1. Доказать, что если голономная система с идеальными связями, не зависящими от времени, находится под действием консервативных сил, то статическое условие устойчивости (г. I, гл. IX, П. 17 и гл. XIII, п. 23) является также и достаточным для устойчивости в наиболее полном динамическом понимании ( $\S 1$ ).
2. Доказать инвариантность характеристического уравнения (11) по отношению к каким угодно линейным однородным преобразованиям.

Достаточно вспомнить, что если квадратичная форма подвергается произвольному линейному однородному преобразованию, то ее дискриминант умножается на квадрат модуля рассматриваемого линейного преобразования.
3. Пусть $S$ есть материальная система, отнесенная к нормальным координатам $x$ и находящаяся под действием некоторой консервативной системы сил, которые имеют потенциал $U$ в окрестности конфигурации устойчивого равновесия. Тогда будем иметь (п. 13)
\[
T=\frac{1}{2} \sum_{i=0}^{n} \dot{x}_{i}^{2}, \quad U=-\frac{1}{2} \sum_{i=1}^{n} \omega_{i}^{2} x_{i}^{2} .
\]

Если $S^{\prime}$ есть материальная система с немного отличной живой силой $T+\delta T$ и находится под действием сил, тоже немного отличных, являющиеся производными от потенциала $U+\delta U$, то при отнесении к тем же самых

нормальным координатам $x$ можно получить
\[
\delta T=\frac{1}{2} \sum_{\substack{i=1 \\ k=1}}^{n} \alpha_{i k} \dot{x}_{i} \dot{x}_{k}, \quad \delta U=-\frac{1}{2} \sum_{\substack{i=1 \\ k=1}}^{n} \beta_{i k} x_{i} \cdot x_{k},
\]

где $\alpha$ и $\beta$ обозначают состояние, которые нужно рассматривать как малые первого порядка.

Доказать, что в этом порядке приближения (т. е. по крайней мере до членов второго порядка относительно $a, \bar{\zeta}$ ) квадраты $\omega_{h}^{2}$ главных частот получают приращения, определяемые равенствами
\[
\delta \omega_{h}^{2}=\beta_{h k}-\alpha_{h k} \omega_{h} \quad(h=1,2, \ldots, n) .
\]

Как мы видели, на изменение главных частот влияют только квадратные члены возмущений $\delta T$, $\delta U$ живой силы и потенциала, члены же с произведениями не вносят никаких изменений.

Если вычислим частоты во втором приближении, то найдем, что скажется также влияние членов $\alpha_{h k}, \beta_{h k}$ при $h \gtreqless k^{1}$ ).
4. Пусть для уравнений малых колебаний голономной системы, находящейся под действием консервативных сил в окрестности конфигурации $q_{i}=0$ устойчивого равновесия, система функций
\[
q_{i}=\sum_{j=1}^{n} \dot{q}_{j}^{0} \varphi_{i j}(t) \quad(i=1,2, \ldots, n)
\]

будет решением, соответствующим произвольным начальным скоростям $\dot{q}_{i}=\dot{q}_{i}^{0}$ в конфигурации равновесия. Доказать, что общий интеграл с $2 \pi$ произвольными постоянными $\dot{q}_{i}^{0}$ (начальные скорости) и $q_{i}^{0}$ (начальные координаты) определяется равенством
\[
q_{i}=\sum_{j=1}^{n}\left\{\dot{q}_{j} \psi_{i j}(t)+q_{j}^{0} \dot{\varphi}_{i j}(t)\right\} \quad(i=1,2, \ldots, n) .
\]

Это и есть так называемое правило Стокса ${ }^{2}$ ). Чтобы установить его, достаточно заметить, что: 1) оно действительно для уравнения $\ddot{x}+\omega^{2} x=0$ гармонических движений и, следовательно, в нормальных координатах, при произвольном числе степеней свободы; 2) оно имеет инвариантный характер в отношении линейных однородных преобразований координат.
5. Предположим, что для голономной материальной системы с $n$ степенями свободы $C$ является конфигурацией устойчивого равновесия как для одной, так и для другой из различных консервативных систем сил, являющихся производными – первая от потенциала $U^{\prime}$, вторая от потенциала $U^{\prime \prime}$. Обозначая через $\omega_{h}^{\prime}, \omega_{h}^{\prime \prime}(h=1,2, \ldots, n)$ соответствующие главные частоты,

доказать, что, когда система будет подвергаться одновременному действию двух систем сил: 1) $C$ по прежнему будет конфигурацией устойчивого равновесия; 2) главные частоты $\omega_{h}$, соответствующие составной системе сил, будут связаны с $\omega_{h}^{\prime}$, $\omega_{h}^{\prime \prime}$ соотношениями
\[
\sum_{h=1}^{n} \omega_{h}^{2}=\sum_{h=1}^{n}\left(\omega_{h}^{\prime 2}+\omega_{h}^{\prime \prime 2}\right)
\]
3) между главными периодами $T_{h}=\frac{2 \pi}{\omega_{h}}, T_{h}^{\prime}=\frac{2 \pi}{\omega_{h}^{\prime}}, T_{h}^{\prime \prime}=\frac{2 \pi}{\omega_{h}^{\prime \prime}}$ будет существовать аналогичное соотношение
\[
\sum_{h=1}^{n} T_{h}^{2}=\sum_{h=1}^{n}\left(T_{h}^{\prime 2}+T_{h}^{\prime \prime 2}\right) .
\]
6. Биения. Биения представляют собой известное акустическое явление, объяснение которого мы будем иметь, рассматривая колебания, происходящие от сложения двух гармонических колебательных движений.

Предположим, что один из характеристических параметров колеблющейся системы изменяется с временем по закону
Полагаем
\[
\begin{array}{c}
x=r_{1} \cos \left(\omega_{1} t+\theta_{1}\right)+r_{2} \cos \left(\omega_{2} t+\theta_{2}\right) . \\
\omega_{1}=\omega-\varepsilon, \quad \omega_{2}=\omega+\varepsilon,
\end{array}
\]

что, естественно, возможно во всех случаях, но, как мы увидим, приобретает особый интерес, когда постоянные частоты $\omega_{1}$ и $\omega_{2}$ близки друг к другу, и, следовательно, є будет очень мало.
Положив, далее,
\[
\begin{array}{l}
r \cos \theta=r_{1} \cos \left(\theta_{1}-\varepsilon t\right)+r_{2} \cos \left(\theta_{2}+\varepsilon t\right), \\
r \sin \theta=r_{1} \sin \left(\theta_{1}-\varepsilon t\right)+r_{2} \sin \left(\theta_{2}+\varepsilon t\right)
\end{array}
\]

и приняв, как это всегда возможно, $r$ положительным, получим для $x$ выражение
\[
x=r \cos (\omega t+\theta),
\]

которое соответствовало бы гармоническому движению с периодом $2 \pi / \omega$, если бы $r$ и $\theta$ были постоянными; в действительности, в данном случае речь идет о двух функциях времени.

