{\prime}, \ldots, q_{n-1}^{\prime}, t$ и $t^{\prime}$. Считая теперь, что $\varphi_{h}$ имеют указанное выражение, мы можем придать последнему из уравнений (96) следующий вид:
\[
t^{\prime \prime}=-t^{\prime 3} \varphi_{n},
\]

если принять во внимание второе из равенств (98). Остальные уравнения (96) на основании второй группы равенств (99) и только что написанного уравнения примут вид
\[
q_{h}^{\prime \prime}=t^{\prime 2}\left(\varphi_{h}-q_{h}^{\prime} \varphi_{n}\right) \quad(h=1,2, \ldots, n-1) .
\]

Система (96′), (96′), как мы видим, представляет собой все еще нормальную систему второго порядка относительно $n$ неизвестных функций $t, q_{1}, \ldots, q_{n-1}$ независимого переменного $q_{n}$. Поэтому на основании обычной теоремы существования и единственности решения дифференциальных уравнений можно утверждать, что для системы $\left(96^{\prime}\right),\left(96^{\prime \prime}\right)$ существует решение и притом единственное, для которого в соответствии с заданным значением $q_{n}^{0}$ независимой переменной остальные $n-1$ переменных $q$ и соответствующие им производные $q^{\prime}$ вместе с $t$ и $t^{\prime}$ принимают наперед заданные произвольные значения. Условие того, что кривая в пространстве $\Gamma_{n}$ проходит через заданную точку $P_{0}$ в заданном направлении, выражается тем обстоятельством, что при указанном значении $q_{n}^{0}$ координаты $q_{n}$ остальные $(n-1)$ координат $q$ и их производные $q^{\prime}$ принимают заданные значения. Отсюда можно заключить, что через каждую точку пространства $\Gamma_{n}$ в каждом из возможных направлений проходит по крайней мере одна траектория. Так как точек в пространстве $\Gamma_{n}$ будет $\infty^{n}$ и из каждой из них выходит $\infty^{n-1}$ направлений, а на каждой кривой существует $\infty^{1}$ точек и в каждой из них, за вычетом лишь исключительных (особых точек), однозначно определяется направление касательной, то можно поэтому сказать, что траектории дифференцильной системы второго порядка (96) с п неизвестными функциями образуют множество, состоящее по крайней мере из $\infty^{2 n-2}$ элементов.

Но даже указав значения, которые при $q_{n}=q_{n}^{0}$ должны принять $2 n-2$ функций $q_{h}$ и $q_{h}^{\prime}(h=1,2, \ldots, n-1)$, можно еще произвольно выбирать начальные значения $t$ и $t^{\prime}$, так что в общей сложности для системы дифференциальных уравнений ( $\left.96^{\prime}\right)$, ( $96^{\prime \prime}$ ) или для эквивалентной ей системы (96) имеются $\infty^{2}$ решений, траектории которых в $\Gamma_{n}$ выходят из одной и той же точки $P_{0}$ в одном и том же направлении; и а priori нельзя решить, соответствуют ли этим $\infty^{2}$ решениям действительно столько же различных траекторий, или же эти траектории приводятся к $\infty^{1}$, или даже только к одной траектории. Наконец, справедливо также, что в общем решении координаты $q_{1}, \ldots, q_{n-1}$ представятся при более широких предположениях зависящими существенным образом от переменной

$q_{n}$, от геометрических постоянны, соответствующих точке $P_{0}$ и заданных направлений через нее, а не только от $t_{0}$ и $t_{0}{ }^{\prime}$. He исключена также возможность и того, что в частных случаях одна из этих постоянных $t_{0}, t_{0}{ }^{\prime}$ или обе вместе могут отсутствовать в указанных выше выражениях координат $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n-1}$.

Таким образом, в то время как здесь можно утверждать, что, вообще говоря, система (96) будет иметь $\infty^{2 n}$ траекторий, в ближайших пунктах мы покажем на двух особенно наглядных примеpax, что число траекторий может быть сведено к $\infty^{2 n-1}$ или даже к $\infty^{2 n-2}$.
62. ДИфференцИальныЕ СиСтемы с $\infty^{2 n-1}$ тРаекторИями. Предположим, что уравнения системы (96) не содержат явно $t$. В этом случае эта переменная не появится также и в правых частях уравнений эквивалентной системы (96′), (96′), а с другой стороны, там появится $t^{\prime}$, и левую часть уравнения ( $96^{\prime}$ ) можно написать в виде $\frac{d t^{\prime}}{d q_{n}}$. Мы видим, таким образом, что в этом случае систему (96′), $\left(96^{\prime \prime}\right)$ можно рассматривать как нормальную систему с $n$ неизвестными функциями $t^{\prime}, q_{1}, \ldots, q_{n-1}$ от $q_{n}$, разрешенную относительно первой производной от $t^{\prime}$ и относительно вторых производных от остальных $n-1$ неизвестных функций. Отсюда мы заключаем, что общее решение, в частности, выражения $q_{1}, \ldots, q_{n-1}$ через $q_{n}$ т. е. уравнения траекторий, завигят (самое большее) от $2 n-1$ произвольных постоянных.
63. Спонтанные движения. Геодезические линии. Рассмотрим, наконец, спонтанные движения, т. е. движения при отсутствии сил. голономной системы с $n$ степенями свободы и со связями, не зависящими от времени; живая сила такой системы представляется, как обычно, равенством
\[
T=\frac{1}{2} \sum_{\substack{j=1 \\ l=1}}^{n} a_{j l} \dot{q}_{j} \dot{q}_{l}
\]

Траектории (динамические) в пространстве $\Gamma_{n}$ таких спонтанных движений называются геодезическими линиями, к которым мы вернемся в § 4, гл. XI. Здесь же мы предполагаем доказать, что траекторий в этом случае будет $\infty^{2 n-2}$.

