21. Задача двух тел. На основании закона Ньютона основной задачей небесной механики является задача о движении скольких угодно тел (рассматриваемых как материальные точки), попарно притягивающихся силами, пропорциональными произведению масс и обратно пропорциональными квадрату расстояния. Рассмотрим сначала наиболее простой случай, в котором число тел сводится к двум.

В астрономии этот случай осуществляется приблизительно всякии раз, когда рассматриваются такие два небесных тела, для которых можно пренебречь действиями на них всех остальных тел: типичным примером являются так называемне двойные звезды.

Если пренебречь действием на систему Солнце-планета или планета-спутник других небесных тел, то к этой задаче двух тел можно будет отнести также и задачу о движении систем Солнцепланета или планета-спутник, которую мы уже рассмотрели в предыдущем параграфе, приводя ее при помощи соответствующих предположений к случаю движения точки, притягиваемой неподвижным центром. Как мы увидим из последующего изложения, эта новая постановка указанных задач, являясь менее схематичной, чем постановка, изложенная в предыдущем параграфе, приводит к приближению, несколько лучшему, чем то, которое было достигнуто при изучении движения точки, притягиваемой неподвижным относительно звезд центром (или центром, находящимся в прямолинейном и равномерном движении).

Итак, пусть $P_{0}$ и $P$ будут два тела с массами $m_{0}$ и $m$, которые мы будем рассматривать как изолированные во Вселенной. Аналогично тому, как это делалось в п. 18 , обозначим через $\boldsymbol{A}$ притяжение единицей массы $P_{0}$ единицы массы $P$, через $\boldsymbol{\alpha}_{0}, \boldsymbol{\alpha}$ – абсолютные ускорения точек $P_{0}$ и $P$ и черєз $a$ – ускорение (относительное) $\boldsymbol{\alpha}-\boldsymbol{\alpha}_{0}$ точки $P$ относительно осей с неизменными направлениями и началом в точке $P_{0}$.

Так как по третьему закону Ньютона притяжение единицей массы тела $P$ единицы массы тела $P_{0}$ есть $-A$, то будем иметь
\[
\alpha_{0}=-m A, \quad \alpha=m_{0} A
\]

и, следовательно,
\[
\boldsymbol{a}=\left(m_{0}+m\right) \boldsymbol{A} .
\]

Это уравнение относительного движения одного из двух тел по отношению к другому (в нашем случае тела $P$ относительно тела $P_{0}$ ) тождественно, как мы видим, с движением, которое имело бы тело $P$, если бы тело $P_{0}$ было неподвижным (или находящимся

в равномерном и прямолинейном движении относительно звезд) и, притягивая тело $P$ по закону Ньютона, имело бы вместо фактической массы $m_{0}$ массу $m_{0}+m$. Другими словами, в относительном движении все происходит так, кӓк если бы речь шла о ньютонианском притяжении неподвижным центром с единственным отличием, что коэффициент притяжения $k$ вместо того, чтобы быть равным $f m_{0}$ (ср. п. 17), определялся бы равенством
\[
k=f\left(m_{0}+m\right) \text {. }
\]

В случае, когда масса $m$ ничтожна по сравнению с $m_{0}$ (Солнценланета, планета-спутник), мы снова возвращаемся к рассуждениям и результатам пІ. 17,18 .

Но во всяком случае, т. е. каков бы ни был порядок величины $m$ по сравнению с $m_{0}$, речь идет о задаче, непосредственно интегрируемой ( $\S 2$ ), и орбита (относительная) точки $P$ относительно точки $P_{0}$ является коническим сечением, имеющим фокус в $P_{0}$; она может принадлежать к какому-нибудь одному из трех типов (и, в частности, может также быть вырожденной).

Поэтому в случае эллиптической орбиты для движения точки $P$ относительно точки $P_{0}$ остаются в силе два первых закона Кеплера (см. п. 9).

