2. Вернемся к рассмотрению любой материальной голономной системы $\mathcal{S}$, имеющей произвольное число степеней свободы $\boldsymbol{n}$, и отнесем ее к любым $n$ независимым лагранжевым координатам $q$.

Как мы уже знаем, всякое движение системы определяется соответствующими уравнениями,
\[
q_{h}=q_{h}(t) \quad(h=1,2, \ldots, n),
\]

производные от которых
\[
\dot{q}_{h}=\dot{q}_{h}(t) \quad(h=1,2, \ldots, n)
\]

в любой момент дают соответствующие лагранжевы скорости.
Чтобы придать нашим рассуждениям наиболее удобную и наглядную форму, условимся прибегать к гиперпространственному геометрическому представлению, рассматривая $2 n$ параметров $q$ и $\dot{q}$ как декартовы прямоугольные координаты в пространстве $\mathrm{A}_{2 n} 2 n$ измерений. Так как всякая точка этого пространства представляет состояние движения нашей системы, то $\mathrm{A}_{2 n}$ можно назвать пространством состояний движения.

В пространстве $\mathrm{A}_{2 n}$ движение (1) или, лучше сказать, непрерывная последовательность составляющих его состояний движения будет представлено кривой с параметрическими уравнениями (1), (2).

Введем здесь следующий удобный для дальнейшего способ выражения: будем называть „отклонением“ двух точек $q^{\prime}, \dot{q}^{\prime}$ и $q^{\prime \prime}, \dot{q}^{\prime \prime}$ пространства $\mathrm{A}_{2 n}$ или двух соответствующих состояний движения максимум абсолютных величин
\[
\left|q_{h}^{\prime}-q_{h}^{\prime \prime}\right|, \quad\left|\dot{q}_{h}^{\prime}-\dot{q}_{h}^{\prime \prime}\right| \quad(h=1,2, \ldots, n)
\]
or $2 n$ разностен одноименных координат.
Далее, известно, что в $\mathrm{A}_{2 n}$ zілерсферой с центром в $q^{0}, \dot{q}^{0} u$ радиусож $r(>0)$ называется гиперповерхность (или многообразие $2 n-1$ измерений), определяемая уравнением
\[
\sum_{h=1}^{n}\left(\left[q_{h}-q_{h}^{0}\right]^{2}+\left[\dot{q}_{h}-\dot{q}_{h}^{0}\right]^{2}\right)=r^{2} .
\]

Речь идет о замкнутой поверхности, делящей пространство $\mathbf{A}_{2 n}$ на две области: область внешних и область внутренних точек. Точка пространства будет внешней или внутренней, смотря по тому, будет ли левая часть уравнения этой поверхности при подстановке в нее вместо $q_{h}, \dot{q}_{h}$ координат рассматриваемой точки больше или меньше $r^{2}$, или, как условимся говорить, смотря по тому, будет ли расстояние точки $(q, \dot{q})$ от точки $\left(q^{0}, \dot{q}^{0}\right)$ больше или меньше $r$.

Очевидно, что отклонение точек внутренней области от центра не может превосходить $r$ (иначе левая часть уравнения превосходила бы $r^{2}$ ), отклонение точек внешней области от центра будет, конечно, больше чем $r / \sqrt{2 n}$ (иначе левая часть была бы меньше $r^{2}$ ).
3. Для дальнейшего будет полезно, наряду с предыдущими геометрическими предпосылками, напомнить здесь некоторые понятия из анализа.

Предположим, что в пространстве $\mathrm{A}_{2 n}$ задана функция точки $H$, т. е. функция от $2 n$ аргументов $q, \dot{q}$, однозначная, конечная и непрерывная вместе с ее $2 n$ частными производными первого порядка, по крайней мере в некоторой связной области $2 n$ измерений, которой мы будем ограничиваться в наших рассуждениях.

Говорят, что функция $H$ имеет действительный (или изолированный) минимум в некоторой точке $M$, если для любой точки $P$, достаточно близкой к $M$, но отличной от нее, удовлетворяется неравенство
\[
H_{P}-H_{M}>0,
\]

где $H_{P}$ и $H_{M}$ суть значения функции $H$ в точках $P$ и $M$.
Иными словами. в случае минимума существует такая окрест ность $2 n$ измерений точки $M$, что во всякой ее точке $P$, отличной от $M$, имеет место предыдущее неравенство. Для краткости эту окрестность точки $M$ мы будем называть окрестностью, в которой чувствуется минимум\”.

Если мы теперь будем рассматривать гиперсферу с центром в точке $M$ и радиусом $\eta$, достаточно малым для того, чтобы все ее точки $Q$ (т. е. все точки $Q$, имеющие от $M$ расстояние $r$ ) принадлежали к только что определенной окрестности точки $M$, то разность $H_{Q}-H_{M}$ при изменении положения точки $Q$ на гиперсфере будет иметь вследствие непрерывности функции $H$ некоторый минимум $\mu$ и этот минимум (так как во всех точках $Q$ чувствуется минимум) будет обязательно больше нуля.

