Термин „устойчивость“ настолько выразителен, что он сам почти все за себя говорит. Пусть какон-нибудь прибор используется некоторым образом при определенных общих условиях. Эти условия слегка изменяются. Повлечет это за собой небольшое или, наоборот, значительное изменение в работе прибора? В первом случае говорят об устойчивости, во втором-0 неустойчивости.

Каким образом это понятие применяется для исследования физических систем? Такая система зависит, скажем, от нескольких физических параметров $x_{1}, \ldots, x_{n}$-координат и скоростей. Ее состояние в момент времени $t$ мы обозначим через $x(t)$ и будем представлять себе как точку или вектор $x$ в некотором пространстве $E^{n}$. Точка $x(t)$ с течением времени описывает траекторию $g$ в этом пространстве. Возникает вопрос: как ведут себя по отношению к $g$ траектории $g^{*}$, которые начинаются ${ }^{1}$ ) вблизи $g$ ? Остаются ли они все время вблизи $g$ (рис. 6)²),
Рис. 6.

что означает устойчивость, или же они уходят прочь от $g$, что соответствует неустойчивости?

Аналитически эта проблема формулируется следующим образом. Прежде всего, мы ограничимся процессами, которые описываются обыкновенными дифференциальными уравнениями. Иными словами, предположим, что траектория $g$ и близкие к ней траектории являются решениями некоторого векторного уравнения
\[
\dot{x}=X(x, t) .
\]

Пусть траектории $g$ соответствует частное решение $f(t)$ уравнения (F). Устоичивость этого решения и предстоит нам исследовать. Сделав замену переменных (рис. 6)
\[
y=x-f(t), \quad x=y+f(t),
\]
j) В соответствующий момент времени. Иногда рассматриваемое свойство называют устойчивостью по отношению к начальным возмущениям. – Прим. перев.
2). Когда здесь говорится о близости траекторий $g$ и $g^{*}$, то имеется в виду близость соответствующих точек этих траекторий, т. е. точек, которые соответствуют одному и тому же знаению $t$. – Прим. ред.

мы приведем уравнение (F) к уравнению
\[
\dot{y}+\dot{f}(t)=X(y+f(t), t),
\]

которое принимает ту же общую форму
\[
\dot{y}=Y(y, t), \quad Y(0, t) \equiv 0,
\]

причем теперь траектория $g$ соответствует тривиальному решению $y=0$. Вопрос об устойчивости решения $f(t)$ сводится к изучению устойчнвости начала координат пространства $E^{n}$.

Особенно важным для приложений является часто встречающийся случай, когда система автономна
\[
\dot{x}=X(x)
\]

и координаты $x_{1}, \ldots, x_{n}$, являющиеся параметрами объекта, могут сохранять постоянные значения $a_{1}, \ldots, a_{n}$. Другими словами, точка $x=a$ есть решение: $X(a)=0$. Если в начальный момент система находилась в положении равновесия $a$, то она навсегда останется в этой точке. Однако это утверждение – чисто теоретическое. Реальная система испытывает различные возмущения, и потому никогда нельзя точно установить ее начальное состояние. Мы снова приходим к проблеме устоичивости: будет ли система, несмотря на влияние малых возмущений, ославаться вблизи положения равновесия или нет? Эта задача всесторонне обсуждается ниже.