Из сделанного предположения следует, что $r$ и $\theta$ зависят от времени исключительно через посредство произведения $\varepsilon t$, которое при малом $\varepsilon$ за интервал времени $\Delta t$ достаточно короткой длительности получает ничтожное приращение $\varepsilon \Delta t$. Точнее, предположим, $\varepsilon$ будет столь мало, что для продолжительности $2 n \pi / \omega$ некоторого определенного числа периодов произведение $2 n \pi \varepsilon / \omega$ будет ничтожным. В этом предположении $r$ и $\theta$ можно рассматривать как постоянные не в абсолютном смысле, а для промежутка времени, не большего, чем $n$ периодов. В этом промежутке времени ход изменения $x$ можно рассматривать как приблизительно гармонический.

Естественно, что при значительной продолжительности делается заметным изменение амплитуды $r$ и фазы $\theta$. Особенно замечательны следствия изменения $r$. На основании вышеуказанных формул имеем
\[
r^{2}=r_{1}^{2}+r_{2}^{2}+2 r_{1} r_{2} \cos \left(2 s t+\theta_{3}-\theta_{1}\right),
\]

откуда вытекает, что при неограниченном изменении $t$ амплитуда $r$ колеблется между крайними значениями $r_{1}+r_{2}$ и $\left|r_{1}-r_{3}\right|$.

Заслуживает особого упоминания случай, когда $r_{1}$ и $r_{2}$, по крайней мере приблизительно, равны, так как тогда за интервалы времени продолжительности $\pi / 2 s$, значительно превосходящей период $2 \pi / \omega$, амплитуда $r$ колеблется между минимумом, приблизительно равным нулю, и максимумом $r_{1}+r_{2}$.

C точки зрения акустики это условие соответствует звуку постоянной высоты $/ 2 \pi$, интенсивность которого за интервалы времени, очень большие по сравнению с периодом $2 \pi / \omega$, периодически изменяется от вполне определенного максимума до нуля. Мы имеем таким образом чередование звучания и тишины, которое и составляет явление биений.
7. Рассмотрим кусок нити, гибкой и почти нерастяжимой, так что можно пренебречь изменением ее длины $l$. Пусть нить закреплена в своих концах $A$ и $B$ и несет в промежуточной точке $P$ массу $m$. Если предположим, что два куска нити $A P, B P$ являются прямолинейными и подвергаются одному и тому же натяжению т, то масса $m$ в силу ее связи с двумя кусками нити подвергается в нормальном к $A B$ направлении, в плоскости $A P B$, действию силы $\tau(\sin \alpha+\sin \beta)$, где положено $\alpha=\widehat{P A B}, \beta=\widehat{P B A}$. Эту силу можно выразить также в виде $\approx\left(\frac{1}{l_{1}}+\frac{1}{l_{9}}\right)$, где через $x$ обозначено расстояние $P$ от $A B$ и положено $A P=l_{1}, B P \xlongequal{=} l_{2}$.

Представим себе теперь, что, кроме $P$, еще в другой точке $Q$ пити $A B$ помещена масса, тоже равная $m$, причем три куска нити $A P=l_{1}, P Q=a$, $Q B=l_{2}$ будут прямолинейными и компланарными. Предполагая, что натяжение вдоль всей нити будет $\tau$, проверить, что на массы, расположенные в $P, Q$, нормально к $A B$ в плоскости $A P Q B$ будут действовать силы, величины которых соответственно равны
\[
=\left(\frac{x}{l_{1}}+\frac{x-y}{a}\right), \quad \tau\left(\frac{y-x}{a}+\frac{y}{l_{2}}\right),
\]

где $x, y$ обозначают расстояния точек $P, Q$ от прямой $A B$.
Предположим, наконец, что нить имеет ничтожную по сравнению с $m$ массу и общую длину $l_{1}+a+l_{2}$, близкую к $A B$.

Если натяжение $\tau$ велико по сравнению с весом $m g$ каждой из двух добавочных масс, то, действительно, возможно принять его постоянным не только в каждом из трех кусков нити в отдельности, но также и во всех трех кусках вместе.

При этих условиях легко поставить для этих двух масс задачу о поперечных колебаниях, т. е. о колебаниях, нормальных к $A B$ в плоскости $A P Q B$. Имея в виду, что систему можно рассматривать как голономную с двумя лагранжевыми параметрами $x$ и $y$, показать, что живую силу в потенциал можно выразить соответственно в виде
\[
T=\frac{1}{2} m\left(\dot{x}^{2}+\dot{y}^{2}\right), \quad U=-\frac{1}{2}=\left(\frac{x^{2}}{l_{1}}+\frac{(x-y)^{2}}{a}+\frac{y^{2}}{l_{9}}\right) .
\]

Замечая далее, что при $l_{1}=l_{2}$ выражения $x+y, x-y$ являются нормальными координатами в расширенном смысле, т. е. обе формы $T$ и $U$ могут быть одновременно приведены к ортогональному виду, вывести отсюда, что главные частоты определятся равенствами
\[
\omega_{1}^{2}=\frac{z}{m l_{1}}, \quad \omega_{2}^{2}=\frac{\pi}{m}\left(\frac{1}{l_{1}}+\frac{2}{a}\right)=\omega_{1}^{2}\left(1+\frac{2 l_{1}}{a}\right) .
\]

При каких условиях получатся биения? (См. предыдущее упражнение.)
8. Малыеколебания регулятора Уатта. В упражпении 22 предыдущей гтазы мы рассматривали схематически регулятор Уатта хак

голономную систему с лагранжевыми координатами 9 и $\varphi$, движение которой определяется уравнениями
\[
\frac{d}{d t}(\dot{\theta})=Q_{\theta}, \quad \frac{d}{d t}(J \dot{\varphi})-\frac{1}{2} \dot{\theta}^{2} \frac{\partial I}{\partial \varphi}=\frac{\partial U}{\partial \varphi},
\]

где
\[
I=C+2 m l^{2} \sin ^{2} \varphi, \quad J=2 m l^{2}, \quad U=2 m g l \cos \varphi
\]

при постоянных $C, l, m, g$. Составляюцая $Q_{\theta}$, как это было огмечено в уномлнутом упражнении, представляет момент относительно оси вращения, происходяций от большего или меньшего притока пара в распределительную коробку цилиндра. В возмущенном движении, начиная от установившегося движения, при котором угол паклона $\varphi$ ручек регулятора к вертикали имеет псстоянное значение $\varphi_{0}$, этот момент, в силу того, что регулятор пропускает больіе пара, если рукоятки с шарами больше расходятся, и пропускает пара меньше, если опи, опускаясь, сходятся, будет иметь всегда знак, противоположный отклонению угла $\varphi_{i}$ от зиаения $\varphi_{0}$. Поэтому $Q_{\theta}$ можно
представить как функцию от разности $\varphi-\varphi_{0}$, имеюшую вссстанавливающий характер, и в первом приближении (г. I, п. 17) ноложить $Q_{\theta}=$ $=\lambda\left(\varphi-\varphi_{0}\right)$ при постоянном положнтельном $\lambda$.
Фиг. 24.
Проверить теперь, что уравнепия движения будут удовлетворяться значениями $\varphi=\varphi_{0}$ и $\dot{\theta}=\dot{\theta}_{0}$ при $\dot{\theta}_{0}^{2}=\frac{g}{l \cos \digamma_{0}}$. Это решение, меростатическое для уравнений движения регулятора, можно, очевидно, прямо рассматривать как статическое, если в этих уравнения за неизвестные принимаются, вместо $\varphi$ и $\theta, \varphi$ и $\dot{\theta}$.