Заметим прежде всего, что при отсутствии сил уравнения Лагранжа принимают вид
\[
\frac{d}{d t} \sum_{j=1}^{n} a_{j h} \dot{q}_{j}-\sum_{\substack{j=1 \\ l=1}}^{n} \frac{\partial a_{j l}}{\partial q_{h}} \dot{q}_{j} \dot{q}_{l}=0 \quad(h=1,2, \ldots, n),
\]

и если выполнить дифференцирование и ввести так называемые символы Кристоффбеля ${ }^{1}$ ) первого рода
\[
\left[\frac{j l}{h}\right]=\frac{1}{2}\left(\frac{\partial a_{j h}}{\partial q_{l}}+\frac{\partial a_{h l}}{\partial q_{j}}-\frac{\partial a_{j l}}{\partial q_{h}}\right) \quad(j, h, l=1,2, \ldots, n),
\]

то можно написать
\[
\sum_{j=1}^{n} a_{h j} \ddot{q}_{j}-\sum_{\substack{j=1 \\
l=1}}^{n}\left[\begin{array}{l}
j l \\
h
\end{array}\right] \dot{q}_{i} q_{l}=0 \quad(h=1,2, \ldots, n) .
\]

Для того чтобы привести систему к нормальному виду, мы должны разрешить предыдущие уравнения относительно $\ddot{q}$, для чего умножим обе части каждого из $h$ уравнений на величину $a^{(h i)}$, взаимную с $a_{h i}$ (алгебраическое дополнение, деленное на определитель) и сложим полученные уравнения. Таким образом, вводя при этом символы Кристоффеля вторсго рода
\[
\left\{\begin{array}{c}
j l \\
i
\end{array}\right\}=\sum_{h=1}^{n} a^{(h i)}\left[\begin{array}{l}
j l \\
h
\end{array}\right],
\]

мы получим дифференциальные уравнения спонтанных движений в разрешенной форме
\[
\ddot{q}_{i}=-\sum_{\substack{j=1 \\
l=1}}^{n}\left\{\begin{array}{c}
j^{i} \\
i
\end{array}\right\} \dot{q}_{j} \dot{q}_{l} \quad(i=1,2, \ldots, n) .
\]

Сравнивая эти уравнения с уравнениями (96), мы видим, что $\varphi_{i}$ обладают в этом случае двумя особенностями: не содержат явно времени $t$ и являются однородными функциями второй степени относительно $\dot{q}$. Если теперь, пользуясь способом п. 61, мы примем за новую независимую переменную $q_{n}$ вместо $t$, то получим, принимая во внимание уравнения первого порядка (98), (99) и имея в виду отмеченную однородность $\varphi_{i}$, тождества
\[
\varphi_{i}\left(\left.q\right|_{t^{\prime}} ^{1} q_{1}^{\prime}, \ldots, \frac{1}{t^{\prime}} q_{n-1}^{\prime}, \frac{1}{t^{\prime}}\right)=\frac{1}{t^{\prime 2}} \varphi_{i} \quad\left(q \mid q_{1}^{\prime}, \ldots, q_{n-1,1}^{\prime}\right),
\]

где в правой части величина $\frac{1}{t^{\prime s}}$ умножается на функцию, не зависящую от $t^{\prime}$. Если для простоты обозначим эту функцию через $\psi_{i}$, то $n-1$ уравнений ( $96^{\prime \prime}$ ) в этом случае примут вид
\[
q_{i}{ }^{\prime \prime}=\psi_{i}-q_{i}^{\prime} \psi_{n} \quad(i=1,2, \ldots, n-1)
\]

и составят нормальную систему вгорого порядка относительно $n-1$ неизвестных функций $q_{1}, \ldots, q_{n-1}$ от $q_{n}$, которая сама по себе (т. е. без того, чтобы была необходимость присоединить к ней уравнение $\left(96^{\prime}\right)$ ) достаточна для определения траекторий системы (100) или геодезических линий. Поэтому мы заключаем, что эти траектории зависят от $2 n-2$ постоянных, т. е. как раз от наименьшего возможного числа их.

Заметим, наконец (не давая эгому доказательства), что отмеченное выше свойство является характеристическим для консервативных случаев спонтанного движения, поскольку во всех других случаях консервативных сил или сил, зависящих только от положения (лишь бы они были отличны от нуля), траектории будут действительно зависеть от $2 n-1$ произвольных постоянных, если связи, само собой разумеется, не зависят от времени ${ }^{1}$ ).