Далее, если в этом случае введем большую полуось $a$ орбиты и время обращения $T$, то в силу формул (17), п. 9 и (38′) будет существовать соотношение
\[
4 \pi^{2} \frac{a^{3}}{T^{2}}=f\left(m_{0}+m\right) .
\]

Для другого тела $P^{\prime}$ с массой $m^{\prime}$, описывающего, как и $P$, орбиту (относительную) под действием исключительно тела $P_{0}$, при обычном значении символов, будем иметь
\[
4 \pi^{2} \frac{a^{\prime 3}}{T^{\prime 2}}=f\left(m_{0}+m^{\prime}\right) .
\]

Правые части равенств ( $\left.39^{\prime}\right)$, (39\”), вообще говоря, будут неравны; если же они совпадают или по крайней мере приблизительно равны, как это будет в том случае, когда $m$ и $m^{\prime}$ обе ничтожны по сравнению с $m_{0}$, то, приравнивая левые части равенств ( $39^{\prime}$ ), (39\”), мы увидим (по крайней мере приблизительно), что для движения двух тел $P$ и $P^{\prime}$ относительно $P_{0}$ будет справедлив и третий закон Кеплера.

В заключение добавим, что когда при ньютоновой трактовке движения небесных тел мы приводим изучаемую задачу к задаче о двух телах, то, вообще говоря, остаются в силе только два первых закона Кеплера. Третий будет справедлив (точно или приближенно) только в том случае, єсли будут выполняться указанные выше условия.

22. Задача $(n+1)$ твл. Перейдем теперь к случаю любого числа тел. Имея в виду выяснить не абсолютное движение этих тел, а относительное по отношению к одному из них, которое будем называть центральным (таким в случае солнечной системы будет Солнце), обозначим это последнее через $P_{6}$, а остальные через $P_{1}, P_{2}, \ldots, P_{n}$. Через $m_{0}, m_{1}, m_{2}, \ldots, m_{n}$ обозначим соответствующие массы, и для любой пары тел $P_{i}, P_{j}$ через $A_{i j}$ обозначим ньютонианское притяжение, с которым единица массы тела $P_{j}$ действует на единицу массы тела $P_{i}$, в силу чего направление вектора $\boldsymbol{A}_{i j}$ будет направлением от $P_{i}$ к $P_{j}$; с другой стороны, по третьему закону Ньютона имеем
\[
A_{i}=-A_{i j} \text {. }
\]

Если временно введем абсолютное ускорение $\boldsymbol{\alpha}_{i}$ отдельных тел $P_{i}$, то путем обычного обобщения уравнений (45) предыдущего пункта будем иметь
\[
\alpha_{i}=\sum_{j=0}^{n} m_{j} A_{i j} \quad(i=0,1,2, \ldots, n)
\]

где через $\sum_{j=0}^{n} i$ обозначено суммирование, распространенное на все значения $0,1,2, \ldots, n$ индекса $j$, за исключением значения $i$.

Перепишем уравнение (46), изолируя уравнение, относящееся к центральному телу, и выделяя в остальных в отдельное слагаемое притяжение, происходящее от этого тела. Таким образом, получим
\[
\left.\begin{array}{l}
\boldsymbol{\alpha}_{0}=\sum_{i=1}^{n} m_{j} \boldsymbol{A}_{0 j} \\
\boldsymbol{\alpha}_{i}=m_{0} \boldsymbol{A}_{i \theta}+\sum_{j=1}^{n} m_{j} A_{i j} \quad(i=1,2, \ldots, n) .
\end{array}\right\}
\]

Отсюда аналогично тому, как это делалось в случае задачи двух тел, получим относительные ускорения $\boldsymbol{a}_{i}=\boldsymbol{\alpha}_{\boldsymbol{i}}-\boldsymbol{\alpha}_{0}$ отдельных тел $P_{i}(i=1,2, \ldots, n)$ по отношению к центральному телу $P_{0}$. С этой пелью заметим, что, фиксируя какой-нибудь индекс $i$, можно написать первое из уравнений (46′) в виде
\[
a_{0}=m_{i} A_{0 i}+\sum_{j=1}^{n} m_{j} A_{0 j} .
\]

