Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
1. Доказать, что если голономная система с идеальными связями, не зависящими от времени, находится под действием консервативных сил, то статическое условие устойчивости (г. I, гл. IX, П. 17 и гл. XIII, п. 23) является также и достаточным для устойчивости в наиболее полном динамическом понимании ( $\S 1$ ). Достаточно вспомнить, что если квадратичная форма подвергается произвольному линейному однородному преобразованию, то ее дискриминант умножается на квадрат модуля рассматриваемого линейного преобразования. Если $S^{\prime}$ есть материальная система с немного отличной живой силой $T+\delta T$ и находится под действием сил, тоже немного отличных, являющиеся производными от потенциала $U+\delta U$, то при отнесении к тем же самых нормальным координатам $x$ можно получить где $\alpha$ и $\beta$ обозначают состояние, которые нужно рассматривать как малые первого порядка. Доказать, что в этом порядке приближения (т. е. по крайней мере до членов второго порядка относительно $a, \bar{\zeta}$ ) квадраты $\omega_{h}^{2}$ главных частот получают приращения, определяемые равенствами Как мы видели, на изменение главных частот влияют только квадратные члены возмущений $\delta T$, $\delta U$ живой силы и потенциала, члены же с произведениями не вносят никаких изменений. Если вычислим частоты во втором приближении, то найдем, что скажется также влияние членов $\alpha_{h k}, \beta_{h k}$ при $h \gtreqless k^{1}$ ). будет решением, соответствующим произвольным начальным скоростям $\dot{q}_{i}=\dot{q}_{i}^{0}$ в конфигурации равновесия. Доказать, что общий интеграл с $2 \pi$ произвольными постоянными $\dot{q}_{i}^{0}$ (начальные скорости) и $q_{i}^{0}$ (начальные координаты) определяется равенством Это и есть так называемое правило Стокса ${ }^{2}$ ). Чтобы установить его, достаточно заметить, что: 1) оно действительно для уравнения $\ddot{x}+\omega^{2} x=0$ гармонических движений и, следовательно, в нормальных координатах, при произвольном числе степеней свободы; 2) оно имеет инвариантный характер в отношении линейных однородных преобразований координат. доказать, что, когда система будет подвергаться одновременному действию двух систем сил: 1) $C$ по прежнему будет конфигурацией устойчивого равновесия; 2) главные частоты $\omega_{h}$, соответствующие составной системе сил, будут связаны с $\omega_{h}^{\prime}$, $\omega_{h}^{\prime \prime}$ соотношениями Предположим, что один из характеристических параметров колеблющейся системы изменяется с временем по закону что, естественно, возможно во всех случаях, но, как мы увидим, приобретает особый интерес, когда постоянные частоты $\omega_{1}$ и $\omega_{2}$ близки друг к другу, и, следовательно, є будет очень мало. и приняв, как это всегда возможно, $r$ положительным, получим для $x$ выражение которое соответствовало бы гармоническому движению с периодом $2 \pi / \omega$, если бы $r$ и $\theta$ были постоянными; в действительности, в данном случае речь идет о двух функциях времени. Из сделанного предположения следует, что $r$ и $\theta$ зависят от времени исключительно через посредство произведения $\varepsilon t$, которое при малом $\varepsilon$ за интервал времени $\Delta t$ достаточно короткой длительности получает ничтожное приращение $\varepsilon \Delta t$. Точнее, предположим, $\varepsilon$ будет столь мало, что для продолжительности $2 n \pi / \omega$ некоторого определенного числа периодов произведение $2 n \pi \varepsilon / \omega$ будет ничтожным. В этом предположении $r$ и $\theta$ можно рассматривать как постоянные не в абсолютном смысле, а для промежутка