19. Уравнение (2′) движения точки по заданной траектории интегрируется в квадратурах также и в том случае, когда тангенциальная сила зависит только от скорости. Уравнение (2′) в этом случае принимает вид
$$\ddot{m}=f(\dot{s})$$

откуда, разделяя переменные $\dot{s}$ и $t$, получим
$$m\frac{\dot{ds}}{f(\dot{s})}=dt.$$

Отсюда посредством одной квадратуры выводится конечное соотношение между $\dot{s}$ и $t$ или же между $\dot{s}$ и $t-t_0$, если через $t_0$ обозначить постоянную интегрирования. Если разрешить это соотношение относительно $\dot{s}$, то $\dot{s}$ (или $\frac{ds}{dt}$ ) будет выражено через $t-t_0$. Тогда достаточно одной новой квадратуры для того, чтобы найти $s(t)$.
20. Пассивным сопротивлением мы назвали (см. т. I, гл. VII, п. 23) такую силу, которая всегда стремится противодействовать движению, т. е. образует с направлением скорости тупой угол.

В настоящем случае мы будем рассматривать силу $F_t=f(\dot{s})$ как пассивное сопротивленіе, если она всегда имеет знак, противоположный знаку $\dot{s}$. В таком случає (допуская, что рассматриваемая сила есть непрерывная функция скорости) необходимо, чтобы было $f(0)=0$; в самом деле, в противном случае $f(\dot{s})$ для достаточно малого $s$ имела бы знак, одинаковый со знаком $f(0)$, и, следовательно, не могла бы его изменить вместе с $\dot{s}$, как это необходимо для пассивного сопротивления.
21. Наиболее простым выражением пассивного сопротивления, очевидно, будет
$$f(\dot{s})=-b\dot{s},$$

где через $b$ обозначена некоторая положительная постоянная. По соображениям, аналогиуным тем, которые были изложены в п. 15, уравнение (11) можно рассматривать как типичное выражение пассивного сопротивления для всех тех случаев, когда рассматриваются малые скорости. К этой категории пассивных сопротивлений принадлежит, по крайнен мере в первом приближении, сопротивление, возникающее в вязкой, жидкой или в газообразной среде при медленном движении в ней твердого тела. Значение коэффициента $b$

существенно зависит от свойств среды, от размеров и формы движущегося тела (когда речь идет о локализации тела на кривой $c$, его следует мысленно заменить материально! точкой). Так, например, при медленном двнжении шара радиуса $r$ в вязкоі жідкости теория дает для коэффнциента $b$ значсние
$$b=6\pi \iota r,[\mu ]=m{t}^{-1}{l}^{-1},$$

где коэффициент вязкості $\mu$, измеренный в едіницах CGS и при температуре в ${15}^{\circ }$, равен для воды 0,0115 и для воздуха 0,000189 .

Следовательно, измеряя $r$ в сантиметрах, а $\dot{s}$ в сантиметрах в секунду, получим силу $b\dot{s}$ в динах. Для того чтобы получить ее в граммах, необходимо, очевидно, разделить полученное значение в динах на $g=981$.
22. Необходимо заметить, что при быстром движении закон сопротивления среды уже не будет линейным. Для скорсстей, обычно встречающихся на практике, а именно между 2 и 200 м/сек, сопротивление приблизительно пропорционально квадрату скорости ${}^1$ ). Это так называемый квадратичный или аидравлический закон сопротивления, одинаково хорошо применимый как для воды, так и для воздуха. Коэффициент при $v^2$ ножно взять в форме $KA\alpha$, где множитель $K$ зависит только от свойств среды и пропорцнонален ее плотности, $A$ есть пощады миделева сечения движущегося тела, т. е. площадь проекции тела на плоскость, перпендикулярную к направлению движения, и $\alpha$-отвлеченное число, зависящее от форми, но не от размеров движущегося тела, и от ориентировки тела относительно направления движения, предполагаемого поступательным.

Очевидно, что при $A$ и $\alpha$, равных единице, коэффициент $K$ будет представлять собой сопротивление среды.

Принимая для квадрата (в виде тонкой пластинки, движущейся перпендикулярно к своей плоскости) $\alpha =1$, получим для воды как среднее из многочисленных опытов ${}^2$ )

а для воздуха
$$\begin{array}{l}K=94,6{\mathrm{kr}}^{\prime }{\mathit{N}}^2,\\ K=0,08\mathrm{kz}/{\mathrm{m}}^2.\end{array}$$

Заметим, впрочем, что последнее значение действительно только для квадратных пластинок с площадью, большей $1{\mathit{\mu }}^2$. В случае же пластинок с меньшей площадью коэффициент $K$ несколько меньше
и для пластинок с площадью в несколько квадратных сантиметров достигает значения 0,066 .
Итак, общим выражением квадратичного сопротивления будет
$$f(\dot{s})=\pm KA\alpha v^2=\pm KA\alpha {\dot{s}}^9.$$

Двойной знак вводится потому, что направление силы всегда противоположно направлению скорости, и поэтому надо брать знак минус, когда движение прогрессивное ( $\dot{s}>0$ ), и знак плюс, когда движение регрессивное $(s<0)$.

23. Для движений с еще более значительными скоростями, встречающимися, например, в баллистике, сопротивление фактически уже не остается пропорциональным квадрату скорости, а следует совсем
Фиг. 5.

другому закону. В общем случае сопротивление воздуха, отнесенное к единице массы, можно представить в виде $\lambda F(v)$, где $\lambda$ коэффициент, зависящий от формы снаряда и от плотности воздуха (аналогично коэффициенту $KA\alpha$ ), но не зависящий от скорости, а $F(v)$ есть функция только скорости $v$.

Сиаччи ${}^1$ ) первым начал систенатические опыты с целью определения функции $F(v)$. В результате своих исследований он получил для частного $K(v)=\frac{F(v)}{v^9}$ (которое в случае квадратичного сопротивления должно было бы быть постоянным) кривую, изображенную на фиг. 5. Мы видим, что, начиная с 200 м/сек, кривая быстро поднимается, при скорости, близкой к скорости звука, имеет точку перегиба и достигает максимума между 400 и 500 м/ceк, после чего медленно опускается, по крайней мере для скоростей, проверенных до сих пор на опыте.