Уравнения малых колебаний вблизи этого решения нолучатся согласно общему правилу п. 19 , если положить $\hat{\vartheta}=\varphi_{0}+\dot{\phi}, \dot{\theta}=\dot{\theta}_{0}+\omega$ и рассматривать むи шкк количества первого поряда малости. Таким образом, мы придем к двум уравнениям:

где $I_{0}$ представляет собой величину $I$ при $\risingdotseq=0_{0}^{0}$.
Показать, что отыскание решений вида
\[
\omega=\lambda_{1} e^{z t}, \quad \psi=\lambda_{2} e^{z t},
\]

при постояных $\lambda_{1}, \lambda_{2}, z$, приводит к характеристическому урввнению
\[
\begin{array}{l}
\left(\frac{C}{2 m l^{3}}+\sin ^{2} \varphi_{0}\right) z^{3}+\dot{\theta}_{0}^{2} \sin ^{2} \varphi_{0}\left(1+3 \cos ^{2} \varphi_{0}-\frac{C}{2 m l^{2}}\right) z+ \\
\quad+\frac{\lambda}{2 m l^{2}} \dot{\theta}_{0} \sin 2 \varphi_{0}=0 .
\end{array}
\]

Убедиться, что это уравнение третьей степени допускает один (действительный) отрицательный корень $z_{1}$; показать, далее, что если два других корня $z_{2}, z_{3}$ действительны, то по крлйней мере один из них будет положительным, а если они комплексны, то оба имеют положительную действительную часть.

Наконец, из предыдущего вывести, что во всех случаях мы будем иметь неустойчивость.

Этот теоретический вывод согласуется с экспериментально установленным фактом, состоящим в том, что регулятор Уатта не достигает вполне своего назшачения, потому что действует слишком быстро как при открывании, так и при закрывании клапана для впускания пара. Поэтому в современных машинах прибегают к приборам более совершенным. См. с этой делью W. Hort, Technische Schwingu.gslehre; 2-е изд., Berlin, 1922; § 62-65.
9. Перенос колебаний с одной степени свободы на другую. Пусть $\xi$ и $\gamma_{i}$ – две лагранжевы кооринаты голономной системы с кіким угодно числом степеней свободы, со связями, не зависящими от времени, и находящейся под действием консервативной системы сил. Рассмотрим колебания системы около одного из ее положений равновесия, соответствующего для определенности нулевым значениям $\xi$ и $\gamma_{i}$, и предположим, что эти две координаты, если и не являются сами нормальными, то прелставляют собой линейные комбинации с постоянными коэффициентами (и, само собой разумеется, независимые) некоторых двух нормалыных координат системы.

Следовательно, выражения $\xi$ и $\eta$ в функциях от времени получатся, если составим линейные комбинации с постоянными коэффициентами из двух гармонических колебаний (главных)
\[
r_{1} \cos \left(\omega_{1} t+\theta_{1}\right), \quad r_{2} \cos \left(\omega_{2} t+\theta_{2}\right) .
\]

Заслуживает внимания частпый случай, когда $\xi$ и $\eta$ определяются, по крайней мере до постоянного множителя, соответственно в виде суммы и разности двух нормальных координат, так что при постоянных $h$ и $k$ мы имеем
\[
\begin{array}{l}
\frac{\xi}{h}=r_{1} \cos \left(\omega_{1} t+\theta_{1}\right)+r_{2} \cos \left(\omega_{2} t+\theta_{2}\right), \\
\frac{\eta}{k}=r_{1} \cos \left(\omega_{1} t+\theta_{1}\right)-r_{2} \cos \left(\omega_{2} t+\theta_{2}\right) .
\end{array}
\]

Полагая, как в примере $6, \omega_{1}=\omega-\varepsilon, \omega_{2}=\omega+\varepsilon$ и применяя к выражениям $\xi / h$ и $\xi / k$ те же преобразованкя, выполиенные там над выражением одного только $x$, мы придем к выражениям вида $r \cos (\omega t+\theta)$, где величина $r$, если она относится к $\xi / h$, определяется, как мы видели, из уравнения
\[
r^{2}=r_{1}^{2}+r_{2}^{2}+2 r_{1} r_{2} \cos \left(2 \varepsilon t+\theta_{2}-\theta_{1}\right) ;
\]

аналогичное уравнение для $r^{\prime}$, относящегося к координате $\eta / k$, получается из предыдущего изменением в нем знака у $r_{2}$.

Отсюда следует, что когда $r$ достигает своего наибольшего значения $r_{1}+r_{2}$, то $r^{\prime}$, наоборот, достигает своего наименьшего значения $\left|r_{1}-r_{2}\right|$, и обратно. Это становится особенно наглядным в случае, когда в мало в смысле, разъясненном в упражнении 6 , и $\dot{r}_{1}$ приблизительно равно $r_{2}$. При этом предположении мы имеем за иитервалы времени продолжительности $\pi / 2 \varepsilon$ попеременно максимальные колебания для одной из двух координат и минимальные (приблизительно покой) для другой. Это и есть так называемое явление переноса колебаний с одной стенени свободы на другую.
10. Явление Бернулли. Явление, рассмотренное в предыдущем упражнении, впервые было описано Д. Бернулли, наблюдавшим его в случае колебательных движений двух чашек весов.

Чтобы дать себе отчет в этом конкретном случае, обратимся к следующей схеме прибора. Тяжелый твердый треугольник $A O_{1} A_{2}\left(O A_{1}=O A_{2}=a\right)$

(фиг. 25) может вращаться в вертикальной плоскости вокруг $O$. К точкам $A_{1}, A_{2}$ подвешены на шарнирах в той же самой вертикальной плоскости посредством двух твердых стержней $A_{1} P_{1}, A_{2} P_{2}$ равной длины $l$ и ничтожной массы два шарика с одинаковыми массами, равными $m$. Очевидно, что речь идет о голономной системе с тремя степенями свободы, поскольку за дагранжевы параметры можно принять углы $\theta, \varphi_{1}, \varphi_{2}$, которые образуют с вертикалью высота $O H$ треугольника и два маятника $A_{1} P_{1}$ и $A_{2} P_{2}$.

