Главная > KУPC ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ (Т. Леви-Чивита и У. Амальди)
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

19. Уравнение (2′) движения точки по заданной траектории интегрируется в квадратурах также и в том случае, когда тангенциальная сила зависит только от скорости. Уравнение (2′) в этом случае принимает вид
\[
\ddot{m}=f(\dot{s})
\]

откуда, разделяя переменные $\dot{s}$ и $t$, получим
\[
m \frac{\dot{d s}}{f(\dot{s})}=d t .
\]

Отсюда посредством одной квадратуры выводится конечное соотношение между $\dot{s}$ и $t$ или же между $\dot{s}$ и $t-t_{0}$, если через $t_{0}$ обозначить постоянную интегрирования. Если разрешить это соотношение относительно $\dot{s}$, то $\dot{s}$ (или $\frac{d s}{d t}$ ) будет выражено через $t-t_{0}$. Тогда достаточно одной новой квадратуры для того, чтобы найти $s(t)$.
20. Пассивным сопротивлением мы назвали (см. т. I, гл. VII, п. 23) такую силу, которая всегда стремится противодействовать движению, т. е. образует с направлением скорости тупой угол.

В настоящем случае мы будем рассматривать силу $F_{t}=f(\dot{s})$ как пассивное сопротивленіе, если она всегда имеет знак, противоположный знаку $\dot{s}$. В таком случає (допуская, что рассматриваемая сила есть непрерывная функция скорости) необходимо, чтобы было $f(0)=0$; в самом деле, в противном случае $f(\dot{s})$ для достаточно малого $s$ имела бы знак, одинаковый со знаком $f(0)$, и, следовательно, не могла бы его изменить вместе с $\dot{s}$, как это необходимо для пассивного сопротивления.
21. Наиболее простым выражением пассивного сопротивления, очевидно, будет
\[
f(\dot{s})=-b \dot{s},
\]

где через $b$ обозначена некоторая положительная постоянная. По соображениям, аналогиуным тем, которые были изложены в п. 15, уравнение (11) можно рассматривать как типичное выражение пассивного сопротивления для всех тех случаев, когда рассматриваются малые скорости. К этой категории пассивных сопротивлений принадлежит, по крайнен мере в первом приближении, сопротивление, возникающее в вязкой, жидкой или в газообразной среде при медленном движении в ней твердого тела. Значение коэффициента $b$

существенно зависит от свойств среды, от размеров и формы движущегося тела (когда речь идет о локализации тела на кривой $c$, его следует мысленно заменить материально! точкой). Так, например, при медленном двнжении шара радиуса $r$ в вязкоі жідкости теория дает для коэффнциента $b$ значсние
\[
b=6 \pi \iota r, \quad[\mu]=m t^{-1} l^{-1},
\]

где коэффициент вязкості $\mu$, измеренный в едіницах CGS и при температуре в $15^{\circ}$, равен для воды 0,0115 и для воздуха 0,000189 .

Следовательно, измеряя $r$ в сантиметрах, а $\dot{s}$ в сантиметрах в секунду, получим силу $b \dot{s}$ в динах. Для того чтобы получить ее в граммах, необходимо, очевидно, разделить полученное значение в динах на $g=981$.
22. Необходимо заметить, что при быстром движении закон сопротивления среды уже не будет линейным. Для скорсстей, обычно встречающихся на практике, а именно между 2 и 200 м/сек, сопротивление приблизительно пропорционально квадрату скорости ${ }^{1}$ ). Это так называемый квадратичный или аидравлический закон сопротивления, одинаково хорошо применимый как для воды, так и для воздуха. Коэффициент при $v^{2}$ ножно взять в форме $K A \alpha$, где множитель $K$ зависит только от свойств среды и пропорцнонален ее плотности, $A$ есть пощады миделева сечения движущегося тела, т. е. площадь проекции тела на плоскость, перпендикулярную к направлению движения, и $\alpha$-отвлеченное число, зависящее от форми, но не от размеров движущегося тела, и от ориентировки тела относительно направления движения, предполагаемого поступательным.

Очевидно, что при $A$ и $\alpha$, равных единице, коэффициент $K$ будет представлять собой сопротивление среды.

Принимая для квадрата (в виде тонкой пластинки, движущейся перпендикулярно к своей плоскости) $\alpha=1$, получим для воды как среднее из многочисленных опытов ${ }^{2}$ )

а для воздуха
\[
\begin{array}{l}
K=94,6 \mathrm{kr}^{\prime} \boldsymbol{N}^{2}, \\
K=0,08 \mathrm{kz} / \mathrm{m}^{2} .
\end{array}
\]

Заметим, впрочем, что последнее значение действительно только для квадратных пластинок с площадью, большей $1 \boldsymbol{\mu}^{2}$. В случае же пластинок с меньшей площадью коэффициент $K$ несколько меньше
и для пластинок с площадью в несколько квадратных сантиметров достигает значения 0,066 .
Итак, общим выражением квадратичного сопротивления будет
\[
f(\dot{s})= \pm K A \alpha v^{2}= \pm K A \alpha \dot{s}^{9} .
\]

Двойной знак вводится потому, что направление силы всегда противоположно направлению скорости, и поэтому надо брать знак минус, когда движение прогрессивное ( $\dot{s}>0$ ), и знак плюс, когда движение регрессивное $(s<0)$.

23. Для движений с еще более значительными скоростями, встречающимися, например, в баллистике, сопротивление фактически уже не остается пропорциональным квадрату скорости, а следует совсем
Фиг. 5.

другому закону. В общем случае сопротивление воздуха, отнесенное к единице массы, можно представить в виде $\lambda F(v)$, где $\lambda$ коэффициент, зависящий от формы снаряда и от плотности воздуха (аналогично коэффициенту $K A \alpha$ ), но не зависящий от скорости, а $F(v)$ есть функция только скорости $v$.

Сиаччи ${ }^{1}$ ) первым начал систенатические опыты с целью определения функции $F(v)$. В результате своих исследований он получил для частного $K(v)=\frac{F(v)}{v^{9}}$ (которое в случае квадратичного сопротивления должно было бы быть постоянным) кривую, изображенную на фиг. 5. Мы видим, что, начиная с 200 м/сек, кривая быстро поднимается, при скорости, близкой к скорости звука, имеет точку перегиба и достигает максимума между 400 и 500 м/ceк, после чего медленно опускается, по крайней мере для скоростей, проверенных до сих пор на опыте.

Categories

1
Оглавление
email@scask.ru