В реальных системах отыскание колебании, которые могут быть как желательными, так и нежелательными (вредными), является важной практической проблемой. Наши средства связи собираются из цепей, порождающих устойчивые колебания. Наоборот, появление колебанић в системе регулирования или в экономической схеме может быть поводом для беспокойства. Проблемы нелинейных колебаний крайне заманчивы для математиков, они представляют собой то обширное поле деятельности в дифференциальных уравнениях, где мы наблюдаем сейас значительный прогресс. Современная математика, в частности топология, дает нам новые методы исследования.

В настоящем параграфе иы хотим указать на довольно неожиданную связь между теорией колебаний и методом Ляпунова.
Прежде всего рассмотрим линейную систему
\[
\dot{x}=A x+f(t), \quad t \geqslant 0 ;
\]

здесь $x-n$-мерный вектор, $A$-постоянная матрица порядка $n$, а $f(t)$ – непрерывная периодическая $n$-мерная вектор-функция периода $T$. Для такой линеиной системы имеется несколько относительно простых результатов. Известно, что если система (26.1) имеет ограниченное при $t \geqslant 0$ решение ${ }^{1}$ ), то эта же система имеет периодическое решение периода $T$. Далее, если матрица $A$ устойчива (т. е. все ее собственные значения имеют отрицательные деиствительные части), то система (26.1) имеет единственное периодическое решение, а все остальные решения приближаются к нему при неограниченном возрастании времени. Такое периодическое решение мы будем называть установившимися колебаниями, или стационарным режимом.
1) В оригинале bounded in the future. – ППрим. перев.

Наличие нелинеиностей в системе дифференциальных уравнений приводит к серьезным трудностям. Рассмотрим, например, систему второго порядка
\[
\left\{\begin{array}{l}
\dot{x}=P(x, y, t), \\
\dot{y}=Q(x, y, t),
\end{array}\right.
\]

где $P$ и $Q$ – периодические по $t$ функции периода $T$. Мы предположим также, что для этой системы при всех $x$ и $y$ выполнена теорема существования.

В 1950 г. И. Массера получил очень имтересный результат. Он показал, что если все решения системы (26.2) неограниченно продолжаемы и если известно, что система имеет ограниченное решение, то эта система имеет периодическое решение периода $T$. Этот результат позволяет использовать утверждения § 23 и 24 для изучения колебаний. Если, скажем, удастся пөказать методами этих параграфов, что система (26.2) устойчива по Лагранжу или обладает предельной ограниченностью (и, следовательно, устойчива по Лагранжу), то мы можем утверждать, что она имеет периодическое решение периода $T$. В частности, если вернуться к примеру $\S 24$, считая вынуждающую силу $e(t)$ периодической, то из сказанного вытекает, что уравнение Льенара имеет по крайней мере одно периодическое решение, причем период этого решения совпадает с периодом функции $e(t)$.

К сожалению, этот результат неверен для нелинейных систем выше второго порядка; на этот счет Массера привел противоречащие примеры. В случае произвольного порядка системы, когда мы уже вынуждены отказаться от использования простых топологических свойств плоскости, основные результаты теории касаются случая квазилинейных систем ${ }^{1}$ ). Имеется, однако, один общий результат, касающићся установившихся колебаний; как показал Йошизава, изучение стационарных режимов можно проводить методом Ляпунова.
Рассмотрим систему уравнении
\[
\dot{x}=X(x, t), \quad t \geqslant 0 \text {. }
\]
1) В оригинале weakly linear systems. – Прим. перев.