Аналогичные замечания, если изменен только смысл неравенства, будут справедливы и в случае действительного максимума.
4. Устойчивость состояния равновесия. Предположим теперь, что голономная система $S$ имеет связи, не зависящие от времени,

и находится под действием консервативных сил, потенциал которых обозначим через $U$. Этот потенциал, в силу только что допущенных предположений, будет зависеть исключительно от $q$; в рассматриваемом поле мы будем предполагать его, как обычно, однозначным, непрерывным и правильным вместе с его первыми и вторыми производными.

Мы уже знаем, что если функция $U(q)$ при частных значениях $q^{0}$ координат $q$, т. е. при заданной конфигурации $C^{0}$ системы, допускает стационарное значение (в частности, максимум или минимум), так что исчезают лагранжевы составляющие $Q_{h}$ действующих сил, то $C^{0}$ будет для системы конфигурацией равновесия (т. I, гл. XV, п. 28 ).

Мы имеем здесь возможность полностью исследовать устойчивость этого состояния равновесия, пользуясь, вместо статического критерия, указанного в только что упоминавшемся п. 28 , более общим и более точным определением динамического характера, совершенно аналогичным определению, которое мы приняли в частном случае одной свободной материальной точки (гл. II, п. 35).

Обобщая обычным образом данное в гл. II, п. 35 определение устойчивости, мы будем называть конфигурацию равновесия $C^{a}$ устойчивой, если при достаточно малом возмущении равновесия (т. е. при начальной конфигурации, достаточно близкой к $C^{0}$, и достаточно малой живой силе $T^{0}$ ) будет иметь место движение, при котором система остается сколь угодно близкой к $C^{0}$, и в то же время сохраняет сколь угодно малую живую силу, т. е. одновременные скорости всех отдельных точек системы остаются как угодно малыми.

Если, наоборот, как бы близка к $C^{0}$ ни была начальная конфигурация и как бы ни была мала вначале живая сила, всегда можно сообщить системе такое движение, в котором отклонение системы от конфигурации равновесия $C^{0}$, или даже только живая сила, в конце концов превзойдет некоторую постоянную (положительную), не зависящую от начальных условий величину, то конфигурация равновесия $C^{0}$ называется неустойчивой.

Этим критериям устойчивости и неустойчивости можно дать более простую, но менее точную форму, прибегая к геометрическому представлению п. 2. С этой целью заметим, что в пространстве представляется точкой $M$ с координатами $q_{h}=q_{h}^{0}, \dot{q}_{h}=0$ ( $h=1$, $2, \ldots, n$ ), и всякое состояние движения, близкое к этому состоянию равновесия, представится точкой. имеющей очень малое отклонение от $M$, и обратно.

Если обозначим через $P$ точку, представляющую состояние движения, которое принимает наша система в любой момент $t$, отправляясь от начальных условий, представляемых точкой $P_{11}$, то указанное выше характеристическое условие устойчивости состояния

равновесия в $C^{0}$, представляемого точкой $M$, можно высказать следующим образом: состояние равновесия в $C^{0}$ будет устойчивым, если, выбрав сколь угодно малое $\varepsilon$, можно поставить ему в соответствие такое $\eta$, что при всяком $P_{0}$ внутри гиперсферы с центром в $M$ и радиусом $\eta$ точка $P$ будет неопределенно долго оставаться внутри концентрической гиперсферы с радиусом $\varepsilon$.

Наоборот, состояние равновесия в $C^{0}$ будет неустойчивым, если внутри всякой гиперсферы с центром в $M$ и как угодно малым радиусом $\eta$ всегда будет существовать по крайней мере одна точка $P_{0}$, отправляясь от которой точка $P$ в конце концов выйдет ия концентрической гиперсферы с радиусом, не зависящим от $\eta$.
5. Теорема Дирихле. Выяснив таким образом динамическое понятие об устойчивости, докажем теорему Дирихле: если потенциал $U$ в некоторой конфигурации $C^{0}$ имеет действительный максимум, то равновесие в ней будет устойчивым.

Заметим прежде всего, что при только что установленных предположениях полная энергия $H=T-U$ системы в точке $M$ (представляющей состояние равновесия в конфигурации $C^{0}$ ) имеет действительный минимум. В самом деле, если $P$ есть какая-нибудь точка пространства $\mathrm{A}_{2 n}$, то разность $H_{P}-H_{M}$, так как в $M$ живая сила равна нулю, будет равна
\[
T_{P}+\left(U_{M}-U_{P}\right),
\]

откуда видно, что пока точка $P$ близка к $M$ или, еще точнее, остается в такой окрестности точки $M$, в которой чувствуется максимум $U$, эта разность остается положительной, за исключением случая, когда $P$ совпадает с $M$.
Обратимся теперь к интегралу живых сил
\[
H=\text { const. }
\]

