Мы рассмотрим автономную систему (FA) и изучим устоичивость ее положения равновесия $x=a$. Удобно прежде всего выбрать точку $x=a$ началом координат. Этого можно добиться, сделав простое преобразование координат $x^{*}=x-a$. Будем считать его выполненным и обозначим $x^{*}$ снова через $x$. Таким образом, рассматривается основная система
\[
\dot{x}=X(x), \quad X(0)=0
\]

и исследуется устойчивость начала координат.

Предположим, что в некоторой сферической области $Q:\|x\|<p$ [такая область обозначается $S(p)$ ] для системы (FA) выполняются все условия основной теоремы существования (см. §5); в частности, отметим, что в области $Q$ существуют и непрерывны все частные производные $\frac{\partial X_{i}}{\partial x_{j}}, \quad i, j=1,2, \ldots, n$. Напомним, что тогда через каждую точку $x$ области $\Omega$ проходит единственная траектория $g$ системы (FA).

Мы обозначим ту часть кривой $g$, которая описывается функцией $x(t)$ при $t \geqslant 0$, через $g^{+}$, а ту, которая описывается этой же функцией при $t \leqslant 0$, через $g^{-}$.

Будем говорить, что положение равновесия в начале координат
устойчиво, если для любого $R<\rho$ существует такое $r \leqslant R$, что траектория (движение) $g^{+}$, начинающаяся в точке $x^{0}$ сферической области $S(\boldsymbol{r})$, все время затем остается в сферической области $S(R)^{1}$ ), иначе говоря, траектория $g^{+}$, начинающаяся внутри области $S(r)$, никогда не достигает сферы $H(R)$ (рис. 7);
асимптотически устойчиво, если оно устойчиво и, сверх того, существует такое $R_{0}<\rho$, что каждая траектория $g^{+}$, начинающаяся в сферической области $S\left(R_{0}\right)$, стремится к началу координат, когда время неограниченно растет (рис. 7);
неустойчиво, если для некоторого (хотя бы одного) $R<p$ и любого $r$, каким бы малым $r$ ни выбиралось, всегда найдется внутри сферической области $S(r)$ такая точка $x^{0}$, что траектория $g^{+}$, начинающаяся в этой точке, достигает ${ }^{2}$ ) сферы $H(R)$ (рис. 7 ).
1) То есть при всех $0 \leqslant t<\infty$ имеем $\|x(t)\|<R$. То, что функция $x(t)$ определена при всех $t \geqslant 0$, ниоткуда не следует и является еще одним дополнительным предположением при определении устойчивости. Предполагается, что любое решение $x(t)$ с начальным условием $x(0)=x^{0}$, где $x^{0}$ — любая точка .области $Q$, определено при всех $t \geqslant 0$. Отметим, что в качестве начального можно брать любой конечный момент времени $0 \leqslant t_{0}<\infty$. — Прим. перев.
${ }^{2}$ ) За конечное время. — Прим. перев.

Пример 1. Рассмотрим систему второго порядка ( $x$ и $y$-обычные декартовы координаты на плоскости):
\[
\left\{\begin{array}{l}
\dot{x}=y, \\
\dot{y}=-x .
\end{array}\right.
\]

Так как $x \dot{x}+y \dot{y}=0$, то траекториями являются концентрические окружности $x^{2}+y^{2}=R^{2}$ с центром в начале
Рис. 7.

координат. Начало координат является единственным положением равновесия. Если взять $r=R$, то любая траектория, начинающаяся внутри $S(r)$, остается все время внутри круговой области $S(r)$, а следовательно, и внутри $S(R)$, так что имеет место устойчивость. Однако траектории не приближаются к началу координат, и положение равновесия не будет асимптотически устойчивым (рис. 8).
Пример 2. Обратимся теперь к системе
\[
\left\{\begin{array}{l}
\dot{x}=-x, \\
\dot{y}=-y .
\end{array}\right.
\]

Ee решение: $x=A e^{-t}, y=B e^{-t}$. Так как $y / x=B / A=k$, то траекториями являются лучи, исходящие из начала координат (рис. 9). Мы можем снова выбрать $r=R$. Любая
Рис. 8.
Рис. 9.

траектория $g^{+}$, начинающаяся внутри $S(r)$, остается все время в круговой области $S(R)$ и, кроме того, неограниченно приближается к началу координат при $t \rightarrow \infty$. Следовательно, имеет место асимптотическая устойчивость. В действительности здесь будет даже асимптотическая устойчивость в целом ${ }^{1}$ ) -любое решение стремится к положению равновесия.
Пример 3. Наконец, возьмем систему
\[
\left\{\begin{array}{l}
\dot{x}=x, \\
\dot{y}=y ;
\end{array}\right.
\]

ее решение: $x=A e^{t}, y=B e^{t}$. Так как снова $x / y=k$,
1) В оригинале asimptotic stability in the large.-Прим. neper.

то траекториями являются лучи, исходящие из начала координат (рис. 10). Этот случай отличается от примера 2 тем, что движение по лучам происходит в направлении от центра. Выбрав любое $R$ и сколь угодно малое $r$, легко убедиться, что траектория $g^{+}$, начинающаяся в любой точке круговой области $S(r)$, обязательно достигает окружности $H(R)$, т. е. положение равновесия неустойчиво.
Теоремы Ляпунова позволяют свести изучение только что определенных свойств (устойчивости, асимптотической устойчивости ит. д.) систем дифференциальных уравнений к рассмотрению своиств некоторых функцић. Этими функциями мы и займемся в первую очередь.