Принимая за систему отсчета вертикаль $O y$, направленную вниз, и горизонталь $O x$, направленную произвсльно, и считая углы положительными ири вращении в направлении от $O x$ к $O y$ (через прямой угол), вычислим живую силу $T$ системы и потенциал $U$, соответствующий ее весу, имея в виду, что мы будем изучать малые колебания в окрестности конфигурации равновесия $\theta=\varphi_{1}=\varphi_{2}=0$.

Живую силу $T$ можно рассматривать как сумму живых сил твердого треугольника и двух шариков. Первая равна $\dot{\theta}^{2} / 2$, где $I$ обозначает момент
Фиг. 25.

инерции треугольника относительно точки $O$, а остальная часть определяется выражением
\[
\frac{1}{2} m\left(\dot{x}_{1}^{2}+\dot{y}_{1}^{2}+\dot{x}_{2}^{2}+\dot{y}_{2}^{2}\right)
\]

где $x_{1}, y_{1}, x_{2}, y_{2}$ суть координаты точек $P_{1}$ и $P_{2}$; ести положим $\alpha=\widehat{H O} A_{2}=$ $=\widehat{A_{1} O H}$, то для координат найдем выражения
\[
\begin{array}{l}
x_{1}=a \sin (\alpha-\theta)-l \sin \varphi_{1}, \quad x_{2}=-a \sin (\alpha+\theta)-l \sin \varphi_{2}, \\
y_{1}=a \cos (\alpha-\theta)+l \cos \varphi_{1}, \quad y_{2}=a \cos (\alpha+\theta)+l \cos \varphi_{2} .
\end{array}
\]

В окрестности конфигурации равновесия $\theta=\varphi_{1}=\varphi_{2}=0$ три параметра Лагранжа и их первые производные по времени можно рассматривать как величины первого порядка, так что, дифференцируя по $t$ предыдущие формулы и пренебрегая членами порядка выше первого, можно принять
\[
\begin{array}{ll}
\dot{x}_{1}=-a \dot{\theta} \cos \alpha-l \dot{\varphi}_{1}, & \dot{x}_{2}=-a \dot{\hat{\theta}} \cos \alpha-l \dot{\varphi}_{2}, \\
\dot{y}_{1}=a \dot{\varphi} \sin \alpha, & \dot{y}_{2}=-a \dot{\vec{s}} \sin \alpha .
\end{array}
\]

В результате получим
\[
2 T=I \dot{\theta}^{2}+m\left\{2 a^{2} \dot{\theta}^{2}+l^{2}\left(\dot{\varphi}_{1}^{2}+\dot{\varphi}_{2}^{2}\right)+2 a l \cos \alpha \dot{\theta}\left(\dot{\varphi}_{1}+\dot{\varphi}_{2}\right)\right\} .
\]

Что же касается потенциала, то, обозначив через $G$ центр тяжести треугольника, который, очевидно, является точкой, лежащей на высоте $O H$,

положив $O G=\rho_{0}$ и обозначив через $n_{0}$ массу треугольника, очевндно, будем иметь
\[
U=g\left\{m_{0} \rho_{0} \cos \theta+m\left(y_{1}+y_{2}\right)\right\}+\text { const. }
\]

Достаточно принять во внимание выражения $y_{1}, y_{9}$ и пренебречь членами порядка выше второго (вспомним из п. 13, что в конфигурации равновесия можно принять $U=0$ и что здесь существенными членами будут члени второго порядка, потому что члены первого порядка исчезают), чтобы привести потенциал к виду
\[
U=-\frac{1}{2} g\left\{\left(m_{0} l_{u} \rho_{0}+2 a m \cos \alpha\right) g^{2}+\operatorname{lm}\left(\varphi_{1}^{2}+\varphi_{2}^{2}\right)\right\},
\]

который, очевидно, имеет характер опредетенной отрицатетьной формы но отношению к аргументам $\theta$, $\varphi_{1}$, $\varphi_{9}$.

Чтобы одновременно определить нормальные координаты и главныс частоты, достаточно совместно привести к каноническому виду две квадратичные формы $T$ и $U$ (і. 13). Не прибегая к общему правилу, которое потребовало бы решения уравнения трегьей степени, мы придем к цели путем двух последовательных линейных преобразований, которые приведут от $\theta$ $\varphi_{1}, \varphi_{9}$ к некоторым трем новым нормєльным координатам $\xi, \eta, \zeta$ (в широком смысле, определенном в п. 13).
Выполним прежде всего подстанову, очевидно ортогональну,
\[
\psi=\frac{\varphi_{1}+\varphi_{2}}{\sqrt{2}}, \quad \xi=\frac{\varphi_{1}-\varphi_{2}}{\sqrt{2}},
\]

в результате которой, вводя безразмерныс постояниые
\[
\begin{array}{c}
\lambda=\frac{\sqrt{2} a \cos \alpha}{l}, \quad \mu^{2}=\frac{I}{m l^{2}}+2 \frac{a^{2}}{l^{2}}=\frac{I}{m l^{2}}+\frac{\lambda^{2}}{\cos ^{2} \alpha}, \\

u^{2}=\frac{m_{0} e_{n}+2 m a \cos \alpha}{m l},
\end{array}
\]

для $T$ и $U$ получим выражения
\[
\begin{array}{c}
2 T=m l^{2}\left\{\mu^{2} \dot{\psi}^{2}+\dot{\psi}^{2}+\dot{\xi}^{2}+2 \dot{0} \dot{\psi}\right\}, \\
U=-\frac{1}{2} m g l\left(\dot{j}^{2}+\psi^{2}+\xi^{2}\right) .
\end{array}
\]

По.тожим далее
\[
\psi=\eta \cos \gamma+\zeta \sin \gamma, \quad \gamma \theta=-r_{i} \sin \gamma+\zeta \cos \gamma,
\]

где угол $\gamma$ определяется на основаиии условия
\[
\operatorname{tg} 2 \gamma=\frac{2 \lambda \gamma}{\gamma^{2}} \frac{2}{-\gamma^{2}} .
\]
\[
\begin{array}{l}
T=\frac{1}{2} m l^{2}\left(\dot{\xi}^{2}+b^{2} \dot{r}_{i}^{2}+c^{2} \dot{\xi}^{2}\right), \\
U=-\frac{1}{2} m g l\left(\xi^{2}+r_{i}^{2}+b^{2}\right),
\end{array}
\]

где
\[
\begin{array}{l}
b^{2}=\frac{\mu^{2}}{\gamma^{2}} \sin ^{2} \gamma+\cos ^{2} \gamma-\frac{\lambda}{\gamma} \sin 2 \gamma, \\
c^{2}=\frac{\mu^{2}}{
u^{2}} \cos ^{2} \gamma+\sin ^{2} \gamma+\frac{\lambda}{\gamma} \sin 2 \gamma,
\end{array}
\]

а отсюда непосредственно получается (п. 13), что квадраты гавых частот определяются равенствами
\[
\omega_{1}^{2}=\frac{g}{l}, \omega_{2}^{2}=\frac{g}{l} b^{2}, \omega_{3}^{2}=\frac{g}{l} c^{2} .
\]

Все это сохраняет свое значение и в общем случае. Примем теперь во внимание специальные условия, характеризующие явление, которое мы намерены истолковать, чтобы вывести из них некоторые оценки порядка величин для постоянных, которые входят в рассмотрение.

