Возьмем некоторую матрицу $C>0$ и обозначим через $B>0$ единственную симметрическую матрицу, удовлетворяющую равенству (16.2); функция $V(x, \sigma)$ определяется формулой (16.1). Как уже выяснялось в § 16 , эта функция будет положительно определенной для всех значении переменных $x, \sigma$, а ее производная $\dot{V}$ [см, (16.3)] представляет собой квадратичную форму относительно $x$ и $f(\sigma)$.

Для того чтобы неравенство $-\dot{V}>0$ имело место при всех $\left.{ }^{1}\right) x, f$, должны быть выполнены $n+1$ неравенств критерия Сильвестра (см. §8). Так как $C>0$, то первые $n$ из этих неравенств выполняются автоматически, и остается только последнее:
\[
\left|\begin{array}{cc}
C & -\left(B b+\frac{1}{2} c\right) \\
-\left(B b+\frac{1}{2} c\right)^{\prime} & r
\end{array}\right|>0,
\]

которое является необходимым и достаточным условием отрицательной определенности производной $\dot{V}(x, \sigma)$.
1) Одновременно не равных нулю. – Приж, перев.

Так как $\left|C^{-1}\right|=|C|^{-1}>0$, то определитель матрицы
\[
\left(\begin{array}{cc}
C^{-1} & 0 \\
0 & 1
\end{array}\right)
\]

положителен. Следовательно, определитель произведения матриц
\[
\begin{array}{c}
\left(\begin{array}{cc}
C^{-1} & 0 \\
0 & 1
\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}
C & -\left(B b+\frac{1}{2} c\right) \\
-\left(B b+\frac{1}{2} c\right)^{\prime} & r
\end{array}\right)= \\
=\left(\begin{array}{cc}
E & -C^{-1}\left(B b+\frac{1}{2} c\right) \\
-\left(B b+\frac{1}{2} c\right)^{\prime} & r
\end{array}\right)
\end{array}
\]

положителен одновременно с определителем (18.1), а потому условие (18.1) эквивалентно неравенству ${ }^{1}$ )
\[
r>\left(B b+\frac{1}{2} c\right)^{\prime} C^{-1}\left(B b+\frac{1}{2} c\right) .
\]

К этому неравенству необходимо добавить еще условие (15.10), которое мы перепишем в виде
\[
r
eq-c^{\prime} A^{-1} b \text {. }
\]

Эти два неравенства (18.2) $и$ (18.3) являются фундаментальными неравенствами теории автоматического регулирования ${ }^{2}$ ). Согласно теореме IX, § 13, они
1) Неравенство (18.2) сразу получается, если определитель в (18.1) разложить по элементам последнего столбца и последней строки и затем разделить на $|C|$. – Прим. ред.
2) На самом деле, одно неравенство (18.2) является достаточным условием, гарантирующим абсолютную устойчивость системы регулирования (15.4). Что касается неравенства (18.3), то оно выполняется, если выполняется неравенство (18.2).

Действительно, согласно теореме IX, § 13, условие (18.2) обеспечивает асимптотическую устойчивость системы (15.11) при любой характеристике $f(\sigma)$. Выберем в качестве характеристики функцию (15.13); тогда матрица $\mathscr{B}$ линейного приближения (15.14)

обеспечивают полную устоичивость регулируемой системы при всех допустимых функциях $f$.

Так как $C>0$, то и $C^{-1}>0$ (см. §3). Следовательно, стоящая в правой части неравенства (18.2) квадратичная форма неотрицательна, а потому из этого неравенства следует, что $\left.{ }^{1}\right) r>0$.

Заметим, что эффективность регулирования значительно повышается с увеличением $r$, поскольку это означает удаление от того состояния, в котором $\dot{V}$ перестает быть отрицательно определенной функцией. По существу увеличение $r$ равносильно, таким образом, улучшению качества регулирующего механизма.

