2. Пусть $P$ есть материальная точка с массой $m$, движущаяся (или, в предельном случае, находящаяся в покое) под действием сил, равнодействующая которых есть $\boldsymbol{F}$. Предположим, что мы заранее знаем траекторию $c$ точки (иногда это вполне возможно, если, например, у нас имеются некоторые данные о характере действующих сил). Тогда для определения движения точки $P$ достаточно найти зависимость между положением точки на траектории и временем (т. е. закон движения). Точнее, єсли $s$ есть длина дуги траектории $c$ между произвольной начальной точкой и точкой $P$, отсчитываемая в заданном направлении (криволинейная абсцисса точки $P$ ), то все
сводится к нахождению уравнения движения в конечной форме $s=s(t)$, определяющего положение точки $P$ на заданной траектории $c$. Для этой цели возьмем основное уравнение (1)
\[
m a=F
\]

и спроектируем обе его части в любой точке кривой $c$ на касательную, проведенную в направлении возрастающих значений $s$. Так как касательное ускорение точки $P$ равно $\ddot{s}$ (т. I, гл. II, п. 26), то мы получим следующее скалярное уравнение:
\[
m \ddot{s}=F_{i}
\]
(первое внутреннее уравнение движения точки $P$; см. т. I, гл. VII, п. 31). Предположим, что касательная составляющая $F_{t}$ силы $\boldsymbol{F}$ известна. Согласно сказанному в п. 22 гл. VII т. I, это означает, что $F_{t}$ должна быть известной функцией от положения и скорости точки $P$ и, может быть, также и от времени $t$. Так как на заданной траектории $c$ положение точки $P$ однозначно определяется ее криволинейной ао́сциссой $s$, а скорость – скалярной величиной $\dot{s}$ (поскольку направлением скорости в любой точке является направление касательной), то из только что сказанного следует, что составляющая $F_{t}$ предстәвляет собой известную функцию $f(s, \dot{s} \mid t)$ от трех аргументов, $s, \dot{s}, t$, и равенство (2) принимает вид
\[
m, \ddot{s}=f\left(s, \dot{s}^{\prime} t\right) .
\]

Таким образом, задача о движении точки $P$ по траектории $c$ сводится к определению всех функций $s(t)$, удовлетворяющих уравнению $\left(2^{\prime}\right)$, т. е. к интегрированию одного единственного дифференциального уравнения второго порядка.

В общем случае это уравнение не интегрируется в конечном виде; только в редких случаях, примеры которых мы дадим в §§ 4 и 5 , его удается интегрировать в квадратурах.

Однако в анализе доказывается, что при достаточно широких качественных условиях для функции от трех аргументов $f(s, \dot{s} \mid t)$ уравнение (2′) имеет общий интеграл, зависящий от двух произвольных постоянных. Так как в нашей механической интерпретации функция $F_{i}=f(s, \dot{s} \mid t)$ в конкретных задачах этим условиям полностью удовлетворяет, то можно сказать, что на траектории $c$ при заданных действующих силах возможны $\infty^{2}$ отличных друг от друга движений; из всех этих движений мы сможем выделить одно, если будем иметь достаточно данных для определения двух постоянных интегрирования.

Так, например, можно доказать, что если функция $f(s, \dot{s} \mid t)$ в определенной области конечна, непрерывна и дифференцируема по любому из трех ее аргументов, то среди интегралов уравнения $\left(2^{\prime}\right)$ всегда существует такая функция $s(t)$, которая однозначно

определяется следующими условиями: функция $s$ и ее производная при заданном значении $t_{0}$ независимой переменной (принадлежащем рассматриваемой области) принимают произвольно заданные (тоже из рассматриваемой области) значения $s_{0}, \dot{s}_{0}$. Поэтому мы можем сказать, что при заданных условиях среди возможных движений точки $P$ по траектории $c$ имеется одно и только одно движение, при котором точка $P$ пройдет через произвольно выбранное положение в заданный момент времени и с заданной скоростью.

Подобным же образом в анализе доказывается, что при условиях, которых мы здесь точно не будем указывать, уравнение (2′) имеет (по крайней мере для некоторого промежутка времени, или, если угодно, для надлежащим образом выбранной дуги кривой) один и только один интеграл, принимающий для двух заданных значений времени $t$ два произвольно выбранных значения. Поэтому мы можем утверждать, что среди движений точки $P$ по траектории $c$, определяемых уравнением ( $2^{\prime}$ ), существует одно и только одно движение, при котором $P$ в два заданных момента времени проходит через. два предписанных положения.
3. Среди $\infty^{2}$ движений, определяемых уравнением (2′), может заключаться, в частности, и положение равновесия в какой-нибудь точке $s_{0}$. Для того чтобы это имело место, необходимо и достаточно, чтобы уравнение (2′) удовлетворялось тождественно (т. е. для всякого значения независимого переменного $t$ ), если в него подставить вместо функции $s(t)$ постоянную $s_{0}$; следовательно, должно быть
\[
f\left(s_{0}, 0 \mid t\right)=0
\]

при всяком $t$. Это можно было предвидеть. В самом деле, общее условие равновесия состоит, как мы знаем, в том, что сила должна быть равна нулю, а $f\left(s_{0}, 0 \mid t\right)$ есть не что иное, как касательная составляющая $F_{t}$ такой силы, которая удовлетворяет предполагаемому состоянию равновесия движущейся точки в положении $s=s_{0}$.