В условиях явления Бернулти $a$ и $l$ нужно рассматривать как количества одного и того же порядка, в то время как расстояние $O H=a \cos \alpha$, a следовательно, и подавно $O G=p_{0}$ должны считаться малыми (первого порядка) по сравнению с $l$; число $\lambda$ будет поэтому величиной первого порядка. То же самое можно сказать о каждой из двух масс $m$ по сравнению с массой $m_{0}$ рамы треугольника. Из этих предположений следует, что в выражении числа $\mathrm{y}^{9}$, которое можно написать в виде
\[
v^{2}=\frac{m_{0} p_{0}}{m l}+2 \frac{a \cos \alpha}{l},
\]

второй член наверное мат; но они не позволяют сказать то же самое о первом члене, который может быть представлен в виде отношения двух малых величин $\rho_{0} / l, m / m_{0}$. Мы здесь дополним предположения, высказанные выше, допуская, что прибор сконструировал таким образом, чтобы первое отношение было мало по сравнению со вторым; на основании этого предположения $v^{9}$ можно рассматривать как величину первого порядка.

Если, кроме того, возьмем снова постоянну $\mu^{2}$ и в ее выражение вместо $I$ подставим его значение $m_{0} \delta^{2}$, где $\delta$ есть соответствующий радиус инерции, то из выражения
\[
\mu^{9}=\frac{m_{0}}{m} \frac{\hat{\delta}^{q}}{l^{2}}+\frac{\lambda^{2}}{\cos ^{2} \alpha}
\]

увидим, что, рассматривая $\lambda / \cos \alpha=\sqrt{2 a} / l$ и $\delta / l$ как величины конечные, мы должны будем считать $\mu^{2}$ за очень больную величину вследствие наличия множителя $m_{0} / m$, где $m$ по предположению мало по сравнению с $m_{0}$.

Наконец, мы можем в данном случае воспользоваться еще тем, что как $\lambda$, так и $y^{3}$ и $1 / \mu^{2}$ можно рассматривать как малые величины первого порядка, а $\lambda^{2} / \cos ^{2} \alpha$ считать конечным числом и при этом таким, что порядок величины членов с $
u$ или $1 / \mu$, при умножении на это число, ие изменится. Конечно, из предположения, что $\vee^{2}$ и $1 / \mu^{2}$ будут первого порядка, не следует, что такими же будут у и $1 / \mu$; но речь идет все же о величинах тоже всегда малых и таких, о которых можно сказать, что они порядка $1 / 2$ и что в произведении они дают величину $v / \mu$ первого порядка.
Заметим теперь, что выражение пля $\operatorname{tg} 2 \gamma$ может быть написано в виде
\[
\frac{2 \lambda \frac{\mu^{2}}{\mu^{2}}}{1-\frac{
u^{2}}{\mu^{2}}},
\]

где числитель порядка выше первого (можно сказать порядка $\% / 2$ ), тогда как знаменатель близок к 1 ; поэтому, обозначая, как обычно, через (n) члены порядка не ниже $n$, можно положить
\[
\gamma=\frac{\lambda
u}{\mu^{2}}(1+(2))
\]

и, следовательно,
\[
\cos ^{2} \gamma=1+(5), \quad \sin ^{2} \gamma=\frac{\lambda^{2}
u^{2}}{\mu^{4}}(1+(2)), \sin 2 \gamma=\frac{2 \lambda
u}{\mu^{2}}(1+(2)) .
\]

При этом порядке приближения непосредственно найдем
\[
b^{2}=1-\frac{\lambda^{2}}{\mu^{2}}+(5), c^{2}=\frac{\mu^{2}}{\gamma^{2}}+(3)
\]

или, пренебрегая только членами пятого порядка по сравнению с единицей (что позволяет пренебречь членами третьего порядка по сравнению с отношением $\mu^{2} /
u^{2}$, которое самое большее есть величина второго порядка),
\[
b^{2}=1-\frac{i^{2}}{\mu^{2}}, c^{2}=\frac{\mu^{2}}{\gamma^{2}} .
\]

Так как $c$ оказывается очень большим, то же будет верно и для $\omega_{2}$; а так как
\[
\omega_{2}^{2}=\omega_{1}^{2}\left(1-\frac{\lambda^{2}}{\mu^{2}}\right),
\]

то две главные частоты $\omega_{1}, \omega_{2}$, соответствующие координатам $\xi$, ๆ, будут близки друг к другу.

С другой стороны, в силу малости $\gamma$ координату $\psi$ можно положить просто равной $\eta_{1}$, так что первоначальные координаты $\varphi_{1}$, $\varphi_{2}$ можно выразить в виде
\[
\varphi_{1}=\frac{\psi+\xi}{\sqrt{2}}, \quad \varphi_{2}=\frac{\psi-\xi}{\sqrt{2}} ;
\]

они представятся, таким образом, в виде суммы и разности двух координат, из которых первая строго, а вторая приблизительно нормальна (в широком смысле). Поэтому будут приложимы рассуждения, изложенные в предыдущем упражнении.
11. Написать уравнения Лагранжа для тяжелой точки, удерживаемой без трения на эллиптическом параболоиде
\[
2 z=a x^{2}+b y^{2},
\]

где $a$ и $b$ обозначают две положительные постоянные, и ось $z$ направлена вертикально вверх. Рассматривая, в частности, малые колебания около положения устойчивого равновесия $x=y=0$, показать, что частоты главных колебаний суть $2 \pi / a$ и $2 \pi / b$. (См. упражнение 27 гл. II.)
12. Для живой силы $T$ свободной точки с единичной массой в цилиндрических координатах $\rho, 0, z$ (см., например, гл. II, п. 46) имеем выражение
\[
T=\frac{1}{2} \cdot\left(\dot{p}^{2}+p^{2} \dot{j}^{2}+\dot{z}^{2}\right) .
\]