Вычитая его почленно из уравнения с индексом $i$ системы (46′) и вспоминая, что $\boldsymbol{A}_{0 i}=-\boldsymbol{A}_{\boldsymbol{i} 0}$, мы получим уравнения движения $n$ тел $P_{1}, P_{2}, \ldots, P_{n}$ (отнесенные к едиғицам массы движущихся тел) относительно центрального тела
\[
a_{i}=\left(m_{0}+m_{i}\right) A_{i 0}+\sum_{j=1}^{n} m_{i}\left(A_{i j}-A_{0 j}\right) \quad(i=1,2, \ldots, n) .
\]

Отсюда следует, что относительное движение любого тела $P_{i}$ по отношению к центральному телу происходит так, как если бы речь шла об абсолютном движении под действием равнодействующей, стоящей в правой части. Она складывается из двух составляющих: 1) из ньютонианской центральной силы $\left(m_{0}+m_{i}\right) \boldsymbol{A}_{i 0}$, которая является той же самой, какая действовала бы на тело $P_{i}$, если бы оно подвергалось исключительно ньютонианскому притяжению центрального тела $P_{0}$ (задача двух тел, предыдущий пункт); 2) и из другой силы, называемой возмущающей силой, которая в свою оче редь является суммой $n-1$ составляющих, каждая из которых происходит от одного из $n-1$ тел системы (исключаются цент ральное тело и рассматриваемое тело $P_{i}$ ).

Сила или отдельное возмущение, действующее на тело $P_{\boldsymbol{i}}$ со стороны другого тела $P_{i}$, т. е.
\[
m_{j}\left(A_{i j}-A_{0 j}\right),
\]

есть, очевидно, разность притяжений, с которыми возмущающее тело $P_{j}$ действует на единицу массы возмуиающего тела $P_{i}$ и на единицу массы центрального тела $P_{0}$.
23. ЭлемЕНТАРныЕ ЗамЕЧАния о возмУщениях ${ }^{1}$ ). Из векторного выражения (48) возмущающей силы, с которой всякое тело $P_{j}$ действует на единицу массы другого тела $P_{i}$ системы, непосредственно вытекают некоторые заслуживающие внимания следствия.
a) Предположим, что возмущающее тело $P_{j}$ (фиг. 14) в заданный момент находится на одной прямой с возмущаемым телом $P_{z}$ и центральным телом $P_{0}$ вне отрезка $P_{0} P_{i}$, независимо от того, находится ли $P_{j}$ в соединении с центральным телом (т. е. с той же стороны от $P_{i}$, что и центральное тело) или в оппозиции (т. е. с противоположной стороны относительно $P_{i}$ ).

Так как оба единичных притяжения $\boldsymbol{A}_{i j}, \boldsymbol{A}_{0 j}$ точки $P_{j}$ отнесены к единице массы (тел $P_{i}$ и $P_{0}$ соответственно), то их величины обратно пропорциональны квадратам расстояний $P_{j} P_{i}, P_{j} P_{0}$, т. е.
\[
A_{i j}: A_{0 j}=P_{j} P_{0}^{2}: P_{j} P_{i}^{2} .
\]

Так как, далее, силы $\boldsymbol{A}_{i j}, \boldsymbol{A}_{0 j}$ действуют по одной и той же прямой, то направление вектора $\boldsymbol{A}_{i j}-\boldsymbol{A}_{1 j}$ в первом случае ( $P_{j} P_{0}<P_{j} P_{i}$ ) совпадает с направлением вектора – $\boldsymbol{A}_{0 j}$, т. е. с направлением от $P_{j}$ к $P_{0}$ или же от $P_{0}$ к $P_{i}$; во втором случае $\left(P_{j} P_{0}>P_{j} P_{i}\right)$ совпадает с направлением вектора $\boldsymbol{A}_{i j}$, т. е. с направлением от $P_{i}$ к $P^{j}$

или же с направлением от $P_{0}$ к $P_{i}$. $B$ результате возмущающая сила в обоих этих случаях действует в направлении, противо положном направлению притяжения центральным телом возмущаемого тела.