времени, не большего, чем $n$ периодов. В этом промежутке времени ход изменения $x$ можно рассматривать как приблизительно гармонический. Естественно, что при значительной продолжительности делается заметным изменение амплитуды $r$ и фазы $\theta$. Особенно замечательны следствия изменения $r$. На основании вышеуказанных формул имеем откуда вытекает, что при неограниченном изменении $t$ амплитуда $r$ колеблется между крайними значениями $r_{1}+r_{2}$ и $\left|r_{1}-r_{3}\right|$. Заслуживает особого упоминания случай, когда $r_{1}$ и $r_{2}$, по крайней мере приблизительно, равны, так как тогда за интервалы времени продолжительности $\pi / 2 s$, значительно превосходящей период $2 \pi / \omega$, амплитуда $r$ колеблется между минимумом, приблизительно равным нулю, и максимумом $r_{1}+r_{2}$. C точки зрения акустики это условие соответствует звуку постоянной высоты $/ 2 \pi$, интенсивность которого за интервалы времени, очень большие по сравнению с периодом $2 \pi / \omega$, периодически изменяется от вполне определенного максимума до нуля. Мы имеем таким образом чередование звучания и тишины, которое и составляет явление биений. Представим себе теперь, что, кроме $P$, еще в другой точке $Q$ пити $A B$ помещена масса, тоже равная $m$, причем три куска нити $A P=l_{1}, P Q=a$, $Q B=l_{2}$ будут прямолинейными и компланарными. Предполагая, что натяжение вдоль всей нити будет $\tau$, проверить, что на массы, расположенные в $P, Q$, нормально к $A B$ в плоскости $A P Q B$ будут действовать силы, величины которых соответственно равны где $x, y$ обозначают расстояния точек $P, Q$ от прямой $A B$. Если натяжение $\tau$ велико по сравнению с весом $m g$ каждой из двух добавочных масс, то, действительно, возможно принять его постоянным не только в каждом из трех кусков нити в отдельности, но также и во всех трех кусках вместе. При этих условиях легко поставить для этих двух масс задачу о поперечных колебаниях, т. е. о колебаниях, нормальных к $A B$ в плоскости $A P Q B$. Имея в виду, что систему можно рассматривать как голономную с двумя лагранжевыми параметрами $x$ и $y$, показать, что живую силу в потенциал можно выразить соответственно в виде Замечая далее, что при $l_{1}=l_{2}$ выражения $x+y, x-y$ являются нормальными координатами в расширенном смысле, т. е. обе формы $T$ и $U$ могут быть одновременно приведены к ортогональному виду, вывести отсюда, что главные частоты определятся равенствами При каких условиях получатся биения? (См. предыдущее упражнение.) голономную систему с лагранжевыми координатами 9 и $\varphi$, движение которой определяется уравнениями где при постоянных $C, l, m, g$. Составляюцая $Q_{\theta}$, как это было огмечено в уномлнутом упражнении, представляет момент относительно оси вращения, происходяций от большего или меньшего притока пара в распределительную коробку цилиндра. В возмущенном движении, начиная от установившегося движения, при котором угол паклона $\varphi$ ручек регулятора к вертикали имеет псстоянное значение $\varphi_{0}$, этот момент, в силу того, что регулятор пропускает больіе пара, если рукоятки с шарами больше расходятся, и пропускает пара меньше, если опи, опускаясь, сходятся, будет иметь всегда знак, противоположный отклонению угла $\varphi_{i}$ от зиаения $\varphi_{0}$. Поэтому $Q_{\theta}$ можно Уравнения малых колебаний вблизи этого решения нолучатся согласно общему правилу п. 19 , если положить $\hat{\vartheta}=\varphi_{0}+\dot{\phi}, \dot{\theta}=\dot{\theta}_{0}+\omega$ и рассматривать むи шкк количества первого поряда малости. Таким образом, мы придем к двум уравнениям: где $I_{0}$ представляет собой величину $I$ при $\risingdotseq=0_{0}^{0}$. при постояных $\lambda_{1}, \lambda_{2}, z$, приводит к характеристическому урввнению Убедиться, что это уравнение третьей степени допускает один (действительный) отрицательный корень $z_{1}$; показать, далее, что если два других корня $z_{2}, z_{3}$ действительны, то по крлйней мере один из них будет положительным, а если они комплексны, то оба имеют положительную действительную часть. Наконец, из предыдущего вывести, что во всех случаях мы будем иметь неустойчивость. Этот теоретический вывод согласуется с экспериментально установленным фактом, состоящим в том, что регулятор Уатта не достигает вполне своего назшачения, потому что действует слишком быстро как при открывании, так и при закрывании клапана для впускания пара. Поэтому в современных машинах прибегают к приборам более совершенным. См. с этой делью W. Hort, Technische Schwingu.gslehre; 2-е изд., Berlin, 1922; § 62-65. Следовательно, выражения $\xi$ и $\eta$ в функциях от времени получатся, если составим линейные комбинации с постоянными коэффициентами из двух гармонических колебаний (главных) Заслуживает внимания частпый случай, когда $\xi$ и $\eta$ определяются, по крайней мере до постоянного множителя, соответственно в виде суммы и разности двух нормальных координат, так что при постоянных $h$ и $k$ мы имеем Полагая, как в примере $6, \omega_{1}=\omega-\varepsilon, \omega_{2}=\omega+\varepsilon$ и применяя к выражениям $\xi / h$ и $\xi / k$ те же преобразованкя, выполиенные там над выражением одного только $x$, мы придем к выражениям вида $r \cos (\omega t+\theta)$, где величина $r$, если она относится к $\xi / h$, определяется, как мы видели, из уравнения аналогичное уравнение для $r^{\prime}$, относящегося к координате $\eta / k$, получается из предыдущего изменением в нем знака у $r_{2}$. Отсюда следует, что когда $r$ достигает своего наибольшего значения $r_{1}+r_{2}$, то $r^{\prime}$, наоборот, достигает своего наименьшего значения $\left|r_{1}-r_{2}\right|$, и обратно. Это становится особенно наглядным в случае, когда в мало в смысле, разъясненном в упражнении 6 , и $\dot{r}_{1}$ приблизительно равно $r_{2}$. При этом предположении мы имеем за иитервалы времени продолжительности $\pi / 2 \varepsilon$ попеременно максимальные колебания для одной из двух координат и минимальные (приблизительно покой) для другой. Это и есть так называемое явление переноса колебаний с одной стенени свободы на другую. Чтобы дать себе отчет в этом конкретном случае, обратимся к следующей схеме прибора. Тяжелый твердый треугольник $A O_{1} A_{2}\left(O A_{1}=O A_{2}=a\right)$ (фиг. 25) может вращаться в вертикальной плоскости вокруг $O$. К точкам $A_{1}, A_{2}$ подвешены на шарнирах в той же самой вертикальной плоскости посредством двух твердых стержней $A_{1} P_{1}, A_{2} P_{2}$ равной длины $l$ и ничтожной массы два шарика с одинаковыми массами, равными $m$. Очевидно, что речь идет о голономной системе с тремя степенями свободы, поскольку за дагранжевы параметры можно принять углы $\theta, \varphi_{1}, \varphi_{2}$, которые образуют с вертикалью высота $O H$ треугольника и два маятника $A_{1} P_{1}$ и $A_{2} P_{2}$. Принимая за систему отсчета вертикаль $O y$, направленную вниз, и горизонталь $O x$, направленную произвсльно, и считая углы положительными ири вращении в направлении от $O x$ к $O y$ (через прямой угол), вычислим живую силу $T$ системы и потенциал $U$, соответствующий ее весу, имея в виду, что мы будем изучать малые колебания в окрестности конфигурации равновесия $\theta=\varphi_{1}=\varphi_{2}=0$. Живую силу $T$ можно рассматривать как сумму живых сил твердого треугольника