относительно которои предполагается, что $X(x, t) \equiv$ $\equiv X(x, t+T)$ для всех $n$-мерных векторов $x$, всех $t \geqslant 0$ и некоторого $T>0$. Мы предполагаем также, что для системы (FP) выполнены условия, обеспечивающие существование, единственность и непрерывную зависимость решений от начальных условий. Мы скажем, что система (FP) экстремально устойчива ${ }^{1}$ ), есля для каждой пары решений $x^{1}(t)$ и $x^{2}(t)$ системы (FP) справедливо предельное соотношение $x^{1}(t)-x^{2}(t) \rightarrow 0$ при $t \rightarrow \infty$. Ла-Салль, обобщая результат Треффтца для систем с одной степенью свободы, показал, что если система (FP) экстремально устойчива и если она имеет ограниченное решение, то эта система имеет периодическое решение периода $T$. Это периодическое решение является единственным, и все остальные решения неограниченно приближаются к нему при $t \rightarrow \infty$. Иначе говоря, в системе (FP) имеется стационарный режим.

Связь между сформулированным только что результатом и теорией Ляпунова состоит в том, что, как показал Йошизава, экстремальную устойчивость системы (FP) можно установить с помощью введения подходящих функций Ляпунова.

Мы приведем здесь более простой специальный случай теоремы Йошизава. Предположим прежде всего, что все решения системы (FP) предельно ограничены. Таким образом, существует такое замкнутое ограниченное множество $Q$, что все решения этой системы в конце концов остаются внутри этого множества. Далее, для изучения поведения пары решений естественно ввести в рассмотрение две системы
\[
\begin{array}{l}
\dot{x}=X(x, t), \\
\dot{y}=X(y, t),
\end{array}
\]

которые мы можем объединить в одну систему порядка $2 n$ :
\[
\dot{z}=Z(z, t) \text {, }
\]

считая $z$ и $Z(z, t) 2 n$-мерными векторами:
\[
z=\left(\begin{array}{c}
x \\
y
\end{array}\right), \quad Z(z, t)=\left(\begin{array}{c}
X(x, t) \\
X(y, t)
\end{array}\right) .
\]
1) В оригинале extremely stable. – Прим. перев.

Пусть $Q^{2}$ означает множество всех тех векторов
\[
z=\left(\begin{array}{l}
x \\
y
\end{array}\right) \text {, }
\]

для которых обе \”составляющие\” $x$ и $y$ лежат в $\mathbf{Q}$. Наконец, $M$-множество всех таких
\[
z=\left(\begin{array}{l}
x \\
x
\end{array}\right)
\]

у которых $x$ лежит в $Q$. Например, множество $M$ является диагональю изображенного на рис. 30 множества $Q^{2}$. Каж-
Рис. 30.

дое решение системы (26.3) остается в конце концов внутри $Q^{2}$, и мы можем ограничить наше исследование именно этим множеством. Докажем, что каждое решение системы (26.3) приближается к множеству $M$ при $t \rightarrow \infty$ : это и будет означать экстремальную устойчивость системы (FP).

Пусть $V(\boldsymbol{z})$ – скалярная функция, имеющая внутри $\mathbf{Q}^{2}$ непрерывные частные производные первого порядка. Допустим сверх того, что в $\mathrm{Q}^{2}$
а) $V(z)=0$ для $z$, принадлежащих $M$;
б) $V(z)>0$ для $z$, не принадлежащих $M$;
в) $\dot{V}(z)<0$ для $z$, не принадлежащих $M$.
[Полная производная $\dot{V}$ берется в силу системы (26.3)]. Сформулированные ограничения на функцию $V$ означают, что эта функция является по отношению к множеству $M$ положительно определенной, а ее производная – отрицательно определенной. Точно так же, как и во второй теореме Ляпунова об устойчивости, отсюда следует, что каждое решение системы (26.3) приближается при $t \rightarrow \infty$ к множеству $M$, а это в свою очередь равносильно утверждению об экстремальной устойчивости системы (FP).

Таким образом, допустив, что решения системы (FP) предельно ограничены, мы смогли доказать следующую теорему.

Теорема XIX. При сформулированных выше предположениях система (FP) имеет единственное периодическое решение периода $T$ и каждое другое ее решение неограниченно приближается при $t \rightarrow \infty \kappa$ этому стационарному режиму.