Будем рассматривать, например, Землю как центральное тело, Луну как возмущающее тело и каплю морской воды как возмущаемое тело, расположенное на прямой, соединяющей центры Земли $C$ и Луны $L$ (фиг. 15). Находится ли капля в $\boldsymbol{A}$ (в соединении с Луной) или в $A^{\prime}$ (в оппозиции с ней), лунное притяжение действует на каплю в направлении, обратном земному притяжению, т. е. по вертикали места снизу вверх. В этом и заключается объяснение морских приливов и отливов в его наиболее элементарной форме.
б) Предположим, что возмущающее тело $P_{j}$ находится (точно или приближенно) на одном и том же расстоянии от возмущаемого тела $P_{i}$ и от центрального $P_{0}$ (фиг. 16). В таком случае единичные силы притяжения имеют равную величину, поэтому единичная возмущающая сила $\boldsymbol{A}_{i j}-\boldsymbol{A}_{0 j}=\boldsymbol{A}_{i j}+\boldsymbol{A}_{j 0}$ будет направлена по прямой $P_{i} P_{0}$ от $P_{i}$ к $P_{0}$; т. е. возмущающая сила усиливат притяжение центральным телом.
24. Задача двух тел, как мы видели, непосредственно интегрируема, но уже случай $n+1=3$ представляет аналитические трудности значительно более высокого порядка. Этот случай (задача mpex тел), начиная с XVII в. до наших дней, является предметом многочисленных исследований, осветивших его с различных точек зрения ${ }^{1}$ ). В известном смысле можно даже сказать, что теперь
мы имеем ее аналитическое решение, принадлежащее Зундману $(1912)^{1}$ ). Но в отношении этой классической задачи еще не сказано последнего слова ${ }^{2}$ ).
25. ПонятиЕ ов эллиптических элементах. В § 2 для изучения общего решения уравнений движения точки, притягиваемой непоцвижным центром по закону Ньютона, мы пользовались частной системой координат, подсказанной, так сказать, природой самой задачи (плоскость $x y$ совпадала с плоскостью движения, полюс находился в центре силы и в эллиптичєском случае полярная ось была направлена вдоль большой оси орбиты в сторону перигелия). Но иногда удобнее пользоваться общей системой координат; это становится прямо необходимым, когда имеется в виду совместное изучение нескольких решений задачи, например изучение (эллиптических) движений двух или нескольких планет вокруг Солнца.

Чтобы получить формулы, представляющие общее решение относительно каких угодно осей, очевидно, достаточно выполнить в уравнениях, полученных в п. 6 и относящихся к специальной системе осей, произвольную замену координат. Но так как на основании прямого исследования мы уже знаем геометрическую природу траектории и закон движения по ней, то будет более наглядно и более полезно для целей дальнейшего изложения заранее выбрать систему параметров (геометрических и кинематических), которые были бы удобны прежде всего для определения формы и размеров орбиты, затем положения, занимаемого ею в пространстве, отнесенном к любым осям, и, наконец, закона движения по орбите.

В эллиптическом случае, которым мы здесь ограничимся, форма и размеры орбиты некоторой точки $P$ определяются постоянными $a$ и $e$ (большая полуось и эксцентриситет). Что же касается положения, занимаемого орбитой в пространстве, то небходимо прежде всего отметить, что начало осей выбирается во всех случаях, как это подсказывается самой задачей, в центре силы (в центре Солнца, если речь идет о движении планет), где орбита будет иметь свой фокус. Плоскость $x y$ можно задать произвольно, но в случае планет теперь уже стало общепринятым принимать ее совпадающей с плоскостью эклиптики на 1 января 1850. Оси $x, y$ принимают направленными к точке весеннего равноденствия и к точке летнего солнцестояния в это время, а ось $z$ – направленной к северному полюсу эклиптики; в силу этого система осей будет правой. По отношению к этой системе осей (или какой-нибудь другой, заданной как угодно) остается еще определить положение плоскости

орбиты (проходящей через начало) и на этой плоскости направление фокальной оси (которую мы будем предполагать ориентированной в сторону перигелия). Для первой цели, очевидно, необходимы два параметра и для второй – один параметр. Для выяснения смысла задаваемых параметров рассмотрим сферу $\Sigma$ (фиг. 17) с центром в начале координат $O$ и с радиусом, равным единице, на которой координатные плоскости определяют сферический треугольник

с тремя прямыми углами $X Y Z$. Плоскость орбиты точки $P$ пересекает экваториальную плоскость сферы (т. е. плоскость $z=0$ ) по прямой. которая называется линией узлов, так как две ее точки пересечения с экватором сферы называются узлами.

