Состояние динамической системы (например, движущегося твердого тела, частей работающей машины, электрической цепи и даже экономической схемы), т. е. ее положение в пространстве и скорость, в каждый момент времени можно описать значениями некоторых параметров $x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}$.

Мы будем представлять себе эти параметры как координаты точки $x$ в $n$-мерном пространстве $E^{n}$ или, равным образом, как координаты (компоненты) вектора $x$ в том же пространстве. Тем самым Рис. 1. в $E^{n}$ отождествляются точки и векторы ${ }^{1}$ ). Это позволяет определить операции над точками по аналогии с векторным исчислением. Мы напомним здесь соответствующие правила. Если $x=\left\{x_{1}, \ldots, x_{n}\right\}$ и $y=\left\{y_{1}, \ldots, y_{n}\right\}$ — два вектора (или две точки), то
\[
x+y=\left\{x_{1}+y_{1}, x_{2}+y_{2}, \ldots, x_{n}+y_{n}\right\},
\]
$k x=\left\{k x_{1}, k x_{2}, \ldots, k x_{n}\right\}$,
$0=\{0,0, \ldots, 0\}$ (начало координат),
\[
x \cdot y=x_{1} y_{1}+x_{2} y_{2}+\ldots+x_{n} y_{n}
\]
(скалярное произведение).
Напомним также следующєе хорошо известное построение. Пусть векторы $x$ и $y$ изображены направленными
1) Точнее, отождествляется точка $x$ и вектор, идущий из начала координат в точку $x$. — Прим. перев.

отрезками $O A$ и $O B$ (рис. 1). Построим параллелограмм $O A C B$. Тогда диагональ $O C$ изображает сумму $x+y$, а диагональ $A B$ — разность $y-x$.

Чтобы получить евклидово пространство, введем следующий способ измерения длины, т. е. расстояния между парой точек. Из рис. 1 непосредственно видно, что расстояние между точками $A$ и $B$ равно длине отрезка $A B$ или, что то же самое, длине вектора $y-x$. Способ измерения расстояний введем в два этапа. Определим сначала длину (модуль) вектора $x$ по формуле
\[
\|x\|=\sqrt{x \cdot x}=\sqrt{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots+x_{n}^{2}} .
\]

После этого расстоянием от точки $A$ до точки $B$ естественно назвать величину
\[
\begin{array}{l}
d(x, y)=\|y-x\|= \\
\quad=\sqrt{\left(y_{1}-x_{1}\right)^{2}+\left(y_{2}-x_{2}\right)^{2}+\cdots+\left(y_{n}-x_{n}\right)^{2}} .
\end{array}
\]

Так, например, при $n=2$ каждый вектор (каждая точка) характеризуется двумя координатами $x_{1}$ и $x_{2}$. Поэтому длина вектора $x$ в этом случае выражается формулон
\[
\|x\|=\sqrt{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}},
\]

а расстояние между двумя точками — формулой
\[
d(x, y)=\sqrt{\left(y_{1}-x_{1}\right)^{2}+\left(y_{2}-x_{2}\right)^{2}} .
\]

Эти формулы известны из аналитической геометрии.
Заметим, что формулы (1.1) и (1.2) имеют определенныи реальный смысл, если смотреть на них с практической точки зрения. Пусть $x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}$ — параметры динамической системы $\mathcal{S}$, и пусть $\mathcal{S}(x)$ и $S(y)$ — два ее состояния. „Близость“ этих состояний можно характеризовать величиной $d(x, y)$. Деєіствительно, если $d(x, y)<\varepsilon$, то абсолютная величина разности соответствующих значений каждого из параметров меньше $\varepsilon$ :
\[
\left|y_{k}-x_{k}\right|<\varepsilon, \quad k=1,2, \ldots, n,
\]

так что состояния системы и в самом деле близки друг к другу.

Может случиться, что компоненты вектора $x$ являются функциями некоторой переменной $t$; тогда $x(t)$ означает вектор $\left\{x_{1}(t), x_{2}(t), \ldots, x_{n}(t)\right\}$. Иногда вместо $x(t)$ пишут просто $x$, подразумевая вектор, зависящий от $t$. Если функции $x_{1}(t), \ldots, x_{n}(t)$ дифференцируемы, то $\dot{x}(t)$ означает вектор $\left\{\dot{x}_{1}(t), \dot{x}_{2}(t), \ldots, \dot{x}_{n}(t)\right\}$. Аналогично определяется вторая производная $\ddot{x}(t)$, третья $\ddot{x}(t)$ и т. д.

Пример. Если материальная точка $P$ массы $m$ с радиусом-вектором $x$ с течением времени $t$ некоторым образом перемещается в пространстве, то вектор $x$ есть функция времени $x(t)$. Тогда $\dot{x}(t)$ — вектор скорости точки $P$, а $\ddot{x}(t)$ — вектор ускорения этой же точки. Если $F$ — вектор силы, приложенной к точке $P$, то движение описывается вторым законом Ньютона $m \ddot{x}=F$.

Скалярную действительную функцую $f\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}, t\right)$, зависящую от компонент вектора $x$ и переменной $t$, можно представлять себе как функцию вектора $x$ и скаляра $t$ и обозначать ее через $f(x, t)$.
Если имеется $s$ таких функции
\[
f_{1}(x, t), f_{2}(x, t), \ldots, f_{s}(x, t),
\]

то их в совокупности можно рассматривать как компоненты $s$-мерного вектора $f$, который является функцией $n$-мерного вектора $x$ и переменной $t$; поэтому его удобно обозначать просто $f(x, t)$. Здесь, в отличие от того, что было ранее, $f$ означает $s$-мерный вектор, а не скаляр (т. е. одномерный вектор). Чтобы избежать недоразумений, необходимо всякий раз оговаривать, понимается ли под $f$ вектор или скаляр.

Пусть скалярная функция $f\left(x_{1}, \ldots x_{n}, t\right)=f(x, t)$ имеет непрерывные частные производные $\frac{\partial f}{\partial x_{1}}, \ldots, \frac{\partial f}{\partial x_{n}}$. Их можно считать компонентами $n$-мерного вектора, которыи называется г радиентом и обозначается $d f / d x$ или grad $f$.

Предположим, далее, что $f$ имеет также частную производную $d f / d x$ по $t$. Если $x=x(t)$ — функция переменной $t$, то справедливо следующее хорошо знакомое правило дифференцирования:
\[
\begin{aligned}
\frac{d f}{d t} & =\dot{f}(x, t)=\frac{\partial f}{\partial x_{1}} \dot{x}_{1}+\ldots+\frac{\partial f}{\partial x_{n}} \dot{x}_{n}+\frac{\partial f}{\partial t}= \\
& =\frac{\partial f}{\partial x} \cdot \dot{x}+\frac{\partial f}{\partial t}=\operatorname{grad} f \cdot \dot{x}+\frac{\partial f}{\partial t} .
\end{aligned}
\]