Если сила, приложенная к точке, является производной от симметрического, т. е. не зависящего от $\theta$, потенциала $U(\rho, z)$, то угол ө будет игнорируемой координатой, и мы будем иметь (г. V. V, II. 42) интеграл момента количества движения относительно оси симметрии $\mathrm{Oz}$
\[
\rho^{2 \dot{\theta}}=\text { const }=c .
\]

Так как приведенная функция Лагранжа (гл. V, п. 46) имеет здесь вид
\[
\mathrm{s} s=T+U-c \dot{\theta}=\frac{1}{2}\left(\dot{\mathrm{p}}^{2}+\dot{z}^{2}\right)+U-\frac{1}{2} \frac{c^{2}}{\rho^{2}},
\]

то движение, определяемое двумя лагранжевыми уравнениями для координат $\rho$ и $z$, очевидно, будет таким, какое имела бы свободная точка на плоскости с декартовыми координатами $\rho$ и $z$, если бы она находилась под действием консервативной силы, производной от потенциала
\[
U(\rho, z)-\frac{1}{2} \frac{c^{2}}{\rho^{2}} .
\]

Проверить, что всякому возможному положению $M$ равновесия в этом плоском движении соответствует в пространственной задаче меростатическое решение, а именно круговое равномерное движение с угловой скоростью $c / \rho_{0}^{2}$, где ро есть постоянная величина координаты $\rho$ точки $M$ (радиус круговой траектории). Постоянная интегрирования, $c$ связана с $p_{0}$ уравнением $c^{2}=-\frac{1}{3} \rho_{0}^{3}$, где $a_{1}$ обозначает величину $\partial U / \partial \rho$ в точке $M$.

Обозначая через $a_{11}, a_{12}, a_{22}$ значения вторых производных от $U$ в точке $M$ пори $z$, доказать, что условие (приведенной) устойчивости кругового движения определяется равенством
\[
\left(a_{11}+\frac{3}{\rho_{0}} a_{1}\right) a_{22}-a_{12}^{2}>0 .
\]
13. Применить рассуждения предыдущего упражнения к случаю
\[
U=\frac{k}{\sqrt{\rho^{2}+z^{9}}}+g z,
\]

при постоянных $k$ и $g$, который, очевидно, соответствует совместному действию ньютонианского притяжения к полюсу и однородного поля силы. Доказать, что условие устойчивости меростатического кругового решения в этом случае можно истолковать в следующей геометрической форме: если $2 \alpha$ есть визуальный угол траектории относительно полюса (или, другими словами, $\alpha$ есть угол полураствора кругового конуса, проектирующего из полюса траекторию), то должно быть $\cos \alpha>1 / 3$.
14. Подтвердить способом, аналогичным указанному в упражнении 12 , что если в плоскости в полярных координатах $\rho$ и $\theta$ рассматривается движение точки под действием центральной силы с симметрическим потенциалом $U(p)$, то возможны круговые движения, условие устойчивости которых определяется при обозначениях упражнения 12 неравенством
\[
a_{11}+\frac{3}{\rho_{0}} a_{1}>0,
\]

м рассмотреть, в частности, случай
\[
U=-\frac{k}{(y-1) \rho^{y-1}}
\]

при постоянных $k$ и у, второе из которых отлично от 1.
Отметить, что этот случай соответствует центральной притягивающей или отталкивающей силе, по величине обратно пропорциональной $p^{p}$, и снова найти условие $
u<3$ п. 10 г.т. II.
15. Обращаясь к п. 47 г.т. II, принять функцию Лагранжа в виде
\[
\mathfrak{Q}=\frac{1}{2}\left[\dot{z}^{2}\left(1-f^{\prime 3}\right)+\dot{\theta}^{2} f^{2}\right]+g z,
\]

соответствующем движению тяжелой точки, которая удерживается без трения на поверхности вращения $p=f(z)$. Принимая во внимание интеграл $\dot{\theta} f^{2}=c$, можно определить закон, по которому $z$ изменяется с временем, посредством уравнения Јагранжа
\[
\frac{d}{d t} \frac{\partial y^{*}}{\partial \dot{z}}-\frac{\partial \mathcal{Y}^{*}}{\partial z}=0,
\]

где :⿻ $^{*}$ – приведенная функция Лагранжа
\[
g(z, \dot{z})=z-c \dot{\theta}=\frac{1}{2} \dot{z}^{2}\left(1+f^{2}\right)+g z-\frac{1}{2} \frac{c^{2}}{f^{2}} .
\]

Проверить, что уравнение относительно $z$ допускает статическое решение $z=z_{0}=$ const, если $z_{0}$ и связаны соотношением
\[
c^{2}=-g \frac{f_{0}^{3}}{f_{0}^{\prime}},
\]

где индексом 0 отмечаются значения $f$ и ее производных при $z=z_{\text {и }}$.
Всякому такому решению будет соответствовать на поверхности равномерное движение по параллели с высотой $z=z_{0}$.

Вывести из предыдущих формул, что эти круговые движения возможны только вдоль параллелей той зоны поверхности, где она обращена вогнутостью вверх.

Кроме того, полагая в $\left\{* z=z_{0}+\zeta\right.$, определить уравнение малых колебаний вблизи решения $z=z_{0}$ и проверить, что условие устойчивости определяется неравенством
\[
3 f_{0}^{\prime 2}>f_{0} f_{0}^{\prime \prime} .
\]
16. В тексте мы рассматривали уравнения малых колебаний для голономной системы со связями, не зависящими от времени, и находящейся под действием консервативных сил. Если система допускает игнорируемые координаты и вычисляется приведенная функция Лагранжа, то появляются, как мы знаем (гл. V, п. 46), гиростатические ๆлены. В п. 24 мы указали форму (30), которая в этом случае свойственна уравнениям малых колебаний около положения устойчивого равновесия; было показано, что гиростатические члены не влияют на интеграл энергии, из рассмотрения которого также и в этом случае становится очевидной устойчивость на основании критерия Дирихле.

Предполагая, что речь идет о действительном устойчивом равновесии, можно распространить на этот случай результат п. 13 , заключающийся в том, что малые колебания всегда будут составляться из некоторого числа $n$ чисто гармонических колебаний.