Та точка экватора, через которую будет проходить полупрямая $O P$, когда небесное тело $P$ переходит из южного полушария в северное, называется восходящим узлом.

Плоскость орбиты, очевидно, будет определена, когда будут указаны долгота восходяцего узла $N$, т. е. аномалия $\theta=X N$ узла $N$ относительно оси $x$ (отсчитываемая в правом направлении относительно оси $z$ ) и наклонение орбиты, т. е. угол $i$, который большой круг сечения сферы $\Sigma$ плоскостью орбиты (рассматриваемой в направлении движения) образует с экватором (рассматриваемым в правом направлении относительно оси $z$ ): $\theta$ изменяется от 0 до $2 \pi, i$ от 0 до $\pi$. Этот последний угол для планет всегда мал и значительно меньше $\pi / 2$; он превосходит этот предел только для некоторых комет (называемых попятнымит).

Для определения фокальной оси, направленной к перигелию, рассмотрим точку П, в которой она пересекает сферу $\Sigma$ со стороны перигелия; примем за параметр сумму (двух некомпланарных углов)
\[
\bar{\omega}=\theta+\widehat{N O} \pi=\overparen{X N}+\overparen{N \pi}
\]

и назовем этот угол долготой перигелия.
Теперь нам остается только определить соответствие между последовательностью моментов времени и положениями, занимаемыми точкой $P$ на своей орбите. С этой целью фиксируем время $t_{0}$ прохождения через перигелий. Но заметим при этом, что часто бывает удобнее вместо $t_{0}$ подставлять некоторый параметр уже не постоянный, а переменный, литейно связанный с временем, так называемую среднюю аномалию (п. 10)
\[
l=n\left(t-t_{0}\right) .
\]

Эти шесть параметров: $a, e, i, \theta, \bar{\omega}, l$ (или $t_{0}$ ), первые пять из которых геометрические (и постоянные), последний же кинематический (постоянный или переменный, смотря по тому, идет ли речь о $t_{0}$ или об $l$ ), называются элементами эллиптического движения, или, более просто, эллиптическими элементами.
26. Так как первые пять эллиптических элементов однозначно определяют орбиту по форме, размерам и положению, а параметр $l$ (или $t_{0}$ ) определяет изменение с течением времени положения на орбите, то очевидно а priori, что координаты $x, y, z$ движущейся точки будут выражаться в функци от этих шести элементов. Мы не будем здесь останавливаться на изложении явного определения этих выражений, а только покажем, что, для того чтобы их найти, достаточно присоединить к чисто геометрическому рассмотрению уравнение Кеплера (п. 10).

Действительно, так как $a, e, i, \theta, \bar{\omega}$ определяют эллипс (с фоку. сом в начале координат, центре силы), описываемый при движении точкой $P$, то мы можем выразить прежде всего координаты $x, y, z$ точки $P$ в функции от постоянных $a, e, i, \theta, \bar{\omega}$ и от любого параметра, при помощи которого можно определить положение точки $P$ на ее орбите, например от эксцентрической аномалии $u$; в результате мы придем к уравнениям вида
\[
\left.\begin{array}{l}
x=x(u ; a, e, i, \theta, \omega), \\
y=y(u ; a, e, i, \theta, \bar{\omega}), \\
z=z(u \mid a, e, i, \theta, \omega) .
\end{array}\right\}
\]

Если теперь примем во внимание, что $P$ описывает свою орбиту по закону ньютонианского притяжения (который приводит к закону
площадей), то, так как речь идет об эллиптической орбите, аномалию $\boldsymbol{a}$ нужно считать связанной с временем или, лучше, со средней аномалией $l=n\left(t-t_{0}\right.$ ) уравнением Кеплера (22), (ср. п. 10)
\[
u-e \sin u=l \text {. }
\]

Поэтому после вычислений окончательные выражения интегралов эллиптического движения будут определяться уравнениями (49), в которых вместо аномалии $u$ подставлено ее выражение через $l$ и $e$, неявно определяемое из уравнения (22).