Если возьмем $\varepsilon$ достаточно малым для того, чтобы гиперсфера $\Sigma$. с центром в $M$ и радиусом $\varepsilon$ вся была внутри окрестности точки $M$, в которой чувствуется действительный минимум функции $H$, то этому є можно в силу замечаний п. 3 поставить в соответствие такое число $\mu$, что для всех точек $Q$, лежащих на гиперсфере $\Sigma_{\mathbf{s}}$, будем иметь
\[
H_{Q}-H_{M}>\mu .
\]

Выберем теперь какое-нибудь положительное число $\mu^{\prime}<\mu$ и заметим, что вследствие непрерывности $H$ относительно своих $2 n$ аргументов наверное будет существовать некоторая гиперсфера $\Sigma_{\eta}$ с центром в $M$ и радиусом $\eta_{1}$, достаточно малым для того, чтобы во всякой точке $P_{0}$ гиперсферы $\Sigma_{\eta}$ или внутри нее имело место соотношение
\[
H_{P_{0}}-H_{M} \leqslant \mu^{\prime} .
\]

Далее, поверхность $\Sigma_{\eta}$ есть как раз гиперсфера, фигурирующая в нашем динамическом критерии устойчивости; действительно, если возмущенное начальное состояние представляется точкой $P_{0}$, не внешней для $\Sigma_{\eta}$, благодаря чему вначале будет справедливо соотношение (4), то разность $H_{P}-H_{M}$, в силу интеграла живых сил, сохранит в течение всего движения свое начальное значение $\leq$.’. Отсюда следует, что изображающая точка $P$ не может уже уходить из гиперсферы $\Sigma_{\varepsilon}$, так как, для того чтобы точка $P$ могла уйти из этой гиперсферы, ей нужно было бы пересечь гиперсферу в некоторой точке $Q$, в которой разность $H_{Q}-H_{M}$ в силу неравенства (3) сделалась бы больше $\mu$ и, следовательно, больше $\mu^{\prime}$ ‘.

Таким образом, на основании динамического критерия предыдущего пункта подтверждается устойчивость состояния равновесия в $M$, т. е. в конфигурации $C^{0}$.
6. Покажем еще, как предыдущему доказательству теоремы Дирихле можно придать синтетическую форму, которая, требуя, при строгом еe проведении, логических рассуждений, эквивалентных только что изложенным, делает доказательство непосредственно наглядным.

Рассмотрим в пространстве $\mathrm{A}_{2 n}$ состояний движения гиперповерхность $H=$ const (изоэнергетическая гиперповерхность), записывая уравнение ее в виде
\[
H-H_{M}=c,
\]

где $c$ обозначает произвольную постоянную, конечно, не отрицательную вблизи от $M$. При $c=0$ эта гиперповерхность сводится к точке $M$, изображающей состояние равновесия в конфигурации $C^{0}$; тогда при $c>0$ и достаточно малом гиперповерхности (5) будут замкнутыми вокруг $M$, и при возрастании $c$ будут следовать одна за другой таким образом, что каждая будет содержать внутри себя все предыдущие. Это логически следует из одних только предположений непрерывности $H$ и действительного минимума в $M$ и может быть строго доказано при помощи рассуждений, эквивалентных рассуждениям предыдущего пункта.

Теперь теорема Дирихле, благодаря этим замечаниям, оказывается совершенно наглядной. Действительно, так как имеет место интеграл живых сил, то изображающая точка $P$, в каком-нибудь возмущенном движении, уже не будет покидать гиперповерхность (5), на которой она находилась вначале, так что нужно только задать достаточно малым начальное возмущение, т. е. по существу постоянную $c$, соответствующую начальному состоянию движения $P_{0}$, чтобы точка $P$ бесконечно долго оставалась сколь угодно близкой к $\boldsymbol{M}$.

7. Теорема Ляпунова *). Важно отметить; что теорема Дирихле допускает следующее обращение: если состояние равновесия $M$ соответствует просто некоторому стационарному значению потенциала $U$, которое не является максимумом, и если, как это имеет место в общем случае, отсутствие максимума можно обнаружить из рассмотрения местных числовых значений вторых производны, то равновесие будет неустойчивым.

Эту теорему, принадлежащую Ляпунову, мы не будем доказывать; мы только позволим себе указать в дальнейшем, прибегая к некоторым интуитивным соображениям, порядок рассуждений, при помощи которых можно придти $\mathrm{k}$ доказательству (\$ 5). Здесь же, между прочим, добавим, что Ляпунов доказал также, что неустойчивость будет иметь место и в большей части исключительных случаев, когда для подтверждения отсутствия максимума оказывается необходимым обратиться к производным порядка выше второго.

Мы не будем здесь задерживаться на этом разборе, требующем знания не совсем элементарной теории дифференциальных уравнений; заметим только, что эти рассуждения об устойчивости, которые, как мы увидим в $\S \$ 4,5$, распространяются со случая равновесия на случай движения, заставляют признать, что неустойчивость составляет правило, тогда как устойчивость является только исключением ${ }^{1}$ ).