Доказательство по существу основывается на том обстоятельстве, что если положить, как в п. $27, x_{h}=\lambda_{h} e^{i \iota t}$, то постоянная $\omega^{2}$ должна будет удовлетворять алгебраическому уравнению $n$-ой степени с существенно положительными корнями ${ }^{1}$ ).
17. Система (31′) п. 25 определяем малые колебания в наиболее общем случае, когда входят одновременно гиростатические и диссипативные действия. Соответственно решениям
\[
z_{k}=i_{k} e^{z t} \quad(k=1,2, \ldots, n),
\]

где $\lambda_{k}$ и $z$ суть подлежащие определению постоянные, уравнения (31′) принимают внд
\[
\sum_{k=1}^{n} u_{h k} \lambda_{k}=0 \quad(h=1,2, \ldots, n),
\]

где для краткости положено
\[
u_{h k}=\alpha_{h k} z^{2}+\left(\psi_{h k}+e_{h k}\right) z-\beta_{h k} \quad(h, k=1,2, \ldots, n) .
\]

Характеристическое уравнение степени $2 n$ относительно $z$ будет, следовательно,
\[
u(z)=\left\|u_{h k}\right\|=0,
\]

и приводится, как это естественно, к виду (28′), когда отсутствуют гиростатические и диссипативные действия.
18. Обозначая через $\lambda_{h}, \lambda_{h}^{\prime} n$ пар произвольных чисел, введем для квадратичной формы, которую мы будем рассматривать как живую силу, и для ее полярной формы обозначения и припишем аналогичные значения символам $\Psi_{\lambda \lambda}, \Psi_{\lambda \lambda^{\prime}}=\Psi_{\lambda \lambda_{\lambda}}, V_{\lambda \lambda}, V_{\lambda \lambda^{\prime}}=$ $=V_{\lambda^{\prime} \lambda}$, соответствующим квадратичным формам, которые будем истолковывать как диссипативную функцию и потенциальную энергию (п. 25)
\[
\Psi=\frac{1}{2} \sum_{\substack{h=1 \\ k=1}}^{n} \gamma_{h k} \dot{z}_{h} \dot{z}_{k}, \quad V=-\left(T_{0}+U\right)=-\frac{1}{2} \sum_{\substack{h=1 \\ k=1}}^{n} \rho_{h k} z_{h} z_{k} .
\]

Если, в частности, $\lambda_{h}$ имеют то же значение, что и в предыдущем упражнении, то из определяющих эти величины уравнений следует, что
\[
\sum_{\substack{h=1 \\ k=1}}^{n} u_{h k} \lambda_{h i} \lambda_{k}=0
\]

Проверить, что в силу тождеств \” $e_{h k}+e_{k h}=0$ соотношение это можно написать в виде
\[
z^{2} T_{\lambda \lambda}+2 z \Psi_{\Lambda \lambda}+V_{\lambda \lambda}=0,
\]

и вывести отсюда, что если квадратичная форма $V$ является также определенной положительной (как это бывает, когда решение $y_{k}=0$ является устойчивым), то всякий действительный характеристический показатель необходимо должен быть отрицательным.

Можно доказать более общее предположение: если отсутствуют аэростатические члены ( $\left.e_{h k}=0\right)$, но входят диссипативные действия, то каждый характеристическй̆ показатель $z$ имеет действительную часть существенно отрицательную.

Чтобы установить этот результат, достаточно рассмотреть случай комплексного $z, z=\mu+i
u$, при $
u
eq 0$, так как предположение $
u=0$ уже рассмотрено ранее.

Вместе с $z$ корнем характеристического уравнения (с действительными коэффициентами) будет также и сопряженная с иим величина $\bar{z}=\Perp-i$, которой будут соответствовать решения вида
\[
y_{k}=\dot{\lambda}_{k} e^{\bar{z} t} \quad(k=1,2, \ldots, n) ;
\]

где $\bar{\lambda}_{k}$ обозначают величины, сопряженные с $\lambda_{k}$.
Обозначая через $\bar{t}_{h k}$ трехчлены
\[
\alpha_{h k} \vec{z}+\gamma_{h k} \bar{z}-\beta_{h k} \quad(h, k=1,2, \ldots, n),
\]

сопряженные с $u_{h k}$, будем одновременно иметь
\[
\sum_{k=1}^{n} u_{h k} \lambda_{k}=0, \sum_{k=1}^{n} \bar{u}_{h k} \bar{\lambda}_{k}=0 \quad(h=1,2, \ldots, n),
\]

а отсюда следуют два уравнения
\[
\sum_{\substack{h=1 \\ k=1}}^{n} n_{h k} \bar{i}_{h} \lambda_{k}=0, \sum_{\substack{h=1 \\ k=1}}^{n} \bar{u}_{h k} \lambda_{h} \bar{\lambda}_{k}=0,
\]

которые, благодаря отсутствию аптисимметричных коэффициентов $e_{h k}$, можно написать также в виде
\[
z^{2} T_{\lambda \bar{\lambda}}+2 z \Psi_{\bar{\lambda} \bar{\lambda}}+V_{\lambda \bar{\lambda}}=0, \bar{z}^{2} T_{\bar{\lambda} \bar{\lambda}}+2 \bar{z} \Psi_{\lambda \bar{\lambda}}+V_{\overline{\lambda \lambda}}=0,
\]
т. е. они приводятся к одному и тому же уравнению второй степепи, удовлетворяющемуся как величиной $z$, так и $\vec{z}$. Отсюда получим
\[
\frac{1}{2}(z+\bar{z})=\mu=-\frac{\Psi_{\lambda \bar{\lambda}}}{T_{\lambda \bar{\lambda}}} ;
\]

так как $\Psi$ и $T$ являются определенными положительными формами, а аргументы $\lambda$ и $\bar{\lambda}$ сопряжены между собой, то заключаем согласно утверждению, что $\mu<0^{1}$ ).
19. Вынужденные колебания голономной системы, находящейся под действием консервативных сил в окрестности конфигурации устойчивого равновесия, в нормальных координатах $x_{h}$ определяются уравнениями вида
\[
\ddot{x}_{h}+\omega_{h}^{2} x_{h}=X_{h} \quad(h=1,2, \ldots, n),
\]

где $\omega$ обозначают постоянные главных частот свободных колебаний и $X$ являются лагранжевыми составляющими добавочных сил. Как и в случае одной степени свободы (гл. I, піг. 61, 62), наиболее интересным с физической точки зрения видом добавочных сил являются периодические силы. Даже и здесь, в силу линейности уравнений малых колебаний, если $x_{h}^{\prime}$, $x_{h}^{\prime \prime}$ суть общие интегралы, соответствующие силам $X_{h}^{\prime}, X_{h}^{\prime \prime}$, то $x_{h}^{\prime}+x_{h}^{\prime \prime}$ будет наиболее общим решением, соответствующим составной силе $X_{h}^{\prime}+X_{h}^{\prime \prime}$; это замечание распространяется и на случай скольких угодно составляющих сил. Это обстоятельство, как было отмечено в п. 66 гл. I, позволяет привести случай произвольной периодической силы к сумме сил или постоянных, или синусоидальных. В случае постоянных сил мы приходим к задаче о смещении равновесия ( $\$ 2$ ), так что, в конечном счете, остается только рассмотреть предположение, что силы имеют вид

При этом предположении для каждой нормальной координаты сохраняют силу рассуждения п. 64 гл. I; в случае, когда $\Omega$ отлична от всех $\omega_{k}$, можно указать для отдельных $x_{k}$ синусоидальные колебания, имеющие тот же период, что и $X_{k}$, т. е., еще точнее, выражения вида $\lambda_{k} \sin Q t$, где $\lambda_{k}$ имеют значения $\xi_{k} /\left(\omega_{k}^{2}-Q^{2}\right)$.