Составляющие $\dot{x}, \dot{y}, \dot{z}$ скорости получатся дифференцированием по времени уравнений (49), если принять во внимание, что только $\boldsymbol{u}$ зависит от этой переменной и что зависимость эта определяется уравнением (22). Так как при помощи простого дифференцирования из этого уравнения получится
\[
\frac{d u}{d t}=\frac{n}{1-e \cos u} .
\]

то таким образом в конце концов придем в общем случае к шести интегральным формулам типа
\[
x, y, z, \dot{x}, \dot{y}, \dot{z}=\text { функциям от } l, a, e, i, \theta, \bar{\omega} \text {. }
\]

Можно доказать, что шесть функций, стоящих в правой части, являются независимыми по отношению к их шести аргументам, так что уравнения (50) разрешимы относительно этих функций. Другими словами, формулы (50) можно рассматривать как формулы преобразования между шестью декартовыми элементами $x, y, z, \dot{x}, \dot{y}, \dot{z}$ и шестью эллиптическими элементами $l, a, e, i, \theta, \bar{\omega}$.
27. ВОзМУщЕННОЕ ДВИЖЕНИЕ. МЕтоД вАРИАЦИи пРоизвольных постоянных. Предположим теперь, что на тело $P$ действует сила ньютонианского притяжения от неподвижного центрального тела; пусть, кроме этой силы, имеющей преобладающее влияние на движение тела $P$, на него действует также возмущающая сила. Если через $\boldsymbol{A}$ и $\Phi$ обозначим это притяжение и эту возмущающую силу, отнесенные к единичной массе тела $P$, и через $\boldsymbol{a}$ – ускорение точки $P$, то движение (возмущенное) этой точки определится уравнением
\[
\boldsymbol{a}=\boldsymbol{A}+\boldsymbol{\Phi} .
\]

Это единственное векторное дифференциальное уравнение второго порядка эквивалентно, очевидно, системе двух векторных уравнений первого порядка:
\[
\frac{d P}{d t}=\boldsymbol{v}, \quad \frac{d \boldsymbol{o}}{d t}=\boldsymbol{A}+\boldsymbol{\Phi} . \overline{\mathrm{j}}
\]

Следовательно, три уравнения второго порядка, которые получатся после проектирования уравнения (51) на оси координат (произвольно заданные с началом в точке $O$ ), будут эквивалентны шести уравненням

первого порядка, получающимся из уравнений (51′) аналогичным образом.

При изучении возмущенного движения выгодно рассмотреть как раз эти шесть последних дифференциальных уравнений первого порядка и подставить в них вместо неизвестных $x, y, z, \dot{x}, \dot{y}, \dot{z}$ при помощи уравнений (50) новые неизвестные $l, a, e, i, \theta, \bar{\omega}$. В этом и состоит метод вариации произвольных постоянных. Причина названия сделается очевидной, если представим себе, что при невозмущенном движении, т. е. при отсутствии возмущающей силы $\Phi$, параметры $l, a, e, i, \theta$, $\vec{\omega}$ были бы все постоянными, за исключением лишь первого, который был бы линейной функцией времени. Таким образом, мы приходим к следующему истолкованию этих новых неизвестных по отношению к дейсгвительному возмущенному движению: они в любой момент дают элементы того гипотетического эллиптического движения точки $P$, которое получилось бы, если бы в рассматриваемый момент прекратилось всякое возмущающее влияние, и точка $P$, начиная с того состояния движения, которое она имела в этот момент в действительном движении, двигалась бы исключительно под действием ньютонианского притяжения точки $\boldsymbol{A}$ центром $O$.

Поэтому орбита этого фиктивного эллиптического движения (соприкасающаяся, очевидно, с действительной орбитой) называется оскулирующей орбитой и значения, принимаемые параметрами $l, a, e, i, \theta, \bar{\omega}$ в любой момент, называются оскулирующими элеменmaми (возмущенного движения в рассматриваемый момент).

Шесть уравнений первого порядка, которые получаются после преобразования уравнений (51′) посредством уравнений (50), можно представить себе разрешенными относительно производных (по времени) от оскулирующих элементов; после этого правые части (выражения скоростей изменения тех же элементов) составят так называемые специальные возмущения.

