Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике Мы рассмотрим автономную систему (FA) и изучим устоичивость ее положения равновесия $x=a$. Удобно прежде всего выбрать точку $x=a$ началом координат. Этого можно добиться, сделав простое преобразование координат $x^{*}=x-a$. Будем считать его выполненным и обозначим $x^{*}$ снова через $x$. Таким образом, рассматривается основная система и исследуется устойчивость начала координат. Предположим, что в некоторой сферической области $Q:\|x\|<p$ [такая область обозначается $S(p)$ ] для системы (FA) выполняются все условия основной теоремы существования (см. §5); в частности, отметим, что в области $Q$ существуют и непрерывны все частные производные $\frac{\partial X_{i}}{\partial x_{j}}, \quad i, j=1,2, \ldots, n$. Напомним, что тогда через каждую точку $x$ области $\Omega$ проходит единственная траектория $g$ системы (FA). Мы обозначим ту часть кривой $g$, которая описывается функцией $x(t)$ при $t \geqslant 0$, через $g^{+}$, а ту, которая описывается этой же функцией при $t \leqslant 0$, через $g^{-}$. Будем говорить, что положение равновесия в начале координат Пример 1. Рассмотрим систему второго порядка ( $x$ и $y$-обычные декартовы координаты на плоскости): Так как $x \dot{x}+y \dot{y}=0$, то траекториями являются концентрические окружности $x^{2}+y^{2}=R^{2}$ с центром в начале координат. Начало координат является единственным положением равновесия. Если взять $r=R$, то любая траектория, начинающаяся внутри $S(r)$, остается все время внутри круговой области $S(r)$, а следовательно, и внутри $S(R)$, так что имеет место устойчивость. Однако траектории не приближаются к началу координат, и положение равновесия не будет асимптотически устойчивым (рис. 8). Ee решение: $x=A e^{-t}, y=B e^{-t}$. Так как $y / x=B / A=k$, то траекториями являются лучи, исходящие из начала координат (рис. 9). Мы можем снова выбрать $r=R$. Любая траектория $g^{+}$, начинающаяся внутри $S(r)$, остается все время в круговой области $S(R)$ и, кроме того, неограниченно приближается к началу координат при $t \rightarrow \infty$. Следовательно, имеет место асимптотическая устойчивость. В действительности здесь будет даже асимптотическая устойчивость в целом ${ }^{1}$ ) -любое решение стремится к положению равновесия. ее решение: $x=A e^{t}, y=B e^{t}$. Так как снова $x / y=k$, то траекториями являются лучи, исходящие из начала координат (рис. 10). Этот случай отличается от примера 2 тем, что движение по лучам происходит в направлении от центра. Выбрав любое $R$ и сколь угодно малое $r$, легко убедиться, что траектория $g^{+}$, начинающаяся в любой точке круговой области $S(r)$, обязательно достигает окружности $H(R)$, т. е. положение равновесия неустойчиво.
|
1 |
Оглавление
|