и двух шариков. Первая равна $\dot{\theta}^{2} / 2$, где $I$ обозначает момент инерции треугольника относительно точки $O$, а остальная часть определяется выражением где $x_{1}, y_{1}, x_{2}, y_{2}$ суть координаты точек $P_{1}$ и $P_{2}$; ести положим $\alpha=\widehat{H O} A_{2}=$ $=\widehat{A_{1} O H}$, то для координат найдем выражения В окрестности конфигурации равновесия $\theta=\varphi_{1}=\varphi_{2}=0$ три параметра Лагранжа и их первые производные по времени можно рассматривать как величины первого порядка, так что, дифференцируя по $t$ предыдущие формулы и пренебрегая членами порядка выше первого, можно принять В результате получим Что же касается потенциала, то, обозначив через $G$ центр тяжести треугольника, который, очевидно, является точкой, лежащей на высоте $O H$, положив $O G=\rho_{0}$ и обозначив через $n_{0}$ массу треугольника, очевндно, будем иметь Достаточно принять во внимание выражения $y_{1}, y_{9}$ и пренебречь членами порядка выше второго (вспомним из п. 13, что в конфигурации равновесия можно принять $U=0$ и что здесь существенными членами будут члени второго порядка, потому что члены первого порядка исчезают), чтобы привести потенциал к виду который, очевидно, имеет характер опредетенной отрицатетьной формы но отношению к аргументам $\theta$, $\varphi_{1}$, $\varphi_{9}$. Чтобы одновременно определить нормальные координаты и главныс частоты, достаточно совместно привести к каноническому виду две квадратичные формы $T$ и $U$ (і. 13). Не прибегая к общему правилу, которое потребовало бы решения уравнения трегьей степени, мы придем к цели путем двух последовательных линейных преобразований, которые приведут от $\theta$ $\varphi_{1}, \varphi_{9}$ к некоторым трем новым нормєльным координатам $\xi, \eta, \zeta$ (в широком смысле, определенном в п. 13). в результате которой, вводя безразмерныс постояниые u^{2}=\frac{m_{0} e_{n}+2 m a \cos \alpha}{m l}, для $T$ и $U$ получим выражения По.тожим далее где угол $\gamma$ определяется на основаиии условия где а отсюда непосредственно получается (п. 13), что квадраты гавых частот определяются равенствами Все это сохраняет свое значение и в общем случае. Примем теперь во внимание специальные условия, характеризующие явление, которое мы намерены истолковать, чтобы вывести из них некоторые оценки порядка величин для постоянных, которые входят в рассмотрение. В условиях явления Бернулти $a$ и $l$ нужно рассматривать как количества одного и того же порядка, в то время как расстояние $O H=a \cos \alpha$, a следовательно, и подавно $O G=p_{0}$ должны считаться малыми (первого порядка) по сравнению с $l$; число $\lambda$ будет поэтому величиной первого порядка. То же самое можно сказать о каждой из двух масс $m$ по сравнению с массой $m_{0}$ рамы треугольника. Из этих предположений следует, что в выражении числа $\mathrm{y}^{9}$, которое можно написать в виде второй член наверное мат; но они не позволяют сказать то же самое о первом члене, который может быть представлен в виде отношения двух малых величин $\rho_{0} / l, m / m_{0}$. Мы здесь дополним предположения, высказанные выше, допуская, что прибор сконструировал таким образом, чтобы первое отношение было мало по сравнению со вторым; на основании этого предположения $v^{9}$ можно рассматривать как величину первого порядка. Если, кроме того, возьмем снова постоянну $\mu^{2}$ и в ее выражение вместо $I$ подставим его значение $m_{0} \delta^{2}$, где $\delta$ есть соответствующий радиус инерции, то из выражения увидим, что, рассматривая $\lambda / \cos \alpha=\sqrt{2 a} / l$ и $\delta / l$ как величины конечные, мы должны будем считать $\mu^{2}$ за очень больную величину вследствие наличия множителя $m_{0} / m$, где $m$ по предположению мало по сравнению с $m_{0}$. Наконец, мы можем в данном случае воспользоваться еще тем, что как $\lambda$, так и $y^{3}$ и $1 / \mu^{2}$ можно рассматривать как малые величины первого порядка, а $\lambda^{2} / \cos ^{2} \alpha$ считать конечным числом и при этом таким, что порядок величины членов с $ где числитель порядка выше первого (можно сказать порядка $\% / 2$ ), тогда как знаменатель близок к 1 ; поэтому, обозначая, как обычно, через (n) члены порядка не ниже $n$, можно положить и, следовательно, При этом порядке приближения непосредственно найдем или, пренебрегая только членами пятого порядка по сравнению с единицей (что позволяет пренебречь членами третьего порядка по сравнению с отношением $\mu^{2} / Так как $c$ оказывается очень большим, то же будет верно и для $\omega_{2}$; а так как то две главные частоты $\omega_{1}, \omega_{2}$, соответствующие координатам $\xi$, ๆ, будут близки друг к другу. С другой стороны, в силу малости $\gamma$ координату $\psi$ можно положить просто равной $\eta_{1}$, так что первоначальные координаты $\varphi_{1}$, $\varphi_{2}$ можно выразить в виде они представятся, таким образом, в виде суммы и разности двух координат, из которых первая строго, а вторая приблизительно нормальна (в широком смысле). Поэтому будут приложимы рассуждения, изложенные в предыдущем упражнении. где $a$ и $b$ обозначают две положительные постоянные, и ось $z$ направлена вертикально вверх. Рассматривая, в частности, малые колебания около положения устойчивого равновесия $x=y=0$, показать, что частоты главных колебаний суть $2 \pi / a$ и $2 \pi / b$. (См. упражнение 27 гл. II.) Если сила, приложенная к точке, является производной от симметрического, т. е. не зависящего от $\theta$, потенциала $U(\rho, z)$, то угол ө будет игнорируемой координатой, и мы будем иметь (г. V. V, II. 42) интеграл момента количества движения относительно оси симметрии $\mathrm{Oz}$ Так как приведенная функция Лагранжа (гл. V, п. 46) имеет здесь вид то движение, определяемое двумя лагранжевыми уравнениями для координат $\rho$ и $z$, очевидно, будет таким, какое имела бы свободная точка на плоскости с декартовыми координатами $\rho$ и $z$, если бы она находилась под действием консервативной силы, производной от потенциала Проверить, что всякому возможному положению $M$ равновесия в этом плоском движении соответствует в пространственной задаче меростатическое решение, а именно круговое равномерное движение с угловой скоростью $c / \rho_{0}^{2}$, где ро есть постоянная величина координаты $\rho$ точки $M$ (радиус круговой траектории). Постоянная интегрирования, $c$ связана с $p_{0}$ уравнением $c^{2}=-\frac{1}{3} \rho_{0}^{3}$, где $a_{1}$ обозначает величину $\partial U / \partial \rho$ в точке $M$. Обозначая через $a_{11}, a_{12}, a_{22}$ значения вторых производных от $U$ в точке $M$ пори $z$, доказать, что условие (приведенной) устойчивости кругового движения определяется равенством при постоянных $k$ и $g$, который, очевидно, соответствует совместному действию ньютонианского притяжения к полюсу и однородного поля силы. Доказать, что условие устойчивости меростатического кругового решения в этом случае можно истолковать в следующей геометрической форме: если $2 \alpha$ есть визуальный угол траектории относительно полюса (или, другими словами, $\alpha$ есть угол полураствора кругового конуса, проектирующего из полюса траекторию), то должно быть $\cos \alpha>1 / 3$. м рассмотреть, в частности, случай при постоянных $k$ и у, второе из которых отлично от 1. соответствующем