Главное преимущество указанного только что способа (замена уравнения (51) уравнениями (51′), введение новых неизвестных $l, a, e, i, \theta, \bar{\omega}$ и решение уравнений относительно производных от них) состоит в том, что во многих весьма важных для астрономии случаях возмущающие влияния незначительны, так что производные от оскулирующих элементов, только что названные специальными возмущениями, будут близки к значениям (одно постоянно и равно $n$, а остальные равны нулю), которье имели бы производные по времени от $l, a, e, i, \theta, \bar{\omega}$ в невозмущенном движении; а при наличии таких обстоятельств указанные выше дифференциальные уравнения оказываются удобными для численного интегрирования путем последовательных приближений ${ }^{1}$ ).

28. Замечлния. Мы уже говорили в п. 26, что не имеем в виду выводить формулы (50) преобразования переменных $x, y, z, \dot{x}, \dot{y}, \dot{z}$ к эллиптическим элементам. Однәко для иллюстрации предыдущего стоит показать две простые комбинации уравнений (50), приводящие к непосредственным и наглядным выводам для некоторых типов возмущений.

С этой целью, с одной стороны, вспомним, что в эллиптическом невозмущенном движении энергию $E$ и постоянную площадей $c$ можно выразить через эллиптические элементы благодаря формулам (16), (14) в виде
\[
E=-\frac{k}{2 a}, c=\sqrt{k} \sqrt{p},
\]

где $p$, как обычно, обозначает параметр орбиты.
С другой стороны, обозначая через $T$ живую силу движущегося тела $P$ и через $U=\frac{k}{r}$ – потенциал притяжения $A$ центральным телом, будем иметь
\[
T-U=E .
\]

Если оси координат выбраны таким образом, что плоскость $x y$ совпадает с плоскостью оскулирующей орбиты, то, кроме того, будем иметь еще
\[
x \dot{y}-y \dot{x}=c .
\]

Формулы (53) и (54), если в них $E$ и $c$ выражены через эллиптические элементы согласно уравнениям (50), и являются теми двумя комбинациями уравнений (50), на которые мы ссылались вначале.

Для их истолкования рассмотрим движение, возмущаемое добавочной силой $\Phi$. По теореме живых сил имеем
\[
d T=d L=d U+\Phi \cdot d P ;
\]

на основании уравнения (53) вместо $d T-d U$ можно подставить дифференциал от $E$, который по существу может быть назван дальнейшим эллиптическим элементом, поскольку согласно первому из уравнений (52) он зависит исключительно от элемента $a$. После подстановки найдем
\[
d E=\frac{k}{2 a^{3}} d a=\Phi \cdot d P .
\]

Если затем, все еще имея в виду невозмущенное движение, возьмем производную по времени от уравнения (54), то будем иметь
\[
\frac{d c}{d t}=x \dot{y}-y \ddot{x},
\]

где $\ddot{x}, \ddot{y}$ можно заменить соответствующими проекциями результирующей силы $\boldsymbol{A}+\Phi$. В правой части появится (скалярный) момент

результирующей силы относительно оси $z$ (перпендикулярной в точке $O$ к плоскости оскулирующей орбиты).

Так как к этому моменту сила $\boldsymbol{A}$, ка́к центральная по отношению к $O$, ничего не добавит, то остается только момент $M_{z}$ возмущающей силы $\Phi$; и наряду с равенством (55) будем иметь
\[
\frac{d c}{d t}=M_{z} \text {. }
\]

Равенство (55) показывает, что размеры орбиты стремятся увеличиться или уменьшиться, смотря по тому, будет ли элементарная работа положительной или отрицательной. В чӓстности, если бы возмущающая сила представляла собой пассивное сопротивление, возникающее, например, благодаря возможному наличию сопротивляющейся среды, наполняющей межпланетное пространство, то работа была бы всегда отрицательной, и размеры орбиты непрерывно уменьшались бы. Отсюда следует, что всякое пассивное сопротивление стремится вызвать падение движущегося те.а на центральное.

Равенство (56) показывает, что направление изменения величины c и, следовательно, параметра $P$ характеризуется знаком момента $M_{z}$ возмущающей силы ${ }^{1}$ ).