Состояние динамической системы (например, движущегося твердого тела, частей работающей машины, электрической цепи и даже экономической схемы), т. е. ее положение в пространстве и скорость, в каждый момент времени можно описать значениями некоторых параметров $x_1,x_2,\dots ,x_n$.

Мы будем представлять себе эти параметры как координаты точки $x$ в $n$-мерном пространстве $E^n$ или, равным образом, как координаты (компоненты) вектора $x$ в том же пространстве. Тем самым Рис. 1. в $E^n$ отождествляются точки и векторы ${}^1$ ). Это позволяет определить операции над точками по аналогии с векторным исчислением. Мы напомним здесь соответствующие правила. Если $x=\{x_1,\dots ,x_n\}$ и $y=\{y_1,\dots ,y_n\}$ — два вектора (или две точки), то
$$x+y=\{x_1+y_1,x_2+y_2,\dots ,x_n+y_n\},$$
$kx=\{k{x}_1,k{x}_2,\dots ,k{x}_n\}$,
$0=\{0,0,\dots ,0\}$ (начало координат),
$$x\cdot y=x_1{y}_1+x_2{y}_2+\dots +x_n{y}_n$$
(скалярное произведение).
Напомним также следующєе хорошо известное построение. Пусть векторы $x$ и $y$ изображены направленными
1) Точнее, отождествляется точка $x$ и вектор, идущий из начала координат в точку $x$. — Прим. перев.

отрезками $OA$ и $OB$ (рис. 1). Построим параллелограмм $OACB$. Тогда диагональ $OC$ изображает сумму $x+y$, а диагональ $AB$ — разность $y-x$.

Чтобы получить евклидово пространство, введем следующий способ измерения длины, т. е. расстояния между парой точек. Из рис. 1 непосредственно видно, что расстояние между точками $A$ и $B$ равно длине отрезка $AB$ или, что то же самое, длине вектора $y-x$. Способ измерения расстояний введем в два этапа. Определим сначала длину (модуль) вектора $x$ по формуле
$$\Vert x\Vert =\sqrt{x\cdot x}=\sqrt{x_1^2+x_2^2+\cdots +x_n^2}.$$

После этого расстоянием от точки $A$ до точки $B$ естественно назвать величину
$$\begin{array}{l}d(x,y)=\Vert y-x\Vert =\\ =\sqrt{{(y_1-x_1)}^2+{(y_2-x_2)}^2+\cdots +{(y_n-x_n)}^2}.\end{array}$$

Так, например, при $n=2$ каждый вектор (каждая точка) характеризуется двумя координатами $x_1$ и $x_2$. Поэтому длина вектора $x$ в этом случае выражается формулон
$$\Vert x\Vert =\sqrt{x_1^2+x_2^2},$$

а расстояние между двумя точками — формулой
$$d(x,y)=\sqrt{{(y_1-x_1)}^2+{(y_2-x_2)}^2}.$$

Эти формулы известны из аналитической геометрии.
Заметим, что формулы (1.1) и (1.2) имеют определенныи реальный смысл, если смотреть на них с практической точки зрения. Пусть $x_1,x_2,\dots ,x_n$ — параметры динамической системы $\mathcal{S}$, и пусть $\mathcal{S}(x)$ и $S(y)$ — два ее состояния. „Близость“ этих состояний можно характеризовать величиной $d(x,y)$. Деєіствительно, если $d(x,y)<\epsilon$, то абсолютная величина разности соответствующих значений каждого из параметров меньше $\epsilon$ :
$$|y_k-x_k|<\epsilon ,k=1,2,\dots ,n,$$

так что состояния системы и в самом деле близки друг к другу.

Может случиться, что компоненты вектора $x$ являются функциями некоторой переменной $t$; тогда $x(t)$ означает вектор $\{x_1(t),x_2(t),\dots ,x_n(t)\}$. Иногда вместо $x(t)$ пишут просто $x$, подразумевая вектор, зависящий от $t$. Если функции $x_1(t),\dots ,x_n(t)$ дифференцируемы, то $\dot{x}(t)$ означает вектор $\{{\dot{x}}_1(t),{\dot{x}}_2(t),\dots ,{\dot{x}}_n(t)\}$. Аналогично определяется вторая производная $\ddot{x}(t)$, третья $\ddot{x}(t)$ и т. д.

Пример. Если материальная точка $P$ массы $m$ с радиусом-вектором $x$ с течением времени $t$ некоторым образом перемещается в пространстве, то вектор $x$ есть функция времени $x(t)$. Тогда $\dot{x}(t)$ — вектор скорости точки $P$, а $\ddot{x}(t)$ — вектор ускорения этой же точки. Если $F$ — вектор силы, приложенной к точке $P$, то движение описывается вторым законом Ньютона $m\ddot{x}=F$.

Скалярную действительную функцую $f(x_1,x_2,\dots ,x_n,t)$, зависящую от компонент вектора $x$ и переменной $t$, можно представлять себе как функцию вектора $x$ и скаляра $t$ и обозначать ее через $f(x,t)$.
Если имеется $s$ таких функции
$$f_1(x,t),f_2(x,t),\dots ,f_s(x,t),$$

то их в совокупности можно рассматривать как компоненты $s$-мерного вектора $f$, который является функцией $n$-мерного вектора $x$ и переменной $t$; поэтому его удобно обозначать просто $f(x,t)$. Здесь, в отличие от того, что было ранее, $f$ означает $s$-мерный вектор, а не скаляр (т. е. одномерный вектор). Чтобы избежать недоразумений, необходимо всякий раз оговаривать, понимается ли под $f$ вектор или скаляр.

Пусть скалярная функция $f(x_1,\dots x_n,t)=f(x,t)$ имеет непрерывные частные производные $\frac{\partial f}{\partial x_1},\dots ,\frac{\partial f}{\partial x_n}$. Их можно считать компонентами $n$-мерного вектора, которыи называется г радиентом и обозначается $df/dx$ или grad $f$.

Предположим, далее, что $f$ имеет также частную производную $df/dx$ по $t$. Если $x=x(t)$ — функция переменной $t$, то справедливо следующее хорошо знакомое правило дифференцирования:
$$\begin{array}{rl}\frac{df}{dt}& =\dot{f}(x,t)=\frac{\partial f}{\partial x_1}{\dot{x}}_1+\dots +\frac{\partial f}{\partial x_n}{\dot{x}}_n+\frac{\partial f}{\partial t}=\\ & =\frac{\partial f}{\partial x}\cdot \dot{x}+\frac{\partial f}{\partial t}=\mathrm{grad}f\cdot \dot{x}+\frac{\partial f}{\partial t}.\end{array}$$