движению тяжелой точки, которая удерживается без трения на поверхности вращения $p=f(z)$. Принимая во внимание интеграл $\dot{\theta} f^{2}=c$, можно определить закон, по которому $z$ изменяется с временем, посредством уравнения Јагранжа где :⿻ $^{*}$ — приведенная функция Лагранжа Проверить, что уравнение относительно $z$ допускает статическое решение $z=z_{0}=$ const, если $z_{0}$ и связаны соотношением где индексом 0 отмечаются значения $f$ и ее производных при $z=z_{\text {и }}$. Вывести из предыдущих формул, что эти круговые движения возможны только вдоль параллелей той зоны поверхности, где она обращена вогнутостью вверх. Кроме того, полагая в $\left\{* z=z_{0}+\zeta\right.$, определить уравнение малых колебаний вблизи решения $z=z_{0}$ и проверить, что условие устойчивости определяется неравенством Предполагая, что речь идет о действительном устойчивом равновесии, можно распространить на этот случай результат п. 13 , заключающийся в том, что малые колебания всегда будут составляться из некоторого числа $n$ чисто гармонических колебаний. Доказательство по существу основывается на том обстоятельстве, что если положить, как в п. $27, x_{h}=\lambda_{h} e^{i \iota t}$, то постоянная $\omega^{2}$ должна будет удовлетворять алгебраическому уравнению $n$-ой степени с существенно положительными корнями ${ }^{1}$ ). где $\lambda_{k}$ и $z$ суть подлежащие определению постоянные, уравнения (31′) принимают внд где для краткости положено Характеристическое уравнение степени $2 n$ относительно $z$ будет, следовательно, и приводится, как это естественно, к виду (28′), когда отсутствуют гиростатические и диссипативные действия. Если, в частности, $\lambda_{h}$ имеют то же значение, что и в предыдущем упражнении, то из определяющих эти величины уравнений следует, что Проверить, что в силу тождеств \» $e_{h k}+e_{k h}=0$ соотношение это можно написать в виде и вывести отсюда, что если квадратичная форма $V$ является также определенной положительной (как это бывает, когда решение $y_{k}=0$ является устойчивым), то всякий действительный характеристический показатель необходимо должен быть отрицательным. Можно доказать более общее предположение: если отсутствуют аэростатические члены ( $\left.e_{h k}=0\right)$, но входят диссипативные действия, то каждый характеристическй̆ показатель $z$ имеет действительную часть существенно отрицательную. Чтобы установить этот результат, достаточно рассмотреть случай комплексного $z, z=\mu+i Вместе с $z$ корнем характеристического уравнения (с действительными коэффициентами) будет также и сопряженная с иим величина $\bar{z}=\Perp-i$, которой будут соответствовать решения вида где $\bar{\lambda}_{k}$ обозначают величины, сопряженные с $\lambda_{k}$. сопряженные с $u_{h k}$, будем одновременно иметь а отсюда следуют два уравнения которые, благодаря отсутствию аптисимметричных коэффициентов $e_{h k}$, можно написать также в виде так как $\Psi$ и $T$ являются определенными положительными формами, а аргументы $\lambda$ и $\bar{\lambda}$ сопряжены между собой, то заключаем согласно утверждению, что $\mu<0^{1}$ ). где $\omega$ обозначают постоянные главных частот свободных колебаний и $X$ являются лагранжевыми составляющими добавочных сил. Как и в случае одной степени свободы (гл. I, піг. 61, 62), наиболее интересным с физической точки зрения видом добавочных сил являются периодические силы. Даже и здесь, в силу линейности уравнений малых колебаний, если $x_{h}^{\prime}$, $x_{h}^{\prime \prime}$ суть общие интегралы, соответствующие силам $X_{h}^{\prime}, X_{h}^{\prime \prime}$, то $x_{h}^{\prime}+x_{h}^{\prime \prime}$ будет наиболее общим