В более общем случае, когда будут входить гиростатические и диссипативные действия, уравнения вынужденных колебаний в окрестности конфигурации устойчивого равновесия на основании уравнений (31) п. 25 будут иметь вид
\[
\ddot{x}_{h}+\omega_{h}^{2} x_{h}+\sum_{k=1}^{n}\left(e_{h k}+\gamma_{h k}\right) \dot{x}_{h}=X_{h} \quad(h=1,2, \ldots, n) ;
\]

также и здесь, на основании того, что было сказаю выше, нужно по существу сосредоточить внимание на случае, когда $X_{h}$ будут вида $\xi_{h}$ sin $Q t$.

Далее, как известно из теории линейных дифференциальных уравнений и как, к тому же, это было показано при изложении $\$ \S 5,6$, действительное отыскание соответствующих решений аналитически будет выполняться особенно легко и быстро, если вместо синусоидальных функций $X_{h}=\bar{\tau}_{h} \sin Q t$ мы будем рассматривать комплексные показательные функции (при действительных $\xi_{h}$ )
\[
X_{h}=\xi_{h} e^{i \Omega t}=\xi_{h}(\cos Q t+i \sin Q t) \quad(h=1,2, \ldots, n)
\]

и в соответствии с этим будем искать решение в виде
\[
i_{h} e^{i \mathrm{Q} t} \quad(h=1,2, \ldots, n),
\]

где $\lambda_{h}$ обозначают комплексные постоянные. Когда будет найдено одно такое решение и мы, как это всегда возможно, положим
\[
\lambda_{h}=j_{h} e^{-i \theta_{h}} \quad(h=1,2, \ldots, n)
\]

при действительных $j_{h}, \theta_{h}$ и $j_{h} \geqslant 0$, тогда для $x_{h}$ будем иметь выражения
\[
x_{h}=j_{h} e^{i\left(\Omega t-\theta_{h}\right)} \quad(h=1,2, \ldots, n),
\]

которые с их составляющими по действительной и по мнимой осям, равными
\[
j_{h} \cos \left(Q t-\theta_{h}\right), j_{h} \sin \left(Q t-\theta_{h}\right) \quad(h=1,2, \ldots, n),
\]

дадут прямо решения, соответствующие силам
\[
\xi_{h} \cos \Omega t, \xi_{h} \sin \Omega t \quad(h=1,2, \ldots, n) .
\]

Эти последние представляют действительные части и коэффициенты при мнимой единице $i$ во вспомогательном комплексном выражении силы, введенном в рассмотрение искусственным аналитическим приемом.

Далее, $x_{h}=\lambda_{h} e^{i O t}$ (при комплексных $\lambda_{h}$ ) будут действительно решениями указанных выше уравнений вынужденных колебаний при $X_{h}=\xi_{h} e^{i \mathrm{Q} t}$ ( $\xi_{h}$ действительные числа), если $n$ комплексных постоянных $\lambda_{h}$ удовлетворяют $n$ линейным уравнениям
\[
\left(\omega_{h}^{2}-Q^{2}\right) \lambda_{h}+i \Omega \sum_{k=1}^{n}\left(e_{h k}+i_{h k}\right) \lambda_{k}=\frac{h}{\hbar h} \quad(h=1,2, \ldots, n) .
\]

Так как по крайней мере хотя бы одиа из величин § должна быть принята отличной от нуля, если мы не хотим возвратиться к свободным колебаниям, то речь идет о неоднородных уравнениях; следовательно, конечные и определенные решения будут существовать ири условии, что будет отличен от нуля определитель
\[

abla=\left\|\delta_{h h}\left(\omega_{h}^{2}-Q^{2}\right)+i\left(e_{h k}+\tau_{h k}\right)\right\|,
\]

где $\delta_{h h}=1$ и $\delta_{h k}=0$ при $h
eq k$.
При отсутствии гиростатических и диссипативных действий, т. е. при $\boldsymbol{e}_{h k}=\gamma_{h k}=0$, этот определитель, очевидно, не будет исчезать при единственном условии, что величина $Q$ отлична от всех $\omega_{h}$. Поэтому в общем случае наверное будем иметь $
abla
eq 0$, когда $Q
eq \omega_{h}$ (1ри $h=1,2, \ldots, n$ ), а коэффициенты $e$ и $\gamma$ достаточно малы.

При таком предположении решения $i_{h}$ предыдущих линейных уравнений, вообще говоря, будут комплексными числами, которые, если отделить в соответствующих экспоненциальных выражениях $x_{h}$ действительную часть от мнимой, представят, как 9то уже было показано, колебания, имеющие тот же период, что и период добавочной силы; кроме того, для всякого отдельного $x_{h}$ можно определить запаздывание фазы $\theta_{h}$.

Рассматривая $e_{h k}$, $\gamma_{h k}$ как количества первого порядка, доказать, что решение указанных выше линейных уравнений дает
\[
\lambda_{h}=\frac{\xi_{h}}{\omega_{h}^{2}-Q^{2}}-i \Omega \sum_{k=1}^{n}\left(e_{h k}+\gamma_{h k}\right) \frac{\xi_{k}}{\omega_{k}^{2}-Q^{2}} \quad(h=1,2, \ldots, n) .
\]

Отсюда с тем же приближением следует, что
\[
j_{h}=\left|\frac{\xi_{h}}{\omega_{h}^{2}-\Omega^{2}}\right| \text {, }
\]

и при $\xi_{h}=0$
\[
\theta_{h}= \pm \frac{\pi}{2}
\]

при $\xi_{h}
eq 0$
\[
\theta_{h}=\frac{\omega_{h}^{2}-Q^{2}}{\xi_{h}} \sum_{k=1}^{n}\left(\ell_{h k}+i_{h k}\right) \frac{\xi_{k}}{\omega_{k}^{2}-Q^{2}} .
\]
20. Если относительно нормальных координат $X_{h}^{\prime}, X_{h}^{\prime \prime}$ являются составляющими двух различных добавочных синусоидальных сил, имеющих одну и ту же частоту 0 , и $x_{h}^{\prime}, x_{h}^{\prime \prime}$ обозначают выражения, которые имеют координаты при вынужденных колебаниях, вызываемых этими силами, то при отсутствии гиростатических действий имеем (теорема взаимности)
\[
\sum_{h=1}^{n} X_{h}^{\prime} x_{h}^{\prime \prime}=\sum_{h=1}^{n} X_{h}^{\prime \prime} x_{h}^{\prime} .
\]