Важный частный случай. Пусть характеристическими корнями матрицы $A$ являются $-\mu_{1}, \ldots,-\mu_{n}$, где $\mu_{k}$ все различны и положительны. Предположим, что координаты $x$ с самого начала выбраны так, что в них
\[
A=-D, \quad D=\operatorname{diag}\left(\mu_{1}, \ldots, \mu_{n}\right) \text {. }
\]

Тогда система (15.11) примет вид
\[
\left\{\begin{array}{l}
\dot{x}=-D x+f(\sigma) b, \\
\dot{\sigma}=c^{\prime} x-r f(\sigma),
\end{array}\right.
\]

оказывается устойчивой. Умножив на нее слева матрицу (15.9), мы придем к матрице
\[
M=\mathscr{A} \mathscr{D}=\left(\begin{array}{cc}
E & k A^{-1} b \\
c^{\prime} & -k r
\end{array}\right),
\]

определитель которой равен $-k\left(r+c^{\prime} A^{-1} b\right)$.
Используя формулу (2.9), легко понять, что если $A$ – устойчивая матрица порядка $n$, то ( -1$)^{n}|A|>0$. Точно так же легко убедиться, что если $A$-устойчивая матрица, то и $A^{-1}$ будет устойчивой.
Опираясь на эти результаты, можно сказать, что
\[
(-1)^{n+1}|\mathscr{D}|>0 \text { и }(-1)^{n}|\mathcal{A}|>0
\]
(ибо одно из собственных значений $\mathcal{A}$ равно +1 ). Поэтому
\[
0<(-1)^{n}|\mathcal{A}| \cdot(-1)^{n+1}|\mathscr{B}|=-|M|=k\left(r+c^{\prime} A^{-1} b\right) .
\]

и, в силу положительности $k$, получаем $r>-c^{\prime} A^{-1} b$. Таким образом, условие (15.10) выполнено и система (15.4) также асимптотически устойчива. – Прим. перев.
1) Это необходимое условие положительной определенности производной $\dot{V}$ было указано в конце § 16. – Прим. перев.

а система (17.2) – вид
\[
\left\{\begin{array}{l}
b_{k i}=b_{i k}, \quad i, k=1, \ldots, n, \\
\left(-\mu_{i}-\mu_{k}\right) b_{i k}=-c_{i k}, \quad i \geqslant k .
\end{array}\right.
\]

Возьмем, далее, матрицу $C=\operatorname{diag}\left(d_{1}, \ldots, d_{n}\right)$, где все числа $d_{k}$ положительны. Тогда
\[
\begin{aligned}
C^{-1} & =\operatorname{diag}\left(\frac{1}{d_{1}}, \ldots, \frac{1}{d_{n}}\right), \\
B & =\operatorname{diag}\left(\frac{d_{1}}{2 \mu_{1}}, \ldots, \frac{d_{n}}{2 \mu_{n}}\right), \\
(B b)^{\prime} & =\frac{1}{2}\left\{\frac{b_{1} d_{1}}{\mu_{1}}, \ldots, \frac{b_{n} d_{n}}{\mu_{n}}\right\},
\end{aligned}
\]

а неравенство (18.2) записывается так:
\[
\begin{aligned}
r & >\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{4 d_{k}}\left(\frac{b_{k} d_{k}}{\mu_{k}}+c_{k}\right)^{2}= \\
& =\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{4}\left(\frac{b_{k} e_{k}}{\mu_{k}}+\frac{c_{k}}{e_{k}}\right)^{2} ; \quad e_{k}=\sqrt{d_{k}}>0 .
\end{aligned}
\]

Найдем наименьшее значение правой части в зависимости от $e_{k}$. Очевидно, стоящая там сумма принимает минимальное значение, если каждая из скобок принимает минимальное значение. Пусть сначала числа $b_{k}$ и $c_{k}$ имеют один и тот же знак; можно считать, что оба они положительны. При этом предположении член в $k$-и скобке представляет собой сумму двух положительных слагаемых, произведение которых постоянно. Следовательно, минимум достигается тогда, когда оба слагаемые равны между собой, т. е. когда $e_{k}^{2}=\frac{\mu_{k} c_{k}}{b_{k}}$. Если же $b_{p} c_{p}<0$, т. е. числа $b_{p}$ и $c_{p}$ имеют разные знаки, то сумма в соответствующей $p$-й скобке может равняться нулю.
Окончательно
\[
r>\sum_{k=1}^{n} \frac{\varepsilon_{k} b_{k} c_{k}}{\mu_{k}},
\]

где .
\[
\varepsilon_{k}=\left\{\begin{array}{lll}
1 & \text { при } & b_{k} c_{k}>0 ; \\
0 & \text { при } & b_{k} c_{k} \leqslant 0 .
\end{array}\right.
\]

Это неравенство дает в рассматриваемом случае нижнюю границу для допустимых ${ }^{1}$ ) значений $r$.