решением, соответствующим составной силе $X_{h}^{\prime}+X_{h}^{\prime \prime}$; это замечание распространяется и на случай скольких угодно составляющих сил. Это обстоятельство, как было отмечено в п. 66 гл. I, позволяет привести случай произвольной периодической силы к сумме сил или постоянных, или синусоидальных. В случае постоянных сил мы приходим к задаче о смещении равновесия ( $\$ 2$ ), так что, в конечном счете, остается только рассмотреть предположение, что силы имеют вид При этом предположении для каждой нормальной координаты сохраняют силу рассуждения п. 64 гл. I; в случае, когда $\Omega$ отлична от всех $\omega_{k}$, можно указать для отдельных $x_{k}$ синусоидальные колебания, имеющие тот же период, что и $X_{k}$, т. е., еще точнее, выражения вида $\lambda_{k} \sin Q t$, где $\lambda_{k}$ имеют значения $\xi_{k} /\left(\omega_{k}^{2}-Q^{2}\right)$. В более общем случае, когда будут входить гиростатические и диссипативные действия, уравнения вынужденных колебаний в окрестности конфигурации устойчивого равновесия на основании уравнений (31) п. 25 будут иметь вид также и здесь, на основании того, что было сказаю выше, нужно по существу сосредоточить внимание на случае, когда $X_{h}$ будут вида $\xi_{h}$ sin $Q t$. Далее, как известно из теории линейных дифференциальных уравнений и как, к тому же, это было показано при изложении $\$ \S 5,6$, действительное отыскание соответствующих решений аналитически будет выполняться особенно легко и быстро, если вместо синусоидальных функций $X_{h}=\bar{\tau}_{h} \sin Q t$ мы будем рассматривать комплексные показательные функции (при действительных $\xi_{h}$ ) и в соответствии с этим будем искать решение в виде где $\lambda_{h}$ обозначают комплексные постоянные. Когда будет найдено одно такое решение и мы, как это всегда возможно, положим при действительных $j_{h}, \theta_{h}$ и $j_{h} \geqslant 0$, тогда для $x_{h}$ будем иметь выражения которые с их составляющими по действительной и по мнимой осям, равными дадут прямо решения, соответствующие силам Эти последние представляют действительные части и коэффициенты при мнимой единице $i$ во вспомогательном комплексном выражении силы, введенном в рассмотрение искусственным аналитическим приемом. Далее, $x_{h}=\lambda_{h} e^{i O t}$ (при комплексных $\lambda_{h}$ ) будут действительно решениями указанных выше уравнений вынужденных колебаний при $X_{h}=\xi_{h} e^{i \mathrm{Q} t}$ ( $\xi_{h}$ действительные числа), если $n$ комплексных постоянных $\lambda_{h}$ удовлетворяют $n$ линейным уравнениям Так как по крайней мере хотя бы одиа из величин § должна быть принята отличной от нуля, если мы не хотим возвратиться к свободным колебаниям, то речь идет о неоднородных уравнениях; следовательно, конечные и определенные решения будут существовать ири условии, что будет отличен от нуля определитель abla=\left\|\delta_{h h}\left(\omega_{h}^{2}-Q^{2}\right)+i\left(e_{h k}+\tau_{h k}\right)\right\|, где $\delta_{h h}=1$ и $\delta_{h k}=0$ при $h При таком предположении решения $i_{h}$ предыдущих линейных уравнений, вообще говоря, будут комплексными числами, которые, если отделить в соответствующих экспоненциальных выражениях $x_{h}$ действительную часть от мнимой, представят, как 9то уже было показано, колебания, имеющие тот же период, что и период добавочной силы; кроме того, для всякого отдельного $x_{h}$ можно определить запаздывание фазы $\theta_{h}$. Рассматривая $e_{h k}$, $\gamma_{h k}$ как количества первого порядка, доказать, что решение указанных выше линейных уравнений дает Отсюда с тем же приближением следует, что и при $\xi_{h}=0$ при $\xi_{h}
|
1 |
Оглавление
|